図形ずけいと方程式ほうていしき

この章しょうで学まなぶこと

数学すうがく I の二に次じ関数かんすうで 「式しきをグラフで見みる」 ことを学まなびました。 この章しょうでは逆ぎゃくに 「図形ずけいを式しきで表あらわす」 力ちからを身みにつけます。 道具どうぐは 座標平面ざひょうへいめん だけ。 古代こだいギリシア以来いらいの図形ずけいを、 17 世紀せいきのデカルトが始はじめた 「解析幾何かいせききか」 の手法しゅほうであつかいます。

• 2点間の距離にてんかんのきょり ・ 内分点ないぶんてん ・ 外分点がいぶんてん の公式こうしきを使つかえる
• 直線の方程式ちょくせんのほうていしき の三みっつの形かたちを場面ばめんで使つかい分わけられる
• 二に直線ちょくせんの 平行へいこう ・ 垂直すいちょく の条件じょうけんを理解りかいする
• 円の方程式えんのほうていしき $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ と一般いっぱん形がたを行いき来きできる
• 点と直線の距離てんとちょくせんのきょり の公式こうしきを使つかえる
• 円えんと直線ちょくせんの共有きょうゆう点てん (位置いち関係かんけい) を判別式はんべつしきで判定はんていできる

1. 平面へいめん上じょうの点てん

2点てん間かんの距離きょり

$A(x_1,y_1)$、 $B(x_2,y_2)$ に対たいし、

$AB=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

(三さん平方へいほうの定理ていりから)。

内分ないぶん点てん ・ 外そと分ぶん点てん

線分せんぶん$AB$ を $m:n$ に 内分ないぶん する点$P$ は、

$P(\frac{n{x}_1+m{x}_2}{m+n},\hspace{0.25em} \frac{n{y}_1+m{y}_2}{m+n})$

外そと分ぶんのときは上うえの公式こうしきで $n$ を $-n$ に置き換えおきかえます。 中点ちゅうてん ($m=n=1$) は $(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。

例題れいだい

$A(1,2)$、 $B(7,5)$ について、

求もとめる	結果けっか
$AB$ の長ながさ	$\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$
中点ちゅうてん	$(4,3.5)$
$1:2$ に内分ないぶんする点てん	$(\frac{2+7}{3},\frac{4+5}{3})=(3,3)$

2. 直線ちょくせんの方程式ほうていしき

三みっつの表あらわし方かた

場面ばめん	形かたち
傾きかたむき $m$、 $y$切片せっぺん$n$	$y=mx+n$
点$(x_0,y_0)$ を通とおり傾きかたむき $m$	$y-y_0=m(x-x_0)$
一般いっぱん形がた	$ax+by+c=0$ ($a,b$ のどちらか $\ne 0$)

一般いっぱん形がた$ax+by+c=0$ で $b\ne 0$ なら、 $y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$ と変形へんけいでき、 傾きかたむきは $-\frac{a}{b}$、 $y$切片せっぺんは $-\frac{c}{b}$。 $b=0$ のときは $x=-\frac{c}{a}$ で $y$軸に平行へいこうな直線ちょくせん (傾きかたむきは定義ていぎされない)。

異ことなる二に点てん$(x_1,y_1)$、 $(x_2,y_2)$ ($x_1\ne x_2$) を通とおる直線ちょくせんの傾きかたむきは $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$。

平行へいこうと垂直すいちょく

二に直線ちょくせん$y=m_{1}x+n_1$、 $y=m_{2}x+n_2$ について、

• 平行へいこう: $m_1=m_2$ ($n_1\ne n_2$、 $n_1=n_2$ なら一致いっち)
• 垂直すいちょく: $m_1\cdot m_2=-1$

例題れいだい

$A(2,3)$ を通とおり、 $y=2x+1$ に 垂直すいちょく な直線ちょくせんを求もとめよ。

垂直条件すいちょくじょうけんから傾きかたむき $m=-\frac{1}{2}$。 点てん通過つうか形がたに代入だいにゅうして、

$y-3=-\frac{1}{2}(x-2)\Rightarrow y=-\frac{1}{2}x+4$

やってみよう: $A(1,1)$、 $B(4,7)$ を通とおる直線ちょくせんの方程式ほうていしきを求もとめよ。 (答えこたえ: $y=2x-1$)

3. 点てんと直線ちょくせんの距離きょり

公式こうしき

直線ちょくせん$\ell :ax+by+c=0$ と点$P(x_0,y_0)$ の距離きょりは、

$d=\frac{\mid a{x}_0+b{y}_0+c\mid }{\sqrt{a^2+b^2}}$

絶対ぜったい値ちを忘わすれないこと、 分母ぶんぼが $\sqrt{a^2+b^2}$ ($a$、 $b$ の平方和へいほうわの平方根へいほうこん) になることが大事だいじです。

例題れいだい

$3x-4y+5=0$ と点$(2,1)$ の距離きょり: $\frac{\mid 6-4+5\mid }{\sqrt{9+16}}=\frac{7}{5}$。

4. 円えんの方程式ほうていしき

標準ひょうじゅん形がた

中心ちゅうしん$(a,b)$、 半径はんけい$r$ の円えんの方程式ほうていしきは、

$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$

(2 点てん間かんの距離きょり = $r$ から直接ちょくせつ出でる)。

一般いっぱん形がた

展開てんかいすると $x^2+y^2+lx+my+n=0$ の形かたちになり、 これを 一般いっぱん形がた といいます。 平方へいほう完成かんせいで標準ひょうじゅん形がたに戻もどして中心ちゅうしんと半径はんけいを読よみ取とります。

