この 章 で 学ぶ こと
中学 で 学んだ an (n は 正 の 整数) を、 この 章 で 負 の 数 ・ 0 ・ 分数 ・ 実数 ま で 拡張 し ます。 そ の 逆関数 と し て 対数 が 生まれ、 桁数 ・ pH ・ 音量 (デシベル) ・ 地震 (マグニチュード) など を 表せる よう に なり ます。
- 指数の拡張: a0=1、 a−n、 a1/n=na、 am/n の 定義
- 指数法則 ap+q=apaq、 (ap)q=apq など
- 指数関数 y=ax の グラフ と 性質 (a>1 で 増加、 0<a<1 で 減少)
- 対数 logax の 定義 と 対数法則
- 常用対数 で 桁数 を 求める
- 指数 ・ 対数 の 方程式 ・ 不等式 を 解ける
1. 指数の拡張
0 と 負 の 整数指数
a=0 に 対 し、 a0=1、 a−n=an1 と 定め ます (こ れ で 指数法則 が 連続的 に つながる)。
分数指数 と 累乗根
n乗 し て a に なる 数 を n乗根 と いい、 na で 表し ます (a≥0、 n は 自然数)。 これ を 用い て、
a1/n=na,am/n=(na)m=nam
例題
| 式 | 値 |
|---|---|
| 81/3 | 38=2 |
| 163/4 | (416)3=23=8 |
| 25−1/2 | 251=51 |
指数法則
a>0,b>0、 p,q を 実数 と し て、
ap⋅aq=ap+q,aqap=ap−q,(ap)q=apq,(ab)p=apbp
2. 指数関数
グラフ と 性質
y=ax (a>0,a=1) を 指数関数 と いい ます。
| 場合 | 性質 | グラフ |
|---|
| a>1 | 単調増加、 急 に 大き く なる | 右上がり |
| 0<a<1 | [単調 | たんちょう][減少 |
どちら も 必ず 点(0,1) を 通り、 x軸 が 漸近線 に なり ます (x→±∞ で 値 が 限り なく 0 に 近づく)。 値域 は y>0。
指数方程式 ・ 不等式
底 を そろえ て 指数 だけ を 比べる の が 基本。 a>1 なら 不等号 の 向き は 変わら ない、 0<a<1 なら 逆転 する の で 注意。
例題
2x+1=8 を 解け。
8=23 より 2x+1=23 ⇒ x+1=3 ⇒ x=2。
3. 対数
対数 の 定義
a>0,a=1、 M>0 の とき、 ap=M を 満たす 唯一 の p を logaM と 書き、 対数 と いい ます。
ap=M⇔p=logaM
例: log28=3 (23=8)、 log100.01=−2 (10−2=0.01)、 loga1=0、 logaa=1。
対数法則
M,N>0 に 対 し、
loga(MN)=logaM+logaN
logaNM=logaM−logaN
logaMk=klogaM
底 の 変換公式
logab=logcalogcb(a,b,c>0,a=1,c=1)
例題
log212−log23 を 計算 せよ。
log212−log23=log2312=log24=2。
やって みよう: log23+log24−log26 を 求めよ。 (答え: log263⋅4=log22=1)
4. 対数関数
グラフ と 性質
y=logax は y=ax の 逆関数 (y=x に 関し て 対称)。 定義域 は x>0、 値域 は 全実数。
| 場合 | 性質 |
|---|
| a>1 | 単調増加、 ゆるやか に 大き く なる |
| 0<a<1 | [単調 |
必ず 点(1,0) を 通り、 y軸 が 漸近線 (x→+0 で y→−∞)。
常用対数 と 桁数
底 が 10 の 対数log10N を 常用対数 と いい、 桁数計算 に 使い ます。 N が 正 の 整数 で、 log10N の 整数部分 を n と する と N は (n+1)桁 です。
例題
230 は 何桁 か。 log102=0.3010 と する。
log10230=30×0.3010=9.030。 整数部分 が 9 な の で、 230 は 10桁。
5. 指数 ・ 対数 の 方程式 ・ 不等式
例題
log2(x−1)=3 を 解け。
定義 から x−1=23=8 ⇒ x=9。 真数条件 (x−1>0、 x>1) も 満たす の で OK。
大事: 対数 の 方程式 で は 必ず 真数 が 正 (M>0) と 底 の 条件 (a>0,a=1) を 確認 する。 これ を 忘れる と 解 が 増えたり 減ったり する。
やって みよう: log3(x+2)=2 を 解け。 (答え: x=7)
指数方程式 の 置 き 換 え
4x−3⋅2x−4=0 の よ う に ax が 二種類 の 指数 で 出 て く る 場合、 t=2x (t>0) と 置 い て 二次方程式 に 帰着 さ せ ま す。
4x=(22)x=(2x)2=t2 な の で、
t2−3t−4=0⇒(t−4)(t+1)=0⇒t=4 (t>0 よ り t=−1 は 不適)
2x=4=22 ⇒ x=2。
対数不等式
log2(x−1)<3 を 解 こ う。
真数条件: x−1>0 ⇒ x>1。 不等式 ⇒ x−1<23=8 ⇒ x<9。 合わせ て 1<x<9。
底 が 0<a<1 の 場合 は、 対数 の 大小関係 が 反転 し ま す。 例 え ば log1/2(x−1)<3 な ら、 x−1>(1/2)3=1/8 (向 き 逆転)、 つ ま り x>9/8、 真数条件 と 合わ せ て x>9/8。
6. 自然対数 と 利子計算 (発展)
連続複利 と e
預 け 入 れ た 元金1円 が、 年利r ・ 年n回複利 で 1年後 に な る 金額 は (1+nr)n で す。 こ れ を n→∞ と し た 「連続複利」 の 極限 が、
limn→∞(1+nr)n=er
こ こ に 現 れ る 定数e≈2.71828… を 自然対数 の 底 と い い、 数学 III で 詳 し く 学 び ま す。 e を 底 と し た 対数logex を 自然対数 と 呼 び、 lnx と も 書 き ま す。
桁数 ・ 概数計算 の 練習
320 は 何桁 か。 log103=0.4771 と す る。
log10320=20×0.4771=9.542。 整数部分9 ⇒ 10桁。
最上位 の 数字 は? 小数部分0.542 よ り 320=109×100.542。 100.542 は 100.5=10≈3.16 と 100.6≈3.98 の 間、 だ い た い 3.5前後。 よ っ て 最上位 は 3 か 4。
やって みよう: 510 は 何桁 か。 log105=0.699 と す る。 (答え: 10×0.699=6.99、 7 桁)
まとめ
- 指数 を 負 ・ 0 ・ 分数 ・ 実数 に 拡張 し て 連続関数 に なる
- 指数法則 と 対数法則 は 表裏一体 (ap+q=apaq ⇔ logMN=logM+logN)
- y=ax と y=logax は 互い に 逆関数 (y=x に 対称)
- 不等式 は 底 が 0<a<1 なら 不等号 の 向き が 逆転
- 常用対数 で 桁数 や 概数計算 が できる
- 対数 で は 真数条件 (M>0) を 必ず 確認
次の 章: 第 7 章 で 今度 は 微分 に 入り ます。 関数 の 「変化 の 速 さ」 を 数 で つかむ 道具 で、 高校数学後半 の 大黒柱 に なり ます。