微分びぶんの基本きほん

この章しょうで学まなぶこと

数学すうがく II の後半こうはんの主役しゅやく 「微分びぶん」 に入はいります。 微分びぶんは 17 世紀せいきにニュートンとライプニッツが独立どくりつに発見はっけんした、 「変化へんかの速はやさ」 を関数かんすうとして取とり出だす道具どうぐです。 物理ぶつり (速度そくど ・ 加速度かそくど)、 経済けいざい (限界げんかい利益りえき)、 工学こうがく (最適さいてき化か) で必須ひっすの概念がいねん。

• 関数かんすうの 極限きょくげん ${\lim }_{x\to a}f\left(x\right)$ の意味いみを理解りかいする
• 平均へいきん変化へんか率りつ と 微分係数びぶんけいすう $f^{\prime }\left(a\right)$ の違ちがいを説明せつめいできる
• 導関数どうかんすう $f^{\prime }\left(x\right)$ の定義ていぎと公式こうしきを使つかえる
• $f\left(x\right)=x^n$ の 微分びぶん公式こうしき ($f^{\prime }\left(x\right)=n{x}^{n-1}$) を使つかえる
• 関数かんすうの 接線せっせん ・ 法線ほうせん の方程式ほうていしきを求もとめられる

1. 関数かんすうの極限きょくげん

極限きょくげんとは

$x$ が $a$ に限かぎりなく近ちかづくとき、 $f\left(x\right)$ が限かぎりなく一ひとつの値$\alpha$ に近ちかづくことを、

${\lim }_{x\to a}f\left(x\right)=\alpha$

と書かきます ($f\left(x\right)$ は $a$ で値ねをもたなくてもよい)。

例題れいだい

極限きょくげん	値ね
$\lim x\to 2(x^2+1)$	$5$ (代入だいにゅうで OK)
$\lim x\to 1\frac{x^2-1}{x-1}$	約分やくぶん: $\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$、 値$2$
$\lim x\to 0\frac{(x+3{)}^2-9}{x}$	展開てんかい: $\frac{x^2+6x}{x}=x+6$、 値$6$

大事だいじ: 分母ぶんぼが $0$ になる形かたちでも、 約分やくぶんや展開てんかいで不ふ定形ていけいを解消かいしょうできることが多おおい。 そのまま $x=a$ を代入だいにゅうするのではなく、 まず整理せいりする。

2. 平均へいきん変化へんか率りつと微分びぶん係数けいすう

平均へいきん変化へんか率りつ

関数かんすう$y=f\left(x\right)$ について、 $x$ が $a$ から $b$ ($a\ne b$) まで変かわるときの 平均へいきん変化へんか率りつ は、

$\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$

これは二に点てん$(a,f(a\left)\right)$、 $(b,f(b\left)\right)$ を結むすぶ 直線ちょくせんの 傾きかたむき に等ひとしい。

微分びぶん係数けいすう

$b=a+h$ とおき、 $h\to 0$ とする極限きょくげん:

$f^{\prime }\left(a\right)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f\left(a\right)}{h}$

これを 微分係数びぶんけいすう といい、 グラフ上じょうで点$(a,f(a\left)\right)$ での 接線せっせんの傾きかたむき を表あらわします。

例題れいだい

$f\left(x\right)=x^2$ について $f^{\prime }\left(3\right)$ を求もとめよ。

$f^{\prime }\left(3\right)={\lim }_{h\to 0}\frac{(3+h{)}^2-9}{h}={\lim }_{h\to 0}\frac{6h+h^2}{h}={\lim }_{h\to 0}(6+h)=6$。

3. 導しるべ関数かんすうと公式こうしき

導しるべ関数かんすうの定義ていぎ

$x$ を動うごかしながら $f^{\prime }\left(x\right)$ を関数かんすうと見みたもの:

$f^{\prime }\left(x\right)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$

これを 導関数どうかんすう といい、 $\frac{dy}{dx}$ や $y^{\prime }$ とも書かきます。 $f$ から $f^{\prime }$ を求もとめる操作そうさを 微分びぶんする といいます。

基本きほん公式こうしき

関数かんすう	導しるべ関数かんすう
$f\left(x\right)=c$ (定数ていすう)	$f^{\prime }\left(x\right)=0$
$f\left(x\right)=x$	$f^{\prime }\left(x\right)=1$
$f\left(x\right)=x^n$ ($n$自然しぜん数すう)	$f^{\prime }\left(x\right)=n{x}^{n-1}$
$f\left(x\right)=kg\left(x\right)$ ($k$定数ていすう)	$f^{\prime }\left(x\right)=k{g}^{\prime }\left(x\right)$
$f\left(x\right)=g\left(x\right)\pm h\left(x\right)$	$f^{\prime }\left(x\right)=g^{\prime }\left(x\right)\pm h^{\prime }\left(x\right)$

例題れいだい

$f\left(x\right)=2x^3-5x^2+4x-7$ の導しるべ関数かんすうを求もとめよ。

$f^{\prime }\left(x\right)=2\cdot 3x^2-5\cdot 2x+4-0=6x^2-10x+4$。

やってみよう: $f\left(x\right)=x^4-3x^2+1$ の導しるべ関数かんすうを求もとめよ。 (答えこたえ: $f^{\prime }\left(x\right)=4x^3-6x$)

4. 接線せっせんと法線ほうせん

接線せっせんの方程式ほうていしき

曲線きょくせん$y=f\left(x\right)$上の点$A(a,f(a\left)\right)$ での 接線せっせん の方程式ほうていしきは、

$y-f\left(a\right)=f^{\prime }\left(a\right)(x-a)$

(点てん通過つうか形がたの直線ちょくせんで、 傾きかたむきが $f^{\prime }\left(a\right)$)。

法線ほうせん

接線せっせんと直交ちょっこうする直線ちょくせんを 法線ほうせん といい、 傾きかたむきは $-\frac{1}{f^{\prime }\left(a\right)}$ ($f^{\prime }\left(a\right)\ne 0$) です。

