データの分布ぶんぷと二に次じ(数理すうり技能ぎのう)対策たいさく

この章しょうで学まなぶこと

仕上しあげとして、 中ちゅう2 で学まなぶ データの分布ぶんぷ (四分位数しぶんいすう・箱ひげ図はこひげず) と、 二に次じ (数理すうり技能ぎのう) で出でる文章ぶんしょう題だい・証明しょうめい・規則きそく性せいのコツを練習れんしゅうします。

• 四分位数しぶんいすうと四分位範囲しぶんいはんい
• 箱ひげ図はこひげずの読よみとり
• 二に次じの文章ぶんしょう題だい・証明しょうめいの進すすめ方かた
• 規則きそく性せい (特有とくゆう問題もんだい)

ポイント: 二に次じの問題もんだいは 「わからないものを文字もじでおく → 関係かんけいを式しきにする → 解とく → 答えこたえが条件じょうけんに合あうか確認かくにん」 の流ながれ。 証明しょうめいは仮定かてい・根拠こんきょ・結論けつろんをていねいに書かきます。

1. 四分位数しぶんいすうと四よん分ふん位い範囲はんい

データを小ちいさい順じゅんに並ならべ、 4 等分とうぶんする位置いちの値あたいを 四分位数しぶんいすう といいます。 小ちいさいほうから 第だい1四分位数しぶんいすう$Q_1$、 第だい2四分位数しぶんいすう (= 中央ちゅうおう値ち) $Q_2$、 第だい3四分位数しぶんいすう$Q_3$。 $Q_3-Q_1$ を 四分位範囲しぶんいはんい といいます。

例題れいだい: $7$個のデータ $3,5,6,8,11,12,14$ の四分位数しぶんいすうと四分位範囲しぶんいはんいを求もとめよ。

データはすでに小ちいさい順じゅん。 まん中なか (4 番ばん目め) が $Q_2=8$。 下しも半分はんぶん$3,5,6$ のまん中なか$Q_1=5$、 上うえ半分はんぶん$11,12,14$ のまん中なか$Q_3=12$。

$Q_3-Q_1=12-5=7$

検算けんざん: $Q_1=5, Q_2=8, Q_3=12$ は小ちいさい順じゅんに並ならんでおり整合せいごう。 四分位範囲しぶんいはんいは $12-5=7$。 正ただしい。

大事だいじ: 四分位数しぶんいすうを求もとめるときは、 まず 小ちいさい順じゅんに並ならべる こと。 並ならべずに計算けいさんすると、 まったくちがう値あたいになってしまいます。

2. 箱はこひげ図

箱ひげ図はこひげずは、 データの散ちらばりを 5 つの数かず (最小値さいしょうち・$Q_1$・$Q_2$・$Q_3$・最大値さいだいち) で表あらわす図ずです。 箱はこの左ひだりはし $=Q_1$、 箱はこの中なかの線$=Q_2$ (中央ちゅうおう値ち)、 箱はこの右みぎはし $=Q_3$、 ひげの両りょうはしが最小値さいしょうち・最大値さいだいちです。

読よみとる値あたい	図ずのどこか
最小値さいしょうち	左ひだりのひげのはし
第だい1四分位数しぶんいすう$Q_1$	箱はこの左ひだりはし
中央ちゅうおう値ち$Q_2$	箱はこの中なかの線せん
第だい3四分位数しぶんいすう$Q_3$	箱はこの右みぎはし
最大値さいだいち	右みぎのひげのはし

ポイント: 箱ひげ図はこひげずでは、 箱ばこの横よこはば が四分位範囲しぶんいはんいを表あらわします。 箱はこが広ひろいほどまん中なかあたりのデータが散ちらばっている、 と読よみとれます。

3. 二に次じの文章ぶんしょう題だい

第だい3章しょうの連立方程式れんりつほうていしきや第だい4章しょうの一次関数いちじかんすうを、 文章ぶんしょうから立たつ式しきして使つかいます。

例題れいだい: 大小だいしょう 2 つの数かずがあり、 和わは $50$、 大おおきい数かずは小ちいさい数かずの $4$倍より $5$小ちいさい。 この 2 つの数かずを求もとめよ。

