ベクトル 発展はってん一いち問もん一いち答とう

この一問一答で出る問題

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1. 空間くうかんベクトルべくとる $\vec{a}=(2,-1,3)$ の 大だい き さ $\lvert\vec{a}\rvert$ はいくらですか？
   • ・$\sqrt{6}$
   • ・$\sqrt{14}$
   • ・$\sqrt{10}$
   • ・$4$
2. $\vec{a}=(1,2,2), \vec{b}=(2,-1,2)$ の 内積ないせき $\vec{a}\cdot\vec{b}$ は？
   • ・$4$
   • ・$0$
   • ・$6$
   • ・$8$
3. 前ぜん問もんの $\vec{a}=(1,2,2), \vec{b}=(2,-1,2)$ のなす 角かく $\theta$ について、 $\cos\theta$ はいくらですか？
   • ・$\dfrac{1}{3}$
   • ・$\dfrac{2}{3}$
   • ・$\dfrac{4}{9}$
   • ・$\dfrac{1}{9}$
4. ベクトルべくとる $\vec{a}\neq\vec{0}, \vec{b}\neq\vec{0}$ が 垂直すいちょく であるための必要十分条件ひつようじゅうぶんじょうけんはどれですか？
   • ・$\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$
   • ・$\vec{a}\cdot\vec{b} = \lvert\vec{a}\rvert\lvert\vec{b}\rvert$
   • ・$\vec{a}\times\vec{b} = \vec{0}$
   • ・$\lvert\vec{a}\rvert = \lvert\vec{b}\rvert$
5. 外積がいせき $\vec{a}\times\vec{b}$ (ベクトル積べくとるせき) の大おおきさ $\lvert\vec{a}\times\vec{b}\rvert$ は何なにを表あらわしますか？
   • ・$\vec{a}, \vec{b}$ が 作 る 三 角 形 の 面 積
   • ・$\vec{a}, \vec{b}$ が 作 る 平行四辺形へいこうしへんけい の 面 積
   • ・$\vec{a}, \vec{b}$ の な す 角 の 余弦よげん
   • ・$\vec{a}, \vec{b}$ の 内 積 の 2 乗
6. $\vec{a}=(1,2,3), \vec{b}=(2,-1,1)$ の 外積がいせき $\vec{a}\times\vec{b}$ を求もとめてください。
   • ・$(2, -2, -1)$
   • ・$(5, 5, -5)$
   • ・$(-5, -5, 5)$
   • ・$(1, 5, 3)$
7. 点$\mathrm{A}(1, 0, 2)$ を 通つう り、 方ほう向こう ベクトルべくとる $\vec{d}=(2, -1, 3)$ の 直ちょく線せん の 対称式たいしょうしき はどれですか？
   • ・$\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z+2}{3}$
   • ・$\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z-2}{3}$
   • ・$2(x-1)-y+3(z-2)=0$
   • ・$\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{0}=\dfrac{z-3}{2}$
8. 平面へいめん $2x - y + 2z = 6$ と 点$\mathrm{P}(1, 2, -1)$ の 距離きょり はいくらですか？
   • ・$\dfrac{2}{3}$
   • ・$\dfrac{8}{3}$
   • ・$2$
   • ・$3$
9. 3 点$\mathrm{A}(1,0,0), \mathrm{B}(0,2,0), \mathrm{C}(0,0,3)$ を 通つう る 平面へいめん の 方程てい式 は？
   • ・$x+y+z=1$
   • ・$x+2y+3z=6$
   • ・$6x+3y+2z=6$
   • ・$2x+3y+6z=12$
10. 中心ちゅうしん $(1, -2, 3)$、 半はん径けい $5$ の 球きゅう の 方程てい式はどれですか？
    • ・$(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z-3)^{2}=25$
    • ・$(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-3)^{2}=25$
    • ・$(x+1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+3)^{2}=5$
    • ・$x^{2}+y^{2}+z^{2}=25$
11. 中心ちゅうしん $\mathrm{C}(0,0,0)$、 半はん径けい $3$ の 球きゅう と 平面へいめん $x+y+z=2$ の 共きょう通つう部分ぶぶんとして正ただしいものは？
    • ・1 点 (接 す る)
