一いち次じ関数かんすう — 式しき・グラフ・変化へんかの割合わりあい・交点こうてん

この章しょうで学まなぶこと

中ちゅう2 で学まなぶ 一次関数いちじかんすう $y=ax+b$ を学まなびます。 式しき・表ひょう・グラフを行いき来きできるようにするのがゴールです。

• 一次関数いちじかんすう $y=ax+b$ の意味いみ
• 傾きかたむき $a$ と切片せっぺん $b$、 グラフのかき方かた
• 変化の割合へんかのわりあい
• 2 点てんを通とおる直線ちょくせんの式しき
• 2 直線ちょくせんの交点こうてん

ポイント: 一次関数のグラフいちじかんすうのぐらふは 直線ちょくせん です。 $a$ がかたむき (右みぎ上あがりか右みぎ下さがりか)、 $b$ が $y$軸と交まじわる高たかさを表あらわします。

1. 一いち次じ関数かんすうとは

$y$ が $x$ の一次関数いちじかんすうであるとは、 $y=ax+b$ ($a, b$ は定数ていすう、 $a\ne 0$) の形かたちで表あらわせることです。 $a$ を 傾きかたむき、 $b$ を 切片せっぺん ($y$軸と交まじわる点てんの $y$座標ざひょう) といいます。

例題れいだい: 一次関数いちじかんすう $y=3x-2$ について、 $x=4$ のときの $y$ を求もとめよ。

$y=3\times 4-2=12-2=10$

検算けんざん: $3\times 4=12$、 $12-2=10$。 正ただしい。

2. 変化へんかの割合わりあい

変化の割合へんかのわりあい $=\frac{y の 増加量}{x の 増加量}$。 一次関数いちじかんすうでは、 これがつねに傾きかたむき $a$ に等ひとしく、 一定いっていです。

例題れいだい: 一次関数いちじかんすう $y=3x-2$ で、 $x$ が $1$ から $5$ まで増ふえるときの変化の割合へんかのわりあいを求もとめよ。

$x=1$ で $y=1$、 $x=5$ で $y=13$。

$\frac{13-1}{5-1}=\frac{12}{4}=3$

検算けんざん: 傾きかたむきが $3$ なので変化の割合へんかのわりあいも $3$。 計算けいさんと一致いっちする。 正ただしい。

大事だいじ: 一次関数いちじかんすうでは変化の割合へんかのわりあいはどこでも一定いっていで、 つねに傾きかたむきと同おなじです。 「$x$ が $1$ ふえると $y$ が $a$ ふえる」 と読よみかえられます。

3. 2 点てんを通とおる直線ちょくせんの式しき

2 点てんがわかれば、 傾きかたむきを求もとめてから切片せっぺんを決きめます。

例題れいだい: 2 点$(1,5)$、 $(3,11)$ を通とおる直線ちょくせんの式しきを求もとめよ。

傾きかたむき $a=\frac{11-5}{3-1}=\frac{6}{2}=3$。

$y=3x+b$ に $(1,5)$ を代入だいにゅうして $5=3+b$、 $b=2$。

$y=3x+2$

検算けんざん: $(3,11)$ を代入だいにゅうすると $3\times 3+2=11$ ($\circ$)。 両方りょうほうの点てんを通とおる。 正ただしい。

4. 2 直線ちょくせんの交点こうてん

2 つの直線ちょくせんの交点こうてんは、 2 つの式しきを連立れんりつ方程式ほうていしきとして解とくと求もとめられます。 交点こうてんは両方りょうほうの直線ちょくせん上じょうにある点てんだからです。

例題れいだい: 2 直線ちょくせん$y=2x+1$ と $y=-x+7$ の交点こうてんの座標ざひょうを求もとめよ。

2 式しきの $y$ が等ひとしいので、

$2x+1=-x+7\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} 3x=6\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} x=2$

$x=2$ を $y=2x+1$ に代入だいにゅうして $y=5$。

検算けんざん: もう一方いっぽう$y=-x+7$ にも $x=2$ を入いれると $y=-2+7=5$ ($\circ$)。 交点こうてんは $(2,5)$。

ポイント: 交点こうてんは 「両方りょうほうの式しきを同時どうじに満みたす点てん」 なので、 連立れんりつ方程式ほうていしきそのものです。 第だい3章しょうの連立方程式れんりつほうていしきがそのまま使つかえます。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは 「$y=2x-3$ で $x=5$ のときの $y$」 「2 点てんを通とおる直線ちょくせんの式しき」 「変化の割合へんかのわりあい」 など、 値あたいや式しきを求もとめる問題もんだい。
• 二に次じでは 「グラフから式しきを読よみとる」 「2 直線ちょくせんの交点こうてん」 「水みずそうに水みずを入いれる時間じかんと量りょう」 などの文章ぶんしょう題だいが出でます。

