この 章 で 学ぶ こと
数学 II の 後半 の 主役 「微分」 に 入り ます。 微分 は 17 世紀 に ニュートン と ライプニッツ が 独立 に 発見 した、 「変化 の 速 さ」 を 関数 と し て 取り出す 道具 で す。 物理 (速度 ・ 加速度)、 経済 (限界利益)、 工学 (最適化) で 必須 の 概念。
- 関数 の 極限 limx→af(x) の 意味 を 理解 する
- 平均変化率 と 微分係数 f′(a) の 違い を 説明 できる
- 導関数 f′(x) の 定義 と 公式 を 使える
- f(x)=xn の 微分公式 (f′(x)=nxn−1) を 使える
- 関数 の 接線 ・ 法線 の 方程式 を 求められる
1. 関数 の 極限
極限 と は
x が a に 限り なく 近づく とき、 f(x) が 限り なく 一 つ の 値α に 近づく こと を、
limx→af(x)=α
と 書き ます (f(x) は a で 値 を も たな く て も よい)。
例題
| 極限 | 値 |
|---|
| x→2lim(x2+1) | 5 (代入 で OK) |
| x→1limx−1x2−1 | 約分: x−1(x−1)(x+1)=x+1、 値2 |
| x→0limx(x+3)2−9 | 展開: xx2+6x=x+6、 値6 |
大事: 分母 が 0 に なる 形 で も、 約分 や 展開 で 不定形 を 解消 できる こと が 多い。 そのまま x=a を 代入 する の で は な く、 まず 整理 する。
2. 平均変化率 と 微分係数
平均変化率
関数y=f(x) について、 x が a から b (a=b) ま で 変わる とき の 平均変化率 は、
b−af(b)−f(a)
これ は 二点(a,f(a))、 (b,f(b)) を 結ぶ 直線 の 傾き に 等しい。
微分係数
b=a+h と お き、 h→0 と する 極限:
f′(a)=limh→0hf(a+h)−f(a)
これ を 微分係数 と いい、 グラフ 上 で 点(a,f(a)) で の 接線 の 傾き を 表し ます。
例題
f(x)=x2 について f′(3) を 求めよ。
f′(3)=limh→0h(3+h)2−9=limh→0h6h+h2=limh→0(6+h)=6。
3. 導関数 と 公式
導関数 の 定義
x を 動 か し ながら f′(x) を 関数 と 見た もの:
f′(x)=limh→0hf(x+h)−f(x)
これ を 導関数 と いい、 dxdy や y′ と も 書き ます。 f から f′ を 求める 操作 を 微分 する と いい ます。
基本公式
| 関数 | 導関数 |
|---|
| f(x)=c (定数) | f′(x)=0 |
| f(x)=x | f′(x)=1 |
| f(x)=xn (n自然数) | f′(x)=nxn−1 |
| f(x)=kg(x) (k定数) | f′(x)=kg′(x) |
| f(x)=g(x)±h(x) | f′(x)=g′(x)±h′(x) |
例題
f(x)=2x3−5x2+4x−7 の 導関数 を 求めよ。
f′(x)=2⋅3x2−5⋅2x+4−0=6x2−10x+4。
やって みよう: f(x)=x4−3x2+1 の 導関数 を 求めよ。 (答え: f′(x)=4x3−6x)
4. 接線 と 法線
接線 の 方程式
曲線y=f(x)上 の 点A(a,f(a)) で の 接線 の 方程式 は、
y−f(a)=f′(a)(x−a)
(点通過形 の 直線 で、 傾き が f′(a))。
法線
接線 と 直交 する 直線 を 法線 と いい、 傾き は −f′(a)1 (f′(a)=0) で す。
例題
曲線y=x3 の 点(1,1) に お け る 接線 と 法線 を 求めよ。
f(x)=x3 より f′(x)=3x2、 f′(1)=3。
- 接線: y−1=3(x−1) ⇒ y=3x−2
- 法線: y−1=−31(x−1) ⇒ y=−31x+34
接線 の 性質 を 使う 問題
大事: 「曲線上 で な い 点 から 引い た 接線」 を 求める 時 は、 接点 を (t,f(t)) と お き、 接線 の 方程式 が その 与点 を 通る 条件 から t を 決定 する。
例題
曲線y=x2 に 点(0,−1) から 引い た 接線 の 方程式 を 求めよ。
接点 を (t,t2) と お く。 f′(x)=2x より 接線 は y−t2=2t(x−t)、 すなわち y=2tx−t2。 これ が (0,−1) を 通る ⇒ −1=−t2 ⇒ t=±1。
接線 は y=2x−1 (接点(1,1)) と y=−2x−1 (接点(−1,1)) の 2 本。
やって みよう: y=x2−2x の x=1 で の 接線 の 傾き を 求めよ。 (答え: 0、 つまり 水平接線)
5. 微分の意味 を まとめる
三 つ の 顔
f′(a) は 同じ 量 を 別 の 言葉 で 表し て いる だ け で、 場面 に よ り 解釈 が 変わり ます。
| 場面 | f′(a) の 解釈 |
|---|
| 数学 (グラフ) | 点(a,f(a)) で の 接線 の 傾き |
| 物理 (運動) | 時刻a に お け る 瞬間 の 速度 |
| 経済 (利益等) | 数量a で の 限界利益 (1 単位増 や す と どれ だ け 増える か) |
6. 速度 と 加速度
物理 で の 微分
直線上 を 動 く 物体 の 位置 を x(t) (t は 時刻) と す る と、 第 7 章 の 微分 の 言葉 で 次 が 成り立 つ。
| 名称 | 定義 |
|---|
| 速度v(t) | v(t)=x′(t)=dtdx |
| 加速度a(t) | a(t)=v′(t)=dt2d2x |
つ ま り 位置 → 微分 し て 速度 → さ ら に 微分 し て 加速度 と い う 順 で 出 て き ま す。
例題
位置関数 が x(t)=t3−6t2+9t (t≥0) の とき、 時刻t=2 で の 速度 と 加速度 を 求めよ。
v(t)=x′(t)=3t2−12t+9、 a(t)=v′(t)=6t−12。
v(2)=12−24+9=−3、 a(2)=12−12=0。 速度 が 負 ⇒ t=2 で 物体 は 負方向 へ 動 い て い る。 加速度 が 0 ⇒ 速度 が ち ょ う ど 変化 の 切れ目 (極値)。
やって みよう: x(t)=t2−4t+5 の t=3 で の 速度 を 求めよ。 (答え: v(3)=2)
まとめ
- 極限 limx→af(x) は x が a に 近づく とき の f(x) の 行 き 先
- 平均変化率 b−af(b)−f(a) は 二点 を 結 ぶ 直線 の 傾き
- 平均変化率 の 極限 が 微分係数 f′(a)、 接線 の 傾き
- f(x)=xn の 導関数 は f′(x)=nxn−1 (公式中 の 主役)
- 接線 の 方程式 は y−f(a)=f′(a)(x−a) で 必ず 書ける
- 接線 と 法線 は 直交 (傾き の 積 が −1)
次の 章: 第 8 章 で は 微分 を 応用 し て、 関数 の 増減 ・ 極値 ・ 最大最小 を 求め ます。 グラフ を 自分 で 描ける よう に な る の が 目標。