図形づけいと方程式ほうていしき

この 章しょう で 学まなぶ こと

数学すうがく I の 二に次じ関数かんすう で 「式しき を グラフ で 見みる」 こと を 学まなび ました。 この 章しょう で は 逆ぎゃく に 「図形づけい を 式しき で 表あらわす」 力ちから を 身み に つけ ます。 道具どうぐ は 座標平面ざひょうへいめん だけ。 古代こだい ギリシア 以来いらい の 図形づけい を、 17 世紀せいき の デカルト が 始はじめた 「解析幾何かいせききか」 の 手法しゅほう で あつかい ます。

• 2点間の距離2てんかんのきょり ・ 内分点ないぶんてん ・ 外分点がいぶんてん の 公式こうしき を 使つかえる
• 直線の方程式ちょくせんのほうていしき の 三さん つ の 形かたち を 場面ばめん で 使つかい分わけられる
• 二に直線ちょくせん の 平行へいこう ・ 垂直すいちょく の 条件じょうけん を 理解りかい する
• 円の方程式えんのほうていしき $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ と 一般いっぱん形がた を 行いき来き できる
• 点と直線の距離てんとちょくせんのきょり の 公式こうしき を 使つかえる
• 円えん と 直線ちょくせん の 共有きょうゆう点てん (位置いち関係かんけい) を 判別はんべつ式しき で 判定はんてい できる

1. 平面へいめん上じょう の 点てん

2点てん間かん の 距離きょり

$A(x_1,y_1)$、 $B(x_2,y_2)$ に 対たいし、

$AB=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

(三さん平方へいほう の 定理ていり から)。

内分ないぶん点てん ・ 外そと分ぶん点てん

線分せんぶん$AB$ を $m:n$ に 内分ないぶん する 点$P$ は、

$P(\frac{n{x}_1+m{x}_2}{m+n},\hspace{0.25em} \frac{n{y}_1+m{y}_2}{m+n})$

外そと分ぶん の とき は 上うえ の 公式こうしき で $n$ を $-n$ に 置おき換かえ ます。 中点ちゅうてん ($m=n=1$) は $(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。

例題れいだい

$A(1,2)$、 $B(7,5)$ について、

求もとめる	結果けっか
$AB$ の 長ながさ	$\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$
中点ちゅうてん	$(4,3.5)$
$1:2$ に 内分ないぶん する 点てん	$(\frac{2+7}{3},\frac{4+5}{3})=(3,3)$

2. 直線ちょくせん の 方程式ほうていしき

三みっつ の 表あらわし 方かた

場面ばめん	形かたち
傾かたむき $m$、 $y$切片せっぺん$n$	$y=mx+n$
点$(x_0,y_0)$ を 通とおり 傾かたむき $m$	$y-y_0=m(x-x_0)$
一般いっぱん形がた	$ax+by+c=0$ ($a,b$ の どちら か $\ne 0$)

一般いっぱん形がた$ax+by+c=0$ で $b\ne 0$ な ら、 $y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$ と 変形へんけい で き、 傾きかたむき は $-\frac{a}{b}$、 $y$切片せっぺん は $-\frac{c}{b}$。 $b=0$ の と き は $x=-\frac{c}{a}$ で $y$軸 に 平行へいこう な 直線ちょくせん (傾 き は 定義ていぎ さ れ な い)。

異こと な る 二に点てん$(x_1,y_1)$、 $(x_2,y_2)$ ($x_1\ne x_2$) を 通とおる 直線ちょくせん の 傾かたむき は $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$。

平行へいこう と 垂直すいちょく

二に直線ちょくせん$y=m_{1}x+n_1$、 $y=m_{2}x+n_2$ について、

• 平行へいこう: $m_1=m_2$ ($n_1\ne n_2$、 $n_1=n_2$ なら 一致いっち)
• 垂直すいちょく: $m_1\cdot m_2=-1$

例題れいだい

$A(2,3)$ を 通とおり、 $y=2x+1$ に 垂直すいちょく な 直線ちょくせん を 求もとめよ。

垂直すいちょく条件じょうけん から 傾かたむき $m=-\frac{1}{2}$。 点てん通過つうか形がた に 代入だいにゅう して、

$y-3=-\frac{1}{2}(x-2)\Rightarrow y=-\frac{1}{2}x+4$

やって みよう: $A(1,1)$、 $B(4,7)$ を 通とおる 直線ちょくせん の 方程式ほうていしき を 求もとめよ。 (答こたえ: $y=2x-1$)

3. 点てん と 直線ちょくせん の 距離きょり

公式こうしき

直線ちょくせん$\ell :ax+by+c=0$ と 点$P(x_0,y_0)$ の 距離きょり は、

$d=\frac{\mid a{x}_0+b{y}_0+c\mid }{\sqrt{a^2+b^2}}$

絶対ぜったい値ち を 忘わすれない こと、 分母ぶんぼ が $\sqrt{a^2+b^2}$ ($a$、 $b$ の 平方和へいほうわ の 平方根へいほうこん) に なる こと が 大事だいじ です。

例題れいだい

$3x-4y+5=0$ と 点$(2,1)$ の 距離きょり: $\frac{\mid 6-4+5\mid }{\sqrt{9+16}}=\frac{7}{5}$。

4. 円えん の 方程式ほうていしき

標準ひょうじゅん形がた

中心ちゅうしん$(a,b)$、 半径はんけい$r$ の 円えん の 方程式ほうていしき は、

$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$

(2 点てん間かん の 距離きょり = $r$ から 直接ちょくせつ出でる)。

一般いっぱん形がた

展開てんかい する と $x^2+y^2+lx+my+n=0$ の 形かたち に なり、 これ を 一般いっぱん形がた と いい ます。 平方へいほう完成かんせい で 標準ひょうじゅん形がた に 戻もどし て 中心ちゅうしん と 半径はんけい を 読よみ取とり ます。

