ベクトル (空間くうかん ベクトル 中心ちゅうしん、 外積がいせき・行列ぎょうれつ・1 次じ変換へんかん は 【発展はってん】)

この 章しょう で 学まなぶ こと

ベクトル は 平成へいせい 30 年ねん告示こくじ で 数学すうがく B か ら 数学すうがく C に 移い行こう し ま し た。 こ の 章しょう で は 空間くうかん ベクトル を 中心ちゅうしん に、 内積ないせき、 直線ちょくせん や 平面へいめん の 方程てい式 を 学がく び ま す。 加か え て 大学だいがく線形代数せんけいだいすう へ の 橋渡わたし と し て、 外積がいせき や 行列ぎょうれつ・1次変換1じへんかん を 【発展はってん】 扱 い で 紹しょう介かい し ま す (R4 課程かてい で は 高校こうこう範囲はんい外がい だ が、 物理ぶつり や 大学だいがく数学すうがく で 必ひっ須す)。

• 空間くうかんベクトル の 成分せいぶん表示ひょうじ と 計けい算さん
• 内積ないせき $a⃗\cdot b⃗$ の 定てい義ぎ と 用よう途と
• 空間くうかん の 直ちょく線せん と 平面へいめん の 方程てい式
• 【発展はってん】 外積がいせき $a⃗\times b⃗$ の 計けい算さん と 幾き何か的意味み
• 【発展はってん】 行列ぎょうれつ の 基き本ほん と 1次変換1じへんかん の 入いり り 口くち

ポイント: 平面へいめん ベクトル は 「位い置ち と 向むこう き と 大だい き さ」 を 同時どうじ に 扱 え る 道どう具ぐ で し た。 空間くうかん で も 考こう え 方かた は 同どう じ で、 成分せいぶん が 1 つ ふ え る だ け で す。 し か し 「2 つ の ベクトル の 両方りょうほう に 垂すい直ちょく な ベクトル」 を 作さく る 外積がいせき な ど、 空間くうかん だ け の 新しん し い 道どう具ぐ が 加か わ り ま す。

1. 空間くうかん ベクトル の 成分せいぶん表示ひょうじ

空間くうかん座標ざひょう と 基本きほん ベクトル

空間くうかん に 原げん点てん$O$ と 互いたが に 垂すい直ちょく な 3 軸じく ($x,y,z$) を と っ た 空間座標くうかんざひょう を 考こう え ま す。 点$P$ の 座標ざひょう は $(x,y,z)$ と 書しょ き、 ベクトル$OP⃗$ は 成分せいぶん を 使し っ て

$OP⃗=(x,y,z)$

と 表ひょう し ま す。 さ ら に 基本ベクトルきほんベクトル を

$e_1⃗=(1,0,0),e_2⃗=(0,1,0),e_3⃗=(0,0,1)$

と 定じょう め る と、 任にん意い の 空間くうかん ベクトル は

$a⃗=a_1{e}_1⃗+a_2{e}_2⃗+a_3{e}_3⃗=(a_1,a_2,a_3)$

の 形かたち に 一いち意い に 分解ぶんかい で き ま す。

大おおきさ と 演算えんざん

演えん算ざん	式しき
大だい き さ	$\mid a⃗\mid =\sqrt{a12+a22+a32}$
和わ	$a⃗+b⃗=(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)$
差さ	$a⃗-b⃗=(a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3)$
[[実数	じっすう]]倍

例題れいだい 1

$a⃗=(2,-1,3)$, $b⃗=(1,2,-2)$ の と き、 $\mid a⃗\mid$ と $a⃗+2b⃗$ を 求もとめ め よ。

解かい: $\mid a⃗\mid =\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}$。 $a⃗+2b⃗=(2+2,-1+4,3-4)=(4,3,-1)$。

2. 内積ないせき (空間くうかん ベクトル)