例題れいだい

曲線きょくせん$y=x^3$ の点$(1,1)$ における接線せっせんと法線ほうせんを求もとめよ。

$f\left(x\right)=x^3$ より $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2$、 $f^{\prime }\left(1\right)=3$。

• 接線せっせん: $y-1=3(x-1)$ ⇒ $y=3x-2$
• 法線ほうせん: $y-1=-\frac{1}{3}(x-1)$ ⇒ $y=-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}$

接線せっせんの性質せいしつを使つかう問題もんだい

大事だいじ: 「曲線きょくせん上じょうで ない 点てんから引ひいた接線せっせん」 を求もとめる時ときは、 接点せってんを $(t,f(t\left)\right)$ とおき、 接線せっせんの方程式ほうていしきがその与あずか点てんを通とおる条件じょうけんから $t$ を決定けっていする。

例題れいだい

曲線きょくせん$y=x^2$ に点$(0,-1)$ から引ひいた接線せっせんの方程式ほうていしきを求もとめよ。

接点せってんを $(t,t^2)$ とおく。 $f^{\prime }\left(x\right)=2x$ より接線せっせんは $y-t^2=2t(x-t)$、 すなわち $y=2tx-t^2$。 これが $(0,-1)$ を通とおる ⇒ $-1=-t^2$ ⇒ $t=\pm 1$。

接線せっせんは $y=2x-1$ (接点せってん$(1,1)$) と $y=-2x-1$ (接点せってん$(-1,1)$) の 2 本ほん。

やってみよう: $y=x^2-2x$ の $x=1$ での接線せっせんの傾きかたむきを求もとめよ。 (答えこたえ: $0$、 つまり水平すいへい接線せっせん)

5. 微分びぶんの意味いみをまとめる

三みっつの顔

$f^{\prime }\left(a\right)$ は同おなじ量りょうを別べつの言葉ことばで表あらわしているだけで、 場面ばめんにより解釈かいしゃくが変かわります。

場面ばめん	$f^{\prime }\left(a\right)$ の解釈かいしゃく
数学すうがく (グラフ)	点$(a,f(a\left)\right)$ での 接線せっせんの傾きかたむき
物理ぶつり (運動うんどう)	時刻じこく$a$ における 瞬間しゅんかんの速度そくど
経済けいざい (利益りえき等とう)	数量すうりょう$a$ での 限界げんかい利益りえき (1 単位たんい増ふやすとどれだけ増ふえるか)

6. 速度そくどと加速度かそくど

物理ぶつりでの微分びぶん

直線ちょくせん上じょうを動うごく物体ぶったいの 位置いち を $x\left(t\right)$ ($t$ は時刻じこく) とすると、 第だい 7 章しょうの微分びぶんの言葉ことばで次つぎが成なり立たつ。

名称めいしょう	定義ていぎ
速度そくど$v\left(t\right)$	$v\left(t\right)=x^{\prime }\left(t\right)=\frac{dx}{dt}$
加速度かそくど$a\left(t\right)$	$a\left(t\right)=v^{\prime }\left(t\right)=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$

つまり 位置いち → 微分びぶんして速度そくど → さらに微分びぶんして加速度かそくど という順じゅんで出でてきます。

例題れいだい

位置いち関数かんすうが $x\left(t\right)=t^3-6t^2+9t$ ($t\ge 0$) のとき、 時刻じこく$t=2$ での速度そくどと加速度かそくどを求もとめよ。

$v\left(t\right)=x^{\prime }\left(t\right)=3t^2-12t+9$、 $a\left(t\right)=v^{\prime }\left(t\right)=6t-12$。

$v\left(2\right)=12-24+9=-3$、 $a\left(2\right)=12-12=0$。 速度そくどが負まけ ⇒ $t=2$ で物体ぶったいは負ふ方向ほうこうへ動うごいている。 加速度かそくどが $0$ ⇒ 速度そくどがちょうど変化へんかの切きれ目め (極値きょくち)。

やってみよう: $x\left(t\right)=t^2-4t+5$ の $t=3$ での速度そくどを求もとめよ。 (答えこたえ: $v\left(3\right)=2$)

まとめ

• 極限きょくげん ${\lim }_{x\to a}f\left(x\right)$ は $x$ が $a$ に近ちかづくときの $f\left(x\right)$ の行ゆき先さき
• 平均へいきん変化へんか率りつ $\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$ は二に点てんを結むすぶ直線ちょくせんの傾きかたむき
• 平均へいきん変化へんか率りつの極限きょくげんが 微分係数びぶんけいすう $f^{\prime }\left(a\right)$、 接線せっせんの傾きかたむき
• $f\left(x\right)=x^n$ の導しるべ関数かんすうは $f^{\prime }\left(x\right)=n{x}^{n-1}$ (公式こうしき中ちゅうの主役しゅやく)
• 接線せっせんの方程式ほうていしきは $y-f\left(a\right)=f^{\prime }\left(a\right)(x-a)$ で必かならず書かける
• 接線せっせんと法線ほうせんは直交ちょっこう (傾きかたむきの積せきが $-1$)

次じの章しょう: 第だい 8 章しょうでは微分びぶんを 応用おうよう して、 関数かんすうの増減ぞうげん ・ 極ごく値ね ・ 最大さいだい最小さいしょうを求もとめます。 グラフを自分じぶんで描えがけるようになるのが目標もくひょう。