微分びぶんの応用おうよう

この章しょうで学まなぶこと

第だい 7 章しょうで微分びぶんの道具どうぐがそろいました。 この章しょうではそれを武器ぶきに、 「関数かんすうの形かたちを自分じぶんで描えがく」 「最大さいだい ・ 最小さいしょうを求もとめる」 という応用おうように進すすみます。 手てでグラフが描えがけるようになると、 後ごの積分せきぶん (面積めんせき) や物理ぶつり (運動うんどうの解析かいせき) が一気いっきに見みやすくなります。

• 導関数どうかんすう の符号ふごう で関数かんすうの 増減ぞうげん を判定はんていできる
• 極大きょくだい ・ 極小きょくしょう を求もとめ、 増減表ぞうげんひょう を書かける
• 三さん次じ関数かんすうのグラフを描えがける
• 閉区間くかんでの 最大値さいだいち ・ 最小値さいしょうち を求もとめられる
• 方程式の実数解の個数ほうていしきのじっすうかいのこすう をグラフで数かぞえられる

1. 増減ぞうげんと極きょく値ち

単調たんちょう増加ぞうかと単調たんちょう減少げんしょう

ある区間くかんで $f^{\prime }\left(x\right)>0$ なら $f\left(x\right)$ はその区間くかんで 単調たんちょう増加ぞうか、 なら 単調たんちょう減少げんしょう です ($f$ のグラフが右みぎ上あがりか右みぎ下さがりか)。

$f^{\prime }\left(x\right)$ の符号ふごう	$f\left(x\right)$ の増減ぞうげん	グラフ
$f^{\prime }\left(x\right)>0$	増加ぞうか	右みぎ上あがり
$f^{\prime }\left(x\right)=0$	接線せっせんが水平すいへい	山やま ・ 谷たに ・ 平たいら
	減少げんしょう	右みぎ下さがり

極きょく値ちの定義ていぎ

ある点$x=a$ の近ちかくで $f\left(a\right)$ が最大さいだい (極限きょくげんして近ちかくだけでよい) なら 極大きょくだい、 最小さいしょうなら 極小きょくしょう。 このとき $f^{\prime }\left(a\right)=0$ が必要ひつよう条件じょうけんです (逆ぎゃくは必かならずしも真しんでない)。

大事だいじ: $f^{\prime }\left(a\right)=0$ であっても、 その前後ぜんごで符号ふごうが変かわらなければ 極きょく値ちではない。 例れい: $f\left(x\right)=x^3$ は $f^{\prime }\left(0\right)=0$ だが、 $x=0$ の前後ぜんごで $f^{\prime }\left(x\right)>0$ のままなので極ごく値ねではない (変へん曲きょく点てん)。

2. 増減ぞうげん表ひょうの書かき方かた

手順てじゅん

1. $f^{\prime }\left(x\right)$ を求もとめる
2. $f^{\prime }\left(x\right)=0$ を解といて $f^{\prime }\left(x\right)=0$ の点てん (極値きょくち候補こうほ) を求もとめる
3. 数すう直線ちょくせん にそれらを書かき、 各かく区間くかんで $f^{\prime }\left(x\right)$ の符号ふごうを調しらべる
4. 増減ぞうげん表ひょうに $x$、 $f^{\prime }\left(x\right)$、 $f\left(x\right)$ の三さん段だんを並ならべる
5. 極ごく値ねを表ひょうから読よみ取とる

例題れいだい

$f\left(x\right)=x^3-3x^2+4$ の増減ぞうげんを調しらべ、 極ごく値ねを求もとめよ。

$f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-6x=3x(x-2)$。 $f^{\prime }\left(x\right)=0$ ⇒ $x=0,2$。

$x$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$2$	$\cdots$
$f^{\prime }\left(x\right)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f\left(x\right)$	増まし	$4$	減げん	$0$	増まし

