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数学C

極座標きょくざひょう (極ごく方程式ほうていしきと極ごく面積めんせき)

最終確認日:

この章しょうで学まなぶこと

これまでの 直交座標ちょっこうざひょう (x,yx, y) は 「縦横じゅうおうの物差ものさし」 で点てんの位い置ちを表あらわしました。 数学すうがく C で学まなぶ 極座標きょくざひょう は、 「原げん点てんからの距きょ離り rr」 と 「xx軸からの角θ\theta」 で表あらわす全まったく別べつの座標ざひょう系けいです。 円えんや渦巻うずまきのように 「中心ちゅうしんとの関係かんけい」 が主役しゅやくの図形ずけいを 驚おどろくほど短みじかい式しき で書かけます。

  • 極座標きょくざひょうの定てい義ぎと直ちょっ交こう座ざ標ひょうとの変へん換かん
  • 円えん・直ちょく線せんの 極方程式きょくほうていしき
  • カージオイドかーじおいど・ばら曲線ばらきょくせん・アルキメデスの渦線あるきめですのうずせん
  • 極座標きょくざひょうでの 面積めんせき の公こう式しき
  • 大学だいがく微分積分びぶんせきぶんへの橋渡わたし

ポイント: 円えんを直ちょっ交こう座ざ標ひょうで書かくと x2+y2=r2x^{2}+y^{2}=r^{2} ですが、 極座標きょくざひょうなら r=一いっ定ていr = \text{一いっ定てい} だけで表あらわせます。 中心ちゅうしんからの 「広ひろがり」 を主しゅ役やくにしたい図形ずけい (天体てんたいの軌き道どう・電磁場でんじば・流体りゅうたい) では、 極座標きょくざひょうが圧あっ倒とう的に自し然ぜんな言げん語ごになります。

1. 極座標きょくざひょうとは

定義ていぎ

平へい面めんに原げん点てん O\mathrm{O} (極きょく) とそこから出でる半はん直ちょく線せん (始線しせん) を決きめます。 点P\mathrm{P} の位い置ちを、

  • O\mathrm{O} からの 距きょ離り rr (r≥0r\ge 0)
  • 始線しせんから反はん時計とけい回まわりに測はかった 角かく θ\theta

の組(r,θ)(r, \theta) で表あらわすのが 極座標きょくざひょう です。

直交ちょっこう座標ざひょうとの変換へんかん

直ちょっ交こう座ざ標ひょう (x,y)(x, y) と極座標きょくざひょう (r,θ)(r, \theta) の関係かんけいは

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta

逆に

r=x2+y2,tan⁡θ=yx (x≠0)r = \sqrt{x^{2}+y^{2}},\quad \tan\theta = \frac{y}{x}\ (x\neq 0)

例題れいだい 1

直ちょっ交こう座ざ標ひょう (3,1)(\sqrt{3}, 1) を極座標きょくざひょうで表あらわせ。

解かい: r=3+1=2r = \sqrt{3+1} = 2、 tan⁡θ=1/3\tan\theta = 1/\sqrt{3} で θ=π/6\theta = \pi/6 (x,yx, y とも正せいだから第だい 1 象限しょうげん)。 答えこたえ (2,π/6)(2, \pi/6)。

2. 極ごく方程式ほうていしきの基本きほん

円えんの極きょく方程式ほうていしき

中心ちゅうしんと半はん径けい極方ほう程てい式しき
中心ちゅうしん O\mathrm{O}、 半はん径けい aar=ar = a
中心ちゅうしん (a,0)(a, 0) (xx軸じく上じょう)、 半はん径けい aar=2acos⁡θr = 2a\cos\theta
中心ちゅうしん (0,a)(0, a) (yy軸じく上じょう)、 半はん径けい aar=2asin⁡θr = 2a\sin\theta

導どう出しゅつ: (x−a)2+y2=a2(x-a)^{2}+y^{2}=a^{2} を展てん開かいすると x2+y2=2axx^{2}+y^{2}=2ax。 これに x2+y2=r2x^{2}+y^{2}=r^{2}, x=rcos⁡θx=r\cos\theta を代入だいにゅうして r2=2a⋅rcos⁡θr^{2} = 2a\cdot r\cos\theta、 両辺りょうへんを rr で割わって r=2acos⁡θr=2a\cos\theta。

直線ちょくせんの極きょく方程式ほうていしき

直ちょく線せん極方ほう程てい式しき
原げん点てんを通とおり角α\alphaθ=α\theta = \alpha
xx軸に垂直すいちょく、 x=ax = arcos⁡θ=ar\cos\theta = a
原げん点てんから距きょ離り dd、 法ほう線せんが角α\alpharcos⁡(θ−α)=dr\cos(\theta-\alpha) = d

