四角形しかくけいの性質せいしつ — 平行四辺形へいこうしへんけいと特別とくべつな四角形しかくけい β版

この章しょうで学まなぶこと

中ちゅう2 で学まなぶ 四角形しかくけい の性質せいしつを学まなびます。 とくに平行四辺形へいこうしへんけいを中心ちゅうしんに、 特別とくべつな四角形しかくけいとの関係かんけいを整理せいりします。

• 平行四辺形へいこうしへんけいの性質せいしつ
• 平行四辺形になる条件へいこうしへんけいになるじょうけん
• 特別とくべつな四角形しかくけい (長方形ちょうほうけい・ひし形ひしがた・正方形せいほうけい)

ポイント: 平行四辺形へいこうしへんけいがすべての基本きほんです。 長方形ちょうほうけい・ひし形ひしがた・正方形せいほうけいは、 平行四辺形へいこうしへんけいに 「条件じょうけんをつけ加くわえたもの」 と考かんがえると関係かんけいがすっきりします。

1. 平行四辺形へいこうしへんけいの性質せいしつ

平行四辺形へいこうしへんけい (向むかい合あう 2 組くみの辺へんが平行へいこうな四角形しかくけい) には、 つぎの性質せいしつがあります。

番号ばんごう	性質せいしつ
(1)	2 組くみの向むかい合あう辺へんはそれぞれ等ひとしい
(2)	2 組くみの向むかい合あう角かくはそれぞれ等ひとしい
(3)	対角線たいかくせんはそれぞれの中点ちゅうてんで交まじわる

例題れいだい: 平行四辺形へいこうしへんけいの 1 つの角かくが $110°$ のとき、 となり合あう角かくと、 向むかい合あう角かくはそれぞれ何なん度どか。

向むかい合あう角かくは等ひとしいので $110°$。 となり合あう角かくは、 同おなじ側がわの内角ないかくの和わが $180°$ なので $180°-110°=70°$。

検算けんざん: 4 つの角かくは $110°, 70°, 110°, 70°$。 和わは $110+70+110+70=360°$ で四角形しかくけいの内角ないかくの和わになる。 正ただしい。

大事だいじ: 平行四辺形へいこうしへんけいの となり合あう角かくは、 たすと $180°$ になります (向むかい合あう辺へんが平行へいこうで、 同位角どういかく・錯角さっかくの関係かんけいになるため)。

2. 平行四辺形へいこうしへんけいになる条件じょうけん

四角形しかくけいは、 つぎのどれか 1 つが成なり立たてば平行四辺形へいこうしへんけいです。

番号ばんごう	条件じょうけん
(1)	2 組くみの向むかい合あう辺へんがそれぞれ平行へいこう (定義ていぎ)
(2)	2 組くみの向むかい合あう辺へんがそれぞれ等ひとしい
(3)	2 組くみの向むかい合あう角かくがそれぞれ等ひとしい
(4)	対角線たいかくせんがそれぞれの中点ちゅうてんで交まじわる
(5)	1 組くみの向むかい合あう辺へんが平行へいこうで長ながさが等ひとしい

ポイント: 「性質せいしつ」 は平行四辺形へいこうしへんけいだとわかっているときに使つかい、 「なる条件じょうけん」 は平行四辺形へいこうしへんけいだと示しめしたいときに使つかいます。 向むきがちがうので区別くべつしましょう。

3. 特別とくべつな四角形しかくけい

長方形ちょうほうけい・ひし形ひしがた・正方形せいほうけいは、 すべて平行四辺形へいこうしへんけいの仲間なかまで、 条件じょうけんがつけ加くわわったものです。

四角形しかくけい	平行四辺形へいこうしへんけいに加くわわる条件じょうけん	対角線たいかくせんの特とくちょう
長方形ちょうほうけい	4 つの角かくがすべて等ひとしい (直角ちょっかく)	対角線たいかくせんの長ながさが等ひとしい
ひし形ひしがた	4 つの辺へんがすべて等ひとしい	対角線たいかくせんが垂直すいちょくに交まじわる
正方形せいほうけい	4 つの角かくも 4 つの辺へんもすべて等ひとしい	長ながさが等ひとしく、 垂直すいちょくに交まじわる

例題れいだい: 正方形せいほうけいは長方形ちょうほうけいでもあり、 ひし形ひしがたでもあるといえるか。 理由りゆうとともに答えこたえよ。

いえる。 正方形せいほうけいは 「4 つの角かくが等ひとしい」 ので長方形ちょうほうけいの条件じょうけんを満みたし、 「4 つの辺へんが等ひとしい」 のでひし形ひしがたの条件じょうけんも満みたすから。

確認かくにん: 長方形ちょうほうけい (角かくの条件じょうけん) と ひし形ひしがた (辺へんの条件じょうけん) の両方りょうほうを満みたす四角形しかくけいが正方形せいほうけい。 説明せつめいと整合せいごうする。

大事だいじ: 関係かんけいを広ひろいほうから並ならべると 「平行四辺形へいこうしへんけい $\supset$長方形ちょうほうけい・ひし形ひしがた$\supset$正方形せいほうけい」。 正方形せいほうけいは長方形ちょうほうけいでもひし形ひしがたでもある、 という関係かんけいを図ずでおさえましょう。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは 「平行四辺形へいこうしへんけいの角かく・辺へんの長ながさを求もとめる」 「特別とくべつな四角形しかくけいの対角線たいかくせんの性質せいしつを選えらぶ」 などの問題もんだい。
• 二に次じでは 「ある四角形しかくけいが平行四辺形へいこうしへんけいであることを証明しょうめいせよ」 という記述きじゅつ問題もんだいが定番ていばん。 「なる条件じょうけん」 をどれか 1 つ示しめすのがコツです。

