楕円だえん (定義ていぎ・焦点しょうてん・離はなれ心しん率りつ)

この 章しょう で 学まなぶ こと

第だい 4 章しょう で 円えん錐すい曲きょく線せん の 概がい要よう を 学がく び ま し た。 こ の 章しょう で は 楕円だえん に 集しゅう中ちゅう。 「2 つ の 焦点しょうてん か ら の 距きょ離り の 和わ が 一いっ定てい」 と い う 定てい義ぎ か ら 出発しゅっぱつ し、 標ひょう準じゅん形かたち・離心率りしんりつ・接線せっせん・パラメータ 表示ひょうじ ま で 一気いっき に 学がく び ま す。

• 楕だ円えん の 作図さくず定てい義ぎ と 標ひょう準じゅん形かたち の 導どう出しゅつ
• 長ちょう軸じく・短たん軸じく・焦点しょうてん・離心率りしんりつ・準線じゅんせん
• 楕だ円えん の 接線せっせん の 方程てい式
• 楕だ円えん の 媒ばい介かい変へん数すう表示ひょうじ
• 楕だ円えん の 面めん積せき と ケプラー軌き道どう

覚さとし え 方かた: 楕だ円えん = 「 押 し つ ぶ し た 円えん」。 2 つ の 焦点しょうてん が 一いっ致ち す る と 円えん ($e=0$)、 焦点しょうてん が 離はなれ れ る ほ ど 細長ほそなが く な る ($e\to 1$)。 太陽系たいようけい の 惑わく星せい軌き道どう は ほ ぼ 円えん に 近きん い 楕だ円えん (地球ちきゅう で $e\approx 0.017$)、 ハ レ ー 彗すい星せい は $e\approx 0.967$ の 細長ほそなが い 楕だ円えん で す。

1. 楕円だえん の 定義ていぎ

作図さくず定義ていぎ

平へい面めん上じょう の 2 定てい点てん$F,F^{\prime }$ (焦点しょうてん) か ら の 距きょ離り の 和わ が 一いっ定てい$2a$ で あ る 点$P$ の 軌跡きせき を 楕円だえん と 呼こ び ま す。

$PF+{PF}^{\prime }=2a(2a>{FF}^{\prime })$

直感ちょっかん: 鉛えん筆ぴつ と 糸いと を 使し っ て、 2 本ほん の ピ ン (= 焦しょう点てん) に 糸いと を か け、 ぴ ん と 張ちょう り な が ら 鉛えん筆ぴつ を 動どう か す と 楕だ円えん が え が け ま す。 糸いと の 長ちょう さ が $2a$ で す。

2. 楕円だえん の 標準ひょうじゅん形がた

横長よこなが の 楕円だえん

焦点しょうてん を $x$軸じく上じょう の $F(c,0),F^{\prime }(-c,0)$ ($c>0$) と し、 距きょ離り の 和わ を $2a$ ($a>c$) と お く と、 軌き跡せき の 方程てい式 は

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$

た だ し $b=\sqrt{a^2-c^2}$ (ピタゴラス の 関係かんけい)。

縦長たてなが の 楕円だえん

焦点しょうてん が $y$軸じく上じょう ($F(0,c),F^{\prime }(0,-c)$) の と き は、 同どう じ 式しき で $b>a$ と な り ま す (長半径ちょうはんけい が $b$)。

用語ようご

用よう語ご	意い味み
中ちゅう心しん	楕だ円えん の 対たい称しょう中ちゅう心しん (上じょう の 例れい で は 原げん点てん)
**[[長軸	ちょうじく]]**
**[[短軸	たんじく]]**
頂ちょう点てん	軸じく と の 4 つ の 交こう点てん
**[[焦点	しょうてん]]**

例題れいだい 1

$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ の 焦点しょうてん と 長軸ちょうじく・短軸たんじく の 長ちょう さ を 求もとめ め よ。

解かい: $a^2=25,b^2=16$ よ り $a=5,b=4$。 $c=\sqrt{25-16}=3$。 焦点しょうてん$(\pm 3,0)$、 長軸ちょうじく$2a=10$、 短軸たんじく$2b=8$。

3. 離はなれ心しん率りつ と 準じゅん線せん

離はなれ心しん率りつ

楕だ円えん の 離心率りしんりつ は

$e$	形かたち
$e=0$	円えん ($c=0$、 [[焦点
$e\to 1$	き わ め て 細長ほそなが い 楕だ円えん

準じゅん線せん

焦点しょうてん$F(c,0)$ に 対たい す る 準線じゅんせん は

$x=\frac{a}{e}=\frac{a^2}{c}$

楕だ円えん上じょう の 任にん意い の 点$P$ に 対たい し、 $PF:\left([[準線|じゅんせん]] へ の 距きょ離り\right)=e:1$ が 成なる り 立たつ ち ま す (焦点しょうてん・準線じゅんせん統とう一いつ定てい義ぎ)。

4. 楕円だえん の 接線せっせん

公式こうしき

楕だ円えん$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上 の 点$(x_0,y_0)$ に お け る 接線せっせん は

$\frac{x_{0}x}{a^2}+\frac{y_{0}y}{b^2}=1$

(円$x^2+y^2=r^2$ の 接せっ線せん$x_{0}x+y_{0}y=r^2$ と 同どう じ 形かたち を 楕だ円えん に 拡かく張ちょう し た も の)

例題れいだい 2

$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$上 の 点$(2,\sqrt{3})$ に お け る 接せっ線せん を 求もとめ め よ。

解かい: 公こう式しき よ り $\frac{2x}{16}+\frac{\sqrt{3}y}{4}=1$、 す な わ ち $\frac{x}{8}+\frac{\sqrt{3}y}{4}=1$、 整理せいり し て $x+2\sqrt{3}y=8$。

