数検4級第5章｜平行線と角・多角形の内角と外角の和を解説

この章しょうで学まなぶこと

中ちゅう2 で学まなぶ 角かく の性質せいしつを学まなびます。平行へいこう線せんと多角たかく形がたの角度かくどを、公式こうしきを使つかって正確せいかくに求もとめられるようにします。

ポイント: 平行へいこう線せんでは同位角どういかくと錯角さっかくが 等ひとしく なります。ここが角度かくどを求もとめる最大さいだいの手てがかりです。

2 直線ちょくせんが交まじわると、向むかい合あう角かくどうしを 対頂角たいちょうかく といい、つねに等ひとしくなります。

例題れいだい: 2 直線ちょくせんが交まじわってできる 1 つの角かくが $130 °$ のとき、その対頂角たいちょうかくは何なん度どか。

対頂角たいちょうかくは等ひとしいので $130 °$ 。

検算けんざん: となり合あう角かくは $180 ° - 130 ° = 50 °$ で、その対頂角たいちょうかくも $50 °$ 。 4 つの角かくの和わは $130 + 50 + 130 + 50 = 360 °$ 。つじつまが合あう。

平行へいこうな 2 直線ちょくせんに 1 本ほんの直線ちょくせんが交まじわるとき、

例題れいだい: 平行へいこうな 2 直線ちょくせんに 1 本ほんの直線ちょくせんが交まじわり、同位角どういかくの一方いっぽうが $70 °$ のとき、もう一方いっぽうの同位角どういかくは何なん度どか。また、その錯角さっかくは何なん度どか。

平行へいこう線せんの同位角どういかくは等ひとしいので $70 °$ 。錯角さっかくも等ひとしいので $70 °$ 。

検算けんざん: 同位角どういかくのとなりの角かくは $180 ° - 70 ° = 110 °$ 。これと $70 °$ の和わが $180 °$ で一直線いっちょくせんになる。整合せいごうする。

大事だいじ: 「平行へいこう → 同位角どういかく・錯角さっかくが等ひとしい」と「同位角どういかく・錯角さっかくが等ひとしい → 平行へいこう」はどちらも成なり立たちます。角度かくどの計算けいさんでも証明しょうめいでもよく使つかいます。

$n$ 角形かくがたは 1 つの頂点ちょうてんから対角線たいかくせんをひくと $(n - 2)$ 個の三角形さんかくけいに分わけられます。三角形さんかくけい 1 つの内角の和ないかくのわが $180 °$ なので、

$(n 角形の内角の和) = 180 ° \times (n - 2)$

例題れいだい: 五角形ごかっけいの内角の和ないかくのわを求もとめよ。

$180 ° \times (5 - 2) = 180 ° \times 3 = 540 °$

検算けんざん: 五角形ごかっけいは対角線たいかくせんで 3 つの三角形さんかくけいに分わけられる。 $180 ° \times 3 = 540 °$ 。正ただしい。

多角たかく形がたの 外角の和がいかくのわ は、何なに角形かくがたでもつねに $360 °$ です。

例題れいだい: 正六角形せいろっかっけいの 1 つの外角がいかくの大おおきさを求もとめよ。

外角の和がいかくのわは $360 °$ 、正六角形せいろっかっけいは外角がいかくがすべて等ひとしいので 6 等分とうぶんして、

$360 ° \div 6 = 60 °$

検算けんざん: 1 つの内角ないかくは $180 ° - 60 ° = 120 °$ 。六角形ろっかっけいの内角の和ないかくのわは $120 ° \times 6 = 720 °$ 、公式こうしき $180 ° \times (6 - 2) = 720 °$ と一致いっちする。正ただしい。

ポイント: 正多角形せいたかっけいでは、外角がいかくから先さきに求もとめると速はやいことが多おおいです。「1 つの外角がいかく $= 360 ° \div n$ 」、「1 つの内角ないかく $= 180 ° -$ 外角がいかく」とおぼえておきましょう。

一いち次じでは「平行へいこう線せんと錯角さっかくを使つかった角度かくどの計算けいさん」「正 $n$ 角形かくがたの 1 つの内角ないかく・外角がいかく」が頻出ひんしゅつ。
二に次じでは「いくつかの角かくを組み合わせくみあわせて求もとめる」「平行へいこう線せんを補助ほじょ線せんでつくって解とく」など、性質せいしつを組くみ合あわせる問題もんだいが出でます。

次章しょうでは、図形ずけいの証明しょうめいの入いり口くち 三角形さんかくけいの合同ごうどうと証明しょうめい を学まなびます。