3. カージオイド (心臓しんぞう形がた)

式しきと形

極座標きょくざひょうで

r=a(1+cos⁡θ),a>0r = a(1 + \cos\theta),\quad a > 0

と表あらわされる曲きょく線せんを カージオイドかーじおいど (心しん臓ぞう形) と呼よびます。 θ=0\theta=0 で r=2ar=2a (右みぎへ最もっとも伸のびる)、 θ=π\theta=\pi で r=0r=0 (原げん点てんに戻もどる) というハートのような形かたちです。

性質せいしつ

項こう目もく値あたい
最大さいだいrr2a2a
1 周期しゅうき0≤θ≤2π0\le\theta\le 2\pi
1 周期しゅうきで囲かこむ面積めんせき32πa2\dfrac{3}{2}\pi a^{2}
1 周期しゅうきの弧こ長ちょう8a8a

由ゆ来らい: カージオイドかーじおいどはラテン語ごで 「心こころ (cardia)」 から来きており、 ハート型がただからこの名前なまえがつきました。 マイクの指し向こう性せい (カーディオイドマイク) や、 マンデルブロ集合しゅうごうの中ちゅう央おうの大おおきな部分ぶぶんとしても現あらわれます。

4. ばら曲線きょくせん

式しきと花弁かべんの数

r=acos⁡(nθ)ま た はr=asin⁡(nθ)r = a\cos(n\theta)\quad \text{ま た は}\quad r = a\sin(n\theta)

を ばら曲線ばらきょくせん (ローズカーブ) と呼よびます。 nn のパリティで花弁かべんの数かずが変かわります。

nn花弁かべんの数かず
奇数きすう (1, 3, 5, ...)nn枚
偶数ぐうすう (2, 4, 6, ...)2n2n枚

例れい: r=cos⁡(3θ)r=\cos(3\theta) は 3 枚まいのバラ、 r=cos⁡(2θ)r=\cos(2\theta) は 4 枚まいのバラ。

5. アルキメデスの渦うず線せん

式しきと性質せいしつ

r=aθ(θ≥0, a>0)r = a\theta\quad (\theta\ge 0,\ a>0)

を アルキメデスの渦線あるきめですのうずせん と呼よびます。 角かくが 1 ラジアン増ふえるごとに、 距きょ離りが aa ずつ増ふえる、 等間隔とうかんかくの渦巻うずまきです。

性せい質しつ内ない容よう
連れん続ぞくする巻まきの間かん隔かく2πa2\pi a
角速度かくそくど一いっ定ていで動うごく点てんの速度そくど中心ちゅうしんから離はなれるほど速はやい

例題れいだい 2

r=aθr = a\theta で θ=2π\theta = 2\pi の点てんと θ=4π\theta = 4\pi の点てんの間隔かんかく (動径けい方ほう向こう) はいくらか。

解かい: rr の差さは 4πa−2πa=2πa4\pi a - 2\pi a = 2\pi a。

6. 極座標きょくざひょうでの面積めんせき

公式こうしき

極方程式きょくほうていしき r=f(θ)r = f(\theta) (α≤θ≤β\alpha \le \theta \le \beta) で表あらわされる図形ずけいが、 原げん点てんと 2 本ほんの半はん直ちょく線せん θ=α,θ=β\theta=\alpha, \theta=\beta で囲かこむ面積めんせきは

S=12∫αβ{f(θ)}2 dθS = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} \{f(\theta)\}^{2}\,d\theta

公式こうしきの導みちびき方かた

微小びしょうな角dθd\theta に対たいし、 半はん径けい rr の扇せん形けいの面積めんせきは 12r2dθ\dfrac{1}{2}r^{2}d\theta。 これを積つみ上あげて積せき分ぶんすると上うえの公式こうしきが出でます。

例題れいだい 3

カージオイド r=a(1+cos⁡θ)r = a(1+\cos\theta) (0≤θ≤2π0\le\theta\le 2\pi) が囲かこむ面積めんせきを求もとめよ。

解かい:

S=12∫02πa2(1+cos⁡θ)2 dθS = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} a^{2}(1+\cos\theta)^{2}\,d\theta

(1+cos⁡θ)2=1+2cos⁡θ+cos⁡2θ=1+2cos⁡θ+1+cos⁡2θ2(1+\cos\theta)^{2} = 1 + 2\cos\theta + \cos^{2}\theta = 1 + 2\cos\theta + \dfrac{1+\cos 2\theta}{2}

