平行へいこう線せんと角かく・多角たかく形がたの内角ないかくと外角がいかく

この章しょうで学まなぶこと

中ちゅう2 で学まなぶ 角かく の性質せいしつを学まなびます。 平行へいこう線せんと多角たかく形がたの角度かくどを、 公式こうしきを使つかって正確せいかくに求もとめられるようにします。

• 対頂角たいちょうかく・同位角どういかく・錯角さっかく
• 平行へいこう線せんの性質せいしつ
• 多角たかく形がたの内角の和ないかくのわ
• 多角たかく形がたの外角の和がいかくのわ

ポイント: 平行へいこう線せんでは同位角どういかくと錯角さっかくが 等ひとしく なります。 ここが角度かくどを求もとめる最大さいだいの手てがかりです。

1. 2 直線ちょくせんが交まじわってできる角かく

2 直線ちょくせんが交まじわると、 向むかい合あう角かくどうしを 対頂角たいちょうかく といい、 つねに等ひとしくなります。

例題れいだい: 2 直線ちょくせんが交まじわってできる 1 つの角かくが $130°$ のとき、 その対頂角たいちょうかくは何なん度どか。

対頂角たいちょうかくは等ひとしいので $130°$。

検算けんざん: となり合あう角かくは $180°-130°=50°$ で、 その対頂角たいちょうかくも $50°$。 4 つの角かくの和わは $130+50+130+50=360°$。 つじつまが合あう。

2. 平行へいこう線せんと角かく

平行へいこうな 2 直線ちょくせんに 1 本ほんの直線ちょくせんが交まじわるとき、

• 同位角どういかく (同おなじ位置いちにある角かく) は等ひとしい
• 錯角さっかく (斜ななめに向むかい合あう角かく) は等ひとしい

例題れいだい: 平行へいこうな 2 直線ちょくせんに 1 本ほんの直線ちょくせんが交まじわり、 同位角どういかくの一方いっぽうが $70°$ のとき、 もう一方いっぽうの同位角どういかくは何なん度どか。 また、 その錯角さっかくは何なん度どか。

平行へいこう線せんの同位角どういかくは等ひとしいので $70°$。 錯角さっかくも等ひとしいので $70°$。

検算けんざん: 同位角どういかくの となりの角かくは $180°-70°=110°$。 これと $70°$ の和わが $180°$ で一直線いっちょくせんになる。 整合せいごうする。

大事だいじ: 「平行へいこう → 同位角どういかく・錯角さっかくが等ひとしい」 と 「同位角どういかく・錯角さっかくが等ひとしい → 平行へいこう」 はどちらも成なり立たちます。 角度かくどの計算けいさんでも証明しょうめいでもよく使つかいます。

3. 多角たかく形がたの内角ないかくの和

$n$角形かくがたは 1 つの頂点ちょうてんから対角線たいかくせんをひくと $(n-2)$個の三角形さんかくけいに分わけられます。 三角形さんかくけい 1 つの内角の和ないかくのわが $180°$ なので、

$\left(n 角形の内角の和\right)=180°\times (n-2)$

例題れいだい: 五角形ごかっけいの内角の和ないかくのわを求もとめよ。

$180°\times (5-2)=180°\times 3=540°$

検算けんざん: 五角形ごかっけいは対角線たいかくせんで 3 つの三角形さんかくけいに分わけられる。 $180°\times 3=540°$。 正ただしい。

4. 多角たかく形がたの外角がいかくの和わ

多角たかく形がたの 外角の和がいかくのわ は、 何なに角形かくがたでもつねに $360°$ です。

例題れいだい: 正六角形せいろっかっけいの 1 つの外角がいかくの大おおきさを求もとめよ。

外角の和がいかくのわは $360°$、 正六角形せいろっかっけいは外角がいかくがすべて等ひとしいので 6 等分とうぶんして、

$360°÷6=60°$

検算けんざん: 1 つの内角ないかくは $180°-60°=120°$。 六角形ろっかっけいの内角の和ないかくのわは $120°\times 6=720°$、 公式こうしき$180°\times (6-2)=720°$ と一致いっちする。 正ただしい。

