この 章 で 学ぶ こと
漸化式 と は、 「と な り 合 う 項 の 関係式」 で 数列 を 定義 す る 方法。 一般項 が 直接与 え ら れ な く て も、 漸化式 か ら 一般項an を 求 め る の が こ の 章 の 目標 で す。
- 漸化式 と 初期条件 の 役割 を 理解 す る
- 等差型 an+1=an+d を 扱う
- 等比型 an+1=ran を 扱う
- an+1=pan+q型 を 特性方程式 で 解 く
- 階差型 an+1=an+f(n) を 解 く
ポイント: 漸化式 は 「漸化 = だ ん だ ん 化 し て い く」 の 文字通 り、 1 ステップ ず つ 数列 を 作 る ルール。 入試 で は 形 を 見 て パターン に 分類 で きる か が 鍵 で す。
1. 漸化式 と は
定義
数列{an} に つ いて、 隣接 す る 項 (例: an と an+1) の 関係 を 表 す 式 を 漸化式 と 呼 ぶ。 通常 初項 a1 も 一緒 に 与 え る。
例: a1=1、 an+1=an+3 → 1, 4, 7, 10, 13, … (公差 3 の 等差数列)
なぜ 漸化式 を 学ぶ か
- 自然現象 の 多 く は 「前 の 状態 か ら 次 が 決 ま る」 仕組み を 持 つ (人口モデル・利息・遺伝 な ど)
- コンピュータ プログラム の 再帰 と 同 じ 考 え 方
- 一般項 を 直接求 め に く い 数列 を 系統的 に 扱え る
2. 等差型an+1=an+d
差 が 一定 な の で 等差数列。 公差d で
an=a1+(n−1)d
例題 1
a1=5、 an+1=an+4 の 一般項 を 求 め よ。
解: 公差 4 の 等差数列 → an=5+(n−1)⋅4=4n+1
3. 等比型an+1=ran
比 が 一定 な の で 等比数列。 公比r で
an=a1⋅rn−1
例題 2
a1=3、 an+1=2an の 一般項 を 求 め よ。
解: 公比 2 の 等比数列 → an=3⋅2n−1
4. an+1=pan+q型 (特性方程式)
形
p=1 の とき
an+1=pan+q
の 形 は 等比 で も 等差 で も な い。 こ れ を 解 く カギ が 特性方程式 で す。
解 き 方 (定番手順)
-
特性方程式 α=pα+q を 解 い て α=1−pq を 求 め る (α は 不動点)
-
与 え ら れ た 式 か ら α=pα+q を 引 く
an+1−α=p(an−α)
-
つ ま り {an−α} は 公比p の 等比数列 に なる
-
an−α=(a1−α)pn−1 よ り
an=α+(a1−α)pn−1
例題 3
a1=2、 an+1=3an+4 の 一般項 を 求 め よ。
解:
- 特性方程式: α=3α+4 → α=−2
- an+1+2=3(an+2)
- {an+2} は 公比 3、 初項a1+2=4 の 等比数列
- an+2=4⋅3n−1 より an=4⋅3n−1−2
検算: a1=4−2=2 ✓、 a2=12−2=10、 与 え ら れ た 式 で a2=3⋅2+4=10 ✓
大事: 特性方程式 の 直感: 「漸化式 が ど こ か 1 点 で 動 か な く な る 値 (α) を 引 く と、 ピ ュ ア な 等比 に な る」。 こ の 「ずらし」 が テクニック の 核 で す。
5. 階差型an+1=an+f(n)
解 き 方
階差bn=an+1−an=f(n) が n の 式 に な る タイプ。 階差数列 の 和公式 で 解 く。
n≥2 で
an=a1+k=1∑n−1f(k)
例題 4
a1=1、 an+1=an+2n の 一般項 を 求 め よ。
解: n≥2 で
an=1+k=1∑n−12k=1+2⋅2(n−1)n=1+n(n−1)=n2−n+1
n=1 で も 1=1 ✓。 → an=n2−n+1
6. その他 の 頻出 パターン (発展)
| 形 | 解 き 方 の 概要 |
|---|
| an+1=pan+f(n) | 両辺 を pn+1 で 割 っ て bn=an/pn と 置 く |
| an+2=pan+1+qan | **[[隣接三項間 |
| 連立漸化式an+1=⋯,bn+1=⋯ | an+bn、 an−bn な ど の 和差 を 取 る |
7. まとめ
| 漸化式 の 形 | 戦略 |
|---|
| an+1=an+d | 等差 (公差d) |
| an+1=ran | 等比 (公比r) |
| an+1=pan+q (p=1) | 特性方程式 で α を 引 い て 等比化 |
| an+1=an+f(n) | 階差数列 の 和 で 復元 |
8. 例題 (総合演習)
例題 5: 等差・等比 を 区別
次 の 漸化式 を 解 け。
(1) a1=7, an+1=an−3
(2) b1=2, bn+1=21bn
解:
(1) 公差−3 の 等差数列 → an=7+(n−1)(−3)=10−3n
(2) 公比1/2 の 等比数列 → bn=2⋅(1/2)n−1=22−n
例題 6: 特性方程式 の 練習
a1=1,an+1=21an+3 の 一般項 を 求 め よ。
解:
- 特性方程式α=21α+3 → α=6
- an+1−6=21(an−6)
- {an−6} は 初項1−6=−5、 公比1/2 の 等比数列
- an−6=−5⋅(1/2)n−1 より an=6−5⋅(1/2)n−1
検算: a1=6−5=1 ✓、 a2=6−5/2=7/2、 与式 で 21⋅1+3=7/2 ✓。
例題 7: 階差型 の 練習
a1=2,an+1=an+3n の 一般項 を 求 め よ。
解: 階差3k を k=1 か ら n−1 ま で 足 す。 n≥2 で
an=2+k=1∑n−13k=2+3−13(3n−1−1)=2+23n−3=23n+1
n=1 で も (3+1)/2=2 ✓。 → an=23n+1
解 け な い とき の 戦略
漸化式 の 形 が 4 パターン の ど れ に も 一致 し な い とき は、
- 両辺 を anan+1 で 割 る → an1 を 新 し い 数列 と し て 扱う
- 両辺 の 対数 を 取 る → 積 が 和 に 変 わ る
- an+p や an/qn な ど の 置 き 換 え を 試み る
い ず れ も 「既知 の 4 パターン に 帰着 さ せ る」 の が 戦略 の 基本 で す。
次 の 章: 第 4 章 で は 数学的帰納法 を 学 び、 漸化式 で 推測 し た 一般項 が 「す べ て の n で 正 し い」 こ と を 厳密 に 証明 す る 方法 を 身 に つ け ま す。