漸ぜん化か式しき一いち問もん一いち答とう

この一問一答で出る問題

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1. 漸化式ぜんかしき とは何なにですか？
   • ・数 列 の 和 を 表 す 式
   • ・隣接せつ す る 項 ($a_n$ と $a_{n+1}$ な ど) の 関係けい を 表 す 式
   • ・数 列 の 平均きん を 表 す 式
   • ・一 般 項 の こ と
2. 漸ぜん化か式しき$a_{n+1} = a_n + d$ ($d$ は 定てい数すう) は何なにを表あらわしていますか？
   • ・公 比 $d$ の 等 比 数 列
   • ・公 差 $d$ の 等 差 数 列
   • ・階差さ が $d$ の 二 次 数 列
   • ・初 項 が $d$ の 数 列
3. 漸ぜん化か式しき$a_{n+1} = r a_n$ ($r$ は 定てい数すう, $r \neq 0$) は何なにを表あらわしていますか？
   • ・公 比 $r$ の 等 比 数 列
   • ・公 差 $r$ の 等 差 数 列
   • ・公 比 $1/r$ の 等 比 数 列
   • ・階差さ が $r$ の 数 列
4. $a_1 = 5$、 $a_{n+1} = a_n + 4$ の一般いっぱん項こうを求もとめよ。
   • ・$a_n = 4n + 5$
   • ・$a_n = 5 \cdot 4^{n-1}$
   • ・$a_n = 4n + 1$
   • ・$a_n = 5n + 4$
5. $a_1 = 3$、 $a_{n+1} = 2 a_n$ の一般いっぱん項こうを求もとめよ。
   • ・$a_n = 2n + 1$
   • ・$a_n = 3 \cdot 2^n$
   • ・$a_n = 6n - 3$
   • ・$a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$
6. 漸ぜん化か式しき$a_{n+1} = p a_n + q$ ($p \neq 1$) を解とくのに使つかう 方程てい式 は何なにと呼よばれますか？
   • ・判別式はんべつしき $D = q^2 - 4p$
   • ・初期方程式しょきほうていしき $\alpha = a_1$
   • ・階差方程式かいさほうていしき $\alpha = a_{n+1} - a_n$
   • ・特性方程式とくせいほうていしき $\alpha = p \alpha + q$
7. $a_{n+1} = 3 a_n + 4$ の 特性とくせい方程式ほうていしき を解といた値あたい$\alpha$ はいくつですか？
   • ・$\alpha = 2$
   • ・$\alpha = -2$
   • ・$\alpha = 4$
   • ・$\alpha = -4$
8. $a_1 = 2$、 $a_{n+1} = 3 a_n + 4$ の一般いっぱん項こうを求もとめよ。
   • ・$a_n = 4 \cdot 3^{n-1} - 2$
   • ・$a_n = 3^n - 2$
   • ・$a_n = 2 \cdot 3^{n-1} + 4$
   • ・$a_n = 3^n + 2$
9. 漸ぜん化か式しき$a_{n+1} = a_n + f(n)$ ($f(n)$ は $n$ の 式しき) は 何なん型がた と呼よばれますか？
   • ・等 差 型
   • ・階差さ 型
   • ・等 比 型
   • ・隣接せつ 三 項 間 型
10. $a_1 = 1$、 $a_{n+1} = a_n + 2n$ の一般いっぱん項こうを求もとめよ。
    • ・$a_n = n^2 - n + 1$
    • ・$a_n = n^2$
    • ・$a_n = 2n - 1$
    • ・$a_n = n^2 + 1$
11. 漸ぜん化か式しき$a_1 = 7$、 $a_{n+1} = a_n - 3$ の一般いっぱん項こうを求もとめよ。
    • ・$a_n = 10 - 3n$
    • ・$a_n = 7 - 3n$
    • ・$a_n = 7 \cdot (-3)^{n-1}$
    • ・$a_n = -3n + 7$
12. $a_1 = 2$、 $a_{n+1} = \dfrac{1}{2} a_n$ の一般いっぱん項こうを求もとめよ。
    • ・$a_n = 2 \cdot (1/2)^n$
    • ・$a_n = 2 - \dfrac{n}{2}$
    • ・$a_n = 2 \cdot (1/2)^{n-1} = 2^{2-n}$
    • ・$a_n = 2^n$
13. $a_1 = 1, a_{n+1} = \dfrac{1}{2} a_n + 3$ の特性とくせい方程式ほうていしき$\alpha = \dfrac{1}{2}\alpha + 3$ を解とくと $\alpha$ はいくつですか？
    • ・$\alpha = 6$
    • ・$\alpha = 3$
    • ・$\alpha = 2$
    • ・$\alpha = -6$
14. 漸ぜん化か式しき$a_1$、 $a_{n+1} = pa_n + q$ ($p \neq 1$) を解とくとき、 特性とくせい方程式ほうていしき$\alpha = p\alpha + q$ で求もとめた $\alpha$ を 「$a_n$ から引ひいた数列すうれつ」 $\{a_n - \alpha\}$ は何なにになりますか？
    • ・公 差 $q$ の 等 差 数 列
    • ・公 比 $q$ の 等 比 数 列
    • ・公 比 $p$ の 等 比 数 列
    • ・公 差 $\alpha$ の 等 差 数 列
15. 数列すうれつ$a_1 = 1, a_2 = 3, a_3 = 7, a_4 = 15, \ldots$ が 「$a_{n+1} = 2a_n + 1$」 を満みたしているか確かく認にん せよ。 $n = 3$ のとき右辺うへんはいくつですか？
    • ・$15$
    • ・$13$
    • ・$14$
    • ・$31$
16. $a_{n+1} = 4 a_n - 6$ の一般いっぱん項こうを求もとめるため、 特性とくせい方程式ほうていしき$\alpha = 4\alpha - 6$ を解とくと $\alpha$ はいくつですか？
    • ・$\alpha = -2$
    • ・$\alpha = 6$
    • ・$\alpha = 3$
    • ・$\alpha = 2$
17. 漸ぜん化か式しき$a_{n+2} = p a_{n+1} + q a_n$ のように 3 つの項こう を関かん係けい づけるものを何なんと呼よびますか？
    • ・隣接三項間りんせつさんこうかん 漸 化 式
    • ・隣接二項間りんせつにこうかん 漸 化 式
    • ・階差三項かいささんこう 漸 化 式
    • ・三次関数さんじかんすう 漸 化 式
18. 漸ぜん化か式しきとセットで必かならず与あたえられる 「最初さいしょの項こうの値あたい」 を何なんと呼よびますか？
    • ・一般項いっぱんこう
    • ・末項すえこう
    • ・公差こうさ
    • ・初項しょこう (= 初期条件しょきじょうけん)
19. $a_1 = 2$、 $a_{n+1} = a_n + 3^n$ の一般いっぱん項こうを求もとめよ。
    • ・$a_n = 3^n - 1$
    • ・$a_n = 3^n$
    • ・$a_n = \dfrac{3^n + 1}{2}$
    • ・$a_n = \dfrac{3^{n+1} + 1}{2}$
20. 次つぎの漸ぜん化か式しきを 「等差とうさ型がた・等比とうひ型がた・$pa_n+q$型・階かい差さ型がた」 に分類ぶんるいしたとき、 $a_{n+1} = 5a_n - 2$ はどれに入はいりますか？
    • ・等 差 型
    • ・等 比 型
    • ・$a_{n+1} = pa_n + q$ 型 (特性方程式とくせいほうていしき で 解 く)
    • ・階差さ 型