微分びぶんの基本きほん

この 章しょう で 学まなぶ こと

数学すうがく II の 後半こうはん の 主役しゅやく 「微分びぶん」 に 入いり ます。 微分びぶん は 17 世紀せいき に ニュートン と ライプニッツ が 独立どくりつ に 発見はっけん した、 「変化へんか の 速はや さ」 を 関数かんすう と し て 取とり出だす 道具どうぐ で す。 物理ぶつり (速度そくど ・ 加速度かそくど)、 経済けいざい (限界げんかい利益りえき)、 工学こうがく (最適さいてき化か) で 必須ひっす の 概念がいねん。

• 関数かんすう の 極限きょくげん ${\lim }_{x\to a}f\left(x\right)$ の 意味いみ を 理解りかい する
• 平均へいきん変化へんか率りつ と 微分係数びぶんけいすう $f^{\prime }\left(a\right)$ の 違ちがい を 説明せつめい できる
• 導関数しるべかんすう $f^{\prime }\left(x\right)$ の 定義ていぎ と 公式こうしき を 使つかえる
• $f\left(x\right)=x^n$ の 微分びぶん公式こうしき ($f^{\prime }\left(x\right)=n{x}^{n-1}$) を 使つかえる
• 関数かんすう の 接線せっせん ・ 法線ほうせん の 方程式ほうていしき を 求もとめられる

1. 関数かんすう の 極限きょくげん

極限きょくげん と は

$x$ が $a$ に 限かぎり なく 近ちかづく とき、 $f\left(x\right)$ が 限かぎり なく 一いち つ の 値$\alpha$ に 近ちかづく こと を、

${\lim }_{x\to a}f\left(x\right)=\alpha$

と 書かき ます ($f\left(x\right)$ は $a$ で 値ね を も たな く て も よい)。

例題れいだい

極限きょくげん	値ね
$\lim x\to 2(x^2+1)$	$5$ (代入だいにゅう で OK)
$\lim x\to 1\frac{x^2-1}{x-1}$	約分やくぶん: $\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$、 値$2$
$\lim x\to 0\frac{(x+3{)}^2-9}{x}$	展開てんかい: $\frac{x^2+6x}{x}=x+6$、 値$6$

大事だいじ: 分母ぶんぼ が $0$ に なる 形かたち で も、 約分やくぶん や 展開てんかい で 不ふ定形ていけい を 解消かいしょう できる こと が 多おおい。 そのまま $x=a$ を 代入だいにゅう する の で は な く、 まず 整理せいり する。

2. 平均へいきん変化へんか率りつ と 微分びぶん係数けいすう

平均へいきん変化へんか率りつ

関数かんすう$y=f\left(x\right)$ について、 $x$ が $a$ から $b$ ($a\ne b$) ま で 変かわる とき の 平均へいきん変化へんか率りつ は、

$\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$

これ は 二に点てん$(a,f(a\left)\right)$、 $(b,f(b\left)\right)$ を 結むすぶ 直線ちょくせん の 傾かたむき に 等ひとしい。

微分びぶん係数けいすう

$b=a+h$ と お き、 $h\to 0$ と する 極限きょくげん:

$f^{\prime }\left(a\right)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f\left(a\right)}{h}$

これ を 微分係数びぶんけいすう と いい、 グラフ 上うえ で 点$(a,f(a\left)\right)$ で の 接線せっせん の 傾かたむき を 表あらわし ます。

例題れいだい

$f\left(x\right)=x^2$ について $f^{\prime }\left(3\right)$ を 求もとめよ。

$f^{\prime }\left(3\right)={\lim }_{h\to 0}\frac{(3+h{)}^2-9}{h}={\lim }_{h\to 0}\frac{6h+h^2}{h}={\lim }_{h\to 0}(6+h)=6$。

3. 導しるべ関数かんすう と 公式こうしき

導しるべ関数かんすう の 定義ていぎ

$x$ を 動どう か し ながら $f^{\prime }\left(x\right)$ を 関数かんすう と 見みた もの:

