積分せきぶんの基本きほん

この 章しょう で 学まなぶ こと

微分びぶん が 「変化へんか の 速はや さ」 を 取とり出だす 道具どうぐ で あっ た の に 対たい し、 積分せきぶん は 逆ぎゃく に 「変化へんか を 積つむ み 上あげ た 結果けっか = 全体ぜんたい量りょう」 を 求もとめ る 道具どうぐ で す。 速度そくど か ら 距離きょり、 流量りゅうりょう か ら 体積たいせき、 そ し て 関数かんすう の グラフ で 囲かこま れ た 面積めんせき を 計算けいさん で きる よ う に な り ま す。

• 不定積分ふていせきぶん と 積分定数せきぶんていすう $C$ を 理解りかい する
• $x^n$ の 積分せきぶん公式こうしき ($n\ne -1$) を 使つかえる
• 定積分ていせきぶん $\int abf\left(x\right)dx$ を 計算けいさん で きる
• 線形せんけい性せい ($\int (kf+lg)=k\int f+l\int g$) を 使つかえる
• 微分積分学の基本定理びぶんせきぶんがくのきほんていり を 理解りかい する
• 関数かんすう と $x$軸 で 囲かこま れ た 面積めんせき を 求もとめられる

1. 不定ふてい積分せきぶん

定義ていぎ

「微分びぶん し て $f\left(x\right)$ に な る 関数かんすう」 を $f\left(x\right)$ の 原始関数げんしかんすう と い い、 そ の 全体ぜんたい を 不定積分ふていせきぶん と い っ て、

$\int f\left(x\right)\hspace{0.17em}dx=F\left(x\right)+C$

と 書しょ き ま す。 $F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$、 $C$ は 積分定数せきぶんていすう (任意にんい の 定数ていすう)。

大事だいじ: 微分びぶん し て 同どう じ $f\left(x\right)$ に な る 関数かんすう は 「定数ていすう だ け 違ちがう」 無限むげん に 多おお い 関数かんすう が あ り ま す ($\frac{d}{dx}\left(F\right(x)+C)=F^{\prime }\left(x\right)$)。 だ か ら $C$ を 必かならず 添そえる。

公式こうしき

$n$ を $-1$ で な い 数かず と し て、

$\int x^n\hspace{0.17em}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

線形せんけい性せい:

$\int \left\{kf\right(x)+lg(x\left)\right\}\hspace{0.17em}dx=k\int f\left(x\right)dx+l\int g\left(x\right)dx$

例題れいだい

不定ふてい積分せきぶん	結果けっか
$\int x^2\hspace{0.17em}dx$	$\frac{x^3}{3}+C$
$\int (3x^2-4x+5)\hspace{0.17em}dx$	$x^3-2x^2+5x+C$
$\int (x-1)(x+2)\hspace{0.17em}dx$	展開てんかい: $\int (x^2+x-2)dx=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-2x+C$

やって みよう: $\int (4x^3-6x)\hspace{0.17em}dx$ を 計算けいさん せよ。 (答こたえ: $x^4-3x^2+C$)

2. 定てい積分せきぶん

定義ていぎ と 表記ひょうき

$F$ を $f$ の 原始げんし関数かんすう と し て、

$\int abf\left(x\right)\hspace{0.17em}dx=\left[F\right(x\left)\right]ab=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

を $f$ の 定積分ていせきぶん と い い ま す。 $a$ を 下端かたん、 $b$ を 上端じょうたん、 $f\left(x\right)$ を 被ひ積分せきぶん関数かんすう。 不定ふてい積分せきぶん と 違 い、 結果けっか は 数値すうち に な り ま す ($C$ は キ ャ ン セ ル)。

例題れいだい

$\int 02(3x^2+2x)dx$ を 計算けいさん せよ。

$[x^3+x^2]02=(8+4)-0=12$。

性質せいしつ

$\int aaf\left(x\right)dx=0,\int baf\left(x\right)dx=-\int abf\left(x\right)dx$ $\int acf\left(x\right)dx+\int cbf\left(x\right)dx=\int abf\left(x\right)dx$

線形せんけい性せい:

$\int ab\left\{kf\right(x)+lg(x\left)\right\}dx=k\int abf\left(x\right)dx+l\int abg\left(x\right)dx$

やって みよう: $\int -11(x^3+2x)dx$ を 計算けいさん せよ (奇き関数かんすう の 性質せいしつ を 使つかう と 早はや い)。 (答こたえ: $0$)

3. 微分びぶん積分せきぶん学がくの基本きほん定理ていり

主張しゅちょう

$F\left(x\right)=\int axf\left(t\right)dt$ と お く と、

$\frac{d}{dx}F\left(x\right)=f\left(x\right)$

つ ま り 「定てい積分せきぶん し て か ら 微分びぶん」 を す る と 元もと の 関数かんすう に 戻もど る。 これ は 微分びぶん と 積分せきぶん が 互 い に 逆ぎゃく演算えんざん で あ る こと を 表ひょう し て い ま す。 ニュートン と ライプニッツ の 大発見だいはっけん。

例題れいだい

$\frac{d}{dx}\int 1x(t^3-2t)dt$ を 求もとめよ。

基本きほん定理ていり か ら、 答こたえ は そ の ま ま $x^3-2x$。

4. 面積めんせき

$f\left(x\right)\ge 0$ の 場合ばあい

$a\le x\le b$ で $f\left(x\right)\ge 0$ の とき、 曲線きょくせん$y=f\left(x\right)$、 $x$軸、 二に直線ちょくせん$x=a$、 $x=b$ で 囲かこま れ た 図形づけい の 面積めんせき$S$ は、

