微分びぶんの応用おうよう

この 章しょう で 学まなぶ こと

第だい 7 章しょう で 微分びぶん の 道具どうぐ が そろい ました。 こ の 章しょう で は それ を 武器ぶき に、 「関数かんすう の 形かたち を 自分じぶん で 描えがく」 「最大さいだい ・ 最小さいしょう を 求もとめる」 と い う 応用おうよう に 進すすみ ます。 手て で グラフ が 描えがけ る よ う に なる と、 後ご の 積分せきぶん (面積めんせき) や 物理ぶつり (運動うんどう の 解析かいせき) が 一気いっき に 見みやす く なり ます。

• 導しるべ関数かんすう の 符号ふごう で 関数かんすう の 増減ぞうげん を 判定はんてい できる
• 極大きょくだい ・ 極小きょくしょう を 求もとめ、 増減表ぞうげんひょう を 書かける
• 三さん次じ関数かんすう の グラフ を 描えがける
• 閉区間くかん で の 最大値さいだいち ・ 最小値さいしょうち を 求もとめられる
• 方程式の実数解の個数ほうていしきのじっすうかいのこすう を グラフ で 数かぞえられる

1. 増減ぞうげん と 極ごく値ね

単調たんちょう増加ぞうか と 単調たんちょう減少げんしょう

ある 区間くかん で $f^{\prime }\left(x\right)>0$ なら $f\left(x\right)$ は その 区間くかん で 単調たんちょう増加ぞうか、 なら 単調たんちょう減少げんしょう です ($f$ の グラフ が 右みぎ上じょう がり か 右みぎ下か がり か)。

| $f^{\prime }\left(x\right)$ の 符号ふごう | $f\left(x\right)$ の 増減ぞうげん | グラフ | |---|---|---| | $f^{\prime }\left(x\right)>0$ | 増加ぞうか | 右みぎ上じょう がり | | $f^{\prime }\left(x\right)=0$ | 接線せっせん が 水平すいへい | 山やま ・ 谷たに ・ 平たいら | | | 減少げんしょう | 右みぎ下か がり |

極ごく値ね の 定義ていぎ

ある 点$x=a$ の 近きん く で $f\left(a\right)$ が 最大さいだい (極限きょくげん し て 近きん く だ け で よい) なら 極大きょくだい、 最小さいしょう なら 極小きょくしょう。 こ の とき $f^{\prime }\left(a\right)=0$ が 必要ひつよう条件じょうけん で す (逆ぎゃく は 必かならずしも 真しん で な い)。

大事だいじ: $f^{\prime }\left(a\right)=0$ で あっ て も、 そ の 前後ぜんご で 符号ふごう が 変かわら なけれ ば 極きょく値ち で は な い。 例れい: $f\left(x\right)=x^3$ は $f^{\prime }\left(0\right)=0$ だ が、 $x=0$ の 前後ぜんご で $f^{\prime }\left(x\right)>0$ の まま な の で 極ごく値ね で は な い (変へん曲きょく点てん)。

2. 増減ぞうげん表ひょう の 書かき方かた

手順てじゅん

1. $f^{\prime }\left(x\right)$ を 求もとめる
2. $f^{\prime }\left(x\right)=0$ を 解とい て $f^{\prime }\left(x\right)=0$ の 点てん (極値きょくち候補こうほ) を 求もとめる
3. 数すう直線ちょくせん に そ れら を 書かき、 各かく区間くかん で $f^{\prime }\left(x\right)$ の 符号ふごう を 調しらべる
4. 増減ぞうげん表ひょう に $x$、 $f^{\prime }\left(x\right)$、 $f\left(x\right)$ の 三さん段だん を 並ならべる
5. 極ごく値ね を 表ひょう か ら 読よみ取とる

例題れいだい

$f\left(x\right)=x^3-3x^2+4$ の 増減ぞうげん を 調しらべ、 極ごく値ね を 求もとめよ。

$f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-6x=3x(x-2)$。 $f^{\prime }\left(x\right)=0$ ⇒ $x=0,2$。

$x$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$2$	$\cdots$
$f^{\prime }\left(x\right)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f\left(x\right)$	増まし	$4$	減げん	$0$	増まし

