三角形さんかくけいの合同ごうどうと証明しょうめい

この章しょうで学まなぶこと

中ちゅう2 でいちばん大切たいせつな 証明しょうめい を学まなびます。 二に次じ (数理すうり技能ぎのう) で必かならず役立やくだつ、 「すじ道どうを立たてて説明せつめいする力ちから」 を身みにつけましょう。

• 三角形さんかくけいの合同条件ごうどうじょうけん
• 証明の書き方しょうめいのかきかた (仮定かてい・結論けつろん・根拠こんきょ)
• 二等辺三角形にとうへんさんかっけいの性質せいしつ

ポイント: 証明しょうめいとは 「わかっていること (仮定かてい) から、 だれもが認みとめる事ことがら (定理ていりなど) を根拠こんきょにして、 言いいたいこと (結論けつろん) を導みちびく」 こと。 とびとびではなく、 すじ道どうを一いち本ほんにつなぐのが大切たいせつです。

1. 三角形さんかくけいの合同ごうどう条件じょうけん

2 つの三角形さんかくけいは、 つぎの 3 つの条件じょうけん のどれか 1 つが成なり立たてば合同ごうどうです。

番号ばんごう	合同ごうどう条件じょうけん
(1)	3 組くみの辺へんがそれぞれ等ひとしい
(2)	2 組くみの辺へんとその間かんの角かくがそれぞれ等ひとしい
(3)	1 組くみの辺へんとその両端りょうたんの角かくがそれぞれ等ひとしい

大事だいじ: 合同ごうどうな図形ずけいでは、 対応たいおうする辺へんの長ながさも、 対応たいおうする角かくの大おおきさも、 すべて等ひとしくなります。 証明しょうめいではこの点てんをよく使つかいます。

2. 証明しょうめいの型かた (仮定かてい・結論けつろん・根拠こんきょ)

証明しょうめいは、 つぎの 3 つを意識いしきして書かくと、 すじ道どうが通とおります。

部分ぶぶん	内容ないよう	書かき方かたの例れい
仮定かてい	問題もんだいで 「わかっていること」	「$AB=AC$、 $BD=CD$」
根拠こんきょ	使つかう定理ていり・条件じょうけん・等ひとしい関係かんけい	「共通きょうつうな辺へん」 「対頂角たいちょうかくは等ひとしい」 「合同ごうどう条件じょうけん (1)」
結論けつろん	「導みちびきたいこと」	「$△ABD\equiv △ACD$」

例題れいだい: 下したの条件じょうけんで $△ABD$ と $△ACD$ が合同ごうどうであることを証明しょうめいせよ。 仮定かていは $AB=AC$、 $BD=CD$ とする。

証明しょうめい:

$△ABD$ と $△ACD$ において、

1. $AB=AC$ (仮定かてい)
2. $BD=CD$ (仮定かてい)
3. $AD=AD$ (共通きょうつうな辺へん)

1・2・3 より、 3 組くみの辺へんがそれぞれ等ひとしいので、 合同条件ごうどうじょうけん (1) によって

$△ABD\equiv △ACD$

確認かくにん: 仮定かてい 2 つ + 共通きょうつうの辺へんで 「3 組くみの辺へん」 がそろい、 合同条件ごうどうじょうけん (1) にきちんと当あてはまっている。 すじ道どうが一いち本ほんにつながっている。

大事だいじ: 証明しょうめいでは、 1 行くだりごとに 「なぜそう言いえるか (根拠こんきょ)」 をカッコで書かきます。 「$AD=AD$ (共通きょうつうな辺へん)」 のように。 根拠こんきょぬきで結論けつろんに飛とぶと、 証明しょうめいになりません。

3. 二等辺三角形にとうへんさんかっけいの性質せいしつ

合同ごうどうの考かんがえ方かたを使つかうと、 つぎの性質せいしつが証明しょうめいできます。

• 二等辺三角形にとうへんさんかっけいの 底角ていかくは等ひとしい
• 二等辺三角形にとうへんさんかっけいの 頂角ちょうかくの二に等分とうぶん線せんは、 底辺ていへんを垂直すいちょくに 2 等分とうぶんする

例題れいだい: 二等辺三角形にとうへんさんかっけいの頂角ちょうかくが $50°$ のとき、 1 つの底角ていかくは何なん度どか。

底角ていかくは 2 つあって等ひとしく、 内角ないかくの和わは $180°$ なので、

$(180°-50°)÷2=130°÷2=65°$

検算けんざん: $50°+65°+65°=180°$。 内角ないかくの和わになる。 正ただしい。

ポイント: 「底角ていかくが等ひとしい」 の逆ぎゃくも成なり立たちます。 つまり 「2 つの角かくが等ひとしい三角形さんかくけいは二等辺三角形にとうへんさんかっけい」 です。 証明しょうめい問題もんだいでどちらの向むきを使つかうか意識いしきしましょう。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは 「合同条件ごうどうじょうけんを選えらぶ」 「二等辺三角形にとうへんさんかっけいの角度かくどを求もとめる」 などの問題もんだい。
• 二に次じでは 「2 つの三角形さんかくけいが合同ごうどうであることを証明しょうめいせよ」 という記述きじゅつ問題もんだいが定番ていばん。 仮定かてい・根拠こんきょ・結論けつろんをていねいに書かくと部分ぶぶん点てんも得えやすいです。

まとめ

• 三角形さんかくけいの合同条件ごうどうじょうけんは 3 つ (3 辺へん / 2 辺へんと間まの角かく / 1 辺へんと両端りょうたんの角かく)
• 証明しょうめいは 「仮定かてい$\to$根拠こんきょ$\to$結論けつろん」 のすじ道どうで書かく
• 1 行くだりごとに根拠こんきょ (共通きょうつうな辺へん・対頂角たいちょうかくなど) をそえる
• 二等辺三角形にとうへんさんかっけいは底角ていかくが等ひとしい

次じ章しょうでは、 合同ごうどうの考かんがえ方かたを使つかう 四角形しかくけいの性質せいしつ を学まなびます。