極座標きょくざひょう (極ごく方程式ほうていしき と 極ごく面積めんせき)

この章しょうで学まなぶこと

これまでの 直交座標ちょっこうざひょう ($x,y$) は 「縦横じゅうおうの物差ものさし」 で点てんの位い置ち を表あらわしました。 数学すうがく C で学まなぶ 極座標きょくざひょう は、 「原げん点てん からの距きょ離り $r$」 と 「$x$軸からの角$\theta$」 で表あらわす全まったく別べつの座標ざひょう系けいです。 円えんや渦巻うずまきのように 「中心ちゅうしん との関係かんけい」 が主役しゅやくの図形ずけいを 驚おどろくほど短みじかい式しき で書かけます。

• 極座標きょくざひょうの定てい義ぎ と直ちょっ交こう座ざ標ひょう との変へん換かん
• 円えん・直ちょく線せん の 極方程式きょくほうていしき
• カージオイドかーじおいど・ばら曲線ばらきょくせん・アルキメデスの渦線あるきめですのうずせん
• 極座標きょくざひょう での 面積めんせき の公こう式しき
• 大学だいがく微分積分びぶんせきぶん への橋渡わた し

ポイント: 円えんを直ちょっ交こう座ざ標ひょう で書かくと $x^2+y^2=r^2$ ですが、 極座標きょくざひょう なら $r=$一いっ定ていr = \text{一いっ定てい} だけで表あらわせます。 中心ちゅうしん からの 「広ひろがり」 を主しゅ役やく にしたい図形ずけい (天体てんたいの軌き道どう・電磁場でんじば・流体りゅうたい) では、 極座標きょくざひょう が圧あっ倒とう的に自し然ぜん な言げん語ご になります。

1. 極座標きょくざひょうとは

定義ていぎ

平へい面めん に原げん点てん $O$ (極きょく) とそこから出でる半はん直ちょく線せん (始線しせん) を決きめます。 点$P$ の位い置ち を、

• $O$ からの 距きょ離り $r$ ($r\ge 0$)
• 始線しせん から反はん時計とけい回まわりに測はかった 角かく $\theta$

の組$(r,\theta )$ で表あらわすのが 極座標きょくざひょう です。

直交ちょっこう座標ざひょうとの変換へんかん

直ちょっ交こう座ざ標ひょう $(x,y)$ と 極座標きょくざひょう $(r,\theta )$ の関係かんけいは

$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$

逆に

$r=\sqrt{x^2+y^2},\tan \theta =\frac{y}{x} (x\ne 0)$

例題れいだい 1

直ちょっ交こう座ざ標ひょう $(\sqrt{3},1)$ を 極座標きょくざひょう で表あらわせ。

解かい: $r=\sqrt{3+1}=2$、 $\tan \theta =1/\sqrt{3}$ で $\theta =\pi /6$ ($x,y$ とも正せいだから第だい 1 象限しょうげん)。 答えこたえ $(2,\pi /6)$。

2. 極ごく方程式ほうていしきの基本きほん

円えんの極きょく方程式ほうていしき

中心ちゅうしん と半はん径けい	極方ほう程てい式しき
中心ちゅうしん $O$、 半はん径けい $a$	$r=a$
中心ちゅうしん $(a,0)$ ($x$軸じく上じょう)、 半はん径けい $a$	$r=2a\cos \theta$
中心ちゅうしん $(0,a)$ ($y$軸じく上じょう)、 半はん径けい $a$	$r=2a\sin \theta$

導どう出しゅつ: $(x-a{)}^2+y^2=a^2$ を展てん開かい すると $x^2+y^2=2ax$。 これに $x^2+y^2=r^2$, $x=r\cos \theta$ を代入だいにゅうして $r^2=2a\cdot r\cos \theta$、 両辺りょうへんを $r$ で割わって $r=2a\cos \theta$。

直線ちょくせんの極きょく方程式ほうていしき

直ちょく線せん	極方ほう程てい式しき
原げん点てん を通とおり角$\alpha$	$\theta =\alpha$
$x$軸に垂直すいちょく、 $x=a$	$r\cos \theta =a$
原げん点てん から距きょ離り $d$、 法ほう線せん が角$\alpha$	$r\cos (\theta -\alpha )=d$

3. カージオイド (心臓しんぞう形がた)

式しきと形

極座標きょくざひょう で

$r=a(1+\cos \theta ),a>0$

と表あらわされる曲きょく線せん を カージオイドかーじおいど (心しん臓ぞう形) と呼よびます。 $\theta =0$ で $r=2a$ (右みぎへ最もっとも伸のびる)、 $\theta =\pi$ で $r=0$ (原げん点てん に戻もどる) というハートのような形かたちです。

性質せいしつ

項こう目もく	値ね
最大さいだい$r$	$2a$
1 周期しゅうき	$0\le \theta \le 2\pi$
1 周期しゅうきで囲かこむ面積めんせき	$\frac{3}{2}\pi a^2$
1 周期しゅうきの弧こ長ちょう	$8a$

由ゆ来らい: カージオイドかーじおいど はラテン語ごで 「心こころ (cardia)」 から来きており、 ハート型がただからこの名前なまえがつきました。 マイクの指し向こう性せい (カーディオイドマイク) や、 マンデルブロ集合しゅうごうの中ちゅう央おう の大おおきな部分ぶぶんとしても現あらわれます。

