この 章 で 学ぶ こと
第 7 章 で 微分 の 道具 が そろい ました。 こ の 章 で は それ を 武器 に、 「関数 の 形 を 自分 で 描く」 「最大 ・ 最小 を 求める」 と い う 応用 に 進み ます。 手 で グラフ が 描け る よ う に なる と、 後 の 積分 (面積) や 物理 (運動 の 解析) が 一気 に 見やす く なり ます。
- 導関数 の 符号 で 関数 の 増減 を 判定 できる
- 極大 ・ 極小 を 求め、 増減表 を 書ける
- 三次関数 の グラフ を 描ける
- 閉区間 で の 最大値 ・ 最小値 を 求められる
- 方程式の実数解の個数 を グラフ で 数えられる
1. 増減 と 極値
単調増加 と 単調減少
ある 区間 で f′(x)>0 なら f(x) は その 区間 で 単調増加、 f′(x)<0 なら 単調減少 です (f の グラフ が 右上 がり か 右下 がり か)。
| f′(x) の 符号 | f(x) の 増減 | グラフ |
|---|---|---|
| f′(x)>0 | 増加 | 右上 がり |
| f′(x)=0 | 接線 が 水平 | 山 ・ 谷 ・ 平ら |
| f′(x)<0 | 減少 | 右下 がり |
極値 の 定義
ある 点x=a の 近 く で f(a) が 最大 (極限 し て 近 く だ け で よい) なら 極大、 最小 なら 極小。 こ の とき f′(a)=0 が 必要条件 で す (逆 は 必ずしも 真 で な い)。
大事: f′(a)=0 で あっ て も、 そ の 前後 で 符号 が 変わら なけれ ば 極値 で は な い。 例: f(x)=x3 は f′(0)=0 だ が、 x=0 の 前後 で f′(x)>0 の まま な の で 極値 で は な い (変曲点)。
2. 増減表 の 書き方
手順
- f′(x) を 求める
- f′(x)=0 を 解い て f′(x)=0 の 点 (極値候補) を 求める
- 数直線 に そ れら を 書き、 各区間 で f′(x) の 符号 を 調べる
- 増減表 に x、 f′(x)、 f(x) の 三段 を 並べる
- 極値 を 表 か ら 読み取る
例題
f(x)=x3−3x2+4 の 増減 を 調べ、 極値 を 求めよ。
f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)。 f′(x)=0 ⇒ x=0,2。
| x | ⋯ | 0 | ⋯ | 2 | ⋯ |
|---|
| f′(x) | + | 0 | − | 0 | + |
| f(x) | 増 | 4 | 減 | 0 | 増 |
f(0)=4、 f(2)=8−12+4=0。 よって x=0 で 極大値4、 x=2 で 極小値0。
グラフ を 描く
| 特徴 | 三次関数y=ax3+⋯ (a>0) |
|---|
| x→−∞ | y→−∞ |
| x→+∞ | y→+∞ |
| 形 | 左下 か ら 右上、 山 と 谷 を 一 つ ず つ (極値 が 二 つ ある 場合) |
上 の 例 だ と、 左 か ら 上 が り、 (0,4) で 山、 (2,0) で 谷、 ま た 右上 へ 上 が り、 x軸 に 接 す る か ど う か を f(x)=0 の 解 で 確認 し ま す。
3. 最大値 と 最小値
閉区間 で の 求め 方
閉区間[a,b] で f が 連続 なら、 f は 必ず 最大値 と 最小値 を も ち ま す。 候補 は 次 の 三種類 だ け。
- 極値 を と る 点 (f′(x)=0 の 内部解)
- 区間 の 端点 x=a と x=b
ぜ ん ぶ の f値 を 比べ て 最大 ・ 最小 を 決め ま す。
例題
f(x)=x3−3x+2 の −2≤x≤2 で の 最大 ・ 最小 を 求めよ。
f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)。 f′(x)=0 ⇒ x=±1 (両方区間内)。
