確率かくりつ — 場合ばあいの数かずと樹形図じゅけいず

この章しょうで学まなぶこと

中ちゅう2 で学まなぶ 確率かくりつ を学まなびます。 計算けいさんというより 「起おこりうる場合ばあいをもれなく数かぞえる」 力ちからが問とわれます。

• 確率かくりつの意味いみと求もとめ方かた
• 場合の数ばあいのかずの数かぞえ方かた
• 樹形図じゅけいずの使つかい方かた
• さいころ・硬貨こうか・くじの確率かくりつ

ポイント: 確率かくりつは 「(あてはまる場合の数ばあいのかず) $÷$ (すべての場合の数ばあいのかず)」。 まず 起おこりうるすべての場合ばあい をもれなく、 だぶりなく数かぞえることがいちばん大切たいせつです。

1. 確率かくりつの意味いみ

あることがらの起おこりやすさを数かずで表あらわしたものが確率かくりつです。 すべての場合ばあいが同おなじように起おこるとき、

$\left(確率\right)=\frac{\left(その こと が 起こる 場合 の 数\right)}{\left(すべて の 場合 の 数\right)}$

確率かくりつはつねに $0$以上いじょう$1$以下いかです ($0\le$確率かくりつ$\le 1$)。

例題れいだい: 1 個このさいころを 1 回かい投なげるとき、 $4$以上いじょうの目めが出でる確率かくりつを求もとめよ。

すべての場合ばあいは $1,2,3,4,5,6$ の $6$通とおり。 $4$以上いじょうは $4,5,6$ の $3$通とおり。

$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

検算けんざん: $4$以上いじょうが $3$通とおり、 $3$以下いかが $3$通とおり。 合あわせて $6$通とおりで全体ぜんたいと一致いっち。 確率かくりつは $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。

2. 樹形図じゅけいずで場合ばあいの数かずを数かぞえる

起おこりうる場合ばあいを、 枝分えだわかれの図ず (樹形図じゅけいず) で順じゅんに書かき出だすと、 もれなく数かぞえられます。

例題れいだい: $2$枚の硬貨こうかを同時どうじに投なげるとき、 表ひょうと裏うらの出方でかたは全部ぜんぶで何なん通とおりか。

1 枚まい目めが表ひょうのとき 2 枚まい目めは (表ひょう) (裏うら)、 1 枚まい目めが裏うらのとき 2 枚まい目めは (表ひょう) (裏うら)。 樹形図じゅけいずで書かき出だすと、

1 枚まい目め	2 枚まい目め	出方でかた
表ひょう	表ひょう	(表ひょう, 表おもて)
表ひょう	裏うら	(表ひょう, 裏うら)
裏うら	表ひょう	(裏うら, 表おもて)
裏うら	裏うら	(裏うら, 裏うら)

全部ぜんぶで $4$通とおり。

検算けんざん: 1 枚まいにつき $2$通とおりで $2$枚だから $2\times 2=4$通とおり。 書かき出だした数かずと一致いっちする。

大事だいじ: 硬貨こうかやさいころが複数ふくすうあるときは、 1 つ 1 つを区別くべつして 数かぞえます。 $(表,裏)$ と $(裏,表)$ は別べつの場合ばあいです。 区別くべつしないと場合の数ばあいのかずをまちがえます。

3. さいころ 2 つの確率かくりつ

例題れいだい: 大小だいしょう$2$ つのさいころを同時どうじに投なげるとき、 出でた目めの和わが $5$ になる確率かくりつを求もとめよ。

すべての場合ばあいは $6\times 6=36$通とおり。 和わが $5$ になるのは $(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)$ の $4$通とおり。

$\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$

検算けんざん: $(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)$ をかぞえなおすと $4$個。 $\frac{4}{36}$ を約分やくぶんして $\frac{1}{9}$。 正ただしい。

4. くじ・玉たまの確率かくりつ

例題れいだい: 当あたりが $2$本、 はずれが $3$本入はいったくじから $1$本ひくとき、 当あたる確率かくりつを求もとめよ。

くじは全部ぜんぶで $2+3=5$本。 当あたりは $2$本。

$\frac{2}{5}$

検算けんざん: 当あたり $\frac{2}{5}$ + はずれ $\frac{3}{5}=\frac{5}{5}=1$。 確率かくりつの合計ごうけいが $1$ になり、 つじつまが合あう。

