連立れんりつ方程式ほうていしき — 加減かげん法ほう・代入だいにゅう法ほうと文章ぶんしょう題だい

この章しょうで学まなぶこと

2 つの文字もじをふくむ 2 つの式しきを同時どうじに満みたす値あたいを求もとめる 連立方程式れんりつほうていしき を学まなびます。 中ちゅう2 の山場やまばのひとつで、 一いち次じでも二に次じでもよく出でます。

• 加減法かげんほう (式しきをたす・ひいて 1 文字もじを消けす)
• 代入法だいにゅうほう (一方いっぽうを代入だいにゅうして 1 文字もじを消けす)
• 係数けいすうをそろえる解とき方かた
• 連立れんりつ方程式ほうていしきの文章ぶんしょう題だい (利用りよう)

ポイント: 連立方程式れんりつほうていしきの基本きほんは 「まず 1 つの文字もじを消けして、 文字もじ 1 つの方程式ほうていしきにする」 こと。 消けし方かたが加減法かげんほうと代入法だいにゅうほうの 2 通とおりです。

1. 加減かげん法ほう

2 つの式しきをたしたりひいたりして、 1 つの文字もじを消けします。

例題れいだい: つぎの連立方程式れんりつほうていしきを解とけ。

$\{2x+y=8x-y=1$

2 式しきをたすと $y$ が消きえる。

$(2x+y)+(x-y)=8+1\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} 3x=9\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} x=3$

$x=3$ を $x-y=1$ に代入だいにゅうして $3-y=1$、 $y=2$。

検算けんざん: $2\times 3+2=8$ ($\circ$)、 $3-2=1$ ($\circ$)。 両方りょうほう成なり立たつ。 よって $x=3, y=2$。

2. 係数けいすうをそろえる加減かげん法ほう

そのままでは文字もじが消きえないときは、 式しきを何なん倍ばいかして 消けしたい文字もじの係数けいすうをそろえます。

例題れいだい: つぎの連立方程式れんりつほうていしきを解とけ。

$\{3x+2y=72x+y=4$

下の式しきを 2 倍ばいして $y$ の係数けいすうを $2$ にそろえる。

$\{3x+2y=74x+2y=8$

下から上うえをひくと $y$ が消きえる。

$(4x+2y)-(3x+2y)=8-7\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} x=1$

$x=1$ を $2x+y=4$ に代入だいにゅうして $2+y=4$、 $y=2$。

検算けんざん: $3\times 1+2\times 2=3+4=7$ ($\circ$)、 $2\times 1+2=4$ ($\circ$)。 よって $x=1, y=2$。

大事だいじ: 式しきをひくときは すべての項こうの符号ふごう に注意ちゅういします。 $(4x+2y)-(3x+2y)$ では、 $2y-2y=0$ と消きえるのが目的もくてきです。

3. 代入だいにゅう法ほう

一方いっぽうの式しきを 「$y=$」 や 「$x=$」 の形かたちにして、 もう一方いっぽうに代入だいにゅうします。 片方かたほうがすでにこの形かたちに近ちかいとき便利べんりです。

例題れいだい: つぎの連立方程式れんりつほうていしきを解とけ。

$\{y=2x-13x+y=9$

上の式しきを下したに代入だいにゅうする。

$3x+(2x-1)=9\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} 5x-1=9\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} 5x=10\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} x=2$

$x=2$ を $y=2x-1$ に代入だいにゅうして $y=4-1=3$。

検算けんざん: $y=2\times 2-1=3$ ($\circ$)、 $3\times 2+3=9$ ($\circ$)。 よって $x=2, y=3$。

ポイント: 代入法だいにゅうほうでは、 代入だいにゅうする式しきを カッコでくくって から入いれます。 $3x+(2x-1)$ のように。 カッコを忘わすれると符号ふごうをまちがえます。

4. 連立れんりつ方程式ほうていしきの文章ぶんしょう題だい (利用りよう)

2 つのわからない量りょうを $x, y$ とおき、 関係かんけいを 2 つの式しきにします。

例題れいだい: りんご 1 個ことみかん 1 個こを買かうと $180$円、 りんご 2 個ことみかん 3 個こを買かうと $440$円である。 りんご 1 個こ、 みかん 1 個このねだんをそれぞれ求もとめよ。

りんご 1 個こを $x$円、 みかん 1 個こを $y$円とおく。

$\{x+y=1802x+3y=440$

上の式しきを 2 倍ばいすると $2x+2y=360$。 これを下したの式しきからひくと、

$(2x+3y)-(2x+2y)=440-360\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} y=80$

$y=80$ を $x+y=180$ に代入だいにゅうして $x=100$。

検算けんざん: $100+80=180$ ($\circ$)、 $2\times 100+3\times 80=200+240=440$ ($\circ$)。 りんご $100$円、 みかん $80$円。