$f\left(0\right)=4$、 $f\left(2\right)=8-12+4=0$。 よって $x=0$ で 極大きょくだい値ち$4$、 $x=2$ で 極小きょくしょう値ち$0$。

グラフ を 描えがく

特徴とくちょう	三さん次じ関数かんすう$y=a{x}^3+\cdots$ ($a>0$)
$x\to -\infty$	$y\to -\infty$
$x\to +\infty$	$y\to +\infty$
形かたち	左下ひだりした か ら 右みぎ上じょう、 山やま と 谷たに を 一いち つ ず つ (極きょく値ち が 二に つ ある 場合ばあい)

上うえ の 例れい だ と、 左ひだり か ら 上うえ が り、 $(0,4)$ で 山やま、 $(2,0)$ で 谷たに、 ま た 右みぎ上じょう へ 上うえ が り、 $x$軸 に 接せっ す る か ど う か を $f\left(x\right)=0$ の 解かい で 確認かくにん し ま す。

3. 最大さいだい値ち と 最小さいしょう値ち

閉区間くかん で の 求もとめ 方かた

閉区間くかん$[a,b]$ で $f$ が 連続れんぞく なら、 $f$ は 必かならず 最大さいだい値ち と 最小さいしょう値ち を も ち ま す。 候補こうほ は 次つぎ の 三さん種類しゅるい だ け。

1. 極きょく値ち を と る 点てん ($f^{\prime }\left(x\right)=0$ の 内部ないぶ解かい)
2. 区間くかん の 端点たんてん $x=a$ と $x=b$

ぜ ん ぶ の $f$値 を 比くらべ て 最大さいだい ・ 最小さいしょう を 決きめ ま す。

例題れいだい

$f\left(x\right)=x^3-3x+2$ の $-2\le x\le 2$ で の 最大さいだい ・ 最小さいしょう を 求もとめよ。

$f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$。 $f^{\prime }\left(x\right)=0$ ⇒ $x=\pm 1$ (両方りょうほう区間くかん内ない)。

候補こうほ	$x$	$f\left(x\right)$
端はじ	$-2$	$-8+6+2=0$
極大きょくだい	$-1$	$-1+3+2=4$
極小きょくしょう	$1$	$1-3+2=0$
端はじ	$2$	$8-6+2=4$

最大さいだい値ち$4$ ($x=-1,2$)、 最小さいしょう値ち$0$ ($x=-2,1$)。

やって みよう: $f\left(x\right)=-x^3+3x$ の $0\le x\le 2$ で の 最大さいだい値ち と 最小さいしょう値ち を 求もとめよ。 (答こたえ: 最大さいだい$2$ ($x=1$)、 最小さいしょう$-2$ ($x=2$))

4. 方程式ほうていしき と 不等式ふとうしき へ の 応用おうよう

実数じっすう解かい の 個数こすう

方程式ほうていしき$f\left(x\right)=a$ の 実数じっすう解かい の 個数こすう は、 $y=f\left(x\right)$ の グラフ と 水平すいへい直線ちょくせん$y=a$ の 共有きょうゆう点てん の 個数こすう と 等ひとしい。

例題れいだい

$x^3-3x=a$ の 実数じっすう解かい の 個数こすう を $a$ で 場合ばあい分わけ せ よ。

$g\left(x\right)=x^3-3x$ と お く。 $g^{\prime }\left(x\right)=3x^2-3$、 $g^{\prime }\left(x\right)=0$ ⇒ $x=\pm 1$。 増減ぞうげん表ひょう を 作つくる と、 $g(-1)=2$ (極大きょくだい)、 $g\left(1\right)=-2$ (極小きょくしょう)。

$a$ の 範囲はんい	実数じっすう解かい の 個数こすう
$a>2$ または	$1$個
$a=2$ または $a=-2$	$2$個 ([重
	$3$個

不等式ふとうしき の 証明しょうめい

$f\left(x\right)-g\left(x\right)>0$ を 示しめし たい とき、 $h\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)$ と お い て 増減ぞうげん を 調しらべ、 最小さいしょう値ち が 正ただし で あ る こと を 示しめす 方法ほうほう が 強力きょうりょく。

