ベクトル｜高校数学C 空間ベクトル｜外積・行列は発展

この章しょうで学まなぶこと

ベクトルべくとるは 平成へいせい 30 年ねん告示こくじ で 数学すうがく B から数学すうがく C に移い行こう しました。この章しょうでは 空間くうかんベクトル を中心ちゅうしんに、内積ないせき、直線ちょくせんや 平面へいめんの方程てい式 を学まなびます。加くわえて大学だいがく線形代数せんけいだいすうへの橋渡わたしとして、 外積がいせき や 行列ぎょうれつ・1次変換いちじへんかん を 【発展はってん】 扱あつかいで紹しょう介かいします (R4 課程かていでは高校こうこう範囲はんい外がいだが、物理ぶつりや大学だいがく数学すうがくで必ひっ須す)。

空間くうかんベクトルべくとるの成分せいぶん表示ひょうじと計けい算さん
内積ないせき $a ⃗ \cdot b ⃗$ の定てい義ぎと用よう途と
空間くうかんの 直ちょく線せん と 平面へいめん の方程てい式
【発展はってん】外積がいせき $a ⃗ \times b ⃗$ の計けい算さんと幾き何か的意味み
【発展はってん】行列ぎょうれつ の基き本ほんと1次変換いちじへんかんの入いり口くち

ポイント: 平面へいめんベクトルは「位い置ちと向むきと大おおきさ」を同時どうじに扱あつかえる道どう具ぐでした。空間くうかんでも考かんがえ方かたは同おなじで、成分せいぶんが 1 つふえるだけです。しかし「2 つのベクトルの両方りょうほうに垂直すいちょくなベクトル」を作つくる 外積がいせき など、空間くうかんだけの新あたらしい道どう具ぐが加くわわります。

1. 空間くうかんベクトルの成分せいぶん表示ひょうじ

空間くうかん座標ざひょうと基本きほんベクトル

空間くうかんに原げん点てん $O$ と互いたがに垂直すいちょくな 3 軸じく ( $x, y, z$ ) をとった 空間座標くうかんざひょう を考えかんがえます。点 $P$ の座標ざひょうは $(x, y, z)$ と書かき、ベクトルべくとる $O P ⃗$ は 成分せいぶん を使つかって

$O P ⃗ = (x, y, z)$

と表あらわします。さらに 基本ベクトルきほんべくとる を

$e_{1} ⃗ = (1, 0, 0), e_{2} ⃗ = (0, 1, 0), e_{3} ⃗ = (0, 0, 1)$

と定さだめると、任にん意いの空間くうかんベクトルは

$a ⃗ = a_{1} e_{1} ⃗ + a_{2} e_{2} ⃗ + a_{3} e_{3} ⃗ = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$

の形かたちに一いち意いに分解ぶんかいできます。

大おおきさと演算えんざん

演えん算ざん	式しき
大おおきさ	$∣ a ⃗ ∣ = \sqrt{a 12 + a 22 + a 32}$
和わ	$a ⃗ + b ⃗ = (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, a_{3} + b_{3})$
差さ	$a ⃗ - b ⃗ = (a_{1} - b_{1}, a_{2} - b_{2}, a_{3} - b_{3})$
実数じっすう倍	$k a ⃗ = (k a_{1}, k a_{2}, k a_{3})$

例題れいだい 1

$a ⃗ = (2, - 1, 3)$ , $b ⃗ = (1, 2, - 2)$ のとき、 $∣ a ⃗ ∣$ と $a ⃗ + 2 b ⃗$ を求もとめよ。

解かい: $∣ a ⃗ ∣ = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$ 。 $a ⃗ + 2 b ⃗ = (2 + 2, - 1 + 4, 3 - 4) = (4, 3, - 1)$ 。

2. 内積ないせき (空間くうかんベクトル)