$f\left(0\right)=4$、 $f\left(2\right)=8-12+4=0$。 よって $x=0$ で極大きょくだい値ち$4$、 $x=2$ で極小きょくしょう値ち$0$。

グラフを描えがく

特徴とくちょう	三さん次じ関数かんすう$y=a{x}^3+\cdots$ ($a>0$)
$x\to -\infty$	$y\to -\infty$
$x\to +\infty$	$y\to +\infty$
形かたち	左下ひだりしたから右みぎ上じょう、 山やまと谷たにを一ひとつずつ (極きょく値ちが二ふたつある場合ばあい)

上うえの例れいだと、 左ひだりから上あがり、 $(0,4)$ で山やま、 $(2,0)$ で谷たに、 また右みぎ上じょうへ上あがり、 $x$軸に接せっするかどうかを $f\left(x\right)=0$ の解かいで確認かくにんします。

3. 最大さいだい値ちと最小さいしょう値ち

閉区間くかんでの求もとめ方かた

閉区間くかん$[a,b]$ で $f$ が連続れんぞくなら、 $f$ は 必かならず 最大さいだい値ちと最小さいしょう値ちをもちます。 候補こうほは次つぎの三さん種類しゅるいだけ。

1. 極きょく値ちをとる点てん ($f^{\prime }\left(x\right)=0$ の内部ないぶ解かい)
2. 区間くかんの端点たんてん $x=a$ と $x=b$

ぜんぶの $f$値を比くらべて最大さいだい ・ 最小さいしょうを決きめます。

例題れいだい

$f\left(x\right)=x^3-3x+2$ の $-2\le x\le 2$ での最大さいだい ・ 最小さいしょうを求もとめよ。

$f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$。 $f^{\prime }\left(x\right)=0$ ⇒ $x=\pm 1$ (両方りょうほう区間くかん内ない)。

候補こうほ	$x$	$f\left(x\right)$
端はじ	$-2$	$-8+6+2=0$
極大きょくだい	$-1$	$-1+3+2=4$
極小きょくしょう	$1$	$1-3+2=0$
端はじ	$2$	$8-6+2=4$

最大さいだい値ち$4$ ($x=-1,2$)、 最小さいしょう値ち$0$ ($x=-2,1$)。

やってみよう: $f\left(x\right)=-x^3+3x$ の $0\le x\le 2$ での最大さいだい値ちと最小さいしょう値ちを求もとめよ。 (答えこたえ: 最大さいだい$2$ ($x=1$)、 最小さいしょう$-2$ ($x=2$))

4. 方程式ほうていしきと不等式ふとうしきへの応用おうよう

実数じっすう解かいの個数こすう

方程式ほうていしき$f\left(x\right)=a$ の実数じっすう解かいの個数こすうは、 $y=f\left(x\right)$ のグラフと 水平すいへい直線ちょくせん$y=a$ の共有きょうゆう点てんの個数こすうと等ひとしい。

例題れいだい

$x^3-3x=a$ の実数じっすう解かいの個数こすうを $a$ で場合ばあい分わけせよ。

$g\left(x\right)=x^3-3x$ とおく。 $g^{\prime }\left(x\right)=3x^2-3$、 $g^{\prime }\left(x\right)=0$ ⇒ $x=\pm 1$。 増減ぞうげん表ひょうを作つくると、 $g(-1)=2$ (極大きょくだい)、 $g\left(1\right)=-2$ (極小きょくしょう)。

$a$ の範囲はんい	実数じっすう解かいの個数こすう
$a>2$ または	$1$個
$a=2$ または $a=-2$	$2$個 (重じゅう解かいを含ふくむ)
	$3$個

不等式ふとうしきの証明しょうめい

$f\left(x\right)-g\left(x\right)>0$ を示しめしたいとき、 $h\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)$ とおいて増減ぞうげんを調しらべ、 最小さいしょう値ちが正せいであることを示しめす方法ほうほうが強力きょうりょく。