ポイント: 「少すくなくとも 1 回かい……」 のような問題もんだいは、 反対はんたいのことがら (1 回かいも起おこらない) の確率かくりつを $1$ から引ひくと速はやいことがあります。 「(求もとめる確率かくりつ) $=1-$ (起おこらない確率かくりつ)」。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは 「さいころ・硬貨こうか・くじの確率かくりつ」 が定番ていばん。 場合の数ばあいのかずをもれなく数かぞえるのがポイント。
• 二に次じでは 「樹形図じゅけいずをかいて場合の数ばあいのかずを求もとめる」 「条件じょうけんに合あう確率かくりつを求もとめる」 など、 数かぞえ上あげを説明せつめいする問題もんだいが出でます。

よくまちがえるところ

確率かくりつのミスは、 ほとんどが 数かぞえ方かた です。 割わり算ざんそのものでまちがえる人ひとはあまりいません。

まちがい	例れい	直なおし方かた
区別くべつすべきものを区別くべつしない	硬貨こうか 2 枚まいで (表ひょう, 裏うら) と (裏うら, 表おもて) をまとめて 3 通とおりとする	1 枚まい目め・2 枚まい目めを区別くべつして 4 通とおりと数かぞえる
起おこりやすさがちがうものを同おなじに数かぞえる	さいころ 2 つの目めの和わを 2 から 12 の 11 通とおりとして和わが 5 の確率かくりつを 1/11 とする	目めの出方でかた 36 通とおりを分母ぶんぼにする。 和わが 5 は 4 通とおりで 4/36 = 1/9
確率かくりつを通とおり数すうのまま答こたえる	「4 通とおり」 と答えこたえて終おわる	(あてはまる場合ばあい) ÷ (すべての場合ばあい) で割合わりあいにする
取とり出だした玉たまを戻もどすかどうかを読よみ落おとす	2 個こ続つづけてひくのに、 2 回かい目めも全部ぜんぶの本数ほんすうで割われる	戻もどさないなら 2 回かい目めは 1 本ほん減へった本数ほんすうで考かんがえる

いちばん多おおいのは さいころ 2 つの和わを 11 通とおりと数かぞえること です。 和わが 2 になるのは (1, 1) の 1 通とおりしかないのに、 和わが 7 になるのは 6 通とおりあります。 起おこりやすさがちがうものを同おなじ 1 通とおりと数かぞえると 「同様どうように確たしからしい」 という前提ぜんていがくずれ、 確率かくりつが正ただしく出でません。 分母ぶんぼは必かならず 6 × 6 = 36 通とおりの目めの出方でかたにします。

数かぞえ方かたの手順てじゅん

順番じゅんばん	やること	例れい (硬貨こうか 2 枚まいで 1 枚まいだけ表おもて)
1	1 回かいの試行しこうで何なにが起おこるかをはっきりさせる	1 枚まい目もくと 2 枚まい目めの表裏ひょうり
2	ものを区別くべつして、 すべての場合ばあいを書かき出だす	(表ひょう,表ひょう)(表ひょう,裏うら)(裏うら,表ひょう)(裏うら,裏うら)
3	すべての場合ばあいの数かずを数かぞえる (これが分母ぶんぼ)	4 通とおり
4	条件じょうけんにあてはまる場合ばあいに印しるしをつけて数かぞえる	(表ひょう,裏うら)(裏うら,表ひょう) の 2 通とおり
5	分子ぶんし ÷ 分母ぶんぼ を約分やくぶんする	2/4 = 1/2
6	反対はんたいのことがらの確率かくりつをたして 1 になるか確たしかめる	1/2 + 1/2 = 1

大事だいじ: 「少すくなくとも 1 つは……」 と問とわれたら、 反対はんたいのことがら (1 つも起おこらない) を数かぞえて 1 から引ひくほうが速はやいことが多おおいです。 硬貨こうか 2 枚まいで 「少すくなくとも 1 枚まいは表ひょう」 なら、 1 - (裏うら,裏うら の確率かくりつ 1/4) = 3/4 です。

自分じぶんでチェック

• 確率かくりつ = あてはまる場合ばあいの数かず ÷ すべての場合ばあいの数かず と言いえる
• 硬貨こうかやさいころを 1 つずつ区別くべつして数かぞえられる
• さいころ 2 つの分母ぶんぼが 36 通とおりだと説明せつめいできる
• 樹形図じゅけいずでもれなく・だぶりなく書かき出だせる
• 「少すくなくとも」 の問題もんだいを 1 から引ひいて求もとめられる

まとめ

• 確率かくりつ$=\frac{}{}$、 $0\le$確率かくりつ$\le 1$
• 場合の数ばあいのかずは樹形図じゅけいずでもれなく・だぶりなく
• 複数ふくすうのさいころ・硬貨こうかは 1 つずつ区別くべつして数かぞえる
• 「少すくなくとも」 は $1-$ (起おこらない確率かくりつ) が便利べんり

次じ章しょうでは、 データの分布ぶんぷ と仕上しあげの 二に次じ対策たいさく を学まなびます。