内積ないせきの定義ていぎ

2 つの空間くうかんベクトルべくとる $a ⃗, b ⃗$ のなす角かくを $θ$ ( $0 \leq θ \leq π$ ) とすると、 内積ないせき は

$a ⃗ \cdot b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ \cos θ$

成分せいぶん表示ひょうじでは

$a ⃗ \cdot b ⃗ = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$

となり、平面へいめんの場合ばあいと同おなじ形かたちに 1 項こう加くわわるだけです。

内積ないせきの性質せいしつ

性せい質しつ	式しき
交こう換かん則そく	$a ⃗ \cdot b ⃗ = b ⃗ \cdot a ⃗$
分ぶん配ぱい則そく	$a ⃗ \cdot (b ⃗ + c ⃗) = a ⃗ \cdot b ⃗ + a ⃗ \cdot c ⃗$
実数じっすう倍	$(k a ⃗) \cdot b ⃗ = k (a ⃗ \cdot b ⃗)$
大おおきさとの関係かんけい	$a ⃗ \cdot a ⃗ = ∣ a ⃗ ∣^{2}$

垂直すいちょく条件じょうけん

$a ⃗ \neq 0 ⃗, b ⃗ \neq 0 ⃗$ のとき、

$a ⃗ ⊥ b ⃗ ⟺ a ⃗ \cdot b ⃗ = 0$

例題れいだい 2

$a ⃗ = (1, 2, 2), b ⃗ = (2, - 1, 2)$ のなす角かくを求もとめよ。

解かい: $a ⃗ \cdot b ⃗ = 2 - 2 + 4 = 4$ , $∣ a ⃗ ∣ = 3, ∣ b ⃗ ∣ = 3$ 。よって $\cos θ = \frac{4}{9}$ 。 $θ = \cos^{- 1} \frac{4}{9}$ 。

3. 外積がいせき (ベクトル積せき)

定義ていぎと公式こうしき

数学すうがく C で新あたらしく学まなぶ 外積がいせき (ベクトル積べくとるせき) は、 2 つの空間くうかんベクトル $a ⃗ = (a_{1}, a_{2}, a_{3}), b ⃗ = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ に対たいして

$a ⃗ \times b ⃗ = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}, a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}, a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})$

で定義ていぎされる 新あたらしいベクトル です。結果けっかがスカラーすからーになる内積ないせきと区く別べつしてください。

外積がいせきの幾何きか的てき意味いみ

性せい質しつ	内ない容よう
向むき	$a ⃗, b ⃗$ の両方りょうほうに垂直すいちょく、右手みぎて系けい (右みぎねじの向むき)
大おおきさ	$∣ a ⃗ \times b ⃗ ∣ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ \sin θ$ ( $θ$ はなす角かく)
意い味み	$a ⃗, b ⃗$ がはる平へい行こう四し辺へん形けいの面積めんせきに一いっ致ち

外積がいせきの性質せいしつ

性せい質しつ	式しき
反交こう換かん則そく	$b ⃗ \times a ⃗ = - a ⃗ \times b ⃗$
分ぶん配ぱい則そく	$a ⃗ \times (b ⃗ + c ⃗) = a ⃗ \times b ⃗ + a ⃗ \times c ⃗$
実数じっすう倍	$(k a ⃗) \times b ⃗ = k (a ⃗ \times b ⃗)$
平へい行こう条件じょうけん	$a ⃗ ∥ b ⃗ ⟺ a ⃗ \times b ⃗ = 0 ⃗$

例題れいだい 3

$a ⃗ = (1, 2, 3), b ⃗ = (2, - 1, 1)$ の外がい積せきと、 $a ⃗, b ⃗$ がはる平へい行こう四し辺へん形けいの面積めんせき $S$ を求もとめよ。

解かい:

$a ⃗ \times b ⃗ = (2 \cdot 1 - 3 \cdot (- 1), 3 \cdot 2 - 1 \cdot 1, 1 \cdot (- 1) - 2 \cdot 2) = (5, 5, - 5)$