    • ・半径けい $\sqrt{5}$ の 円
    • ・共通つう 部 分 な し
    • ・半径けい $\sqrt{\dfrac{23}{3}}$ の 円
12. 行列ぎょうれつ $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ の 行列式ぎょうれつしき $\det A$ はいくらですか？
    • ・$5$
    • ・$7$
    • ・$-1$
    • ・$1$
13. 前ぜん問もん の $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ の 逆行列ぎゃくぎょうれつ $A^{-1}$ はどれですか？
    • ・$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$
    • ・$\dfrac{1}{7}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$
    • ・$\begin{pmatrix} 1/2 & 1 \\ 1/3 & 1/2 \end{pmatrix}$
    • ・$\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$
14. 原げん点てん を中心ちゅうしん とする角$\theta$ の 回転かいてん を表あらわす $2\times 2$ 行列ぎょうれつ はどれですか？
    • ・$\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$
    • ・$\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$
    • ・$\begin{pmatrix} \sin\theta & \cos\theta \\ \cos\theta & -\sin\theta \end{pmatrix}$
    • ・$\begin{pmatrix} 1 & \theta \\ -\theta & 1 \end{pmatrix}$
15. $60°$ の 回転かいてん 行列ぎょうれつ で 点$(1, 0)$ はどの点てんに移うつりますか？
    • ・$(\sqrt{3}/2, 1/2)$
    • ・$(-1/2, \sqrt{3}/2)$
    • ・$(0, 1)$
    • ・$(1/2, \sqrt{3}/2)$
16. 単位行列たんいぎょうれつ $E$ と 行列ぎょうれつ $A$ の関係かんけいとして正ただしいものは？ ($A$ は $E$ と同おなじ型かた)
    • ・$AE = A,\ EA = A$ (両 側 で 単 位 元)
    • ・$AE = E,\ EA = E$
    • ・$AE = A^{2},\ EA = E$
    • ・$AE = 0$
17. 1次変換いちじへんかん で 「円えん が円えんに移うつる」 条件じょうけんを満みたす行ぎょう列れつ はどれですか？ (中心ちゅうしん は移動いどう可か)
    • ・任意い の 行 列
    • ・$x$ 軸 対称しょう 行列れつ だ け
    • ・対 角 成 分 が 等 し く 非対たい 角 成 分 が 反 対 符 号 の も の (= 回転かいてん と 一様よう 拡大かくだい の 合 成)
    • ・単位行列たんいぎょうれつ だ け
18. $2\times 2$ 行列ぎょうれつ $A$ に よ る 1次変換いちじへんかん で、 行列式ぎょうれつしき $\det A$ の 絶ぜっ対たい値あたい$\lvert\det A\rvert$ は何なにを表あらわしますか？
    • ・原点げんてん か ら の 距離きょり
    • ・面積せき 拡 大 率 (単 位 正 方 形 が 移 さ れ た 平行こう 四 辺 形 の 面積せき)
    • ・回転かいてん 角
    • ・固有値こゆうち の 和
19. 数学すうがく C で学まなぶ ベクトルべくとる と 行列ぎょうれつ が大学だいがくでつながる 最さい重要じゅうよう分野ぶんや はどれですか？
    • ・微分方程式びぶんほうていしき
    • ・線形代数せんけいだいすう
    • ・整数論せいすうろん
    • ・統計学とうけいがく
20. 「外積がいせき $\vec{a}\times\vec{b}$ は $\vec{a}, \vec{b}$ のどちらにも 垂直すいちょく」 を確たしかめる計けい算さん として正ただしいものは？
    • ・$\vec{a}\times\vec{b} = \vec{0}$ を 示 す
    • ・$(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a} = 0\ \text{か つ}\ (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{b} = 0$ を 示 す
    • ・$\lvert\vec{a}\times\vec{b}\rvert = \lvert\vec{a}\rvert\lvert\vec{b}\rvert$ を 示 す
    • ・$\vec{a}\cdot\vec{b} = \lvert\vec{a}\rvert\lvert\vec{b}\rvert$ を 示 す