数検4級第8章｜確率の求め方・場合の数・樹形図を例題で解説

この章しょうで学まなぶこと

中ちゅう2 で学まなぶ 確率かくりつ を学まなびます。計算けいさんというより「起おこりうる場合ばあいをもれなく数かぞえる」力ちからが問とわれます。

ポイント: 確率かくりつは「(あてはまる場合の数ばあいのかず) $\div$ (すべての場合の数ばあいのかず)」。まず 起おこりうるすべての場合ばあい をもれなく、だぶりなく数かぞえることがいちばん大切たいせつです。

あることがらの起おこりやすさを数かずで表あらわしたものが確率かくりつです。すべての場合ばあいが同おなじように起おこるとき、

$(確率) = \frac{(そのことが起こる場合の数)}{(すべての場合の数)}$

確率かくりつはつねに $0$ 以上いじょう $1$ 以下いかです ( $0 \leq$ 確率かくりつ $\leq 1$ )。

例題れいだい: 1 個このさいころを 1 回かい投なげるとき、 $4$ 以上いじょうの目めが出でる確率かくりつを求もとめよ。

すべての場合ばあいは $1, 2, 3, 4, 5, 6$ の $6$ 通とおり。 $4$ 以上いじょうは $4, 5, 6$ の $3$ 通とおり。

$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

検算けんざん: $4$ 以上いじょうが $3$ 通とおり、 $3$ 以下いかが $3$ 通とおり。合あわせて $6$ 通とおりで全体ぜんたいと一致いっち。確率かくりつは $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ 。

起おこりうる場合ばあいを、枝分えだわかれの図ず (樹形図じゅけいず) で順じゅんに書かき出だすと、もれなく数かぞえられます。

例題れいだい: $2$ 枚の硬貨こうかを同時どうじに投なげるとき、表ひょうと裏うらの出方でかたは全部ぜんぶで何なん通とおりか。

1 枚まい目めが表ひょうのとき 2 枚まい目めは (表ひょう) (裏うら)、 1 枚まい目めが裏うらのとき 2 枚まい目めは (表ひょう) (裏うら)。樹形図じゅけいずで書かき出だすと、

全部ぜんぶで $4$ 通とおり。

検算けんざん: 1 枚まいにつき $2$ 通とおりで $2$ 枚だから $2 \times 2 = 4$ 通とおり。書かき出だした数かずと一致いっちする。

大事だいじ: 硬貨こうかやさいころが複数ふくすうあるときは、 1 つ 1 つを区別くべつして 数かぞえます。 $(表, 裏)$ と $(裏, 表)$ は別べつの場合ばあいです。区別くべつしないと場合の数ばあいのかずをまちがえます。

例題れいだい: 大小だいしょう $2$ つのさいころを同時どうじに投なげるとき、出でた目めの和わが $5$ になる確率かくりつを求もとめよ。

すべての場合ばあいは $6 \times 6 = 36$ 通とおり。和わが $5$ になるのは $(1, 4) (2, 3) (3, 2) (4, 1)$ の $4$ 通とおり。

$\frac{4}{36} = \frac{1}{9}$

検算けんざん: $(1, 4) (2, 3) (3, 2) (4, 1)$ をかぞえなおすと $4$ 個。 $\frac{4}{36}$ を約分やくぶんして $\frac{1}{9}$ 。正ただしい。

例題れいだい: 当あたりが $2$ 本、はずれが $3$ 本入はいったくじから $1$ 本ひくとき、当あたる確率かくりつを求もとめよ。

くじは全部ぜんぶで $2 + 3 = 5$ 本。当あたりは $2$ 本。

$\frac{2}{5}$

検算けんざん: 当あたり $\frac{2}{5}$ + はずれ $\frac{3}{5} = \frac{5}{5} = 1$ 。確率かくりつの合計ごうけいが $1$ になり、つじつまが合あう。

ポイント: 「少すくなくとも 1 回かい……」のような問題もんだいは、 反対はんたいのことがら (1 回かいも起おこらない) の確率かくりつを $1$ から引ひくと速はやいことがあります。「(求もとめる確率かくりつ) $= 1 -$ (起おこらない確率かくりつ)」。

一いち次じでは「さいころ・硬貨こうか・くじの確率かくりつ」が定番ていばん。場合の数ばあいのかずをもれなく数かぞえるのがポイント。
二に次じでは「樹形図じゅけいずをかいて場合の数ばあいのかずを求もとめる」「条件じょうけんに合あう確率かくりつを求もとめる」など、数かぞえ上あげを説明せつめいする問題もんだいが出でます。

次じ章しょうでは、 データの分布ぶんぷ と仕上しあげの 二に次じ対策たいさく を学まなびます。