積分せきぶんの基本きほん

この章しょうで学まなぶこと

微分びぶんが 「変化へんかの速はやさ」 を取とり出だす道具どうぐであったのに対たいし、 積分せきぶん は逆ぎゃくに 「変化へんかを積つみ上あげた結果けっか = 全体ぜんたい量りょう」 を求もとめる道具どうぐです。 速度そくどから距離きょり、 流量りゅうりょうから体積たいせき、 そして関数かんすうのグラフで囲かこまれた 面積めんせき を計算けいさんできるようになります。

• 不定積分ふていせきぶん と 積分定数せきぶんていすう $C$ を理解りかいする
• $x^n$ の積分せきぶん公式こうしき ($n\ne -1$) を使つかえる
• 定積分ていせきぶん $\int abf\left(x\right)dx$ を計算けいさんできる
• 線形せんけい性せい ($\int (kf+lg)=k\int f+l\int g$) を使つかえる
• 微分積分学の基本定理びぶんせきぶんがくのきほんていり を理解りかいする
• 関数かんすうと $x$軸で囲かこまれた 面積めんせき を求もとめられる

1. 不定ふてい積分せきぶん

定義ていぎ

「微分びぶんして $f\left(x\right)$ になる関数かんすう」 を $f\left(x\right)$ の 原始関数げんしかんすう といい、 その全体ぜんたいを 不定積分ふていせきぶん といって、

$\int f\left(x\right)\hspace{0.17em}dx=F\left(x\right)+C$

と書かきます。 $F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$、 $C$ は 積分定数せきぶんていすう (任意にんいの定数ていすう)。

大事だいじ: 微分びぶんして同おなじ $f\left(x\right)$ になる関数かんすうは 「定数ていすうだけ違ちがう」 無限むげんに多おおい関数かんすうがあります ($\frac{d}{dx}\left(F\right(x)+C)=F^{\prime }\left(x\right)$)。 だから $C$ を必かならず添そえる。

公式こうしき

$n$ を $-1$ でない数かずとして、

$\int x^n\hspace{0.17em}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

線形せんけい性せい:

$\int \left\{kf\right(x)+lg(x\left)\right\}\hspace{0.17em}dx=k\int f\left(x\right)dx+l\int g\left(x\right)dx$

例題れいだい

不定ふてい積分せきぶん	結果けっか
$\int x^2\hspace{0.17em}dx$	$\frac{x^3}{3}+C$
$\int (3x^2-4x+5)\hspace{0.17em}dx$	$x^3-2x^2+5x+C$
$\int (x-1)(x+2)\hspace{0.17em}dx$	展開てんかい: $\int (x^2+x-2)dx=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-2x+C$

やってみよう: $\int (4x^3-6x)\hspace{0.17em}dx$ を計算けいさんせよ。 (答えこたえ: $x^4-3x^2+C$)

2. 定てい積分せきぶん

定義ていぎと表記ひょうき

$F$ を $f$ の原始げんし関数かんすうとして、

$\int abf\left(x\right)\hspace{0.17em}dx=\left[F\right(x\left)\right]ab=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

を $f$ の 定積分ていせきぶん といいます。 $a$ を下端かたん、 $b$ を上端じょうたん、 $f\left(x\right)$ を被ひ積分せきぶん関数かんすう。 不定ふてい積分せきぶんと違ちがい、 結果けっかは 数値すうち になります ($C$ はキャンセル)。

例題れいだい

$\int 02(3x^2+2x)dx$ を計算けいさんせよ。

$[x^3+x^2]02=(8+4)-0=12$。

性質せいしつ

$\int aaf\left(x\right)dx=0,\int baf\left(x\right)dx=-\int abf\left(x\right)dx$ $\int acf\left(x\right)dx+\int cbf\left(x\right)dx=\int abf\left(x\right)dx$

線形せんけい性せい:

$\int ab\left\{kf\right(x)+lg(x\left)\right\}dx=k\int abf\left(x\right)dx+l\int abg\left(x\right)dx$

やってみよう: $\int -11(x^3+2x)dx$ を計算けいさんせよ (奇き関数かんすうの性質せいしつを使つかうと早はやい)。 (答えこたえ: $0$)

3. 微分びぶん積分せきぶん学がくの基本きほん定理ていり

主張しゅちょう

$F\left(x\right)=\int axf\left(t\right)dt$ とおくと、

$\frac{d}{dx}F\left(x\right)=f\left(x\right)$

つまり 「定てい積分せきぶんしてから微分びぶん」 をすると元もとの関数かんすうに戻もどる。 これは微分びぶんと積分せきぶんが互たがいに 逆ぎゃく演算えんざん であることを表あらわしています。 ニュートンとライプニッツの大発見だいはっけん。

例題れいだい

$\frac{d}{dx}\int 1x(t^3-2t)dt$ を求もとめよ。

基本きほん定理ていりから、 答えこたえはそのまま $x^3-2x$。

4. 面積めんせき

$f\left(x\right)\ge 0$ の場合ばあい

$a\le x\le b$ で $f\left(x\right)\ge 0$ のとき、 曲線きょくせん$y=f\left(x\right)$、 $x$軸、 二に直線ちょくせん$x=a$、 $x=b$ で囲かこまれた図形ずけいの 面積めんせき$S$ は、

