指数しすう・対数たいすう関数かんすう

この 章しょう で 学まなぶ こと

中学ちゅうがく で 学まなんだ $a^n$ ($n$ は 正ただし の 整数せいすう) を、 この 章しょう で 負まけ の 数かず ・ 0 ・ 分数ぶんすう ・ 実数じっすう ま で 拡張かくちょう し ます。 そ の 逆ぎゃく関数かんすう と し て 対数たいすう が 生うまれ、 桁けた数すう ・ pH ・ 音量おんりょう (デシベル) ・ 地震じしん (マグニチュード) など を 表あらわせる よう に なり ます。

• 指数の拡張しすうのかくちょう: $a^0=1$、 $a^{-n}$、 $a^{1/n}=an$、 $a^{m/n}$ の 定義ていぎ
• 指数法則しすうほうそく $a^{p+q}=a^p{a}^q$、 $(a^p{)}^q=a^{pq}$ など
• 指数関数しすうかんすう $y=a^x$ の グラフ と 性質せいしつ ($a>1$ で 増加ぞうか、 で 減少げんしょう)
• 対数たいすう ${\log }_{a}x$ の 定義ていぎ と 対数法則たいすうほうそく
• 常用対数じょうようたいすう で 桁けた数すう を 求もとめる
• 指数しすう ・ 対数たいすう の 方程式ほうていしき ・ 不等式ふとうしき を 解とける

1. 指数しすうの拡張かくちょう

0 と 負まけ の 整数せいすう指数しすう

$a\ne 0$ に 対たい し、 $a^0=1$、 $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ と 定さだめ ます (こ れ で 指数しすう法則ほうそく が 連続れんぞく的てき に つながる)。

分数ぶんすう指数しすう と 累乗るいじょう根ね

$n$乗 し て $a$ に なる 数かず を $n$乗の根ね と いい、 $an$ で 表あらわし ます ($a\ge 0$、 $n$ は 自然しぜん数すう)。 これ を 用もちい て、

$a^{1/n}=an,a^{m/n}=(an{)}^m=a^{m}n$

例題れいだい

| 式しき | 値ね | |---|---| | $8^{1/3}$ | $83=2$ | | ${16}^{3/4}$ | $(164{)}^3=2^3=8$ | | ${25}^{-1/2}$ | $\frac{1}{\sqrt{25}}=\frac{1}{5}$ |

指数しすう法則ほうそく

$a>0,b>0$、 $p,q$ を 実数じっすう と し て、

$a^p\cdot a^q=a^{p+q},\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q},(a^p{)}^q=a^{pq},(ab{)}^p=a^p{b}^p$

2. 指数しすう関数かんすう

グラフ と 性質せいしつ

$y=a^x$ ($a>0,a\ne 1$) を 指数関数しすうかんすう と いい ます。

場合ばあい	性質せいしつ	グラフ
$a>1$	単調たんちょう増加ぞうか、 急きゅう に 大おおき く なる	右みぎ上あがり
	[単調	たんちょう][減少

どちら も 必かならず 点$(0,1)$ を 通とおり、 $x$軸 が 漸近線ぜんきんせん に なり ます ($x\to \pm \infty$ で 値ね が 限かぎり なく 0 に 近ちかづく)。 値域ちいき は $y>0$。

指数しすう方程式ほうていしき ・ 不等式ふとうしき

底そこ を そろえ て 指数しすう だけ を 比くらべる の が 基本きほん。 $a>1$ なら 不等号ふとうごう の 向むき は 変かわら ない、 なら 逆転ぎゃくてん する の で 注意ちゅうい。

例題れいだい

$2^{x+1}=8$ を 解とけ。

$8=2^3$ より $2^{x+1}=2^3$ ⇒ $x+1=3$ ⇒ $x=2$。

3. 対数たいすう

対数たいすう の 定義ていぎ

$a>0,a\ne 1$、 $M>0$ の とき、 $a^p=M$ を 満みたす 唯一ゆいいつ の $p$ を ${\log }_{a}M$ と 書かき、 対数たいすう と いい ます。