4. ばら曲線きょくせん

式しきと花弁かべんの数

$r=a\cos \left(n\theta \right)またはr=a\sin \left(n\theta \right)$

を ばら曲線ばらきょくせん (ローズカーブ) と呼よびます。 $n$ のパリティで花弁かべんの数かずが変かわります。

$n$	花弁かべんの数かず
奇数きすう (1, 3, 5, ...)	$n$枚
偶数ぐうすう (2, 4, 6, ...)	$2n$枚

例れい: $r=\cos \left(3\theta \right)$ は 3 枚まいのバラ、 $r=\cos \left(2\theta \right)$ は 4 枚まいのバラ。

5. アルキメデスの渦うず線せん

式しきと性質せいしつ

$r=a\theta (\theta \ge 0, a>0)$

を アルキメデスの渦線あるきめですのうずせん と呼よびます。 角かくが 1 ラジアン増ふえるごとに、 距きょ離り が $a$ ずつ増ふえる、 等間隔とうかんかくの渦巻うずまきです。

性せい質しつ	内ない容よう
連れん続ぞく する巻まきの間かん隔かく	$2\pi a$
角速度かくそくど一いっ定てい で動うごく点てんの速度そくど	中心ちゅうしん から離はなれるほど速はやい

例題れいだい 2

$r=a\theta$ で $\theta =2\pi$ の点てんと $\theta =4\pi$ の点てんの間隔かんかく (動径けい方ほう向こう) はいくらか。

解かい: $r$ の差さは $4\pi a-2\pi a=2\pi a$。

6. 極座標きょくざひょうでの面積めんせき

公式こうしき

極方程式きょくほうていしき $r=f\left(\theta \right)$ ($\alpha \le \theta \le \beta$) で表あらわされる図形ずけいが、 原げん点てん と 2 本ほんの半はん直ちょく線せん $\theta =\alpha ,\theta =\beta$ で囲かこむ面積めんせき は

$S=\frac{1}{2}\int \alpha \beta \left\{f\right(\theta ){\}}^2\hspace{0.17em}d\theta$

公式こうしきの導みちびき方かた

微小びしょうな角$d\theta$ に対たいし、 半はん径けい $r$ の扇せん形けい の面積めんせき は $\frac{1}{2}{r}^{2}d\theta$。 これを積つみ上あげて積せき分ぶん すると上うえの公式こうしきが出でます。

例題れいだい 3

カージオイド $r=a(1+\cos \theta )$ ($0\le \theta \le 2\pi$) が囲かこむ面積めんせき を求もとめよ。

解かい:

$S=\frac{1}{2}\int 02\pi a^2(1+\cos \theta {)}^2\hspace{0.17em}d\theta$

$(1+\cos \theta {)}^2=1+2\cos \theta +{\cos }^2\theta =1+2\cos \theta +\frac{1+\cos 2\theta }{2}$

$\int 02\pi \cos \theta \hspace{0.17em}d\theta =0,\int 02\pi \cos 2\theta \hspace{0.17em}d\theta =0$

したがって

$S=\frac{a^2}{2}\int 02\pi (1+\frac{1}{2})d\theta =\frac{a^2}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot 2\pi =\frac{3}{2}\pi a^2$

7. 極座標きょくざひょうと直交ちょっこう座標ざひょうの使つかい分わけ

直ちょっ交こう座ざ標ひょう が自し然ぜん	極座標きょくざひょう が自し然ぜん
直ちょく線せん・長方形ちょうほうけい	円えん・楕円だえん・渦うず
関数かんすう$y=f\left(x\right)$	中心ちゅうしん対たい称しょう な図形ずけい
「縦たて ×横よこ」 で体たい積せき を計けい算さん	「半はん径けい と角かく」 で面積めんせき を計けい算さん

大事だいじ: 物理ぶつりでは 惑星わくせい の軌き道どう や 電場でんば の 等電位面とうでんいめん のように中心ちゅうしん からの広ひろがりが主しゅ役やく のとき、 極座標きょくざひょう が圧あっ倒とう的に短みじかく美うつくしい式しきを与あたえます。 ケプラーの法則けぷらーのほうそく (惑わく星せい軌き道どう が 楕円だえん) は 極方程式きょくほうていしき $r=\frac{l}{1+e\cos \theta }$ で一行いっこうに書かけます。

8. 極座標きょくざひょうと大学だいがく数学すうがく

高校こうこうで学まなぶこと	大学だいがくでの拡かく張ちょう
平へい面めん 極座標きょくざひょう $(r,\theta )$	円柱座標えんちゅうざひょう $(r,\theta ,z)$、 球面座標きゅうめんざひょう $(\rho ,\theta ,\varphi )$
極きょくでの面積めんせき $\frac{1}{2}\int r^{2}d\theta$	ヤコビアン を使つかった一いっ般ぱん的な座標ざひょう変へん換かん
ケプラーの法則けぷらーのほうそく	微分方程式びぶんほうていしき と 万有引力ばんゆういんりょく から軌き道どう を導出どうしゅつ

章しょう末まつまとめ

• 極座標きょくざひょう $(r,\theta )$、 直ちょっ交こう とは $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$
• 円えん中心ちゅうしん原げん点てん = $r=a$、 中心ちゅうしん $(a,0)$ = $r=2a\cos \theta$
• カージオイド = $r=a(1+\cos \theta )$、 ばら曲線ばらきょくせん = $r=a\cos \left(n\theta \right)$
• 面積めんせき $S=\frac{1}{2}\int \alpha \beta r^2\hspace{0.17em}d\theta$
• 中心ちゅうしん対たい称しょう・渦うず・天体てんたい軌き道どう には極座標きょくざひょうが自し然ぜん