内積ないせき の 定義ていぎ

2 つ の 空間くうかんベクトル$a⃗,b⃗$ の な す 角かく を $\theta$ ($0\le \theta \le \pi$) と す る と、 内積ないせき は

$a⃗\cdot b⃗=\mid a⃗\mid \hspace{0.17em}\mid b⃗\mid \cos \theta$

成分せいぶん表示ひょうじ で は

$a⃗\cdot b⃗=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$

と な り、 平面へいめん の 場合ばあい と 同どう じ 形かたち に 1 項こう加か わ る だ け で す。

内積ないせき の 性質せいしつ

性せい質しつ	式しき
交こう換かん則そく	$a⃗\cdot b⃗=b⃗\cdot a⃗$
分ぶん配ぱい則そく	$a⃗\cdot (b⃗+c⃗)=a⃗\cdot b⃗+a⃗\cdot c⃗$
[[実数	じっすう]]倍
大だい き さ と の 関係かんけい	$a⃗\cdot a⃗=\mid a⃗{\mid }^2$

垂直すいちょく条件じょうけん

$a⃗\ne 0⃗,b⃗\ne 0⃗$ の と き、

$a⃗\perp b⃗\hspace{0.25em} ⟺\hspace{0.25em} a⃗\cdot b⃗=0$

例題れいだい 2

$a⃗=(1,2,2),b⃗=(2,-1,2)$ の な す 角かく を 求もとめ め よ。

解かい: $a⃗\cdot b⃗=2-2+4=4$, $\mid a⃗\mid =3,\mid b⃗\mid =3$。 よ っ て $\cos \theta =\frac{4}{9}$。 $\theta ={\cos }^{-1}\frac{4}{9}$。

3. 外積がいせき (ベクトル積せき)

定義ていぎ と 公式こうしき

数学すうがく C で 新しん し く 学がく ぶ 外積がいせき (ベクトル積ベクトルせき) は、 2 つ の 空間くうかん ベクトル $a⃗=(a_1,a_2,a_3),b⃗=(b_1,b_2,b_3)$ に 対たい し て

$a⃗\times b⃗=(a_2{b}_3-a_3{b}_2, a_3{b}_1-a_1{b}_3, a_1{b}_2-a_2{b}_1)$

で 定義ていぎ さ れ る 新しん し い ベクトル で す。 結果けっか が スカラー に な る 内積ないせき と 区く別べつ し て く だ さ い。

外積がいせき の 幾何きか的てき意味いみ

性せい質しつ	内ない容よう
向むこう き	$a⃗,b⃗$ の 両方りょうほう に 垂すい直ちょく、 右手みぎて系けい (右みぎ ね じ の 向むこう き)
大だい き さ	$\mid a⃗\times b⃗\mid =\mid a⃗\mid \mid b⃗\mid \sin \theta$ ($\theta$ は な す 角かく)
意い味み	$a⃗,b⃗$ が は る 平へい行こう四し辺へん形けい の 面めん積せき に 一いっ致ち

外積がいせき の 性質せいしつ

性せい質しつ	式しき
反交こう換かん則そく	$b⃗\times a⃗=-a⃗\times b⃗$
分ぶん配ぱい則そく	$a⃗\times (b⃗+c⃗)=a⃗\times b⃗+a⃗\times c⃗$
[[実数	じっすう]]倍
平へい行こう条件じょうけん	$a⃗\parallel b⃗\hspace{0.25em} ⟺\hspace{0.25em} a⃗\times b⃗=0⃗$

例題れいだい 3

$a⃗=(1,2,3),b⃗=(2,-1,1)$ の 外がい積せき と、 $a⃗,b⃗$ が は る 平へい行こう四し辺へん形けい の 面めん積せき$S$ を 求もとめ め よ。

解かい:

$a⃗\times b⃗=(2\cdot 1-3\cdot (-1), 3\cdot 2-1\cdot 1, 1\cdot (-1)-2\cdot 2)=(5,5,-5)$