大事だいじ: 文章ぶんしょう題だいでは 「何なにを $x, y$ とおいたか」 をはっきり書かきます。 求もとめた答えこたえがねだんなら正せいの数かず、 個数こすうなら整数せいすうになるかも確たしかめましょう。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは 「$\{2x+3y=12x-y=1$ を解とけ」 のように、 加減法かげんほう・代入法だいにゅうほうで解とく計算けいさんが頻出ひんしゅつ。
• 二に次じでは 「代金だいきん・個数こすう」 「速はやさ・道のりみちのり」 「割合わりあい」 などの文章ぶんしょう題だいで、 連立れんりつ方程式ほうていしきを立たてて解とく流ながれが問とわれます。

よくまちがえるところ

連立方程式れんりつほうていしきのミスは、 ほとんどが 消けすときの符号ふごう と 最後さいごのひと手間てま に集あつまります。

まちがい	例れい	直なおし方かた
代入法だいにゅうほうでカッコをつけずに代入だいにゅうし符号ふごうを落おとす	y = 2x - 1 を 3x + y = 9 に入いれて 3x + 2x - 1 と書かくつもりが 3x + 2x + 1 になる	代入だいにゅうする式しきはカッコでくくって 3x + (2x - 1) と書かく
ひき算さんのとき右辺うへんを引ひき忘わすれる	(4x + 2y) - (3x + 2y) = 8 として左辺さへんだけ引ひく	左辺さへんどうし、 右辺うへんどうしを同時どうじに引ひく (8 - 7 = 1)
係数けいすうをそろえるとき一部いちぶの項こうだけ倍ばいする	2x + y = 4 を 2 倍ばいして 4x + 2y = 4 とする	右辺うへんもふくめて全部ぜんぶの項こうを 2 倍ばいする (4x + 2y = 8)
1 つの文字もじだけ求もとめて終おわる	x = 3 を出だしたところで答えこたえにする	もう一方いっぽうの式しきに代入だいにゅうして y も出だし、 2 つそろえて答こたえる

いちばん多おおいのは 代入法だいにゅうほうのカッコ落おち です。 代入だいにゅうする式しきが y = 2x - 1 のように 2 つ以上いじょうの項こうをもつとき、 3x + y の y の場所ばしょにはその式しきが丸まるごと入はいります。 かならず 3x + (2x - 1) とカッコをつけてから、 カッコをはずしましょう。 とくに引ひく側がわに代入だいにゅうするとき (たとえば x - y に入いれるとき) は、 中なかの符号ふごうがすべて反対はんたいになります。

加減かげん法ほうの手順てじゅん

順番じゅんばん	やること	例れい (3x + 2y = 7、 2x + y = 4)
1	消けしたい文字もじを決きめる	y を消けすと決きめる
2	その文字もじの係数けいすうをそろえる (式しき全体ぜんたいを何なん倍ばいかする)	下したの式しきを 2 倍ばいして 4x + 2y = 8
3	係数けいすうの符号ふごうが同おなじならひく、 反対はんたいならたす	どちらも +2y なのでひく
4	左辺さへんどうし・右辺うへんどうしを計算けいさんして 1 文字もじの方程式ほうていしきにする	x = 1
5	求もとめた値あたいをもとのどちらかの式しきに代入だいにゅうする	2 + y = 4 より y = 2
6	両方りょうほうの式しきに入いれて成なり立たつか確たしかめる	3 + 4 = 7、 2 + 2 = 4 で成立せいりつ

ポイント: 手順てじゅん 6 の確認かくにんは もとの 2 つの式しきの両方りょうほう で行おこないます。 片方かたほうだけだと、 途中とちゅうで式しきを倍ばいしたときのミスに気きづけません。

自分じぶんでチェック

• 加減法かげんほうで消けしたい文字もじの係数けいすうをそろえられる
• 式しきを何なん倍ばいかするとき、 右辺うへんもふくめて全部ぜんぶの項こうを倍ばいにできる
• 代入法だいにゅうほうで代入だいにゅうする式しきをカッコでくくれる
• 求もとめた x, y をもとの 2 式しきの両方りょうほうに入いれて確たしかめられる
• 文章ぶんしょう題だいで何なにを x、 何なにを y とおいたかを書かける

まとめ

• 連立方程式れんりつほうていしきは 1 つの文字もじを消けす のが基本きほん
• 加減法かげんほう: 係数けいすうをそろえてたす・ひく (符号ふごうに注意ちゅうい)
• 代入法だいにゅうほう: 一方いっぽうを代入だいにゅう (カッコをつけて)
• 文章ぶんしょう題だいは $x, y$ をはっきりおき、 2 つの関係かんけいを式しきにする

次じ章しょうでは、 グラフの単元たんげん 一次関数いちじかんすう を学まなびます。