$a^p=M\hspace{0.25em} \iff \hspace{0.25em} p={\log }_{a}M$

例: ${\log }_{2}8=3$ ($2^3=8$)、 ${\log }_{10}0.01=-2$ (${10}^{-2}=0.01$)、 ${\log }_{a}1=0$、 ${\log }_{a}a=1$。

対数たいすう法則ほうそく

$M,N>0$ に 対たい し、

${\log }_a\left(MN\right)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$ ${\log }_a\frac{M}{N}={\log }_{a}M-{\log }_{a}N$ ${\log }_a{M}^k=k{\log }_{a}M$

底そこ の 変換へんかん公式こうしき

${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}(a,b,c>0,\hspace{0.25em} a\ne 1,\hspace{0.25em} c\ne 1)$

例題れいだい

${\log }_{2}12-{\log }_{2}3$ を 計算けいさん せよ。

${\log }_{2}12-{\log }_{2}3={\log }_2\frac{12}{3}={\log }_{2}4=2$。

やって みよう: ${\log }_{2}3+{\log }_{2}4-{\log }_{2}6$ を 求もとめよ。 (答こたえ: ${\log }_2\frac{3\cdot 4}{6}={\log }_{2}2=1$)

4. 対数たいすう関数かんすう

グラフ と 性質せいしつ

$y={\log }_{a}x$ は $y=a^x$ の 逆ぎゃく関数かんすう ($y=x$ に 関かんし て 対称たいしょう)。 定義ていぎ域いき は $x>0$、 値域ちいき は 全ぜん実数じっすう。

場合ばあい	性質せいしつ
$a>1$	単調たんちょう増加ぞうか、 ゆるやか に 大おおき く なる
	[単調

必かならず 点$(1,0)$ を 通とおり、 $y$軸 が 漸近線ぜんきんせん ($x\to +0$ で $y\to -\infty$)。

常用じょうよう対数たいすう と 桁けた数すう

底そこ が $10$ の 対数たいすう${\log }_{10}N$ を 常用対数じょうようたいすう と いい、 桁けた数すう計算けいさん に 使つかい ます。 $N$ が 正ただし の 整数せいすう で、 ${\log }_{10}N$ の 整数せいすう部分ぶぶん を $n$ と する と $N$ は $(n+1)$桁 です。

例題れいだい

$2^{30}$ は 何なん桁けた か。 ${\log }_{10}2=0.3010$ と する。

${\log }_{10}{2}^{30}=30\times 0.3010=9.030$。 整数せいすう部分ぶぶん が $9$ な の で、 $2^{30}$ は $10$桁。

5. 指数しすう ・ 対数たいすう の 方程式ほうていしき ・ 不等式ふとうしき

例題れいだい

${\log }_2(x-1)=3$ を 解とけ。

定義ていぎ から $x-1=2^3=8$ ⇒ $x=9$。 真ま数すう条件じょうけん ($x-1>0$、 $x>1$) も 満みたす の で OK。

大事だいじ: 対数たいすう の 方程式ほうていしき で は 必かならず 真しん数すう が 正せい ($M>0$) と 底そこ の 条件じょうけん ($a>0,a\ne 1$) を 確認かくにん する。 これ を 忘わすれる と 解かい が 増ふえたり 減へったり する。

やって みよう: ${\log }_3(x+2)=2$ を 解とけ。 (答こたえ: $x=7$)

指数しすう方程式ほうていしき の 置 き 換 え

$4^x-3\cdot 2^x-4=0$ の よ う に $a^x$ が 二に種類しゅるい の 指数しすう で 出で て く る 場合ばあい、 $t=2^x$ ($t>0$) と 置 い て 二に次じ方程式ほうていしき に 帰着きちゃく さ せ ま す。

$4^x=(2^2{)}^x=(2^x{)}^2=t^2$ な の で、

$t^2-3t-4=0\Rightarrow (t-4)(t+1)=0\Rightarrow t=4$ ($t>0$ よ り $t=-1$ は 不適ふてき)