$S = ∣ a ⃗ \times b ⃗ ∣ = \sqrt{25 + 25 + 25} = 5 \sqrt{3}$

4. 直線ちょくせんと平面へいめんの方程式ほうていしき

空間くうかん直線ちょくせんのベクトル方程式ほうていしき

通過つうか点てん $A (a ⃗)$ と方ほう向こうベクトルべくとる $d ⃗$ があるとき、直ちょく線せん $ℓ$ 上の点 $P (p ⃗)$ は

$p ⃗ = a ⃗ + t d ⃗ (t \in R)$

成分せいぶんで書かくと $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ , $d ⃗ = (l, m, n)$ ( $l m n \neq 0$ ) として

$\frac{x - x_{0}}{l} = \frac{y - y_{0}}{m} = \frac{z - z_{0}}{n}$

これを直ちょく線せんの 対称式たいしょうしき と呼よびます。

平面へいめんの方程式ほうていしき

法ほう線せんベクトルべくとる $n ⃗ = (a, b, c)$ と通過つうか点てん $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ を持もつ 平面へいめん は

$a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$

整理せいりして $a x + b y + c z + d = 0$ ( $d = - a x_{0} - b y_{0} - c z_{0}$ ) と書かけます。

点てんと平面へいめんの距離きょり

点 $P (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ と平へい面めん $a x + b y + c z + d = 0$ の 距離きょり は

$h = \frac{∣ a x_{1} + b y_{1} + c z_{1} + d ∣}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

例題れいだい 4

3 点 $A (1, 0, 0), B (0, 2, 0), C (0, 0, 3)$ を通とおる平へい面めんの方程てい式を求もとめよ。

解かい: $A B ⃗ = (- 1, 2, 0), A C ⃗ = (- 1, 0, 3)$ の外がい積せき

$A B ⃗ \times A C ⃗ = (6, 3, 2)$

を法ほう線せんとし、点 $A (1, 0, 0)$ を通とおるから $6 (x - 1) + 3 y + 2 z = 0$ 、すなわち $6 x + 3 y + 2 z = 6$ 。

5. 球たまと距離きょり

球たまの方程式ほうていしき

中心ちゅうしん $C (a, b, c)$ 、半はん径けい $r$ の 球きゅう は

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = r^{2}$

これは円えんの方程てい式を 1 次元じげん増ふやした形かたちです。

平面へいめんと球たまの関係かんけい

平へい面めんと球たまの関係かんけいは、中心ちゅうしんから平へい面めんへの距きょ離り $h$ と半はん径けい $r$ の大小だいしょうで決きまります。

関係かんけい	条件じょうけん	共きょう通つう部分ぶぶん
離れはなる	$h > r$	なし
接せっする	$h = r$	1 点てん
交まじわる	$h < r$	円えん (半はん径けい $\sqrt{r^{2} - h^{2}}$ )

6. 行列ぎょうれつ入門にゅうもん

行列ぎょうれつとは

数かずを長方ほう形けいに並ならべたものを 行列ぎょうれつ と呼よびます。横よこの並ならびを 行ぎょう、縦たての並ならびを 列れつ と呼よび、 $m$ 行 $n$ 列の行ぎょう列れつを $m \times n$ 行ぎょう列れつと言いいます。

$A = (1234), B = (a b c d e f)$

$A$ は $2 \times 2$ 、 $B$ は $2 \times 3$ 行ぎょう列れつです。

行列ぎょうれつの演算えんざん

演えん算ざん	規き則そく
和わ	同おなじ型かたの行ぎょう列れつどうし、成分せいぶんごとに加くわえる
実数じっすう倍	全すべての成分せいぶんを $k$ 倍ばいする
積つむ	$A$ ( $m \times n$ ) と $B$ ( $n \times p$ ) の積せきは $m \times p$ 、 $(A B)_{i j} = \sum_{k} a_{i k} b_{k j}$

単位たんい行列ぎょうれつと逆ぎゃく行列ぎょうれつ

$2 \times 2$ の 単位行列たんいぎょうれつ は

$E = (1001)$

行ぎょう列れつ $A = (a b c d)$ の 行列式ぎょうれつしき は $\det A = a d - b c$ で、 $\det A \neq 0$ のとき 逆行列ぎゃくぎょうれつ が

