この 章 で 学ぶ こと
微分 が 「変化 の 速 さ」 を 取り出す 道具 で あっ た の に 対 し、 積分 は 逆 に 「変化 を 積 み 上げ た 結果 = 全体量」 を 求め る 道具 で す。 速度 か ら 距離、 流量 か ら 体積、 そ し て 関数 の グラフ で 囲ま れ た 面積 を 計算 で きる よ う に な り ま す。
- 不定積分 と 積分定数 C を 理解 する
- xn の 積分公式 (n=−1) を 使える
- 定積分 ∫abf(x)dx を 計算 で きる
- 線形性 (∫(kf+lg)=k∫f+l∫g) を 使える
- 微分積分学の基本定理 を 理解 する
- 関数 と x軸 で 囲ま れ た 面積 を 求められる
1. 不定積分
定義
「微分 し て f(x) に な る 関数」 を f(x) の 原始関数 と い い、 そ の 全体 を 不定積分 と い っ て、
∫f(x)dx=F(x)+C
と 書 き ま す。 F′(x)=f(x)、 C は 積分定数 (任意 の 定数)。
大事: 微分 し て 同 じ f(x) に な る 関数 は 「定数 だ け 違う」 無限 に 多 い 関数 が あ り ま す (dxd(F(x)+C)=F′(x))。 だ か ら C を 必ず 添える。
公式
n を −1 で な い 数 と し て、
∫xndx=n+1xn+1+C
線形性:
∫{kf(x)+lg(x)}dx=k∫f(x)dx+l∫g(x)dx
例題
| 不定積分 | 結果 |
|---|
| ∫x2dx | 3x3+C |
| ∫(3x2−4x+5)dx | x3−2x2+5x+C |
| ∫(x−1)(x+2)dx | 展開: ∫(x2+x−2)dx=3x3+2x2−2x+C |
やって みよう: ∫(4x3−6x)dx を 計算 せよ。 (答え: x4−3x2+C)
2. 定積分
定義 と 表記
F を f の 原始関数 と し て、
∫abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)
を f の 定積分 と い い ま す。 a を 下端、 b を 上端、 f(x) を 被積分関数。 不定積分 と 違 い、 結果 は 数値 に な り ま す (C は キ ャ ン セ ル)。
例題
∫02(3x2+2x)dx を 計算 せよ。
[x3+x2]02=(8+4)−0=12。
性質
∫aaf(x)dx=0,∫baf(x)dx=−∫abf(x)dx
∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx=∫abf(x)dx
線形性:
∫ab{kf(x)+lg(x)}dx=k∫abf(x)dx+l∫abg(x)dx
やって みよう: ∫−11(x3+2x)dx を 計算 せよ (奇関数 の 性質 を 使う と 早 い)。 (答え: 0)
3. 微分積分学の基本定理
主張
F(x)=∫axf(t)dt と お く と、
dxdF(x)=f(x)
つ ま り 「定積分 し て か ら 微分」 を す る と 元 の 関数 に 戻 る。 これ は 微分 と 積分 が 互 い に 逆演算 で あ る こと を 表 し て い ま す。 ニュートン と ライプニッツ の 大発見。
例題
dxd∫1x(t3−2t)dt を 求めよ。
基本定理 か ら、 答え は そ の ま ま x3−2x。
4. 面積
f(x)≥0 の 場合
a≤x≤b で f(x)≥0 の とき、 曲線y=f(x)、 x軸、 二直線x=a、 x=b で 囲ま れ た 図形 の 面積S は、
S=∫abf(x)dx
例題
y=x2、 x軸、 x=0、 x=2 で 囲 ま れ た 部分 の 面積 を 求めよ。
S=∫02x2dx=[3x3]02=38。
f(x)≤0 の 場合
f(x)≤0 の 区間 で の 定積分 は 負 の 値 に な る の で、 面積 は 絶対値 を と る か 積分 を 反転 さ せ ま す。
S=∫ab∣f(x)∣dx
実用上 は、 f(x)≥0 の 区間 と f(x)≤0 の 区間 に 分け、 後者 で は −∫f に 置 き 換 え て 足 し ま す。
二 つ の 曲線 で 囲 ま れ た 面積
a≤x≤b で f(x)≥g(x) の とき、 二曲線y=f(x)、 y=g(x) で 囲 ま れ た 部分 の 面積 は、
S=∫ab{f(x)−g(x)}dx
大事: 「上 の 関数 ー 下 の 関数」 の 順 で 引 く こと。 逆 に す る と 符号 が 反対 に な る。
例題
二曲線y=x2 と y=2x で 囲 ま れ た 部分 の 面積 を 求めよ。
交点: x2=2x ⇒ x(x−2)=0 ⇒ x=0,2。 0≤x≤2 で 2x≥x2。
S=∫02(2x−x2)dx=[x2−3x3]02=4−38=34。
やって みよう: y=x2 と y=x で 囲 ま れ た 部分 の 面積 を 求めよ。 (答え: 61)
5. 区分求積法 と 積分 の 意味
長方形 の 和 と し て の 積分
定積分∫abf(x)dx は も と も と は 「区間 を 細 か く 分割 し、 各区間 で の 長方形 の 面積 を 足 し て、 分割 を 無限 に 細 か く す る」 と い う 極限 と し て 定義 さ れ ま す。 これ を 区分求積法 と い い ま す。
∫abf(x)dx=limn→∞∑k=1nf(xk)Δx(Δx=(b−a)/n)
定積分 が 面積 と 結 び つ く 理由 は ま さ に こ こ に あ り ま す。 物理 で 「速度×時間 = 距離」 を 細 か く 足 し た も の が 「位置 の 変化」 で あ る の と 同 じ 構造 で す。
数学 III へ の 接続
数学 II の 範囲 で は 多項式関数 の 積分 し か 学 び ま せ ん が、 数学 III で は 次 の 関数 の 積分 も 学 び ま す。
- 三角関数: ∫sinxdx=−cosx+C
- 指数関数: ∫exdx=ex+C
- 対数関数: ∫x1dx=log∣x∣+C (x=0)
そ し て 置換積分法 ・ 部分積分法 と い う 強力 な 道具 を 手 に 入れ ま す。
まとめ
- 不定積分 ∫fdx=F+C (F′=f)、 C を 必ず 添える
- 定積分 ∫abfdx=F(b)−F(a) は 数値、 C は 不要
- 微分積分学の基本定理 で 微分 と 積分 が 互 い に 逆演算 で あ る こと が わ か る
- xn (n=−1) の 積分公式n+1xn+1 が 中心
- 関数 と x軸 で 囲 ま れ た 面積 = ∫ab∣f(x)∣dx
- 二曲線 で 囲 ま れ た 面積 = ∫ab{(上)−(下)}dx
次の 章: 最終章 で は 積分 の 応用 に 進み、 様々 な 図形 の 面積 ・ 物理 で の 距離計算 ・ 数学 II 全体 の 復習 を 行 い ま す。