例題れいだい

$x^2+y^2-4x+6y-12=0$ の中心ちゅうしんと半径はんけいを求もとめよ。

$x^2-4x=(x-2{)}^2-4$、 $y^2+6y=(y+3{)}^2-9$。 よって、

$(x-2{)}^2+(y+3{)}^2-4-9-12=0\Rightarrow (x-2{)}^2+(y+3{)}^2=25$

中心ちゅうしん$(2,-3)$、 半径はんけい$5$。

5. 円えんと直線ちょくせんの位置いち関係かんけい

三みっつの場合ばあい

中心ちゅうしん$C$ と直線ちょくせん$\ell$ の距離きょりを $d$、 円えんの半径はんけいを $r$ とすると、

位置いち関係かんけい	条件じょうけん
異ことなる 2 点てんで交まじわる
接せっする (1 点てんで共有きょうゆう)	$d=r$
共有きょうゆう点てんをもたない	$d>r$

判別はんべつ式しきを使つかう方法ほうほう

直線ちょくせんと円えんの連立れんりつを解といて二に次じ方程式ほうていしきに帰着きちゃくし、 判別はんべつ式しき$D$ で判定はんていする方法ほうほうもあります。 $D>0$ なら 2 共有きょうゆう点てん、 $D=0$ なら接せっする、 なら共有きょうゆう点てんなし。

例題れいだい

円$x^2+y^2=25$ と直線ちょくせん$y=x+1$ の共有きょうゆう点てんの個数こすう。

中心ちゅうしん$(0,0)$ と直線ちょくせん$x-y+1=0$ の距離きょりは 。 よって 2 点てんで交まじわる。

やってみよう: 円$x^2+y^2=4$ に接せっする、 傾きかたむき $1$ の直線ちょくせんの方程式ほうていしきを求もとめよ。 (答えこたえ: $y=x\pm 2\sqrt{2}$)

6. 三角形さんかくけいの重心じゅうしん ・ 外心がいしん ・ 二に円えんの関係かんけい

三角形さんかくけいの重心じゅうしんの座標ざひょう

三角形さんかくけいの三さん頂点ちょうてんを $A(x_1,y_1)$、 $B(x_2,y_2)$、 $C(x_3,y_3)$ とすると、 重心じゅうしん $G$ の座標ざひょうは三さん頂点ちょうてんの平均へいきんで表あらわせます。

$G(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\hspace{0.25em} \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$

これは中ちゅう線せんが 2:1 に内分ないぶんされることから出でます。

例題れいだい

三さん頂点ちょうてん$A(1,2)$、 $B(7,4)$、 $C(4,9)$ の三角形さんかくけいの重心じゅうしんは $(\frac{12}{3},\frac{15}{3})=(4,5)$。

二に円えんの位置いち関係かんけい

二に円えん$C_1$ (中心ちゅうしん$O_1$、 半径はんけい$r_1$) と $C_2$ (中心ちゅうしん$O_2$、 半径はんけい$r_2$) について、 中心ちゅうしん間かん距離きょり$d=O_1{O}_2$ と半径はんけいの関係かんけいで五ご通とおりの状態じょうたいがあります ($r_1\ge r_2$ として)。

関係かんけい	条件じょうけん
互たがいに外部がいぶ	$d>r_1+r_2$
外接がいせつ	$d=r_1+r_2$
2 点てんで交まじわる	$lvert r_1 - r_2
vert < d < r_1 + r_2$
内接ないせつ	$d = lvert r_1 - r_2
vert$
一方いっぽうが他方たほうの内部ないぶ	$d < lvert r_1 - r_2
vert$

やってみよう: 中心ちゅうしん$(0,0)$ ・ 半径はんけい$5$ の円えんと、 中心ちゅうしん$(7,0)$ ・ 半径はんけい$2$ の円えんの位置いち関係かんけいは? ($d=7$、 $r_1+r_2=7$ ⇒ 外接がいせつ)

まとめ

• 2点間の距離にてんかんのきょり は三さん平方へいほうの定理ていりから、 内分点ないぶんてん は重みおもみ付つき平均へいきんで求もとまる
• 直線ちょくせんは 「傾きかたむき切片せっぺん形がた」 「点てん通過つうか形がた」 「一般いっぱん形がた」 の三みっつで表あらわせる
• 平行へいこう $m_1=m_2$、 垂直すいちょく $m_1{m}_2=-1$
• 円えんは (中心ちゅうしんからの距離きょり) = 半径はんけい で定義ていぎされ、 標準ひょうじゅん形がたと一般いっぱん形がたを行いき来きする
• 点と直線の距離てんとちょくせんのきょり $d=\frac{\mid a{x}_0+b{y}_0+c\mid }{\sqrt{a^2+b^2}}$ は必かならず暗記あんき
• 円えんと直線ちょくせんの関係かんけいは $d$ と $r$ の比較ひかくで判定はんてい

次じの章しょう: 第だい 4 章しょうでは 不等式ふとうしきの領域りょういき を学まなびます。 直線ちょくせん ・ 円えんで平面へいめんを領域りょういきに分わけ、 連立れんりつ不等式ふとうしきが表あらわす範囲はんいを図示ずしし、 そこでの最大さいだい ・ 最小さいしょうを求もとめます。