よくまちがえるところ

四角形しかくけいは、 性質せいしつと条件じょうけんの向むき と、 どの四角形しかくけいの話はなしか の混同こんどうが起おきやすい単元たんげんです。

まちがい	例れい	直なおし方かた
となり合あう角かくも等ひとしいと思おもう	1 つの角かくが 110° の平行四辺形へいこうしへんけいで、 となりの角かくも 110° とする	向むかい合あう角かくが等ひとしい。 となり合あう角かくは和わが 180° なので 70°
平行四辺形へいこうしへんけい一般いっぱんで対角線たいかくせんが垂直すいちょくだと思おもう	どんな平行四辺形へいこうしへんけいでも対角線たいかくせんが直角ちょっかくに交まじわるとする	垂直すいちょくに交まじわるのはひし形ひしがたと正方形せいほうけいだけ
長方形ちょうほうけいとひし形ひしがたの対角線たいかくせんの性質せいしつを入いれかえる	長方形ちょうほうけいの対角線たいかくせんが垂直すいちょくに交まじわるとする	長方形ちょうほうけいは長ながさが等ひとしい、 ひし形ひしがたは垂直すいちょくに交まじわる
性質せいしつと 「なる条件じょうけん」 を混同こんどうする	平行四辺形へいこうしへんけいだと示しめしたい証明しょうめいで、 平行四辺形へいこうしへんけいの性質せいしつを根拠こんきょに使つかう	示しめしたいときは 「なる条件じょうけん」 のどれか 1 つを満みたすことを示しめす

いちばん多おおいのは 性質せいしつと条件じょうけんの向むきの混同こんどう です。 性質せいしつは 「平行四辺形へいこうしへんけいだと分わかっているとき、 そこから何なにが言いえるか」、 なる条件じょうけんは 「まだ分わかっていない四角形しかくけいについて、 何なにを示しめせば平行四辺形へいこうしへんけいと言いえるか」 です。 証明しょうめいで結論けつろんが 「平行四辺形へいこうしへんけいである」 のときに性質せいしつを根拠こんきょにすると、 示しめしたいことを前提ぜんていに使つかうことになってしまいます。

特別とくべつな四角形しかくけいを見分みわける

対角線たいかくせんに注目ちゅうもくすると、 4 種類しゅるいがきれいに分わかれます。

四角形しかくけい	対角線たいかくせんの長ながさ	対角線たいかくせんの交まじわり方かた	対角線たいかくせんはたがいの中点ちゅうてんで交まじわるか
平行四辺形へいこうしへんけい	等ひとしいとはかぎらない	垂直すいちょくとはかぎらない	交まじわる
長方形ちょうほうけい	等ひとしい	垂直すいちょくとはかぎらない	交まじわる
ひし形ひしがた	等ひとしいとはかぎらない	垂直すいちょく	交まじわる
正方形せいほうけい	等ひとしい	垂直すいちょく	交まじわる

つまり 「長ながさが等ひとしい」 が加くわわると長方形ちょうほうけい、 「垂直すいちょく」 が加くわわるとひし形ひしがた、 両方りょうほうそろうと正方形せいほうけいです。 図ずで対角線たいかくせんに印しるしがついていたら、 まずこの表ひょうのどこにあてはまるかを考かんがえると、 使つかうべき性質せいしつがすぐ決きまります。

ポイント: 正方形せいほうけいは長方形ちょうほうけいでもあり、 ひし形ひしがたでもあります。 「長方形ちょうほうけいの性質せいしつ」 も 「ひし形ひしがたの性質せいしつ」 も両方りょうほう使つかえるので、 問題もんだい文ぶんに正方形せいほうけいと書かいてあるときは使つかえる道具どうぐがいちばん多おおい状態じょうたいです。

自分じぶんでチェック

• 平行四辺形へいこうしへんけいのとなり合あう角かくの和わが 180° だと言いえる
• 平行四辺形へいこうしへんけいの 3 つの性質せいしつを挙あげられる
• 平行四辺形へいこうしへんけいになる条件じょうけんを 1 つ選えらんで証明しょうめいに使つかえる
• 長方形ちょうほうけいとひし形ひしがたの対角線たいかくせんのちがいを説明せつめいできる
• 正方形せいほうけいが長方形ちょうほうけいでもひし形ひしがたでもある理由りゆうを言いえる

まとめ

• 平行四辺形へいこうしへんけい: 向むかい合あう辺へん・角かくが等ひとしく、 対角線たいかくせんは中点ちゅうてんで交まじわる
• となり合あう角かくの和わは $180°$
• 平行四辺形になる条件へいこうしへんけいになるじょうけんは 5 つ (証明しょうめいで 1 つ示しめす)
• 長方形ちょうほうけい・ひし形ひしがた・正方形せいほうけいは平行四辺形へいこうしへんけいに条件じょうけんを加くわえたもの

次じ章しょうでは、 「数かぞえて割合わりあいを出だす」 確率かくりつ を学まなびます。