三角形さんかくけいの合同ごうどうと証明しょうめい

この章しょうで学まなぶこと

中ちゅう2 でいちばん大切たいせつな 証明しょうめい を学まなびます。 二に次じ (数理すうり技能ぎのう) で必かならず役立やくだつ、 「すじ道どうを立たてて説明せつめいする力ちから」 を身みにつけましょう。

• 三角形さんかくけいの合同条件ごうどうじょうけん
• 証明の書き方しょうめいのかきかた (仮定かてい・結論けつろん・根拠こんきょ)
• 二等辺三角形にとうへんさんかくけいの性質せいしつ

ポイント: 証明しょうめいとは 「わかっていること (仮定かてい) から、 だれもが認みとめる事ことがら (定理ていりなど) を根拠こんきょにして、 言いいたいこと (結論けつろん) を導みちびく」 こと。 とびとびではなく、 すじ道どうを一いち本ほんにつなぐのが大切たいせつです。

1. 三角形さんかくけいの合同ごうどう条件じょうけん

2 つの三角形さんかくけいは、 つぎの 3 つの条件じょうけん のどれか 1 つが成なり立たてば合同ごうどうです。

番号ばんごう	合同ごうどう条件じょうけん
(1)	3 組くみの辺へんがそれぞれ等ひとしい
(2)	2 組くみの辺へんとその間かんの角かくがそれぞれ等ひとしい
(3)	1 組くみの辺へんとその両端りょうたんの角かくがそれぞれ等ひとしい

大事だいじ: 合同ごうどうな図形ずけいでは、 対応たいおうする辺へんの長ながさも、 対応たいおうする角かくの大おおきさも、 すべて等ひとしくなります。 証明しょうめいではこの点てんをよく使つかいます。

2. 証明しょうめいの型かた (仮定かてい・結論けつろん・根拠こんきょ)

証明しょうめいは、 つぎの 3 つを意識いしきして書かくと、 すじ道どうが通とおります。

部分ぶぶん	内容ないよう	書かき方かたの例れい
仮定かてい	問題もんだいで 「わかっていること」	「$AB=AC$、 $BD=CD$」
根拠こんきょ	使つかう定理ていり・条件じょうけん・等ひとしい関係かんけい	「共通きょうつうな辺へん」 「対頂角たいちょうかくは等ひとしい」 「合同ごうどう条件じょうけん (1)」
結論けつろん	「導みちびきたいこと」	「$△ABD\equiv △ACD$」

例題れいだい: 下したの条件じょうけんで $△ABD$ と $△ACD$ が合同ごうどうであることを証明しょうめいせよ。 仮定かていは $AB=AC$、 $BD=CD$ とする。

証明しょうめい:

$△ABD$ と $△ACD$ において、

1. $AB=AC$ (仮定かてい)
2. $BD=CD$ (仮定かてい)
3. $AD=AD$ (共通きょうつうな辺へん)

1・2・3 より、 3 組くみの辺へんがそれぞれ等ひとしいので、 合同条件ごうどうじょうけん (1) によって

$△ABD\equiv △ACD$

確認かくにん: 仮定かてい 2 つ + 共通きょうつうの辺へんで 「3 組くみの辺へん」 がそろい、 合同条件ごうどうじょうけん (1) にきちんと当あてはまっている。 すじ道どうが一いち本ほんにつながっている。

大事だいじ: 証明しょうめいでは、 1 行くだりごとに 「なぜそう言いえるか (根拠こんきょ)」 をカッコで書かきます。 「$AD=AD$ (共通きょうつうな辺へん)」 のように。 根拠こんきょぬきで結論けつろんに飛とぶと、 証明しょうめいになりません。

3. 二等辺三角形にとうへんさんかくけいの性質せいしつ

合同ごうどうの考かんがえ方かたを使つかうと、 つぎの性質せいしつが証明しょうめいできます。

• 二等辺三角形にとうへんさんかくけいの 底角ていかくは等ひとしい
• 二等辺三角形にとうへんさんかくけいの 頂角ちょうかくの二に等分とうぶん線せんは、 底辺ていへんを垂直すいちょくに 2 等分とうぶんする

例題れいだい: 二等辺三角形にとうへんさんかくけいの頂角ちょうかくが $50°$ のとき、 1 つの底角ていかくは何なん度どか。

底角ていかくは 2 つあって等ひとしく、 内角ないかくの和わは $180°$ なので、

$(180°-50°)÷2=130°÷2=65°$

検算けんざん: $50°+65°+65°=180°$。 内角ないかくの和わになる。 正ただしい。

ポイント: 「底角ていかくが等ひとしい」 の逆ぎゃくも成なり立たちます。 つまり 「2 つの角かくが等ひとしい三角形さんかくけいは二等辺三角形にとうへんさんかくけい」 です。 証明しょうめい問題もんだいでどちらの向むきを使つかうか意識いしきしましょう。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは 「合同条件ごうどうじょうけんを選えらぶ」 「二等辺三角形にとうへんさんかくけいの角度かくどを求もとめる」 などの問題もんだい。
• 二に次じでは 「2 つの三角形さんかくけいが合同ごうどうであることを証明しょうめいせよ」 という記述きじゅつ問題もんだいが定番ていばん。 仮定かてい・根拠こんきょ・結論けつろんをていねいに書かくと部分ぶぶん点てんも得えやすいです。

