漸うたて化か式しき — 等差とうさ型がた・等比とうひ型がた・特性とくせい方程式ほうていしき・階かい差さ型がた

この 章しょう で 学まなぶ こと

漸化式ぜんかしき と は、 「と な り 合ごう う 項こう の 関かん係けい式」 で 数列すうれつ を 定てい義ぎ す る 方法ほうほう。 一般いっぱん項こう が 直ちょく接せつ与 え ら れ な く て も、 漸うたて化か式しき か ら 一般いっぱん項こう$a_n$ を 求もとめ め る の が こ の 章しょう の 目もく標ひょう で す。

• 漸うたて化か式しき と 初しょ期き条じょう件けん の 役やく割わり を 理り解かい す る
• 等差とうさ型がた $a_{n+1}=a_n+d$ を 扱あつかう
• 等比とうひ型がた $a_{n+1}=r{a}_n$ を 扱あつかう
• $a_{n+1}=p{a}_n+q$型 を 特性方程式とくせいほうていしき で 解かい く
• 階かい差さ型がた $a_{n+1}=a_n+f\left(n\right)$ を 解かい く

ポイント: 漸うたて化か式しき は 「漸うたて化か = だ ん だ ん 化か し て い く」 の 文字もじ通どおり り、 1 ステップ ず つ 数列すうれつ を 作さく る ルール。 入試にゅうし で は 形がた を 見み て パターン に 分類ぶんるい で きる か が 鍵かぎ で す。

1. 漸うたて化か式しき と は

定義ていぎ

数列すうれつ$\left\{a_n\right\}$ に つ いて、 隣りん接せつ す る 項こう (例れい: $a_n$ と $a_{n+1}$) の 関かん係けい を 表ひょう す 式しき を 漸すすむ化か式しき と 呼こ ぶ。 通つう常じょう 初項しょこう $a_1$ も 一いっ緒しょ に 与あずか え る。

例れい: $a_1=1$、 $a_{n+1}=a_n+3$ → 1, 4, 7, 10, 13, … (公差こうさ 3 の 等差とうさ数列すうれつ)

なぜ 漸うたて化か式しき を 学まなぶ か

• 自し然ぜん現げん象しょう の 多おお く は 「前まえ の 状じょう態たい か ら 次つぎ が 決けつ ま る」 仕組くみ を 持じ つ (人口モデルじんこうモデル・利息りそく・遺伝いでん な ど)
• コンピュータ プログラム の 再帰さいき と 同どう じ 考こう え 方かた
• 一般いっぱん項こう を 直ちょく接せつ求 め に く い 数列すうれつ を 系けい統とう的 に 扱あつかえ る

2. 等差とうさ型がた$a_{n+1}=a_n+d$

差 が 一いっ定てい な の で 等差数列とうさすうれつ。 公差こうさ$d$ で

$a_n=a_1+(n-1)d$

例題れいだい 1

$a_1=5$、 $a_{n+1}=a_n+4$ の 一般いっぱん項こう を 求もとめ め よ。

解かい: 公差こうさ 4 の 等差とうさ数列すうれつ → $a_n=5+(n-1)\cdot 4=4n+1$

3. 等比とうひ型がた$a_{n+1}=r{a}_n$

比 が 一いっ定てい な の で 等比数列とうひすうれつ。 公おおやけ比ひ$r$ で

$a_n=a_1\cdot r^{n-1}$

例題れいだい 2

$a_1=3$、 $a_{n+1}=2a_n$ の 一般いっぱん項こう を 求もとめ め よ。

解かい: 公おおやけ比ひ 2 の 等比とうひ数列すうれつ → $a_n=3\cdot 2^{n-1}$

4. $a_{n+1}=p{a}_n+q$型 (特性とくせい方程式ほうていしき)

形

$p\ne 1$ の とき

$a_{n+1}=p{a}_n+q$

の 形かたち は 等比とうひ で も 等差とうさ で も な い。 こ れ を 解かい く カギ が 特性方程式とくせいほうていしき で す。

解かい き 方かた (定番ていばん手順てじゅん)

1. 特性方程式とくせいほうていしき $\alpha =p\alpha +q$ を 解かい い て $\alpha =\frac{q}{1-p}$ を 求もとめ め る ($\alpha$ は 不ふ動どう点てん)

2. 与あずか え ら れ た 式しき か ら $\alpha =p\alpha +q$ を 引 く

   $a_{n+1}-\alpha =p(a_n-\alpha )$

3. つ ま り $\{a_n-\alpha \}$ は 公おおやけ比ひ$p$ の 等比数列とうひすうれつ に なる

4. $a_n-\alpha =(a_1-\alpha )p^{n-1}$ よ り

   $a_n=\alpha +(a_1-\alpha )p^{n-1}$

例題れいだい 3

$a_1=2$、 $a_{n+1}=3a_n+4$ の 一般いっぱん項こう を 求もとめ め よ。

解かい:

1. 特性とくせい方程式ほうていしき: $\alpha =3\alpha +4$ → $\alpha =-2$
2. $a_{n+1}+2=3(a_n+2)$
3. $\{a_n+2\}$ は 公おおやけ比ひ 3、 初はつ項こう$a_1+2=4$ の 等比とうひ数列すうれつ
4. $a_n+2=4\cdot 3^{n-1}$ より $a_n=4\cdot 3^{n-1}-2$

