三角さんかく関数かんすう — 一般いっぱん角かく・弧こ度ど法ほう・加法かほう定理ていりと周期しゅうき関数かんすう

この 章しょう で 学まなぶ こと

数学すうがく I で 学まなんだ 三角さんかく比ひ ($\sin \theta$、 $\cos \theta$、 $\tan \theta$、 $0°\le \theta \le 180°$) を、 この 章しょう で すべて の 角かく () に 拡張かくちょう し ます。 これ で 三角さんかく比ひ が 「周期しゅうき を も つ 関数かんすう」 に なり、 波なみ ・ 振動しんどう ・ 円運動えんうんどう を あつかえる よう に なり ます。

• 一般角いっぱんかく ($0°$未満みまん や $360°$以上いじょう) を 理解りかい する
• 弧度法こどほう (ラジアン) を 使つかう ($\pi$ ラジアン $=180°$)
• 単位たんい円えん で $\sin ,\cos ,\tan$ を 定義ていぎ する
• 三角さんかく関数かんすう の グラフ と 周期しゅうき ($2\pi$、 $\pi$) を 知しる
• 加法定理かほうていり と 2倍角の公式2ばいかくのこうしき ・ 半角の公式はんかくのこうしき を 使つかえる
• 三角さんかく関数かんすう の 方程式ほうていしき ・ 不等式ふとうしき を 解とける

1. 一般いっぱん角かく と 弧こ度ど法ほう

一般いっぱん角かく

座標ざひょう平面へいめん で、 $x$軸 の 正せい方向ほうこう を 始はじめ線せん と し、 反はん時計とけい回まわり を 正せい の 向むき、 時計とけい回まわり を 負まけ の 向むき と し ます。 360° 以上いじょう や 負まけ の 角かく も 認みとめ た 角かく を 一般角いっぱんかく と いい ます。

例れい: $30°$、 $390°=30°+360°$、 $-330°=30°-360°$ は 同おなじ 動どう径 を 表あらわす。

弧こ度ど法ほう (ラジアン)

半径はんけい$1$ の 円えん に お い て、 弧こ の 長ちょう さ を そのまま 角かく の 大おおき さ と 定さだめる 方法ほうほう を 弧度法こどほう と いい ます。 単位たんい は ラジアン ($rad$、 通常つうじょう省略しょうりゃく)。

$\pi \hspace{0.25em} ラジアン=180°$

| 度ど | $0°$ | $30°$ | $45°$ | $60°$ | $90°$ | $180°$ | $270°$ | $360°$ | |---|---|---|---|---|---|---|---|---| | ラジアン | $0$ | $\frac{\pi }{6}$ | $\frac{\pi }{4}$ | $\frac{\pi }{3}$ | $\frac{\pi }{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi }{2}$ | $2\pi$ |

弧こ と 扇形せんけい

半径はんけい$r$、 中心ちゅうしん角かく$\theta$ (ラジアン) の 扇形せんけい について、

• 弧こ の 長ちょう さ: $\ell =r\theta$
• 面積めんせき: $S=\frac{1}{2}{r}^2\theta =\frac{1}{2}r\ell$

やって みよう: 半径はんけい$4$、 中心ちゅうしん角かく$\frac{\pi }{3}$ の 扇形せんけい の 面積めんせき を 求もとめよ。 (答こたえ: $\frac{1}{2}\cdot 16\cdot \frac{\pi }{3}=\frac{8\pi }{3}$)

2. 三角さんかく関数かんすう の 定義ていぎ と グラフ

単位たんい円えん で の 定義ていぎ

座標ざひょう平面へいめん上じょう の 単位たんい円えん ($x^2+y^2=1$) を 考かんがえ ます。 始はじめ線せん から 角$\theta$ だけ 回転かいてん した 動どう径 と 単位たんい円えん の 交点こうてん を $P(x,y)$ と し ます。

$\cos \theta =x,\sin \theta =y,\tan \theta =\frac{y}{x}=\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$

これ で 任意にんい の $\theta$ に つ い て 値ね が 定さだまり ます。

基本きほん的てき な 性質せいしつ

• ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$
• $\sin (-\theta )=-\sin \theta$、 $\cos (-\theta )=\cos \theta$
• $\sin (\theta +2\pi )=\sin \theta$、 $\cos (\theta +2\pi )=\cos \theta$ (周期しゅうき$2\pi$)
• $\tan (\theta +\pi )=\tan \theta$ (周期しゅうき$\pi$)

グラフ

関数かんすう	定義ていぎ域いき	値域ちいき	周期しゅうき
$y=\sin \theta$	全ぜん実数じっすう	$[-1,1]$	$2\pi$
$y=\cos \theta$	全ぜん実数じっすう	$[-1,1]$	$2\pi$
$y=\tan \theta$	$\theta \ne \frac{\pi }{2}+n\pi$	全ぜん実数じっすう	$\pi$

$\sin$ は 原点げんてん を 通とおる $S$字じ波は、 $\cos$ は $\sin$ を 左ひだり に $\frac{\pi }{2}$ ずらした 形かたち で す。

3. 三角さんかく関数かんすう の 方程式ほうていしき と 不等式ふとうしき

例題れいだい

で、 $\sin \theta =\frac{1}{2}$ を 解とけ。

単位たんい円えん で $y=\frac{1}{2}$ と なる 動どう径 は $\theta =\frac{\pi }{6}$ (第だい 1 象限しょうげん)、 $\theta =\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$ (第だい 2 象限しょうげん)。