$S=\int abf\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$

例題れいだい

$y=x^2$、 $x$軸、 $x=0$、 $x=2$ で囲かこまれた部分ぶぶんの面積めんせきを求もとめよ。

$S=\int 02x^{2}dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]02=\frac{8}{3}$。

$f\left(x\right)\le 0$ の場合ばあい

$f\left(x\right)\le 0$ の区間くかんでの定てい積分せきぶんは 負ふの値あたい になるので、 面積めんせきは 絶対ぜったい値ちをとる か 積分せきぶんを反転はんてん させます。

$S=\int ab\mid f\left(x\right)\mid dx$

実用じつよう上じょうは、 $f\left(x\right)\ge 0$ の区間くかんと $f\left(x\right)\le 0$ の区間くかんに分わけ、 後者こうしゃでは $-\int f$ に置き換えおきかえ て足たします。

二ふたつの曲線きょくせんで囲かこまれた面積めんせき

$a\le x\le b$ で $f\left(x\right)\ge g\left(x\right)$ のとき、 二に曲きょく線せん$y=f\left(x\right)$、 $y=g\left(x\right)$ で囲かこまれた部分ぶぶんの面積めんせきは、

$S=\int ab\left\{f\right(x)-g(x\left)\right\}\hspace{0.17em}dx$

大事だいじ: 「上うえの関数かんすうー下かの関数かんすう」 の順じゅんで引ひくこと。 逆ぎゃくにすると符号ふごうが反対はんたいになる。

例題れいだい

二に曲きょく線せん$y=x^2$ と $y=2x$ で囲かこまれた部分ぶぶんの面積めんせきを求もとめよ。

交点こうてん: $x^2=2x$ ⇒ $x(x-2)=0$ ⇒ $x=0,2$。 $0\le x\le 2$ で $2x\ge x^2$。

$S=\int 02(2x-x^2)dx=[x^2-\frac{x^3}{3}]02=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$。

やってみよう: $y=x^2$ と $y=x$ で囲かこまれた部分ぶぶんの面積めんせきを求もとめよ。 (答えこたえ: $\frac{1}{6}$)

5. 区分くぶん求もとめ積せき法ほうと積分せきぶんの意味いみ

長方形ちょうほうけいの和わとしての積分せきぶん

定てい積分せきぶん$\int abf\left(x\right)dx$ はもともとは 「区間くかんを細こまかく分割ぶんかつし、 各かく区間くかんでの長方形ちょうほうけいの面積めんせきを足たして、 分割ぶんかつを無限むげんに細こまかくする」 という極限きょくげんとして定義ていぎされます。 これを 区分求積法くぶんきゅうせきほう といいます。

$\int abf\left(x\right)dx={\lim }_{n\to \infty }\sum k=1nf\left(x_k\right)\hspace{0.17em}\Delta x(\Delta x=(b-a\left)/n\right)$

定てい積分せきぶんが面積めんせきと結むすびつく理由りゆうはまさにここにあります。 物理ぶつりで 「速度そくど$\times$時間じかん = 距離きょり」 を細こまかく足たしたものが 「位置いちの変化へんか」 であるのと同おなじ構造こうぞうです。

数学すうがく III への接続せつぞく

数学すうがく II の範囲はんいでは 多項式たこうしき関数かんすう の積分せきぶんしか学まなびませんが、 数学すうがく III では次つぎの関数かんすうの積分せきぶんも学まなびます。

• 三角関数さんかくかんすう: $\int \sin x\hspace{0.17em}dx=-\cos x+C$
• 指数関数しすうかんすう: $\int e^x\hspace{0.17em}dx=e^x+C$
• 対数関数たいすうかんすう: $\int \frac{1}{x}dx=\log \mid x\mid +C$ ($x\ne 0$)

そして置換ちかん積分せきぶん法ほう ・ 部分ぶぶん積分せきぶん法ほうという 強力きょうりょくな道具どうぐ を手てに入いれます。

まとめ

• 不定積分ふていせきぶん $\int fdx=F+C$ ($F^{\prime }=f$)、 $C$ を必かならず添そえる
• 定積分ていせきぶん $\int abfdx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$ は数値すうち、 $C$ は不要ふよう
• 微分積分学の基本定理びぶんせきぶんがくのきほんていり で微分びぶんと積分せきぶんが互たがいに逆ぎゃく演算えんざんであることがわかる
• $x^n$ ($n\ne -1$) の積分せきぶん公式こうしき$\frac{x^{n+1}}{n+1}$ が中心ちゅうしん
• 関数かんすうと $x$軸で囲かこまれた面積めんせき = $\int ab\mid f\left(x\right)\mid dx$
• 二に曲きょく線せんで囲かこまれた面積めんせき = $\int ab\left\{\right(上)-(下\left)\right\}dx$

次じの章しょう: 最さい終章しゅうしょうでは積分せきぶんの 応用おうよう に進すすみ、 様々さまざまな図形ずけいの面積めんせき ・ 物理ぶつりでの距離きょり計算けいさん ・ 数学すうがく II 全体ぜんたいの復習ふくしゅうを行おこないます。