$A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - b - c a)$

で与あたえられます。

例題れいだい 5

$A = (2132)$ の逆行ぎゃっこう列れつを求もとめよ。

解かい: $\det A = 4 - 3 = 1$ より $A^{- 1} = (2 - 1 - 3 2)$ 。

7. 1 次じ変換へんかんの入いり口くち

行列ぎょうれつで平面へいめんを動うごかす

$2 \times 2$ 行ぎょう列れつ $A$ を用もちいて、平へい面めん上じょうの点 $(x, y)$ を

$(x^{'} y^{'}) = A (x y)$

に対応たいおうさせる操そう作さを 1次変換いちじへんかん と呼よびます。これは 線せん形けい な変へん換かん (和わと実数じっすう倍ばいを保たもつ) に限かぎられます。

代表だいひょう的てきな 1 次じ変換へんかん

変へん換かん	行ぎょう列れつ $A$
原げん点てん中心ちゅうしん、角 $θ$ の回転かいてん	$(\cos θ - \sin θ \sin θ \cos θ)$
$x$ 軸対称しょう	$(100 - 1)$
$y$ 軸対称しょう	$(- 1 001)$
原げん点てん中心ちゅうしん $k$ 倍ばい拡大かくだい	$(k 00 k)$

例題れいだい 6

$60 °$ の回かい転てんを表あらわす行ぎょう列れつで、点 $(1, 0)$ を動うごかせ。

解かい: $A = (1 / 2 - \sqrt{3} / 2 \sqrt{3} / 2 1 / 2)$ で

$A (10) = (1 / 2 \sqrt{3} / 2)$

つまり単位たんい円上えんじょうの $60 °$ の点てんに移うつります。

8. 大学だいがく数学すうがくへの橋渡はしわたし

高校こうこうで学まなぶこと	大学だいがく線せん形けい代だい数すうでの拡かく張ちょう
空間くうかんベクトルべくとる	$n$ 次元じげんベクトル空間べくとるくうかん、基底きてい、次元じげん
内積ないせき	内ない積せき空くう間かん、直交ちょっこう基底きてい
外積がいせき	外がい積せき代だい数すう、微び分ぶん形けい式しき
行列ぎょうれつ	$n \times n$ 行ぎょう列れつ、固有値こゆうち・固有ベクトルこゆうべくとる・行列式ぎょうれつしきの一いっ般ぱん化
1次変換いちじへんかん	線せん形けい写しゃ像ぞう、表現ひょうげん行ぎょう列れつ、対角化たいかくか

大事だいじ: 数学すうがく C のベクトルと行ぎょう列れつは、 線形代数せんけいだいすう という大学だいがく数学すうがくの最さい重要じゅうよう分ぶん野やへの入いり口くちです。物理ぶつり・工学こうがく・情報じょうほう (機械学習きかいがくしゅう・3DCG) で必須ひっすの言げん語ごなので、計けい算さんだけでなく「幾き何か的に何なにが起おきているか」を図ずでつかんでください。

章しょう末まつまとめ

空間くうかんベクトルべくとる = $(a_{1}, a_{2}, a_{3})$ 、大おおきさ $∣ a ⃗ ∣ = \sqrt{a 12 + a 22 + a 32}$
内積ないせき $a ⃗ \cdot b ⃗ = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$ で角度かくど・垂直すいちょくが分わかる
外積がいせき $a ⃗ \times b ⃗$ は両方りょうほうに垂直すいちょくで、大おおきさは平へい行こう四し辺へん形けいの面積めんせき
平へい面めん $a x + b y + c z + d = 0$ 、法ほう線せん $n ⃗ = (a, b, c)$
行列の積ぎょうれつのせき・逆行列ぎゃくぎょうれつ・1次変換いちじへんかんは線せん形けい代だい数すうへの入いり口ぐち

ベクトル (空間くうかんベクトル中心ちゅうしん、 外積がいせき・行列ぎょうれつ・1 次じ変換へんかんは 【発展はってん】)