| 候補 | x | f(x) |
|---|
| 端 | −2 | −8+6+2=0 |
| 極大 | −1 | −1+3+2=4 |
| 極小 | 1 | 1−3+2=0 |
| 端 | 2 | 8−6+2=4 |
最大値4 (x=−1,2)、 最小値0 (x=−2,1)。
やって みよう: f(x)=−x3+3x の 0≤x≤2 で の 最大値 と 最小値 を 求めよ。 (答え: 最大2 (x=1)、 最小−2 (x=2))
4. 方程式 と 不等式 へ の 応用
実数解 の 個数
方程式f(x)=a の 実数解 の 個数 は、 y=f(x) の グラフ と 水平直線y=a の 共有点 の 個数 と 等しい。
例題
x3−3x=a の 実数解 の 個数 を a で 場合分け せ よ。
g(x)=x3−3x と お く。 g′(x)=3x2−3、 g′(x)=0 ⇒ x=±1。 増減表 を 作る と、 g(−1)=2 (極大)、 g(1)=−2 (極小)。
| a の 範囲 | 実数解 の 個数 |
|---|
| a>2 または a<−2 | 1個 |
| a=2 または a=−2 | 2個 ([重 |
| −2<a<2 | 3個 |
不等式 の 証明
f(x)−g(x)>0 を 示し たい とき、 h(x)=f(x)−g(x) と お い て 増減 を 調べ、 最小値 が 正 で あ る こと を 示す 方法 が 強力。
大事: 「区間全体 で h(x)≥0」 を 示す に は、 そ の 区間 で の 最小値≥0 を 言え ば よ い。 微分 で 最小値 を 求め る、 と い う の が 鉄板 の 流れ。
例題
x≥0 で x3+2≥3x を 示せ。
h(x)=x3−3x+2 と お く。 h′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)。 x≥0 で h′(x)=0 ⇒ x=1。 増減表 で x=1 で 最小 と わ か り、 h(1)=1−3+2=0。 区間端x=0 で h(0)=2>0。 よ っ て 最小値 は 0、 h(x)≥0 が 成立 (等号 は x=1)。 □
5. 文章題 へ の 応用 (最適化)
容積 の 最大化
縦 ・ 横 が 20cm ・ 30cm の 長方形 の 紙 の 四隅 か ら 同 じ 大 き さ の 正方形 を 切り取り、 残り を 折り 曲げ て フ タ の な い 箱 を 作る。 体積 を 最大 に す る 切り取る 正方形 の 一辺 の 長 さ は?
切り取る 一辺 を x (0<x<10) と お く と、 箱 の 寸法 は 縦20−2x、 横30−2x、 高 さ x。
V(x)=x(20−2x)(30−2x)=x(600−100x+4x2)=4x3−100x2+600x
V′(x)=12x2−200x+600=4(3x2−50x+150)。 V′(x)=0 ⇒ x=650±2500−1800=650±700=650±107=325±57。 7≈2.646 な の で x=325−57≈3.92 (も う 一方 は 325+57≈12.74 で 範囲外)。
増減 を 確認 す る と x≈3.9 で 極大 (=最大)。
大事: 文章題 で は 変数 を 何 に 置 く か、 そ の 変数 の 動 く 範囲 を 明示 す る こと が 採点 の 大 き な ポイント。
まとめ
- f′(x)>0 で 増加、 f′(x)<0 で 減少
- 極大 ・ 極小 は f′(x)=0 の 前後 で 符号 が 変わる 点 で 起こる
- 増減表 に x、 f′(x)、 f(x) を 並べる の が 標準形
- 閉区間 の 最大 ・ 最小 の 候補 は 「極値 + 端点」 だ け
- 方程式の実数解の個数 は グラフ と 水平直線 の 共有点 で 数える
次の 章: 第 9 章 で 微分 の 「逆」 で あ る 積分 に 進み ます。 不定積分 と 定積分、 そ し て 面積 の 計算 を 学び ます。