ポイント: 正多角形せいたかっけいでは、 外角がいかくから先さきに求もとめると速はやいことが多おおいです。 「1 つの外角がいかく$=360°÷n$」、 「1 つの内角ないかく$=180°-$外角がいかく」 とおぼえておきましょう。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは 「平行へいこう線せんと錯角さっかくを使つかった角度かくどの計算けいさん」 「正せい$n$角形かくがたの 1 つの内角ないかく・外角がいかく」 が頻出ひんしゅつ。
• 二に次じでは 「いくつかの角かくを組み合わせくみあわせて求もとめる」 「平行へいこう線せんを補助ほじょ線せんでつくって解とく」 など、 性質せいしつを組くみ合あわせる問題もんだいが出でます。

よくまちがえるところ

角かくの単元たんげんは、 どの角かくどうしが等ひとしいか の取とりちがえと、 公式こうしきのあてはめ方かた でつまずきます。

まちがい	例れい	直なおし方かた
同位角どういかくと錯角さっかくを取とりちがえる	斜ななめに向むかい合あう位置いちの角かくを同位どうい角かくと呼よぶ	同おなじ向むきにある角かくが同位どうい角かく、 交まじわる直線ちょくせんをはさんで斜ななめ向むかいが錯角さっかく
平行へいこうでない 2 直線ちょくせんでも同位どうい角かくが等ひとしいとする	平行へいこうの印しるしがない図ずで 70° をそのまま写うつす	平行へいこうの印しるし (矢印やじるし) があるかを先さきに確たしかめる
内角の和ないかくのわの公式こうしきで n をそのまま使つかう	五角形ごかっけいの内角ないかくの和わを 180° × 5 = 900° とする	180° × (n - 2)。 五角形ごかっけいなら 180° × 3 = 540°
外角の和がいかくのわが角かくの数かずでふえると思おもう	六角形ろっかっけいの外角がいかくの和わを 360° × 6 とする	外角がいかくの和わは何なに角形かくがたでもつねに 360°

いちばん多おおいのは 内角ないかくの和わの公式こうしきで n - 2 を忘わすれること です。 n 角形かくがたは 1 つの頂点ちょうてんから対角線たいかくせんをひくと (n - 2) 個この三角形さんかくけいに分わかれるので、 180° にかけるのは n ではなく n - 2 です。 四角形しかくけいで試ためすと 180° × 2 = 360° となり、 よく知しっている値あたいと合あうので、 あやしいときは四角形しかくけいで公式こうしきを確たしかめましょう。

内角ないかくと外角がいかくを使つかい分わける

正せい n 角形かくがたの角かくは、 外角がいかくから先さきに求もとめる と速はやく終おわります。

順番じゅんばん	やること	例れい (正せい十じゅう二に角形かくがた)
1	外角がいかくの和わ 360° を n で割わって 1 つの外角がいかくを出だす	360° ÷ 12 = 30°
2	180° から外角がいかくを引ひいて 1 つの内角ないかくを出だす	180° - 30° = 150°
3	必要ひつようなら内角ないかくに n をかけて内角ないかくの和わを出だす	150° × 12 = 1800°
4	公式こうしき 180° × (n - 2) と合あうか確たしかめる	180° × 10 = 1800° で一致いっち

逆ぎゃくに 「1 つの外角がいかくが 24° の正多角形せいたかっけいは何なに角形かくがたか」 と問とわれたら、 360° ÷ 24° = 15 で正せい十じゅう五角形ごかっけいと分わかります。 内角ないかくから入はいるより計算けいさんが軽かるくなります。

ポイント: 1 つの内角ないかくと 1 つの外角がいかくは、 たすとつねに 180° です。 どちらか一方いっぽうが出でれば、 もう一方いっぽうはすぐ出だせます。

自分じぶんでチェック

• 対頂角たいちょうかくはつねに等ひとしいと言いえる
• 平行へいこう線せんのときだけ同位角どういかく・錯角さっかくが等ひとしいと確たしかめられる
• n 角形かくがたの内角の和ないかくのわを 180° × (n - 2) で求もとめられる
• 外角の和がいかくのわが何なに角形かくがたでも 360° だと言いえる
• 1 つの外角がいかくから正多角形せいたかっけいの角かくの数かずを求もとめられる

まとめ

• 対頂角たいちょうかくはつねに等ひとしい
• 平行へいこう線せんでは同位角どういかく・錯角さっかくが等ひとしい
• $n$角形かくがたの内角の和ないかくのわ $=180°\times (n-2)$
• 多角たかく形がたの外角の和がいかくのわはつねに $360°$

次章しょうでは、 図形ずけいの証明しょうめいの入いり口くち 三角形さんかくけいの合同ごうどうと証明しょうめい を学まなびます。