よくまちがえるところ

証明しょうめいは 「書かき方かたの作法さほう」 で減点げんてんされることが多おおい単元たんげんです。

まちがい	例れい	直なおし方かた
対応たいおうする頂点ちょうてんの順じゅんに書かかない	B と C、 D と D が対応たいおうしているのに 三角形さんかくけい ABD ≡ 三角形さんかくけい ADC と書かく	対応たいおうする頂点ちょうてんどうしを同おなじ位置いちに並ならべ 三角形さんかくけい ABD ≡ 三角形さんかくけい ACD と書かく
「その間かんの角かく」 でない角かくで合同ごうどうとする	2 辺へんと、 その 2 辺へんにはさまれていない角かくで合同ごうどう条件じょうけん (2) を使つかう	はさまれた角かくかどうかを図ずで確たしかめる
根拠こんきょを書かかずに結論けつろんへ飛とぶ	「AD = AD だから合同ごうどう」 とだけ書かく	1 行くだりごとに (仮定かてい)(共通きょうつうな辺へん)(対頂角たいちょうかくは等ひとしい) などの理由りゆうをそえる
合同ごうどうの記号きごうと等号とうごうを混同こんどうする	三角形さんかくけい ABD = 三角形さんかくけい ACD と書かく	図形ずけいの合同ごうどうは ≡、 長ながさや角かくの大おおきさが等ひとしいのは =

いちばん多おおいのは 対応たいおうする頂点ちょうてんの順じゅんのまちがい です。 三角形さんかくけい ABD ≡ 三角形さんかくけい ACD と書かいたら、 A と A、 B と C、 D と D が対応たいおうするという意味いみになります。 つまり AB = AC、 BD = CD、 AD = AD を主張しゅちょうしたことになるので、 順番じゅんばんがずれると別べつの主張しゅちょうになってしまいます。 証明しょうめいを書かき終おえたら、 対応たいおうする 3 組くみの辺へんが本当ほんとうに等ひとしいかを頂点ちょうてんの順じゅんで読よみ返かえしましょう。

証明しょうめいを書かく手順てじゅん

順番じゅんばん	やること	書かき方かたの例れい
1	どの 2 つの三角形さんかくけいを比くらべるかを宣言せんげんする	三角形さんかくけい ABD と 三角形さんかくけい ACD において
2	仮定かていとして与あたえられた等ひとしい関係かんけいを書かく	AB = AC (仮定かてい)
3	図ずから読よみとれる等ひとしい関係かんけいを書かく	AD = AD (共通きょうつうな辺へん)
4	そろった条件じょうけんがどの合同ごうどう条件じょうけんかを述のべる	3 組くみの辺へんがそれぞれ等ひとしいので
5	結論けつろんを対応たいおうの順じゅんで書かく	三角形さんかくけい ABD ≡ 三角形さんかくけい ACD
6	必要ひつようならそこから角かくや辺へんが等ひとしいことを導みちびく	対応たいおうする角かくは等ひとしいので 角かく BAD = 角かく CAD

大事だいじ: 手順てじゅん 3 の 「図ずから読よみとれる関係かんけい」 は、 共通きょうつうな辺へん・対頂角たいちょうかく・平行へいこう線せんの錯角さっかくのどれかであることがほとんどです。 条件じょうけんが 1 つ足たりないときは、 この 3 つを順じゅんにさがすと見みつかります。

自分じぶんでチェック

• 三角形さんかくけいの合同条件ごうどうじょうけんを 3 つとも言いえる
• 「2 組くみの辺へんとその間かんの角かく」 の 「間ま」 を図ずで確たしかめられる
• 1 行くだりごとに根拠こんきょをそえて証明しょうめいを書かける
• 合同ごうどうを表あらわす結論けつろんを対応たいおうする頂点ちょうてんの順じゅんで書かける
• 二等辺三角形にとうへんさんかくけいの底角ていかくが等ひとしいことを使つかって角度かくどを求もとめられる

まとめ

• 三角形さんかくけいの合同条件ごうどうじょうけんは 3 つ (3 辺へん / 2 辺へんと間まの角かく / 1 辺へんと両端りょうたんの角かく)
• 証明しょうめいは 「仮定かてい$\to$根拠こんきょ$\to$結論けつろん」 のすじ道どうで書かく
• 1 行くだりごとに根拠こんきょ (共通きょうつうな辺へん・対頂角たいちょうかくなど) をそえる
• 二等辺三角形にとうへんさんかくけいは底角ていかくが等ひとしい

次じ章しょうでは、 合同ごうどうの考かんがえ方かたを使つかう 四角形しかくけいの性質せいしつ を学まなびます。