$f^{\prime }\left(x\right)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$

これ を 導関数しるべかんすう と いい、 $\frac{dy}{dx}$ や $y^{\prime }$ と も 書かき ます。 $f$ から $f^{\prime }$ を 求もとめる 操作そうさ を 微分びぶん する と いい ます。

基本きほん公式こうしき

関数かんすう	導しるべ関数かんすう
$f\left(x\right)=c$ (定数ていすう)	$f^{\prime }\left(x\right)=0$
$f\left(x\right)=x$	$f^{\prime }\left(x\right)=1$
$f\left(x\right)=x^n$ ($n$自然しぜん数すう)	$f^{\prime }\left(x\right)=n{x}^{n-1}$
$f\left(x\right)=kg\left(x\right)$ ($k$定数ていすう)	$f^{\prime }\left(x\right)=k{g}^{\prime }\left(x\right)$
$f\left(x\right)=g\left(x\right)\pm h\left(x\right)$	$f^{\prime }\left(x\right)=g^{\prime }\left(x\right)\pm h^{\prime }\left(x\right)$

例題れいだい

$f\left(x\right)=2x^3-5x^2+4x-7$ の 導しるべ関数かんすう を 求もとめよ。

$f^{\prime }\left(x\right)=2\cdot 3x^2-5\cdot 2x+4-0=6x^2-10x+4$。

やって みよう: $f\left(x\right)=x^4-3x^2+1$ の 導しるべ関数かんすう を 求もとめよ。 (答こたえ: $f^{\prime }\left(x\right)=4x^3-6x$)

4. 接線せっせん と 法線ほうせん

接線せっせん の 方程式ほうていしき

曲線きょくせん$y=f\left(x\right)$上 の 点$A(a,f(a\left)\right)$ で の 接線せっせん の 方程式ほうていしき は、

$y-f\left(a\right)=f^{\prime }\left(a\right)(x-a)$

(点てん通過つうか形がた の 直線ちょくせん で、 傾かたむき が $f^{\prime }\left(a\right)$)。

法線ほうせん

接線せっせん と 直交ちょっこう する 直線ちょくせん を 法線ほうせん と いい、 傾かたむき は $-\frac{1}{f^{\prime }\left(a\right)}$ ($f^{\prime }\left(a\right)\ne 0$) で す。

例題れいだい

曲線きょくせん$y=x^3$ の 点$(1,1)$ に お け る 接線せっせん と 法線ほうせん を 求もとめよ。

$f\left(x\right)=x^3$ より $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2$、 $f^{\prime }\left(1\right)=3$。

• 接線せっせん: $y-1=3(x-1)$ ⇒ $y=3x-2$
• 法線ほうせん: $y-1=-\frac{1}{3}(x-1)$ ⇒ $y=-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}$

接線せっせん の 性質せいしつ を 使つかう 問題もんだい

大事だいじ: 「曲線きょくせん上じょう で な い 点てん から 引ひい た 接線せっせん」 を 求もとめる 時とき は、 接点せってん を $(t,f(t\left)\right)$ と お き、 接線せっせん の 方程式ほうていしき が その 与あずか点てん を 通とおる 条件じょうけん から $t$ を 決定けってい する。

例題れいだい

曲線きょくせん$y=x^2$ に 点$(0,-1)$ から 引ひい た 接線せっせん の 方程式ほうていしき を 求もとめよ。

接点せってん を $(t,t^2)$ と お く。 $f^{\prime }\left(x\right)=2x$ より 接線せっせん は $y-t^2=2t(x-t)$、 すなわち $y=2tx-t^2$。 これ が $(0,-1)$ を 通とおる ⇒ $-1=-t^2$ ⇒ $t=\pm 1$。

接線せっせん は $y=2x-1$ (接点せってん$(1,1)$) と $y=-2x-1$ (接点せってん$(-1,1)$) の 2 本ほん。

やって みよう: $y=x^2-2x$ の $x=1$ で の 接線せっせん の 傾かたむき を 求もとめよ。 (答こたえ: $0$、 つまり 水平すいへい接線せっせん)

