微分びぶんの応用おうよう一いち問もん一いち答とう

この一問一答で出る問題

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1. ある区間くかんで $f'(x) > 0$ なら、 $f(x)$ はその区間くかんでどうなるか？
   • ・単 調 減少
   • ・一 定
   • ・単 調 増加
   • ・極大
2. 関数かんすう$f(x)$ が $x = a$ で 極大きょくだい または 極小きょくしょう をとるための 必要ひつよう条件じょうけん はどれですか？ ($f$ は微分びぶん可能かのう)
   • ・$f(a) = 0$
   • ・$f''(a) = 0$
   • ・$f'(a) > 0$
   • ・$f'(a) = 0$
3. $f(x) = x^3$ の $x = 0$ での $f'$ の値あたいは $0$ だが、 $x = 0$ で極値きょくちをとらない。 その理由りゆうとして正ただしいものはどれですか？
   • ・$f$ が 連 続 で な い か ら
   • ・$x = 0$ の 前後 で $f'(x)$ の 符号 が 変 わ ら な い か ら
   • ・$f(0) = 0$ だ か ら
   • ・$f$ が 奇 関数 だ か ら
4. $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ の 極大きょくだい値ち はどれですか？
   • ・$0$
   • ・$2$
   • ・$4$
   • ・$8$
5. $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ の 極小きょくしょう値ち はどれですか？
   • ・$-4$
   • ・$0$
   • ・$2$
   • ・$4$
6. 増減表ぞうげんひょう に並ならべる三さん段だんはどれですか？
   • ・$x$、 $f(x)$、 $f''(x)$
   • ・$x$、 $f'(x)$、 $f''(x)$
   • ・$f(x)$、 $f'(x)$、 $f''(x)$
   • ・$x$、 $f'(x)$、 $f(x)$
7. 三さん次じ関数かんすう$y = ax^3 + \cdots$ ($a > 0$) の グラフ の $x \to +\infty$ での振ふる舞まいはどれですか？
   • ・$y \to +\infty$
   • ・$y \to 0$
   • ・$y \to -\infty$
   • ・$y$ は 一 定
8. 閉区間くかん$[a, b]$ で連続れんぞくな関数かんすう$f$ の 最大値さいだいち ・ 最小値さいしょうち の候補こうほとして必要ひつようなのはどれですか？
   • ・極値 を と る 点 だ け
   • ・区間 の 端 点 だ け
   • ・$f(x) = 0$ と な る 点 だ け
   • ・極値 を と る 点 と 区間 の 端 点
9. $f(x) = x^3 - 3x + 2$ の $-2 \leq x \leq 2$ で の 最大値さいだいち はどれですか？
   • ・$0$
   • ・$2$
   • ・$4$
   • ・$6$
10. $f(x) = x^3 - 3x + 2$ の $-2 \leq x \leq 2$ で の 最小値さいしょうち はどれですか？
    • ・$0$
    • ・$-2$
    • ・$2$
    • ・$4$
11. $f(x) = -x^3 + 3x$ の $0 \leq x \leq 2$ で の 最大値さいだいち はどれですか？
    • ・$2$
    • ・$-2$
    • ・$0$
    • ・$1$
12. 方程式ほうていしき$x^3 - 3x = a$ が 異ことなる 3 個この実数じっすう解かい を持もつのは $a$ がどの範囲はんいのときか？
    • ・$-2 < a < 2$
    • ・$a > 2$
    • ・$a < -2$
    • ・$a = 0$ の と き だ け
13. 方程式ほうていしき$x^3 - 3x = a$ が 重じゅう解かい を含ふくむのは $a$ がいくつのときか？
    • ・$a = 0$ の と き だ け
    • ・$a = \pm 1$ の と き
    • ・$a = \pm 3$ の と き
    • ・$a = \pm 2$ の と き
14. 微分びぶんを用もちいて不等式ふとうしき$h(x) \geq 0$ を区間くかん全体ぜんたいで示しめすとき、 鉄板てっぱんの手順てじゅんはどれですか？
    • ・$h(x)$ を 二 乗 し て $0$ 以上 を 示 す
    • ・$h(x)$ の 区間 で の 最小値 が $0$ 以上 で あ る こ と を 示 す
    • ・$h(x)$ の 最大値 が $0$ 以上 で あ る こ と を 示 す
    • ・$h'(x) > 0$ を 示 す
15. $x \geq 0$ で $x^3 + 2 \geq 3x$ を示しめすとき、 $h(x) = x^3 - 3x + 2$ の最小値さいしょうちはどれですか？
    • ・$0$
    • ・$-2$
    • ・$2$
    • ・$4$
16. 縦$20\,\mathrm{cm}$、 横$30\,\mathrm{cm}$ の紙かみの四隅よすみから同おなじ大おおきさの正方形せいほうけいを切きり取とってフタのない箱はこを作つくる。 体積たいせきを最大さいだいにする一いち辺へん$x$ の取とり得える範囲はんいはどれですか？
    • ・$0 < x < 10$
    • ・$0 < x < 5$
    • ・$0 < x < 15$
    • ・$0 < x < 20$
17. 三さん次じ関数かんすう$f(x)$ が 極値きょくちをもたない ための条件じょうけんは、 $f'(x) = 0$ がどうなっていることか？
    • ・重 解 ま た は 実 解 を 持 た な い
    • ・異 な る 2 実 解 を 持 つ
    • ・解 を 持 た な い
    • ・解 が 無 数 に あ る
18. $f(x) = x^3 - 3ax + 2$ が 極値きょくちをもつ ための $a$ の条件じょうけんはどれですか？
    • ・$a < 0$
    • ・$a \geq 0$
    • ・$a > 0$
    • ・$a$ は 任 意
19. 増減ぞうげん表ひょうで $x = a$ の前後ぜんごで $f'(x)$ が $+ \to -$ と変かわるとき、 $x = a$ は何なにか？
    • ・極小
    • ・変曲点
    • ・極大
    • ・不連続点
20. 曲線きょくせん$y = f(x)$ と直線ちょくせん$y = a$ の共有きょうゆう点てんの個数こすうを求もとめる問題もんだいが、 微分びぶんの応用おうようで 「方程式ほうていしきの実数じっすう解かいの個数こすう」 を数かぞえる問題もんだいと同おなじになる根拠こんきょはどれですか？
    • ・両 方 が 一 次 式 だ か ら
    • ・$f$ が 微分 可 能 だ か ら
    • ・$f(x) = a$ の 解 は グラフ と 水平 直線 の 共有 点 の $x$ 座標 だ か ら
    • ・$f$ が 連 続 だ か ら