楕円だえん (定義ていぎ・焦点しょうてん・離心率りしんりつ)

この章しょうで学まなぶこと

第だい 4 章しょうで円えん錐すい曲きょく線せんの概がい要ようを学まなびました。 この章しょうでは 楕円だえん に集しゅう中ちゅう。 「2 つの焦点しょうてんからの距きょ離りの和わが一いっ定てい」 という定てい義ぎから出発しゅっぱつし、 標ひょう準じゅん形かたち・離心率りしんりつ・接線せっせん・パラメータ表示ひょうじまで一気いっきに学まなびます。

• 楕だ円えんの 作図さくず定てい義ぎ と標ひょう準じゅん形かたちの導どう出しゅつ
• 長ちょう軸じく・短たん軸じく・焦点しょうてん・離心率りしんりつ・準線じゅんせん
• 楕だ円えんの 接線せっせん の方程てい式
• 楕だ円えんの 媒ばい介かい変へん数すう表示ひょうじ
• 楕だ円えんの面積めんせきと ケプラーけぷらー軌き道どう

覚おぼえ方かた: 楕だ円えん = 「 押おしつぶした円えん」。 2 つの焦点しょうてんが一いっ致ちすると円えん ($e=0$)、 焦点しょうてんが離はなれるほど細長ほそながくなる ($e\to 1$)。 太陽系たいようけいの惑わく星せい軌き道どうはほぼ円えんに近ちかい楕だ円えん (地球ちきゅうで $e\approx 0.017$)、 ハレー彗すい星せいは $e\approx 0.967$ の細長ほそながい楕だ円えんです。

1. 楕円だえんの定義ていぎ

作図さくず定義ていぎ

平へい面めん上じょうの 2 定てい点てん $F,F^{\prime }$ (焦点しょうてん) からの距きょ離りの 和わが一いっ定てい $2a$ である点$P$ の軌跡きせきを 楕円だえん と呼よびます。

$PF+{PF}^{\prime }=2a(2a>{FF}^{\prime })$

直感ちょっかん: 鉛えん筆ぴつと糸いとを使つかって、 2 本ほんのピン (= 焦しょう点てん) に糸いとをかけ、 ぴんと張はりながら鉛えん筆ぴつを動うごかすと楕だ円えんがえがけます。 糸いとの長ながさが $2a$ です。

2. 楕円だえんの標準ひょうじゅん形がた

横長よこながの楕円だえん

焦点しょうてんを $x$軸じく上じょうの $F(c,0),F^{\prime }(-c,0)$ ($c>0$) とし、 距きょ離りの和わを $2a$ ($a>c$) とおくと、 軌き跡せきの方程てい式は

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$

ただし $b=\sqrt{a^2-c^2}$ (ピタゴラスぴたごらすの関係かんけい)。

縦長たてながの楕円だえん

焦点しょうてんが $y$軸じく上じょう ($F(0,c),F^{\prime }(0,-c)$) のときは、 同おなじ式しきで $b>a$ となります (長半径ちょうはんけいが $b$)。

用語ようご

用よう語ご	意い味み
中心ちゅうしん	楕だ円えんの対たい称しょう中心ちゅうしん (上じょうの例れいでは原げん点てん)
長軸ちょうじく	長ながい方ほうの直ちょっ径けい、 長ながさ $2a$
短軸たんじく	短みじかい方ほうの直ちょっ径けい、 長ながさ $2b$
頂ちょう点てん	軸じくとの 4 つの交こう点てん
焦点しょうてん	$(\pm c,0)$、 $c=\sqrt{a^2-b^2}$

例題れいだい 1

$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ の焦点しょうてんと長軸ちょうじく・短軸たんじくの長ながさを求もとめよ。

解かい: $a^2=25,b^2=16$ より $a=5,b=4$。 $c=\sqrt{25-16}=3$。 焦点しょうてん $(\pm 3,0)$、 長軸ちょうじく $2a=10$、 短軸たんじく $2b=8$。

3. 離心率りしんりつと準じゅん線せん

離心率りしんりつ

楕だ円えんの 離心率りしんりつ は

$e$	形かたち
$e=0$	円えん ($c=0$、 焦点しょうてんが中心ちゅうしんに一いっ致ち)
$e\to 1$	きわめて細長ほそながい楕だ円えん

準じゅん線せん

焦点しょうてん $F(c,0)$ に対たいする 準線じゅんせん は

$x=\frac{a}{e}=\frac{a^2}{c}$

楕だ円えん上じょうの任にん意いの点$P$ に対たいし、 $PF:($準線じゅんせん へ の 距きょ離り)=e:1\mathrm{PF} : (\text{準線じゅんせん へ の 距きょ離り}) = e : 1 が成なり立たちます (焦点しょうてん・準線じゅんせん統とう一いつ定てい義ぎ)。

4. 楕円だえんの接線せっせん

公式こうしき

楕だ円えん $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上の点$(x_0,y_0)$ における 接線せっせん は

$\frac{x_{0}x}{a^2}+\frac{y_{0}y}{b^2}=1$

(円$x^2+y^2=r^2$ の接せっ線せん $x_{0}x+y_{0}y=r^2$ と同おなじ形かたちを楕だ円えんに拡かく張ちょうしたもの)

例題れいだい 2

$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$上の点$(2,\sqrt{3})$ における接せっ線せんを求もとめよ。