よくまちがえるところ

一次関数いちじかんすうは 「どの数かずがどの役やくをしているか」 を取とりちがえるミスが目立めだちます。

まちがい	例れい	直なおし方かた
傾きかたむきと切片せっぺんを取とりちがえる	y = 3x - 2 の傾きかたむきを -2、 切片せっぺんを 3 とする	x にかかっている数かずが傾きかたむき、 単独たんどくの数かずが切片せっぺん
変化の割合へんかのわりあいの分母ぶんぼと分子ぶんしを逆ぎゃくにする	(5 - 1) / (13 - 1) と書かく	y の増加ぞうか量りょうを x の増加ぞうか量りょうで割われる
2 点てんから傾きかたむきを求もとめるとき引ひく順序じゅんじょをそろえない	(1, 5) と (3, 11) で (11 - 5) / (1 - 3) とする	上下じょうげとも 「あとの点てん - 先さきの点てん」 の向むきにそろえる
交点こうてんを片方かたほうの式しきにしか入いれずに答こたえる	y = 2x + 1 だけで確認かくにんして終おわる	もう一方いっぽうの式しきにも入いれて同おなじ y になるか見みる

いちばん多おおいのは 傾きかたむきと切片せっぺんの取とりちがえ です。 y = ax + b では、 x にかけられている a が傾きかたむき、 x のついていない b が切片せっぺんです。 y = 3x - 2 なら傾きかたむき 3、 切片せっぺん -2。 「切片せっぺんは x = 0 のときの y の値あたい」 と言いいかえて確たしかめると確実かくじつで、 実際じっさいに x = 0 を入いれると y = -2 になります。

傾きかたむきと切片せっぺんの使つかい分わけ

知しりたいこと	見みるところ	例れい (y = 3x - 2)
グラフが右みぎ上あがりか右みぎ下さがりか	傾きかたむき a の符号ふごう	a = 3 > 0 なので右みぎ上あがり
x が 1 ふえたとき y はいくつ変かわるか	傾きかたむき a	3 ふえる
y 軸じくと交まじわる高たかさ	切片せっぺん b	-2
x が 4 ふえたとき y はいくつ変かわるか	傾きかたむき a に 4 をかける	3 × 4 = 12 ふえる
2 点てんから式しきを出だす	まず傾きかたむき、 つぎに切片せっぺん	傾きかたむきを出だしてから 1 点てんを代入だいにゅうして b を決きめる

大事だいじ: 変化の割合へんかのわりあいは (y の増加ぞうか量りょう) ÷ (x の増加ぞうか量りょう) で、 一次関数いちじかんすうではどこで測はかっても傾きかたむき a と同おなじ値あたいになります。 計算けいさんした値あたいが a と合あわなければ、 どこかで引ひき算ざんの向むきをまちがえています。

自分じぶんでチェック

• y = ax + b の a が傾きかたむき、 b が切片せっぺんだと言いえる
• 変化の割合へんかのわりあいを y の増加ぞうか量りょう ÷ x の増加ぞうか量りょうで計算けいさんできる
• 2 点てんから傾きかたむきを求もとめるとき、 引ひく順序じゅんじょを上下じょうげでそろえられる
• 求もとめた直線ちょくせんの式しきに 2 点てんとも代入だいにゅうして確たしかめられる
• 2 直線ちょくせんの交点こうてんを連立れんりつ方程式ほうていしきで求もとめられる

まとめ

• 一次関数いちじかんすう $y=ax+b$ のグラフは直線ちょくせん、 $a$ が傾きかたむき、 $b$ が切片せっぺん
• 変化の割合へんかのわりあいは一定いっていで、 つねに傾きかたむき $a$ に等ひとしい
• 2 点てんを通とおる直線ちょくせんは傾きかたむき $\to$ 切片せっぺんの順じゅんに決きめる
• 2 直線ちょくせんの交点こうてんは連立れんりつ方程式ほうていしきで求もとめる

次じ章しょうでは、 図形ずけいの単元たんげん 平行へいこう線せんと角かく・多角たかく形がた を学まなびます。