$S=\int abf\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$

例題れいだい

$y=x^2$、 $x$軸、 $x=0$、 $x=2$ で 囲 ま れ た 部分ぶぶん の 面積めんせき を 求もとめよ。

$S=\int 02x^{2}dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]02=\frac{8}{3}$。

$f\left(x\right)\le 0$ の 場合ばあい

$f\left(x\right)\le 0$ の 区間くかん で の 定てい積分せきぶん は 負まけ の 値ね に な る の で、 面積めんせき は 絶対ぜったい値ち を と る か 積分せきぶん を 反転はんてん さ せ ま す。

$S=\int ab\mid f\left(x\right)\mid dx$

実用じつよう上じょう は、 $f\left(x\right)\ge 0$ の 区間くかん と $f\left(x\right)\le 0$ の 区間くかん に 分わけ、 後者こうしゃ で は $-\int f$ に 置 き 換 え て 足あし し ま す。

二に つ の 曲線きょくせん で 囲 ま れ た 面積めんせき

$a\le x\le b$ で $f\left(x\right)\ge g\left(x\right)$ の とき、 二に曲きょく線せん$y=f\left(x\right)$、 $y=g\left(x\right)$ で 囲 ま れ た 部分ぶぶん の 面積めんせき は、

$S=\int ab\left\{f\right(x)-g(x\left)\right\}\hspace{0.17em}dx$

大事だいじ: 「上うえ の 関数かんすう ー 下した の 関数かんすう」 の 順じゅん で 引 く こと。 逆ぎゃく に す る と 符号ふごう が 反対はんたい に な る。

例題れいだい

二に曲きょく線せん$y=x^2$ と $y=2x$ で 囲 ま れ た 部分ぶぶん の 面積めんせき を 求もとめよ。

交点こうてん: $x^2=2x$ ⇒ $x(x-2)=0$ ⇒ $x=0,2$。 $0\le x\le 2$ で $2x\ge x^2$。

$S=\int 02(2x-x^2)dx=[x^2-\frac{x^3}{3}]02=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$。

やって みよう: $y=x^2$ と $y=x$ で 囲 ま れ た 部分ぶぶん の 面積めんせき を 求もとめよ。 (答こたえ: $\frac{1}{6}$)

5. 区分くぶん求もとめ積せき法ほう と 積分せきぶん の 意味いみ

長方形ちょうほうけい の 和わ と し て の 積分せきぶん

定てい積分せきぶん$\int abf\left(x\right)dx$ は も と も と は 「区間くかん を 細ほそ か く 分割ぶんかつ し、 各かく区間くかん で の 長方形ちょうほうけい の 面積めんせき を 足あし し て、 分割ぶんかつ を 無限むげん に 細ほそ か く す る」 と い う 極限きょくげん と し て 定義ていぎ さ れ ま す。 これ を 区分求積法くぶんきゅうせきほう と い い ま す。

$\int abf\left(x\right)dx={\lim }_{n\to \infty }\sum k=1nf\left(x_k\right)\hspace{0.17em}\Delta x(\Delta x=(b-a\left)/n\right)$

定てい積分せきぶん が 面積めんせき と 結むすぶ び つ く 理由りゆう は ま さ に こ こ に あ り ま す。 物理ぶつり で 「速度そくど$\times$時間じかん = 距離きょり」 を 細ほそ か く 足あし し た も の が 「位置いち の 変化へんか」 で あ る の と 同どう じ 構造こうぞう で す。

数学すうがく III へ の 接続せつぞく

数学すうがく II の 範囲はんい で は 多項式たこうしき関数かんすう の 積分せきぶん し か 学がく び ま せ ん が、 数学すうがく III で は 次つぎ の 関数かんすう の 積分せきぶん も 学がく び ま す。

• 三角さんかく関数かんすう: $\int \sin x\hspace{0.17em}dx=-\cos x+C$
• 指数しすう関数かんすう: $\int e^x\hspace{0.17em}dx=e^x+C$
• 対数たいすう関数かんすう: $\int \frac{1}{x}dx=\log \mid x\mid +C$ ($x\ne 0$)

そ し て 置換ちかん積分せきぶん法ほう ・ 部分ぶぶん積分せきぶん法ほう と い う 強力きょうりょく な 道具どうぐ を 手て に 入いれ ま す。

まとめ

• 不定積分ふていせきぶん $\int fdx=F+C$ ($F^{\prime }=f$)、 $C$ を 必かならず 添そえる
• 定積分ていせきぶん $\int abfdx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$ は 数値すうち、 $C$ は 不要ふよう
• 微分積分学の基本定理びぶんせきぶんがくのきほんていり で 微分びぶん と 積分せきぶん が 互 い に 逆ぎゃく演算えんざん で あ る こと が わ か る
• $x^n$ ($n\ne -1$) の 積分せきぶん公式こうしき$\frac{x^{n+1}}{n+1}$ が 中心ちゅうしん
• 関数かんすう と $x$軸 で 囲 ま れ た 面積めんせき = $\int ab\mid f\left(x\right)\mid dx$
• 二に曲きょく線せん で 囲 ま れ た 面積めんせき = $\int ab\left\{\right(上)-(下\left)\right\}dx$

次じの 章しょう: 最終さいしゅう章しょう で は 積分せきぶん の 応用おうよう に 進すすみ、 様々さまざま な 図形づけい の 面積めんせき ・ 物理ぶつり で の 距離きょり計算けいさん ・ 数学すうがく II 全体ぜんたい の 復習ふくしゅう を 行あるき い ま す。