$S=\mid a⃗\times b⃗\mid =\sqrt{25+25+25}=5\sqrt{3}$

4. 直線ちょくせん と 平面へいめん の 方程式ほうていしき

空間くうかん直線ちょくせん の ベクトル 方程式ほうていしき

通過つうか点てん$A(a⃗)$ と 方ほう向こうベクトル$d⃗$ が あ る と き、 直ちょく線せん$\ell$上 の 点$P(p⃗)$ は

$p⃗=a⃗+td⃗(t\in R)$

成分せいぶん で 書しょ く と $A(x_0,y_0,z_0)$, $d⃗=(l,m,n)$ ($lmn\ne 0$) と し て

$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$

これ を 直ちょく線せん の 対称式たいしょうしき と 呼こ び ま す。

平面へいめん の 方程式ほうていしき

法ほう線せんベクトル$n⃗=(a,b,c)$ と 通過つうか点てん$A(x_0,y_0,z_0)$ を 持じ つ 平面へいめん は

$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$

整理せいり し て $ax+by+cz+d=0$ ($d=-a{x}_0-b{y}_0-c{z}_0$) と 書しょ け ま す。

点てん と 平面へいめん の 距離きょり

点$P(x_1,y_1,z_1)$ と 平へい面めん$ax+by+cz+d=0$ の 距離きょり は

$h=\frac{\mid a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1+d\mid }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

例題れいだい 4

3 点$A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3)$ を 通つう る 平へい面めん の 方程てい式 を 求もとめ め よ。

解かい: $AB⃗=(-1,2,0),AC⃗=(-1,0,3)$ の 外がい積せき

$AB⃗\times AC⃗=(6,3,2)$

を 法ほう線せん と し、 点$A(1,0,0)$ を 通つう る か ら $6(x-1)+3y+2z=0$、 す な わ ち $6x+3y+2z=6$。

5. 球たま と 距離きょり

球たま の 方程式ほうていしき

中ちゅう心しん$C(a,b,c)$、 半はん径けい$r$ の 球きゅう は

$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=r^2$

これ は 円えん の 方程てい式 を 1 次元じげん増ぞう や し た 形かたち で す。

平面へいめん と 球たま の 関係かんけい

平へい面めん と 球たま の 関係かんけい は、 中ちゅう心しん か ら 平へい面めん へ の 距きょ離り$h$ と 半はん径けい$r$ の 大小だいしょう で 決けつ ま り ま す。

関係かんけい	条件じょうけん	共きょう通つう部分ぶぶん
離れはな る	$h>r$	な し
接せっ す る	$h=r$	1 点てん
交 わ る		[円

6. 行列ぎょうれつ入門にゅうもん

行列ぎょうれつ と は

数かず を 長方ほう形けい に 並なみ べ た も の を 行列ぎょうれつ と 呼こ び ま す。 横よこ の 並なみ び を 行くだり、 縦たて の 並なみ び を 列れつ と 呼こ び、 $m$行$n$列 の 行ぎょう列れつ を $m\times n$行ぎょう列れつ と 言げん い ま す。

$A$ は $2\times 2$、 $B$ は $2\times 3$行ぎょう列れつ で す。

行列ぎょうれつ の 演算えんざん

| 演えん算ざん | 規き則そく | |---|---| | 和わ | 同どう じ 型かた の 行ぎょう列れつ ど う し、 成分せいぶん ご と に 加か え る | | 実数じっすう倍 | 全ぜん て の 成分せいぶん を $k$倍 す る | | 積つむ | $A$ ($m\times n$) と $B$ ($n\times p$) の 積つむ は $m\times p$、 $(AB{)}_{ij}={\sum }_k{a}_{ik}{b}_{kj}$ |