大事だいじ: 「区間くかん全体ぜんたい で $h\left(x\right)\ge 0$」 を 示しめす に は、 そ の 区間くかん で の 最小さいしょう値ち$\ge 0$ を 言いえ ば よ い。 微分びぶん で 最小さいしょう値ち を 求もとめ る、 と い う の が 鉄板てっぱん の 流ながれ。

例題れいだい

$x\ge 0$ で $x^3+2\ge 3x$ を 示しめせ。

$h\left(x\right)=x^3-3x+2$ と お く。 $h^{\prime }\left(x\right)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$。 $x\ge 0$ で $h^{\prime }\left(x\right)=0$ ⇒ $x=1$。 増減ぞうげん表ひょう で $x=1$ で 最小さいしょう と わ か り、 $h\left(1\right)=1-3+2=0$。 区間くかん端たん$x=0$ で $h\left(0\right)=2>0$。 よ っ て 最小さいしょう値ち は $0$、 $h\left(x\right)\ge 0$ が 成立せいりつ (等号とうごう は $x=1$)。 □

5. 文章ぶんしょう題だい へ の 応用おうよう (最適さいてき化か)

容積ようせき の 最大さいだい化か

縦たて ・ 横よこ が $20\hspace{0.17em}cm$ ・ $30\hspace{0.17em}cm$ の 長方形ちょうほうけい の 紙かみ の 四隅よすみ か ら 同どう じ 大だい き さ の 正方形せいほうけい を 切きり取とり、 残のこり を 折おり 曲まげ て フ タ の な い 箱はこ を 作つくる。 体積たいせき を 最大さいだい に す る 切きり取とる 正方形せいほうけい の 一いち辺へん の 長ちょう さ は?

切きり取とる 一いち辺へん を $x$ () と お く と、 箱はこ の 寸法すんぽう は 縦$20-2x$、 横$30-2x$、 高こう さ $x$。

$V\left(x\right)=x(20-2x)(30-2x)=x(600-100x+4x^2)=4x^3-100x^2+600x$

$V^{\prime }\left(x\right)=12x^2-200x+600=4(3x^2-50x+150)$。 $V^{\prime }\left(x\right)=0$ ⇒ $x=\frac{50\pm \sqrt{2500-1800}}{6}=\frac{50\pm \sqrt{700}}{6}=\frac{50\pm 10\sqrt{7}}{6}=\frac{25\pm 5\sqrt{7}}{3}$。 $\sqrt{7}\approx 2.646$ な の で $x=\frac{25-5\sqrt{7}}{3}\approx 3.92$ (も う 一方いっぽう は $\frac{25+5\sqrt{7}}{3}\approx 12.74$ で 範囲はんい外がい)。

増減ぞうげん を 確認かくにん す る と $x\approx 3.9$ で 極大きょくだい (=最大さいだい)。

大事だいじ: 文章ぶんしょう題だい で は 変数へんすう を 何なに に 置 く か、 そ の 変数へんすう の 動どう く 範囲はんい を 明示めいじ す る こと が 採点さいてん の 大だい き な ポイント。

まとめ

• $f^{\prime }\left(x\right)>0$ で 増加ぞうか、 で 減少げんしょう
• 極大きょくだい ・ 極小きょくしょう は $f^{\prime }\left(x\right)=0$ の 前後ぜんご で 符号ふごう が 変かわる 点てん で 起おこる
• 増減表ぞうげんひょう に $x$、 $f^{\prime }\left(x\right)$、 $f\left(x\right)$ を 並ならべる の が 標準ひょうじゅん形がた
• 閉区間くかん の 最大さいだい ・ 最小さいしょう の 候補こうほ は 「極きょく値ち + 端点たんてん」 だ け
• 方程式の実数解の個数ほうていしきのじっすうかいのこすう は グラフ と 水平すいへい直線ちょくせん の 共有きょうゆう点てん で 数かぞえる

次じの 章しょう: 第だい 9 章しょう で 微分びぶん の 「逆ぎゃく」 で あ る 積分せきぶん に 進すすみ ます。 不定積分ふていせきぶん と 定積分ていせきぶん、 そ し て 面積めんせき の 計算けいさん を 学まなび ます。