小ちいさい数かずを $x$、 大おおきい数かずを $y$ とおく。

$\{x+y=50y=4x-5$

下の式しきを上うえに代入だいにゅう (代入法だいにゅうほう) する。

$x+(4x-5)=50\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} 5x-5=50\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} 5x=55\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} x=11$

$y=4\times 11-5=44-5=39$。

検算けんざん: $11+39=50$ ($\circ$)、 $4\times 11-5=39$ ($\circ$)。 小ちいさい数$11$、 大おおきい数$39$。

大事だいじ: 二に次じは とちゅうの式しき も大切たいせつです。 何なにを $x, y$ とおいたか、 どんな式しきを立たてたかをていねいに書かくと、 部分ぶぶん点てんも得えやすくなります。

4. 規則きそく性せい (特有とくゆう問題もんだい)

数かずや図形ずけいがあるきまりで並ならぶとき、 $n$番ばん目めを式しきで表あらわす問題もんだいです。 数検すうけんでよく出でる特有とくゆうのタイプ。

例題れいだい: ご石いしを正方形せいほうけいのふちにそって並ならべる。 1 辺へんに $2$個で $4$個、 1 辺へんに $3$個で $8$個、 1 辺へんに $4$個で $12$個 ……。 1 辺へんに $n$個並ならべるとき、 必要ひつようなご石いしの数かずを $n$ の式しきで表あらわせ。

1 辺へんの個数こすう	$2$	$3$	$4$	$5$
ご石いしの数かず	$4$	$8$	$12$	$16$

$1$ ふえるごとに $4$個ずつふえているので、 公差こうさ$4$。 $1$辺へん$2$個のとき $4$個なので、

$4+4(n-2)=4n-4 \left(個\right)$

検算けんざん: $n=2$ で $8-4=4$ ($\circ$)、 $n=4$ で $16-4=12$ ($\circ$)、 $n=5$ で $16$ ($\circ$)。 すべて表ひょうと一致いっち。 正ただしい。

ポイント: 規則きそく性せいは 「いくつずつふえるか (差さ)」 を見みつける のが第一歩だいいっぽ。 差さが一定いっていなら $($差$)\times n+($調整ちょうせい$)$ の形かたちになります。 必かならず小ちいさい $n$ で検算けんざんしましょう。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは 「データの四分位数しぶんいすう・四分位範囲しぶんいはんい」 「箱ひげ図はこひげずの読よみとり」 が出でます。
• 二に次じでは 「連立方程式れんりつほうていしき・一次関数いちじかんすうの文章ぶんしょう題だい」 「三角形さんかくけいの合同ごうどうの証明しょうめい」 「規則きそく性せいの一般いっぱん化か」 など、 これまでの章しょうを組くみ合あわせる問題もんだいが問とわれます。

よくまちがえるところ

データの単元たんげんは、 並ならべ替かえ忘わすれ と 用語ようごの取とりちがえ でほとんどの失点しってんが起おきます。

まちがい	例れい	直なおし方かた
小ちいさい順じゅんに並ならべずに四分位数しぶんいすうを求もとめる	8, 3, 12, 5, 14, 6, 11 の 4 番ばん目め 5 を中央ちゅうおう値ちとする	先さきに 3, 5, 6, 8, 11, 12, 14 と並ならべ、 中央ちゅうおう値ちは 8
四分位範囲しぶんいはんいと範囲はんいを混同こんどうする	最大値さいだいち 14 - 最小値さいしょうち 3 = 11 を四よん分ふん位い範囲はんいと答こたえる	四よん分ふん位い範囲はんいは Q3 - Q1。 上うえの例れいでは 12 - 5 = 7
データが偶数ぐうすう個このとき中央ちゅうおう値ちを 1 つの値あたいで答こたえる	6 個このデータで 3 番ばん目めの値あたいをそのまま中央ちゅうおう値ちとする	まん中なか 2 つの平均へいきんをとる
箱ひげ図はこひげずの箱はこの幅はばをデータの個数こすうと読よむ	箱はこが広ひろいから人数にんずうが多おおいと答こたえる	箱はこの幅はばは散ちらばり (四よん分ふん位い範囲はんい) を表あらわす