単位たんい行列ぎょうれつ と 逆ぎゃく行列ぎょうれつ

$2\times 2$ の 単位行列たんいぎょうれつ は

行ぎょう列れつ の 行列式ぎょうれつしき は $\det A=ad-bc$ で、 $\det A\ne 0$ の と き 逆行列ぎゃくぎょうれつ が

で 与あずか え ら れ ま す。

例題れいだい 5

の 逆行ぎゃっこう列れつ を 求もとめ め よ。

解かい: $\det A=4-3=1$ よ り 。

7. 1 次じ変換へんかん の 入いり口くち

行列ぎょうれつ で 平面へいめん を 動うごかす

$2\times 2$行ぎょう列れつ$A$ を 用よう い て、 平へい面めん上じょう の 点$(x,y)$ を

$\left(x^{\prime }{y}^{\prime }\right)=A\left(xy\right)$

に 対応たいおう さ せ る 操そう作さ を 1次変換1じへんかん と 呼こ び ま す。 これ は 線せん形けい な 変へん換かん (和わ と 実じつ数すう倍ばい を 保ほ つ) に 限きり ら れ ま す。

代表だいひょう的てき な 1 次じ変換へんかん

| 変へん換かん | 行ぎょう列れつ$A$ | |---|---| | 原げん点てん中ちゅう心しん、 角$\theta$ の 回転かいてん | | | $x$軸対称しょう | | | $y$軸対称しょう | | | 原げん点てん中ちゅう心しん$k$倍ばい拡大かくだい | |

例題れいだい 6

$60°$ の 回かい転てん を 表ひょう す 行ぎょう列れつ で、 点$(1,0)$ を 動どう か せ。

解かい: で

$A\left(10\right)=\left(1/2\sqrt{3}/2\right)$

つ ま り 単位たんい円上えんじょう の $60°$ の 点てん に 移うつり り ま す。

8. 大学だいがく数学すうがく へ の 橋渡はしわたし

| 高校こうこう で 学がく ぶ こ と | 大学だいがく線せん形けい代だい数すう で の 拡かく張ちょう | |---|---| | 空間くうかんベクトル | $n$次元じげんベクトル空間ベクトルくうかん、 基底きてい、 次元じげん | | 内積ないせき | 内ない積せき空くう間かん、 直交ちょっこう基底きてい | | 外積がいせき | 外がい積せき代だい数すう、 微び分ぶん形けい式しき | | 行列ぎょうれつ | $n\times n$行ぎょう列れつ、 固有値こゆうち・固有ベクトルこゆうべくとる・行列式ぎょうれつしき の 一いっ般ぱん化 | | 1次変換1じへんかん | 線せん形けい写しゃ像ぞう、 表現ひょうげん行ぎょう列れつ、 対角化たいかくか |

大事だいじ: 数学すうがく C の ベクトル と 行ぎょう列れつ は、 線形代数せんけいだいすう と い う 大学だいがく数学すうがく の 最さい重要じゅうよう分ぶん野や へ の 入いり り 口くち で す。 物理ぶつり・工学こうがく・情報じょうほう (機械学習きかいがくしゅう・3DCG) で 必須ひっす の 言げん語ご な の で、 計けい算さん だ け で な く 「幾き何か的 に 何なに が 起おこし き て い る か」 を 図ず で つ か ん で く だ さ い。

章しょう末まつ まとめ

• 空間くうかんベクトル = $(a_1,a_2,a_3)$、 大だい き さ $\mid a⃗\mid =\sqrt{a12+a22+a32}$
• 内積ないせき$a⃗\cdot b⃗=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$ で 角度かくど・垂すい直ちょく が 分ぶん か る
• 外積がいせき$a⃗\times b⃗$ は 両方りょうほう に 垂すい直ちょく で、 大だい き さ は 平へい行こう四し辺へん形けい の 面めん積せき
• 平へい面めん$ax+by+cz+d=0$、 法ほう線せん$n⃗=(a,b,c)$
• 行列ぎょうれつ の 積せき・逆行列ぎゃくぎょうれつ・1次変換1じへんかん は 線せん形けい代だい数すう へ の 入いり口ぐち