連立れんりつ方程式ほうていしき — 加減かげん法ほう・代入だいにゅう法ほうと文章ぶんしょう題だい

この章しょうで学まなぶこと

2 つの文字もじをふくむ 2 つの式しきを同時どうじに満みたす値あたいを求もとめる 連立方程式れんりつほうていしき を学まなびます。 中ちゅう2 の山場やまばのひとつで、 一いち次じでも二に次じでもよく出でます。

• 加減法かげんほう (式しきをたす・ひいて 1 文字もじを消けす)
• 代入法だいにゅうほう (一方いっぽうを代入だいにゅうして 1 文字もじを消けす)
• 係数けいすうをそろえる解とき方かた
• 連立れんりつ方程式ほうていしきの文章ぶんしょう題だい (利用りよう)

ポイント: 連立方程式れんりつほうていしきの基本きほんは 「まず 1 つの文字もじを消けして、 文字もじ 1 つの方程式ほうていしきにする」 こと。 消けし方かたが加減法かげんほうと代入法だいにゅうほうの 2 通とおりです。

1. 加減かげん法ほう

2 つの式しきをたしたりひいたりして、 1 つの文字もじを消けします。

例題れいだい: つぎの連立方程式れんりつほうていしきを解とけ。

$\{2x+y=8x-y=1$

2 式しきをたすと $y$ が消きえる。

$(2x+y)+(x-y)=8+1\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} 3x=9\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} x=3$

$x=3$ を $x-y=1$ に代入だいにゅうして $3-y=1$、 $y=2$。

検算けんざん: $2\times 3+2=8$ ($\circ$)、 $3-2=1$ ($\circ$)。 両方りょうほう成なり立たつ。 よって $x=3, y=2$。

2. 係数けいすうをそろえる加減かげん法ほう

そのままでは文字もじが消きえないときは、 式しきを何なん倍ばいかして 消けしたい文字もじの係数けいすうをそろえます。

例題れいだい: つぎの連立方程式れんりつほうていしきを解とけ。

$\{3x+2y=72x+y=4$

下の式しきを 2 倍ばいして $y$ の係数けいすうを $2$ にそろえる。

$\{3x+2y=74x+2y=8$

下から上うえをひくと $y$ が消きえる。

$(4x+2y)-(3x+2y)=8-7\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} x=1$

$x=1$ を $2x+y=4$ に代入だいにゅうして $2+y=4$、 $y=2$。

検算けんざん: $3\times 1+2\times 2=3+4=7$ ($\circ$)、 $2\times 1+2=4$ ($\circ$)。 よって $x=1, y=2$。

大事だいじ: 式しきをひくときは すべての項こうの符号ふごう に注意ちゅういします。 $(4x+2y)-(3x+2y)$ では、 $2y-2y=0$ と消きえるのが目的もくてきです。

3. 代入だいにゅう法ほう

一方いっぽうの式しきを 「$y=$」 や 「$x=$」 の形かたちにして、 もう一方いっぽうに代入だいにゅうします。 片方かたほうがすでにこの形かたちに近ちかいとき便利べんりです。

例題れいだい: つぎの連立方程式れんりつほうていしきを解とけ。

$\{y=2x-13x+y=9$

上の式しきを下したに代入だいにゅうする。

$3x+(2x-1)=9\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} 5x-1=9\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} 5x=10\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} x=2$

$x=2$ を $y=2x-1$ に代入だいにゅうして $y=4-1=3$。

検算けんざん: $y=2\times 2-1=3$ ($\circ$)、 $3\times 2+3=9$ ($\circ$)。 よって $x=2, y=3$。

ポイント: 代入法だいにゅうほうでは、 代入だいにゅうする式しきを カッコでくくって から入いれます。 $3x+(2x-1)$ のように。 カッコを忘わすれると符号ふごうをまちがえます。

4. 連立れんりつ方程式ほうていしきの文章ぶんしょう題だい (利用りよう)

2 つのわからない量りょうを $x, y$ とおき、 関係かんけいを 2 つの式しきにします。

例題れいだい: りんご 1 個ことみかん 1 個こを買かうと $180$円、 りんご 2 個ことみかん 3 個こを買かうと $440$円である。 りんご 1 個こ、 みかん 1 個このねだんをそれぞれ求もとめよ。

りんご 1 個こを $x$円、 みかん 1 個こを $y$円とおく。

$\{x+y=1802x+3y=440$

上の式しきを 2 倍ばいすると $2x+2y=360$。 これを下したの式しきからひくと、

$(2x+3y)-(2x+2y)=440-360\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} y=80$

$y=80$ を $x+y=180$ に代入だいにゅうして $x=100$。

検算けんざん: $100+80=180$ ($\circ$)、 $2\times 100+3\times 80=200+240=440$ ($\circ$)。 りんご $100$円、 みかん $80$円。

大事だいじ: 文章ぶんしょう題だいでは 「何なにを $x, y$ とおいたか」 をはっきり書かきます。 求もとめた答えこたえがねだんなら正せいの数かず、 個数こすうなら整数せいすうになるかも確たしかめましょう。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは 「$\{2x+3y=12x-y=1$ を解とけ」 のように、 加減法かげんほう・代入法だいにゅうほうで解とく計算けいさんが頻出ひんしゅつ。
• 二に次じでは 「代金だいきん・個数こすう」 「速はやさ・道のりみちのり」 「割合わりあい」 などの文章ぶんしょう題だいで、 連立れんりつ方程式ほうていしきを立たてて解とく流ながれが問とわれます。

まとめ

• 連立方程式れんりつほうていしきは 1 つの文字もじを消けす のが基本きほん
• 加減法かげんほう: 係数けいすうをそろえてたす・ひく (符号ふごうに注意ちゅうい)
• 代入法だいにゅうほう: 一方いっぽうを代入だいにゅう (カッコをつけて)
• 文章ぶんしょう題だいは $x, y$ をはっきりおき、 2 つの関係かんけいを式しきにする

次じ章しょうでは、 グラフの単元たんげん 一次関数いちじかんすう を学まなびます。