例題れいだい

$x^2+y^2-4x+6y-12=0$ の 中心ちゅうしん と 半径はんけい を 求もとめよ。

$x^2-4x=(x-2{)}^2-4$、 $y^2+6y=(y+3{)}^2-9$。 よって、

$(x-2{)}^2+(y+3{)}^2-4-9-12=0\Rightarrow (x-2{)}^2+(y+3{)}^2=25$

中心ちゅうしん$(2,-3)$、 半径はんけい$5$。

5. 円えん と 直線ちょくせん の 位置いち関係かんけい

三さん つ の 場合ばあい

中心ちゅうしん$C$ と 直線ちょくせん$\ell$ の 距離きょり を $d$、 円えん の 半径はんけい を $r$ と する と、

位置いち関係かんけい	条件じょうけん
異こと な る 2 点てん で 交まじわる
[接	せっ]する (1 [点
[共有	きょうゆう][点

判別はんべつ式しき を 使つかう 方法ほうほう

直線ちょくせん と 円えん の 連立れんりつ を 解とい て 二に次じ方程式ほうていしき に 帰着きちゃく し、 判別はんべつ式しき$D$ で 判定はんてい する 方法ほうほう も あり ます。 $D>0$ なら 2 共有きょうゆう点てん、 $D=0$ なら 接せっする、 なら 共有きょうゆう点てん なし。

例題れいだい

円$x^2+y^2=25$ と 直線ちょくせん$y=x+1$ の 共有きょうゆう点てん の 個数こすう。

中心ちゅうしん$(0,0)$ と 直線ちょくせん$x-y+1=0$ の 距離きょり は 。 よって 2 点てん で 交まじわる。

やって みよう: 円$x^2+y^2=4$ に 接せっする、 傾かたむき $1$ の 直線ちょくせん の 方程式ほうていしき を 求もとめよ。 (答こたえ: $y=x\pm 2\sqrt{2}$)

6. 三角形さんかっけい の 重心じゅうしん ・ 外そと心しん ・ 二に円えんの関係かんけい

三角形さんかっけい の 重心じゅうしん の 座標ざひょう

三角形さんかっけい の 三さん頂点ちょうてん を $A(x_1,y_1)$、 $B(x_2,y_2)$、 $C(x_3,y_3)$ と す る と、 重心じゅうしん$G$ の 座標ざひょう は 三さん頂点ちょうてん の 平均へいきん で 表あらわせ ま す。

$G(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\hspace{0.25em} \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$

これ は 中ちゅう線せん が 2:1 に 内分ないぶん さ れ る こと か ら 出で ま す。

例題れいだい

三さん頂点ちょうてん$A(1,2)$、 $B(7,4)$、 $C(4,9)$ の 三角形さんかっけい の 重心じゅうしん は $(\frac{12}{3},\frac{15}{3})=(4,5)$。

二に円えん の 位置いち関係かんけい

二に円えん$C_1$ (中心ちゅうしん$O_1$、 半径はんけい$r_1$) と $C_2$ (中心ちゅうしん$O_2$、 半径はんけい$r_2$) について、 中心ちゅうしん間かん距離きょり$d=O_1{O}_2$ と 半径はんけい の 関係かんけい で 五ご通とおり の 状態じょうたい が あ り ま す ($r_1\ge r_2$ と し て)。

関係かんけい	条件じょうけん
互 い に 外部がいぶ	$d>r_1+r_2$
外接がいせつ	$d=r_1+r_2$
2 点てん で 交 わ る	$lvert r_1 - r_2
vert < d < r_1 + r_2$
[内接	ないせつ]
vert$
[一方	いっぽう] が [他方
vert$

やって みよう: 中心ちゅうしん$(0,0)$ ・ 半径はんけい$5$ の 円えん と、 中心ちゅうしん$(7,0)$ ・ 半径はんけい$2$ の 円えん の 位置いち関係かんけい は? ($d=7$、 $r_1+r_2=7$ ⇒ 外接がいせつ)

まとめ

• 2点間の距離2てんかんのきょり は 三さん平方へいほう の 定理ていり から、 内分点ないぶんてん は 重おもみ 付つき 平均へいきん で 求もとまる
• 直線ちょくせん は 「傾かたむき 切片せっぺん形がた」 「点てん通過つうか形がた」 「一般いっぱん形がた」 の 三さん つ で 表あらわせる
• 平行へいこう $m_1=m_2$、 垂直すいちょく $m_1{m}_2=-1$
• 円えん は (中心ちゅうしん から の 距離きょり) = 半径はんけい で 定義ていぎ さ れ、 標準ひょうじゅん形がた と 一般いっぱん形がた を 行いき来き する
• 点と直線の距離てんとちょくせんのきょり $d=\frac{\mid a{x}_0+b{y}_0+c\mid }{\sqrt{a^2+b^2}}$ は 必かならず 暗記あんき
• 円えん と 直線ちょくせん の 関係かんけい は $d$ と $r$ の 比較ひかく で 判定はんてい

次じの 章しょう: 第だい 4 章しょう で は 不等式ふとうしき の 領域りょういき を 学まなび ます。 直線ちょくせん ・ 円えん で 平面へいめん を 領域りょういき に 分わけ、 連立れんりつ不等式ふとうしき が 表あらわす 範囲はんい を 図示ずし し、 そ こ で の 最大さいだい ・ 最小さいしょう を 求もとめ ます。