この 章 で 学ぶ こと
これ ま で の 直交座標 (x,y) は 「縦横 の 物差 し」 で 点 の 位置 を 表 し ま し た。 数学 C で 学 ぶ 極座標 は、 「原点 か ら の 距離r」 と 「x軸 か ら の 角θ」 で 表 す 全 く 別 の 座標系 で す。 円 や 渦巻 き の よ う に 「中心 と の 関係」 が 主役 の 図形 を 驚 く ほ ど 短 い 式 で 書 け ま す。
- 極座標 の 定義 と 直交座標 と の 変換
- 円・直線 の 極方程式
- カージオイド・ばら曲線・アルキメデスの渦線
- 極座標 で の 面積 の 公式
- 大学微分積分 へ の 橋渡 し
ポイント: 円 を 直交座標 で 書 く と x2+y2=r2 で す が、 極座標 な ら r=<ruby>一<rt>いっ</rt></ruby><ruby>定<rt>てい</rt></ruby> だ け で 表 せ ま す。 中心 か ら の 「広 が り」 を 主役 に し た い 図形 (天体 の 軌道・電磁場・流体) で は、 極座標 が 圧倒的 に 自然 な 言語 に な り ま す。
1. 極座標 と は
定義
平面 に 原点O (極) と そ こ か ら 出 る 半直線 (始線) を 決 め ま す。 点P の 位置 を、
- O か ら の 距離 r (r≥0)
- 始線 か ら 反時計回 り に 測 っ た 角 θ
の 組(r,θ) で 表 す の が 極座標 で す。
直交座標 と の 変換
直交座標(x,y) と 極座標(r,θ) の 関係 は
x=rcosθ,y=rsinθ
逆 に
r=x2+y2,tanθ=xy (x=0)
例題 1
直交座標(3,1) を 極座標 で 表 せ。
解: r=3+1=2、 tanθ=1/3 で θ=π/6 (x,y と も 正 だ か ら 第 1 象限)。 答 え (2,π/6)。
2. 極方程式 の 基本
円 の 極方程式
| 中心 と 半径 | 極方程式 |
|---|
| 中心O、 半径a | r=a |
| 中心(a,0) (x軸上)、 半径a | r=2acosθ |
| 中心(0,a) (y軸上)、 半径a | r=2asinθ |
導出: (x−a)2+y2=a2 を 展開 す る と x2+y2=2ax。 こ れ に x2+y2=r2, x=rcosθ を 代入 し て r2=2a⋅rcosθ、 両辺 を r で 割 っ て r=2acosθ。
直線 の 極方程式
| 直線 | 極方程式 |
|---|
| 原点 を 通 り 角α | θ=α |
| x軸 に 垂直、 x=a | rcosθ=a |
| 原点 か ら 距離d、 法線 が 角α | rcos(θ−α)=d |
3. カージオイド (心臓形)
式 と 形
極座標 で
r=a(1+cosθ),a>0
と 表 さ れ る 曲線 を カージオイド (心臓形) と 呼 び ま す。 θ=0 で r=2a (右 へ 最 も 伸 び る)、 θ=π で r=0 (原点 に 戻 る) と い う ハ ー ト の よ う な 形 で す。
性質
| 項目 | 値 |
|---|
| 最大r | 2a |
| 1 周期 | 0≤θ≤2π |
| 1 周期 で 囲 む 面積 | 23πa2 |
| 1 周期 の 弧長 | 8a |
由来: カージオイド は ラテン 語 で 「心 (cardia)」 か ら 来 て お り、 ハ ー ト 型 だ か ら こ の 名前 が つ き ま し た。 マ イ ク の 指向性 (カーディオイドマイク) や、 マ ン デ ル ブ ロ 集合 の 中央 の 大 き な 部分 と し て も 現 れ ま す。
4. ばら 曲線
式 と 花弁 の 数
r=acos(nθ)ま た はr=asin(nθ)
を ばら曲線 (ロ ー ズ カ ー ブ) と 呼 び ま す。 n の パ リ ティ で 花弁 の 数 が 変 わ り ま す。
| n | 花弁 の 数 |
|---|
| 奇数 (1, 3, 5, ...) | n枚 |
| 偶数 (2, 4, 6, ...) | 2n枚 |
例: r=cos(3θ) は 3 枚 の バ ラ、 r=cos(2θ) は 4 枚 の バ ラ。
5. アルキメデス の 渦線
式 と 性質
r=aθ(θ≥0, a>0)
を アルキメデスの渦線 と 呼 び ま す。 角 が 1 ラ ジ ア ン 増 え る ご と に、 距離 が a ず つ 増 え る、 等間隔 の 渦巻 き で す。
| 性質 | 内容 |
|---|
| 連続 す る 巻 き の 間隔 | 2πa |
| 角速度一定 で 動 く 点 の 速度 | 中心 か ら 離 れ る ほ ど 速 い |
例題 2
r=aθ で θ=2π の 点 と θ=4π の 点 の 間隔 (動径方向) は い く ら か。
解: r の 差 は 4πa−2πa=2πa。
6. 極座標 で の 面積
公式
極方程式r=f(θ) (α≤θ≤β) で 表 さ れ る 図形 が、 原点 と 2 本 の 半直線θ=α,θ=β で 囲 む 面積 は
S=21∫αβ{f(θ)}2dθ
公式 の 導 き 方
微小 な 角dθ に 対 し、 半径r の 扇形 の 面積 は 21r2dθ。 こ れ を 積 み 上 げ て 積分 す る と 上 の 公式 が 出 ま す。
例題 3
カージオイド r=a(1+cosθ) (0≤θ≤2π) が 囲 む 面積 を 求 め よ。
解:
S=21∫02πa2(1+cosθ)2dθ
(1+cosθ)2=1+2cosθ+cos2θ=1+2cosθ+21+cos2θ
∫02πcosθdθ=0,∫02πcos2θdθ=0
し た が っ て
S=2a2∫02π(1+21)dθ=2a2⋅23⋅2π=23πa2
7. 極座標 と 直交座標 の 使 い 分け
| 直交座標 が 自然 | 極座標 が 自然 |
|---|---|
| 直線・長方形 | 円・楕円・渦 |
| 関数y=f(x) | 中心対称 な 図形 |
| 「縦 ×横」 で 体積 を 計算 | 「半径 と 角」 で 面積 を 計算 |
大事: 物理 で は 惑星 の 軌道 や 電場 の 等電位面 の よ う に 中心 か ら の 広 が り が 主役 の と き、 極座標 が 圧倒的 に 短 く 美 し い 式 を 与 え ま す。 ケプラーの法則 (惑星軌道 が 楕円) は 極方程式r=1+ecosθl で 一行 に 書 け ま す。
8. 極座標 と 大学数学
| 高校 で 学 ぶ こ と | 大学 で の 拡張 |
|---|
| 平面[[極座標 | きょくざひょう]](r,θ) |
| 極 で の 面積21∫r2dθ | ヤコビアン を 使 っ た 一般的 な 座標変換 |
| [[ケプラーの法則 | ケプラーのほうそく]] |
章末 まとめ
- 極座標(r,θ)、 直交 と は x=rcosθ,y=rsinθ
- 円中心原点 = r=a、 中心(a,0) = r=2acosθ
- カージオイド = r=a(1+cosθ)、 ばら曲線 = r=acos(nθ)
- 面積S=21∫αβr2dθ
- 中心対称・渦・天体軌道 に は 極座標 が 自然