最速降下線とは、高低差のある 2 点 を結ぶ曲線のうち、重力のみで玉を転がしたときに到達時間が最短となる曲線です。
| 経路 | 到達時間 |
|---|---|
| 直線 | 最短ではない |
| 円弧 | 最短ではない |
| サイクロイド | 最短 |
意外なことに、最短距離である直線が最速ではありません。序盤で急に下って加速するサイクロイドが最速になります。
たとえば 半径 の円が転がってできるサイクロイド 、 を上下逆さまにしたものが、この曲線の正体です。 を入れると 、 なので、横に 進むあいだに だけ下るカーブになります。
ポイント 1696 年にベルヌーイが提起し、サイクロイドが答えであることが変分法で証明された。数III の微積分と物理(エネルギー保存)を結ぶ古典的な題材。