特性方程式とくせいほうていしき

特性とくせい方程式ほうていしきとは、漸化式うたてかしき $a_{n+1}=p{a}_n+q$（$p\ne 1$）を解とく際さいに用もちいる補助ほじょの方程式ほうていしき$x=px+q$ のことです。その解$\alpha$ を使つかうと、もとの漸すすむ化か式しきが等比数列とうひすうれつに帰着きちゃくします。

ステップ	内容ないよう
特性とくせい方程式ほうていしきを解とく	$x=px+q$ より $\alpha =\frac{q}{1-p}$
変形へんけい	$a_{n+1}-\alpha =p(a_n-\alpha )$
一般いっぱん項こう	$a_n=(a_1-\alpha )p^{n-1}+\alpha$

たとえば $a_{n+1}=3a_n-4$ なら $x=3x-4$ より $\alpha =2$、よって $a_{n+1}-2=3(a_n-2)$ となり、$\{a_n-2\}$ が公おおやけ比ひ$3$ の等比とうひ数列すうれつになります。

覚おぼえ方かた 特性とくせい方程式ほうていしきは「漸すすむ化か式しきの $a_{n+1}$ と $a_n$ をともに $x$ に置おき換かえる」だけ。$\{a_n-\alpha \}$ という新あたらしい数列すうれつが等比とうひ数列すうれつになる、という仕組しくみを理解りかいしておこう。