いちばん多おおいのは 並ならべ替かえ忘わすれ です。 問題もんだいのデータは順不同じゅんふどうで与あたえられることがほとんどで、 そのまま 4 番ばん目めを中央ちゅうおう値ちとしてしまうと、 Q1・Q2・Q3 のすべてがずれます。 かならず最初さいしょに小ちいさい順じゅんに書かき直なおし、 個数こすうも数かぞえなおしてから位置いちを決きめましょう。

四分位数しぶんいすうの求もとめ方かたの手順てじゅん

順番じゅんばん	やること	例れい (3, 5, 6, 8, 11, 12, 14)
1	小ちいさい順じゅんに並ならべ、 個数こすうを数かぞえる	7 個こ
2	全体ぜんたいの中央ちゅうおう値ち Q2 を決きめる	4 番ばん目めの 8
3	Q2 より下したのデータだけを取とり出だす	3, 5, 6
4	その中央ちゅうおう値ちを Q1 とする	5
5	Q2 より上うえのデータの中央ちゅうおう値ちを Q3 とする	11, 12, 14 の中央ちゅうおう値ちで 12
6	Q1 < Q2 < Q3 の順じゅんになっているか確たしかめる	5 < 8 < 12 なので正ただしい
7	四よん分ふん位い範囲はんい Q3 - Q1 を計算けいさんする	12 - 5 = 7

データの個数こすうが奇数きすうのときは、 手順てじゅん 3・5 で まん中なかの 1 個こは下したにも上うえにも入いれません。 個数こすうが偶数ぐうすうのときは全部ぜんぶを半分はんぶんずつに分わけます。 ここの扱あつかいを決きめておくと、 どんな個数こすうでも同おなじ手順てじゅんで処理しょりできます。

ポイント: 二に次じの文章ぶんしょう題だいや規則きそく性せいでも、 最後さいごに 「小ちいさい n や具体ぐたい的てきな値あたいで確たしかめる」 のは同おなじです。 答えこたえが出でたら必かならずもとの条件じょうけんに代入だいにゅうして、 つじつまが合あうか見みましょう。

自分じぶんでチェック

• 四分位数しぶんいすうを求もとめる前まえにデータを小ちいさい順じゅんに並ならべられる
• 中央ちゅうおう値ちをデータの個数こすうが偶数ぐうすうのときも求もとめられる
• 四分位範囲しぶんいはんい = Q3 - Q1 と範囲はんいのちがいを言いえる
• 箱ひげ図はこひげずの 5 つの値あたいがどこにあたるか指させる
• 規則きそく性せいで求もとめた式しきを小ちいさい n で検算けんざんできる

まとめ

• 四分位数しぶんいすうは小ちいさい順じゅんに並ならべてから ()
• 四分位範囲しぶんいはんい $=Q_3-Q_1$、 箱ひげ図はこひげずの箱はこのはばで読よめる
• 二に次じの文章ぶんしょう題だいは 「文字もじでおく $\to$立式$\to$解とく $\to$確認かくにん」
• 規則きそく性せいは 「差さ」 を見みつけて $n$ の式しきにし、 小ちいさい $n$ で検算けんざん

これで数すう検けん4級きゅうの教材きょうざいはひと通とおり終おわりです。 各かく章しょうの例題れいだいをくりかえし解とき、 一いち問もん一いち答とうや問題もんだい集しゅうで力ちからを確たしかめましょう。

※ 「数すう検けん」「実用じつよう数学すうがく技能ぎのう検定けんてい」 は公益こうえき財団ざいだん法人ほうじん日本にほん数学すうがく検定けんてい協会きょうかいの登録とうろく商標しょうひょうです。 この教材きょうざいは非公式ひこうしきの学習がくしゅう教材きょうざいであり、 合格ごうかくを保証ほしょうするものではありません。