$2^x=4=2^2$ ⇒ $x=2$。

対数たいすう不等式ふとうしき

を 解かい こ う。

真ま数すう条件じょうけん: $x-1>0$ ⇒ $x>1$。 不等式ふとうしき ⇒ ⇒ 。 合あわせ て 。

底そこ が の 場合ばあい は、 対数たいすう の 大小だいしょう関係かんけい が 反転はんてん し ま す。 例れい え ば な ら、 $x-1>(1/2{)}^3=1/8$ (向むこう き 逆転ぎゃくてん)、 つ ま り $x>9/8$、 真ま数すう条件じょうけん と 合ごうわ せ て $x>9/8$。

6. 自然しぜん対数たいすう と 利子りし計算けいさん (発展はってん)

連続れんぞく複利ふくり と $e$

預 け 入いり れ た 元金がんきん$1$円 が、 年利ねんり$r$ ・ 年$n$回かい複利ふくり で $1$年ねん後ご に な る 金額きんがく は ${(1+\frac{r}{n})}^n$ で す。 こ れ を $n\to \infty$ と し た 「連続れんぞく複利ふくり」 の 極限きょくげん が、

${\lim }_{n\to \infty }{(1+\frac{r}{n})}^n=e^r$

こ こ に 現げん れ る 定数ていすう$e\approx 2.71828\dots$ を 自然対数 の 底しぜんたいすう の そこ と い い、 数学すうがく III で 詳 し く 学がく び ま す。 $e$ を 底そこ と し た 対数たいすう${\log }_{e}x$ を 自然対数しぜんたいすう と 呼こ び、 $\ln x$ と も 書しょ き ま す。

桁けた数すう ・ 概数がいすう計算けいさん の 練習れんしゅう

$3^{20}$ は 何なん桁けた か。 ${\log }_{10}3=0.4771$ と す る。

${\log }_{10}{3}^{20}=20\times 0.4771=9.542$。 整数せいすう部分ぶぶん$9$ ⇒ $10$桁。

最さい上位じょうい の 数字すうじ は? 小数しょうすう部分ぶぶん$0.542$ よ り $3^{20}={10}^9\times {10}^{0.542}$。 ${10}^{0.542}$ は ${10}^{0.5}=\sqrt{10}\approx 3.16$ と ${10}^{0.6}\approx 3.98$ の 間ま、 だ い た い $3.5$前後ぜんご。 よ っ て 最さい上位じょうい は 3 か 4。

やって みよう: $5^{10}$ は 何なん桁けた か。 ${\log }_{10}5=0.699$ と す る。 (答こたえ: $10\times 0.699=6.99$、 7 桁けた)

まとめ

• 指数しすう を 負まけ ・ 0 ・ 分数ぶんすう ・ 実数じっすう に 拡張かくちょう し て 連続れんぞく関数かんすう に なる
• 指数法則しすうほうそく と 対数法則たいすうほうそく は 表裏一体ひょうりいったい ($a^{p+q}=a^p{a}^q$ ⇔ $\log MN=\log M+\log N$)
• $y=a^x$ と $y={\log }_{a}x$ は 互たがい に 逆ぎゃく関数かんすう ($y=x$ に 対称たいしょう)
• 不等式ふとうしき は 底そこ が なら 不等号ふとうごう の 向むき が 逆転ぎゃくてん
• 常用対数じょうようたいすう で 桁けた数すう や 概数がいすう計算けいさん が できる
• 対数たいすう で は 真ま数すう条件じょうけん ($M>0$) を 必かならず 確認かくにん

次じの 章しょう: 第だい 7 章しょう で 今度こんど は 微分びぶん に 入いり ます。 関数かんすう の 「変化へんか の 速はや さ」 を 数かず で つかむ 道具どうぐ で、 高校こうこう数学すうがく後半こうはん の 大黒柱だいこくばしら に なり ます。