やって みよう: で $\cos \theta =-\frac{1}{2}$ を 解とけ。 (答こたえ: $\theta =\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}$)

4. 加法かほう定理ていり

加法かほう定理ていり

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$ $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$ $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }(1-\tan \alpha \tan \beta \ne 0)$

(tan の 公式こうしき は $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos (\alpha +\beta )$ が す べ て 0 で な い 前提ぜんてい)

差さ の 公式こうしき は $\beta$ を $-\beta$ に 替かえる だけ で 出で ます。 三角さんかく関数かんすう の 最さい重要じゅうよう道具どうぐ です。

例題れいだい

$\sin 75°$ を 求もとめよ。

$\sin 75°=\sin (45°+30°)=\sin 45°\cos 30°+\cos 45°\sin 30°$ $=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

2 倍角ばいかく の 公式こうしき

$\beta =\alpha$ と お い て、

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$ $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$

半角はんかく の 公式こうしき

$\cos 2\alpha$ の 三さん つ の 表現ひょうげん を 解とい て、

${\sin }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{2},{\cos }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1+\cos \alpha }{2}$

数学すうがく III で 三角さんかく関数かんすう の 積分せきぶん (${\sin }^{2}x$、 ${\cos }^{2}x$ の 積分せきぶん) を 学がく ぶ と き、 こ の 半角はんかく公式こうしき で 次数じすう を 下した げ て か ら 積分せきぶん す る の が 定番ていばん で す。

三角さんかく関数かんすう の 合成ごうせい

$a\sin \theta +b\cos \theta =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\alpha )$ と 一いち つ の $\sin$ に まとめられ ます。 ここで $\alpha$ は $\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$、 $\sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ を 満みたす 角かく (この 2 条件じょうけん で 一意いちい に 決きまる)。 注意ちゅうい: $\tan \alpha =b/a$ だけ で は 4 通とおり 候補こうほ が あ り 一意いちい に は 決きまら な い ($\sin ,\cos$ の 符号ふごう で 確定かくてい す る)。 最大さいだい ・ 最小さいしょう を 求もとめる の に 便利べんり。

5. 三角さんかく関数かんすう の 最大さいだい ・ 最小さいしょう

合成ごうせい を 使つかう

$y=\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta$ の 最大さいだい ・ 最小さいしょう を 求もとめよ。

合成ごうせい し て $y=2\sin (\theta +\frac{\pi }{3})$。 $\sin$ の 値域ちいき は $[-1,1]$ な の で、 $y$ の 最大さいだい$2$、 最小さいしょう$-2$。

置 き 換 え に よ る 二に次じ関数かんすう化か

$\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta$ や $t=\sin \theta$ ($-1\le t\le 1$) と 置 い て 二に次じ関数かんすう の 問題もんだい に 帰着きちゃく さ せ る 手法しゅほう が 標準ひょうじゅん。

例題れいだい

$y=\cos 2\theta -4\sin \theta$ () の 最大さいだい ・ 最小さいしょう を 求もとめよ。

$\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta$ な の で、 $t=\sin \theta$ ($-1\le t\le 1$) と 置 く と、

$y=(1-2t^2)-4t=-2t^2-4t+1=-2(t+1{)}^2+3$

$t=-1$ で 最大さいだい$3$ (こ の とき $\sin \theta =-1$ ⇒ $\theta =\frac{3\pi }{2}$)、 $t=1$ で 最小さいしょう$-5$ ($\theta =\frac{\pi }{2}$)。

大事だいじ: $t=\sin \theta$ や $t=\cos \theta$ と 置 い た 時とき、 $t$ の 動どう く 範囲はんい ($-1\le t\le 1$) を 必かならず 確認かくにん す る。 二に次じ関数かんすう の 軸じく が 範囲はんい外がい に あ る 場合ばあい は 端点たんてん で 最大さいだい ・ 最小さいしょう が 起おこる。

まとめ

• 三角さんかく比ひ を 一般角いっぱんかく ・ 弧度法こどほう で 拡張かくちょう、 周期しゅうき性せい を も つ 三さん角かく関数かんすう に なる
• $\sin ,\cos$ は 周期しゅうき$2\pi$、 $\tan$ は 周期しゅうき$\pi$、 ${\sin }^2+{\cos }^2=1$
• 加法定理かほうていり から 2倍角の公式2ばいかくのこうしき ・ 半角の公式はんかくのこうしき ・ 合成ごうせい が 全部ぜんぶ出でる
• 単位たんい円えん を 描えがい て 角かく を 図示ずし すれ ば 方程式ほうていしき ・ 不等式ふとうしき が 視覚しかく的てき に 解とける
• 振動しんどう ・ 波動はどう ・ 交流こうりゅう など 自然しぜん ・ 工学こうがく の 「周期しゅうき現象げんしょう」 を 表あらわす 必須ひっす の 関数かんすう

次じの 章しょう: 第だい 6 章しょう で は 指数関数しすうかんすう と 対数関数たいすうかんすう に 進すすみ ます。 三角さんかく関数かんすう と 並ならぶ 重要じゅうよう関数かんすう で、 増殖ぞうしょく ・ 減衰げんすい ・ 桁けた数すう ・ 音おと の 高こう さ など を 表あらわし ます。