大事だいじ: 「区間くかん全体ぜんたいで $h\left(x\right)\ge 0$」 を示しめすには、 その区間くかんでの最小さいしょう値ち$\ge 0$ を言いえばよい。 微分びぶんで最小さいしょう値ちを求もとめる、 というのが鉄板てっぱんの流ながれ。

例題れいだい

$x\ge 0$ で $x^3+2\ge 3x$ を示しめせ。

$h\left(x\right)=x^3-3x+2$ とおく。 $h^{\prime }\left(x\right)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$。 $x\ge 0$ で $h^{\prime }\left(x\right)=0$ ⇒ $x=1$。 増減ぞうげん表ひょうで $x=1$ で最小さいしょうとわかり、 $h\left(1\right)=1-3+2=0$。 区間くかん端たん$x=0$ で $h\left(0\right)=2>0$。 よって最小さいしょう値ちは $0$、 $h\left(x\right)\ge 0$ が成立せいりつ (等号とうごうは $x=1$)。 □

5. 文章ぶんしょう題だいへの応用おうよう (最適さいてき化か)

容積ようせきの最大さいだい化か

縦たて ・ 横よこが $20\hspace{0.17em}cm$ ・ $30\hspace{0.17em}cm$ の長方形ちょうほうけいの紙かみの四隅よすみから同おなじ大おおきさの正方形せいほうけいを切きり取とり、 残のこりを折おり曲まげてフタのない箱はこを作つくる。 体積たいせきを最大さいだいにする切きり取とる正方形せいほうけいの一いち辺へんの長ながさは?

切きり取とる一辺いっぺんを $x$ () とおくと、 箱はこの寸法すんぽうは縦$20-2x$、 横$30-2x$、 高たかさ $x$。

$V\left(x\right)=x(20-2x)(30-2x)=x(600-100x+4x^2)=4x^3-100x^2+600x$

$V^{\prime }\left(x\right)=12x^2-200x+600=4(3x^2-50x+150)$。 $V^{\prime }\left(x\right)=0$ ⇒ $x=\frac{50\pm \sqrt{2500-1800}}{6}=\frac{50\pm \sqrt{700}}{6}=\frac{50\pm 10\sqrt{7}}{6}=\frac{25\pm 5\sqrt{7}}{3}$。 $\sqrt{7}\approx 2.646$ なので $x=\frac{25-5\sqrt{7}}{3}\approx 3.92$ (もう一方いっぽうは $\frac{25+5\sqrt{7}}{3}\approx 12.74$ で範囲はんい外がい)。

増減ぞうげんを確認かくにんすると $x\approx 3.9$ で極大きょくだい (=最大さいだい)。

大事だいじ: 文章ぶんしょう題だいでは 変数へんすうを何なにに置おくか、 その変数へんすうの動うごく範囲はんい を明示めいじすることが採点さいてんの大おおきなポイント。

まとめ

• $f^{\prime }\left(x\right)>0$ で 増加ぞうか、 で 減少げんしょう
• 極大きょくだい ・ 極小きょくしょう は $f^{\prime }\left(x\right)=0$ の前後ぜんごで符号ふごうが変かわる点てんで起おこる
• 増減表ぞうげんひょう に $x$、 $f^{\prime }\left(x\right)$、 $f\left(x\right)$ を並ならべるのが標準ひょうじゅん形がた
• 閉区間くかんの 最大さいだい ・ 最小さいしょう の候補こうほは 「極きょく値ち + 端点たんてん」 だけ
• 方程式の実数解の個数ほうていしきのじっすうかいのこすう はグラフと水平すいへい直線ちょくせんの共有きょうゆう点てんで数かぞえる

次じの章しょう: 第だい 9 章しょうで微分びぶんの 「逆ぎゃく」 である 積分せきぶん に進すすみます。 不定積分ふていせきぶん と 定積分ていせきぶん、 そして面積めんせきの計算けいさんを学まなびます。