∫02πcos⁡θ dθ=0,∫02πcos⁡2θ dθ=0\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = 0,\quad \int_{0}^{2\pi}\cos 2\theta\,d\theta = 0

したがって

S=a22∫02π(1+12)dθ=a22⋅32⋅2π=32πa2S = \frac{a^{2}}{2}\int_{0}^{2\pi}\left(1 + \frac{1}{2}\right)d\theta = \frac{a^{2}}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot 2\pi = \frac{3}{2}\pi a^{2}

7. 極座標きょくざひょうと直交ちょっこう座標ざひょうの使つかい分わけ

直ちょっ交こう座ざ標ひょうが自し然ぜん極座標きょくざひょうが自し然ぜん
直ちょく線せん・長方形ちょうほうけい円えん・楕円だえん・渦うず
関数かんすうy=f(x)y=f(x)中心ちゅうしん対たい称しょうな図形ずけい
「縦たて ×横よこ」 で体たい積せきを計けい算さん「半はん径けいと角かく」 で面積めんせきを計けい算さん

大事だいじ: 物理ぶつりでは 惑星わくせいの軌き道どう や電場でんばの 等電位面とうでんいめん のように中心ちゅうしんからの広ひろがりが主しゅ役やくのとき、 極座標きょくざひょうが圧あっ倒とう的に短みじかく美うつくしい式しきを与あたえます。 ケプラーの法則けぷらーのほうそく (惑わく星せい軌き道どうが楕円だえん) は極方程式きょくほうていしき r=l1+ecos⁡θr = \dfrac{l}{1+e\cos\theta} で一行いっこうに書かけます。

8. 極座標きょくざひょうと大学だいがく数学すうがく

高校こうこうで学まなぶこと大学だいがくでの拡かく張ちょう
平へい面めん極座標きょくざひょう (r,θ)(r,\theta)円柱座標えんちゅうざひょう (r,θ,z)(r,\theta,z)、 球面座標きゅうめんざひょう (ρ,θ,ϕ)(\rho,\theta,\phi)
極きょくでの面積めんせき 12∫r2dθ\frac{1}{2}\int r^{2}d\thetaヤコビアンを使つかった一いっ般ぱん的な座標ざひょう変へん換かん
ケプラーの法則けぷらーのほうそく微分方程式びぶんほうていしきと万有引力ばんゆういんりょくから軌き道どうを導出どうしゅつ

章しょう末まつまとめ

  • 極座標きょくざひょう (r,θ)(r, \theta)、 直ちょっ交こうとは x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx=r\cos\theta, y=r\sin\theta
  • 円えん中心ちゅうしん原げん点てん = r=ar=a、 中心ちゅうしん (a,0)(a,0) = r=2acos⁡θr=2a\cos\theta
  • カージオイド = r=a(1+cos⁡θ)r=a(1+\cos\theta)、 ばら曲線ばらきょくせん = r=acos⁡(nθ)r=a\cos(n\theta)
  • 面積めんせき S=12∫αβr2 dθS = \dfrac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^{2}\,d\theta
  • 中心ちゅうしん対たい称しょう・渦うず・天体てんたい軌き道どうには極座標きょくざひょうが自し然ぜん
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媒介変数表示 (サイクロイド・リサジュー)

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極座標一問一答

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円錐曲線 (円・楕円・双曲線・放物線の総論)

学がく習しゅうロードマップ（10件けん）
  1. 1ベクトル (空間くうかんベクトル中心ちゅうしん、 外積がいせき・行列ぎょうれつ・1 次じ変換へんかんは 【発展はってん】)
  2. 2媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじ (サイクロイド・リサジュー)
  3. 3極座標きょくざひょう (極ごく方程式ほうていしきと極ごく面積めんせき)
  4. 4円錐えんすい曲線きょくせん (円えん・楕円だえん・双曲線そうきょくせん・放物線ほうぶつせんの総論そうろん)
  5. 5楕円だえん (定義ていぎ・焦点しょうてん・離心率りしんりつ)
  6. 6双曲線そうきょくせん (定義ていぎ・漸近ぜんきん線せん)
  7. 7放物線ほうぶつせん (準じゅん線せん・焦点しょうてん)
  8. 8複素数ふくそすう平面へいめん発展はってん (回転かいてんと拡大かくだい)
  9. 9極ごく形式けいしきと幾何きかへの応用おうよう
  10. 10ド・モアブルの定理ていり (n 乗根じょうこん)
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