5. 媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじ と 面積めんせき

パラメータ 表示ひょうじ

第だい 2 章しょう で 触さわ れ た 通つう り、 楕だ円えん は

$\theta$ は 離心角りしんかく と 呼こ ば れ、 円えん の 角かく と は 違 い、 物ぶつ理り的てき な 角かく で は あ り ま せ ん (パ ラ メ ー タ)。

面積めんせき

楕だ円えん$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ が 囲 む 面めん積せき は

$S=\pi ab$

円 ($a=b=r$) の 面めん積せき$\pi r^2$ を 拡かく張ちょう し た 形かたち に な っ て い ま す。

例題れいだい 3

$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ の 面めん積せき を 求もとめ め よ。

解かい: $a=3,b=2$ よ り $S=6\pi$。

6. 焦点しょうてん を 用よう いた 性質せいしつ

反射はんしゃ性質せいしつ

楕だ円えん内ない部ぶ の 一方いっぽう の 焦点しょうてん か ら 出で た 光ひかり や 音波おんぱ は、 楕だ円えん壁かべ で 反はん射しゃ す る と 必 ず もう 一方いっぽう の 焦点しょうてん に 集あつまり ま り ま す。

応おう用よう例れい	内ない容よう
「ささ や き の ホ ー ル」	楕だ円えん形けい の 天てん井じょう で 一方いっぽう の 焦しょう点てん の つ ぶ や き が もう 一方いっぽう の 焦しょう点てん に は っ き り 聞 こ え る
[[体外衝撃波	たいがいしょうげきは]]結石けっせき破砕はさい装そう置ち

ケプラー の 第だい 1 法則ほうそく

惑星わくせい は 太陽たいよう を 一方いっぽう の 焦点しょうてん と す る 楕円だえん軌き道どう を 描 き ま す。 極方程式きょくほうていしき で 表ひょう す と

$r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos \theta }$

太陽たいよう が 焦しょう点てん に あ り、 $\theta =0$ で 太陽たいよう に 最さい も 近きん く (近日点きんじつてん)、 $\theta =\pi$ で 最さい も 遠とお く (遠日点えんじつてん) な り ま す。

ケプラー の 第だい 2・第だい 3 法則ほうそく

法ほう則そく	内ない容よう
第だい 2 (面めん積せき速度そくど一いっ定てい)	惑わく星せい と 太陽たいよう を 結むすぶ ぶ 線分せんぶん が 一いっ定てい時じ間かん に え が く 面めん積せき は 一いっ定てい
第だい 3 (調ちょう和わ の 法ほう則そく)	公こう転てん[[周期

7. 楕円だえん と 円えん の 関係かんけい

押 し つ ぶ し 変換へんかん

円$X^2+Y^2=a^2$ を $Y$方ほう向こう に $b/a$倍 に 縮ちぢみ め る (つ ま り $X=x,Y=ay/b$) と、 楕だ円えん$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ に な り ま す。

つ ま り 楕だ円えん = 円えん を 縮ちぢみ め た 図形づけい。 こ の 視点してん か ら、 楕だ円えん の 多おお く の 性せい質しつ (面めん積せき$\pi ab$ な ど) を 円えん か ら 「圧あっ縮しゅく比」 で 説せつ明めい で き ま す。

例題れいだい 4

楕だ円えん$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ と 直ちょく線せん$x+y=4$ で 囲 ま れ た 図形づけい の 面めん積せき を、 円えん へ の 圧あっ縮しゅく視点してん で 求もとめ め る 方針ほうしん を 述じゅつ べ よ。

方針ほうしん: $Y=\frac{4y}{3}$ と 置 き 換 え て 楕だ円えん を 円$x^2+Y^2=16$ に 戻もど す。 直ちょく線せん は $x+\frac{3Y}{4}=4$ に な る。 円えん内ない の 図づ形けい と し て 面めん積せき$S^{\prime }$ を 計けい算さん し、 圧あっ縮しゅく比$b/a=3/4$ を 戻もど し て $S=\frac{3}{4}{S}^{\prime }$。

8. 楕円だえん の 応用おうよう

分ぶん野や	楕だ円えん の 役やく割わり
天文学てんもんがく	惑わく星せい・彗すい星せい・人工じんこう衛星えいせい の 軌き道どう
医学いがく	結石けっせき破砕はさい装そう置ち、 楕だ円えん形けい ベ ッ ド (リ ハ ビ リ)
建築けんちく	「ささ や き の ギャラリー」 (米国べいこく議会ぎかい議事堂ぎじどう等とう)
工学こうがく	楕だ円えん歯車はぐるま で 速度そくど比ひ を 周しゅう期き的てき に 変へん え る
ス ポ ー ツ	陸上りくじょう ト ラ ッ ク (直線ちょくせん + 半円はんえん) は 厳密みつ に は 楕だ円えん で は な い が 似に た 形かたち

章しょう末まつ まとめ

• 定てい義ぎ: $PF+{PF}^{\prime }=2a$ (焦点しょうてん か ら の 距きょ離り の 和一かずいち定てい)
• 標ひょう準じゅん形かたち: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, $c=\sqrt{a^2-b^2}$
• 離心率りしんりつ$e=c/a$ ()
• 接線せっせん$\frac{x_{0}x}{a^2}+\frac{y_{0}y}{b^2}=1$、 面めん積せき$\pi ab$
• パ ラ メ ー タ 表示ひょうじ$(a\cos \theta ,b\sin \theta )$
• ケプラーの法則ケプラーのほうそく で 惑わく星せい軌き道どう を 表ひょう す