解かい: 公こう式しきより $\frac{2x}{16}+\frac{\sqrt{3}y}{4}=1$、 すなわち $\frac{x}{8}+\frac{\sqrt{3}y}{4}=1$、 整理せいりして $x+2\sqrt{3}y=8$。

5. 媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじと面積めんせき

パラメータ表示ひょうじ

第だい 2 章しょうで触ふれた通とおり、 楕だ円えんは

$\theta$ は 離心角りしんかく と呼よばれ、 円えんの角かくとは違ちがい、 物ぶつ理り的てきな角かくではありません (パラメータ)。

面積めんせき

楕だ円えん $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ が囲かこむ面積めんせきは

$S=\pi ab$

円 ($a=b=r$) の面積めんせき $\pi r^2$ を拡かく張ちょうした形かたちになっています。

例題れいだい 3

$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ の面積めんせきを求もとめよ。

解かい: $a=3,b=2$ より $S=6\pi$。

6. 焦点しょうてんを用もちいた性質せいしつ

反射はんしゃ性質せいしつ

楕だ円えん内ない部ぶの一方いっぽうの焦点しょうてんから出でた光ひかりや音波おんぱは、 楕だ円えん壁かべで反はん射しゃすると 必かならずもう一方いっぽうの焦点しょうてんに集あつまります。

応おう用よう例れい	内ない容よう
「ささやきのホール」	楕だ円えん形けいの天てん井じょうで一方いっぽうの焦しょう点てんのつぶやきがもう一方いっぽうの焦しょう点てんにはっきり聞きこえる
体外衝撃波たいがいしょうげきは結石けっせき破砕はさい装そう置ち	一方いっぽうの焦しょう点てんから衝撃波しょうげきはを出だし、 体内たいないの結石けっせきをもう一方いっぽうの焦しょう点てんに集あつめて砕くだく

ケプラーの第だい 1 法則ほうそく

惑星わくせいは 太陽たいようを一方いっぽうの焦点しょうてんとする楕円だえん軌き道どう を描えがきます。 極方程式きょくほうていしきで表あらわすと

$r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos \theta }$

太陽たいようが焦しょう点てんにあり、 $\theta =0$ で太陽たいように最もっとも近ちかく (近日点きんじつてん)、 $\theta =\pi$ で最もっとも遠とおく (遠日点えんじつてん) なります。

ケプラーの第だい 2・第だい 3 法則ほうそく

法ほう則そく	内ない容よう
第だい 2 (面積めんせき速度そくど一いっ定てい)	惑わく星せいと太陽たいようを結むすぶ線分せんぶんが一いっ定てい時じ間かんにえがく面積めんせきは一いっ定てい
第だい 3 (調ちょう和わの法ほう則そく)	公こう転てん周期しゅうき $T$ と長ちょう軸じく半はん径けい $a$ の間まに $T^2\propto a^3$

7. 楕円だえんと円えんの関係かんけい

押おしつぶし変換へんかん

円$X^2+Y^2=a^2$ を $Y$方ほう向こうに $b/a$倍に縮ちぢめる (つまり $X=x,Y=ay/b$) と、 楕だ円えん $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ になります。

つまり 楕だ円えん = 円えんを縮ちぢめた図形ずけい。 この視点してんから、 楕だ円えんの多おおくの性せい質しつ (面積めんせき $\pi ab$ など) を円えんから 「圧あっ縮しゅく比」 で説せつ明めいできます。

例題れいだい 4

楕だ円えん $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ と直ちょく線せん $x+y=4$ で囲かこまれた図形ずけいの面積めんせきを、 円えんへの圧あっ縮しゅく視点してんで求もとめる方針ほうしんを述のべよ。

方針ほうしん: $Y=\frac{4y}{3}$ と置き換えおきかえて楕だ円えんを円$x^2+Y^2=16$ に戻もどす。 直ちょく線せんは $x+\frac{3Y}{4}=4$ になる。 円えん内ないの図づ形けいとして面積めんせき $S^{\prime }$ を計けい算さんし、 圧あっ縮しゅく比$b/a=3/4$ を戻もどして $S=\frac{3}{4}{S}^{\prime }$。

8. 楕円だえんの応用おうよう

分ぶん野や	楕だ円えんの役やく割わり
天文学てんもんがく	惑わく星せい・彗すい星せい・人工じんこう衛星えいせいの軌き道どう
医学いがく	結石けっせき破砕はさい装そう置ち、 楕だ円えん形けいベッド (リハビリ)
建築けんちく	「ささやきのギャラリー」 (米国べいこく議会ぎかい議事堂ぎじどう等とう)
工学こうがく	楕だ円えん歯車はぐるまで速度そくど比ひを周しゅう期き的てきに変かえる
スポーツ	陸上りくじょうトラック (直線ちょくせん + 半円はんえん) は厳密みつには楕だ円えんではないが似にた形かたち

章しょう末まつまとめ

• 定てい義ぎ: $PF+{PF}^{\prime }=2a$ (焦点しょうてんからの距きょ離りの和一かずいち定てい)
• 標ひょう準じゅん形かたち: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, $c=\sqrt{a^2-b^2}$
• 離心率りしんりつ $e=c/a$ ()
• 接線せっせん $\frac{x_{0}x}{a^2}+\frac{y_{0}y}{b^2}=1$、 面積めんせき $\pi ab$
• パラメータ表示ひょうじ$(a\cos \theta ,b\sin \theta )$
• ケプラーの法則けぷらーのほうそくで惑わく星せい軌き道どうを表あらわす