検算けんさん: $a_1=4-2=2$ ✓、 $a_2=12-2=10$、 与あずか え ら れ た 式しき で $a_2=3\cdot 2+4=10$ ✓

大事だいじ: 特性とくせい方程式ほうていしき の 直ちょっ感かん: 「漸すすむ化か式しき が ど こ か 1 点てん で 動どう か な く な る 値ね ($\alpha$) を 引 く と、 ピ ュ ア な 等比とうひ に な る」。 こ の 「ずらし・」 が テクニック の 核かく で す。

5. 階かい差さ型がた$a_{n+1}=a_n+f\left(n\right)$

解かい き 方かた

階かい差さ$b_n=a_{n+1}-a_n=f\left(n\right)$ が $n$ の 式しき に な る タイプ。 階差数列かいさすうれつ の 和わ公式こうしき で 解かい く。

$n\ge 2$ で

$a_n=a_1+\sum k=1n-1f\left(k\right)$

例題れいだい 4

$a_1=1$、 $a_{n+1}=a_n+2n$ の 一般いっぱん項こう を 求もとめ め よ。

解かい: $n\ge 2$ で

$a_n=1+\sum k=1n-12k=1+2\cdot \frac{(n-1)n}{2}=1+n(n-1)=n^2-n+1$

$n=1$ で も $1=1$ ✓。 → $a_n=n^2-n+1$

6. その他た の 頻出ひんしゅつ パターン (発展はってん)

形かたち	解かい き 方かた の 概がい要よう
$a_{n+1}=p{a}_n+f\left(n\right)$	両りょう辺へん を $p^{n+1}$ で 割わり っ て $b_n=a_n/p^n$ と 置 く
$a_{n+2}=p{a}_{n+1}+q{a}_n$	**[[隣接三項間
連れん立りつ漸うたて化か式しき$a_{n+1}=\cdots \hspace{0.17em},b_{n+1}=\cdots$	$a_n+b_n$、 $a_n-b_n$ な ど の 和わ差さ を 取と る

7. まとめ

漸うたて化か式しき の 形かたち	戦せん略りゃく
$a_{n+1}=a_n+d$	等差とうさ (公差こうさ$d$)
$a_{n+1}=r{a}_n$	等比とうひ (公おおやけ比ひ$r$)
$a_{n+1}=p{a}_n+q$ ($p\ne 1$)	特性とくせい方程式ほうていしき で $\alpha$ を 引 い て 等比とうひ化か
$a_{n+1}=a_n+f\left(n\right)$	階かい差さ数列すうれつ の 和わ で 復ふく元げん

8. 例題れいだい (総合そうごう演習えんしゅう)

例題れいだい 5: 等差とうさ・等比とうひ を 区別くべつ

次つぎ の 漸うたて化か式しき を 解かい け。

(1) $a_1=7, a_{n+1}=a_n-3$

(2) $b_1=2, b_{n+1}=\frac{1}{2}{b}_n$

解かい:

(1) 公差こうさ$-3$ の 等差とうさ数列すうれつ → $a_n=7+(n-1)(-3)=10-3n$

(2) 公おおやけ比ひ$1/2$ の 等比とうひ数列すうれつ → $b_n=2\cdot (1/2{)}^{n-1}=2^{2-n}$

例題れいだい 6: 特性とくせい方程式ほうていしき の 練習れんしゅう

$a_1=1,a_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_n+3$ の 一般いっぱん項こう を 求もとめ め よ。

解かい:

1. 特性とくせい方程式ほうていしき$\alpha =\frac{1}{2}\alpha +3$ → $\alpha =6$
2. $a_{n+1}-6=\frac{1}{2}(a_n-6)$
3. $\{a_n-6\}$ は 初はつ項こう$1-6=-5$、 公おおやけ比ひ$1/2$ の 等比とうひ数列すうれつ
4. $a_n-6=-5\cdot (1/2{)}^{n-1}$ より $a_n=6-5\cdot (1/2{)}^{n-1}$

検算けんさん: $a_1=6-5=1$ ✓、 $a_2=6-5/2=7/2$、 与あずか式しき で $\frac{1}{2}\cdot 1+3=7/2$ ✓。

例題れいだい 7: 階かい差さ型がた の 練習れんしゅう

$a_1=2,a_{n+1}=a_n+3^n$ の 一般いっぱん項こう を 求もとめ め よ。

解かい: 階かい差さ$3^k$ を $k=1$ か ら $n-1$ ま で 足あし す。 $n\ge 2$ で

$a_n=2+\sum k=1n-13^k=2+\frac{3(3^{n-1}-1)}{3-1}=2+\frac{3^n-3}{2}=\frac{3^n+1}{2}$

$n=1$ で も $(3+1)/2=2$ ✓。 → $a_n=\frac{3^n+1}{2}$

解かい け な い とき の 戦略せんりゃく

漸うたて化か式しき の 形かたち が 4 パターン の ど れ に も 一いっ致ち し な い とき は、

• 両りょう辺へん を $a_n{a}_{n+1}$ で 割わり る → $\frac{1}{a_n}$ を 新しん し い 数列すうれつ と し て 扱あつかう
• 両りょう辺へん の 対数たいすう を 取と る → 積つむ が 和わ に 変へん わ る
• $a_n+p$ や $a_n/q^n$ な ど の 置 き 換 え を 試こころみ る

い ず れ も 「既き知ち の 4 パターン に 帰着きちゃく さ せ る」 の が 戦せん略りゃく の 基き本ほん で す。

次じ の 章しょう: 第だい 4 章しょう で は 数学的帰納法すうがくてききのうほう を 学がく び、 漸うたて化か式しき で 推すい測そく し た 一般いっぱん項こう が 「す べ て の $n$ で 正ただし し い」 こ と を 厳密みつ に 証しょう明めい す る 方法ほうほう を 身み に つ け ま す。