5. 微分びぶんの意味いみ を まとめる

三さん つ の 顔

$f^{\prime }\left(a\right)$ は 同おなじ 量りょう を 別べつ の 言葉ことば で 表あらわし て いる だ け で、 場面ばめん に よ り 解釈かいしゃく が 変かわり ます。

場面ばめん	$f^{\prime }\left(a\right)$ の 解釈かいしゃく
数学すうがく (グラフ)	点$(a,f(a\left)\right)$ で の 接線せっせん の 傾かたむき
物理ぶつり (運動うんどう)	時刻じこく$a$ に お け る 瞬間しゅんかん の 速度そくど
経済けいざい (利益りえき等とう)	数量すうりょう$a$ で の 限界げんかい利益りえき (1 単位たんい増ぞう や す と どれ だ け 増ふえる か)

6. 速度そくど と 加速度かそくど

物理ぶつり で の 微分びぶん

直線ちょくせん上じょう を 動どう く 物体ぶったい の 位置いち を $x\left(t\right)$ ($t$ は 時刻じこく) と す る と、 第だい 7 章しょう の 微分びぶん の 言葉ことば で 次つぎ が 成なり立りつ つ。

名称めいしょう	定義ていぎ
速度そくど$v\left(t\right)$	$v\left(t\right)=x^{\prime }\left(t\right)=\frac{dx}{dt}$
加速度かそくど$a\left(t\right)$	$a\left(t\right)=v^{\prime }\left(t\right)=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$

つ ま り 位置いち → 微分びぶん し て 速度そくど → さ ら に 微分びぶん し て 加速度かそくど と い う 順じゅん で 出で て き ま す。

例題れいだい

位置いち関数かんすう が $x\left(t\right)=t^3-6t^2+9t$ ($t\ge 0$) の とき、 時刻じこく$t=2$ で の 速度そくど と 加速度かそくど を 求もとめよ。

$v\left(t\right)=x^{\prime }\left(t\right)=3t^2-12t+9$、 $a\left(t\right)=v^{\prime }\left(t\right)=6t-12$。

$v\left(2\right)=12-24+9=-3$、 $a\left(2\right)=12-12=0$。 速度そくど が 負まけ ⇒ $t=2$ で 物体ぶったい は 負ふ方向ほうこう へ 動どう い て い る。 加速度かそくど が $0$ ⇒ 速度そくど が ち ょ う ど 変化へんか の 切きれ目め (極きょく値ち)。

やって みよう: $x\left(t\right)=t^2-4t+5$ の $t=3$ で の 速度そくど を 求もとめよ。 (答こたえ: $v\left(3\right)=2$)

まとめ

• 極限きょくげん ${\lim }_{x\to a}f\left(x\right)$ は $x$ が $a$ に 近ちかづく とき の $f\left(x\right)$ の 行あるき き 先さき
• 平均へいきん変化へんか率りつ $\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$ は 二に点てん を 結むすぶ ぶ 直線ちょくせん の 傾かたむき
• 平均へいきん変化へんか率りつ の 極限きょくげん が 微分係数びぶんけいすう $f^{\prime }\left(a\right)$、 接線せっせん の 傾かたむき
• $f\left(x\right)=x^n$ の 導しるべ関数かんすう は $f^{\prime }\left(x\right)=n{x}^{n-1}$ (公式こうしき中ちゅう の 主役しゅやく)
• 接線せっせん の 方程式ほうていしき は $y-f\left(a\right)=f^{\prime }\left(a\right)(x-a)$ で 必かならず 書かける
• 接線せっせん と 法線ほうせん は 直交ちょっこう (傾かたむき の 積つむ が $-1$)

次じの 章しょう: 第だい 8 章しょう で は 微分びぶん を 応用おうよう し て、 関数かんすう の 増減ぞうげん ・ 極ごく値ね ・ 最大さいだい最小さいしょう を 求もとめ ます。 グラフ を 自分じぶん で 描えがける よう に な る の が 目標もくひょう。