極座標きょくざひょう (極ごく方程式ほうていしき と 極ごく面積めんせき)

この 章しょう で 学まなぶ こと

これ ま で の 直交座標ちょっこうざひょう ($x,y$) は 「縦横じゅうおう の 物もの差さ し」 で 点てん の 位い置ち を 表ひょう し ま し た。 数学すうがく C で 学がく ぶ 極座標きょくざひょう は、 「原げん点てん か ら の 距きょ離り$r$」 と 「$x$軸 か ら の 角$\theta$」 で 表ひょう す 全ぜん く 別べつ の 座標ざひょう系けい で す。 円えん や 渦巻うずまき き の よ う に 「中ちゅう心しん と の 関係かんけい」 が 主役しゅやく の 図形づけい を 驚おどろき く ほ ど 短たん い 式しき で 書しょ け ま す。

• 極座標きょくざひょう の 定てい義ぎ と 直ちょっ交こう座ざ標ひょう と の 変へん換かん
• 円えん・直ちょく線せん の 極方程式きょくほうていしき
• カージオイド・ばら曲線ばらきょくせん・アルキメデスの渦線アルキメデスのうずせん
• 極ごく座ざ標ひょう で の 面めん積せき の 公こう式しき
• 大学だいがく微分積分びぶんせきぶん へ の 橋渡わた し

ポイント: 円えん を 直ちょっ交こう座ざ標ひょう で 書しょ く と $x^2+y^2=r^2$ で す が、 極座標きょくざひょう な ら $r=一いっ定てい$ だ け で 表ひょう せ ま す。 中ちゅう心しん か ら の 「広ひろ が り」 を 主しゅ役やく に し た い 図形づけい (天体てんたい の 軌き道どう・電磁場でんじば・流体りゅうたい) で は、 極座標きょくざひょう が 圧あっ倒とう的 に 自し然ぜん な 言げん語ご に な り ま す。

1. 極座標きょくざひょう と は

定義ていぎ

平へい面めん に 原げん点てん$O$ (極きょく) と そ こ か ら 出で る 半はん直ちょく線せん (始線しせん) を 決けつ め ま す。 点$P$ の 位い置ち を、

• $O$ か ら の 距きょ離り $r$ ($r\ge 0$)
• 始はじめ線せん か ら 反はん時計とけい回かい り に 測はか っ た 角かく $\theta$

の 組$(r,\theta )$ で 表ひょう す の が 極座標きょくざひょう で す。

直交ちょっこう座標ざひょう と の 変換へんかん

直ちょっ交こう座ざ標ひょう$(x,y)$ と 極座標きょくざひょう$(r,\theta )$ の 関係かんけい は

$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$

逆 に

$r=\sqrt{x^2+y^2},\tan \theta =\frac{y}{x} (x\ne 0)$

例題れいだい 1

直ちょっ交こう座ざ標ひょう$(\sqrt{3},1)$ を 極座標きょくざひょう で 表ひょう せ。

解かい: $r=\sqrt{3+1}=2$、 $\tan \theta =1/\sqrt{3}$ で $\theta =\pi /6$ ($x,y$ と も 正ただし だ か ら 第だい 1 象限しょうげん)。 答こたえ え $(2,\pi /6)$。

2. 極ごく方程式ほうていしき の 基本きほん

円えん の 極ごく方程式ほうていしき

中ちゅう心しん と 半はん径けい	極方ほう程てい式しき
中ちゅう心しん$O$、 半はん径けい$a$	$r=a$
中ちゅう心しん$(a,0)$ ($x$軸じく上じょう)、 半はん径けい$a$	$r=2a\cos \theta$
中ちゅう心しん$(0,a)$ ($y$軸じく上じょう)、 半はん径けい$a$	$r=2a\sin \theta$

導どう出しゅつ: $(x-a{)}^2+y^2=a^2$ を 展てん開かい す る と $x^2+y^2=2ax$。 こ れ に $x^2+y^2=r^2$, $x=r\cos \theta$ を 代入だいにゅう し て $r^2=2a\cdot r\cos \theta$、 両辺りょうへん を $r$ で 割わり っ て $r=2a\cos \theta$。

直線ちょくせん の 極ごく方程式ほうていしき

直ちょく線せん	極方ほう程てい式しき
原げん点てん を 通つう り 角$\alpha$	$\theta =\alpha$
$x$軸 に 垂すい直ちょく、 $x=a$	$r\cos \theta =a$
原げん点てん か ら 距きょ離り$d$、 法ほう線せん が 角$\alpha$	$r\cos (\theta -\alpha )=d$

3. カージオイド (心臓しんぞう形がた)

式しき と 形

極座標きょくざひょう で

$r=a(1+\cos \theta ),a>0$

と 表ひょう さ れ る 曲きょく線せん を カージオイド (心しん臓ぞう形) と 呼こ び ま す。 $\theta =0$ で $r=2a$ (右みぎ へ 最さい も 伸しん び る)、 $\theta =\pi$ で $r=0$ (原げん点てん に 戻もど る) と い う ハ ー ト の よ う な 形かたち で す。

性質せいしつ

項こう目もく	値ね
最大さいだい$r$	$2a$
1 周期しゅうき	$0\le \theta \le 2\pi$
1 周期しゅうき で 囲 む 面めん積せき	$\frac{3}{2}\pi a^2$
1 周期しゅうき の 弧こ長ちょう	$8a$

由ゆ来らい: カージオイド は ラテン 語かたり で 「心こころ (cardia)」 か ら 来き て お り、 ハ ー ト 型かた だ か ら こ の 名前なまえ が つ き ま し た。 マ イ ク の 指し向こう性せい (カーディオイドマイク) や、 マ ン デ ル ブ ロ 集合しゅうごう の 中ちゅう央おう の 大だい き な 部分ぶぶん と し て も 現げん れ ま す。

4. ばら 曲線きょくせん

式しき と 花弁はなびら の 数

$r=a\cos \left(n\theta \right)ま た はr=a\sin \left(n\theta \right)$

を ばら曲線ばらきょくせん (ロ ー ズ カ ー ブ) と 呼こ び ま す。 $n$ の パ リ ティ で 花弁はなびら の 数かず が 変へん わ り ま す。

$n$	花弁はなびら の 数かず
奇数きすう (1, 3, 5, ...)	$n$枚
偶数ぐうすう (2, 4, 6, ...)	$2n$枚

例れい: $r=\cos \left(3\theta \right)$ は 3 枚まい の バ ラ、 $r=\cos \left(2\theta \right)$ は 4 枚まい の バ ラ。

5. アルキメデス の 渦うず線せん

式しき と 性質せいしつ

$r=a\theta (\theta \ge 0, a>0)$

を アルキメデスの渦線アルキメデスのうずせん と 呼こ び ま す。 角かく が 1 ラ ジ ア ン 増まし え る ご と に、 距きょ離り が $a$ ず つ 増まし え る、 等間隔とうかんかく の 渦巻うずまき き で す。

性せい質しつ	内ない容よう
連れん続ぞく す る 巻まき き の 間かん隔かく	$2\pi a$
角速度かくそくど一いっ定てい で 動どう く 点てん の 速度そくど	中ちゅう心しん か ら 離はなれ れ る ほ ど 速はや い

例題れいだい 2

$r=a\theta$ で $\theta =2\pi$ の 点てん と $\theta =4\pi$ の 点てん の 間隔かんかく (動径けい方ほう向こう) は い く ら か。

解かい: $r$ の 差さ は $4\pi a-2\pi a=2\pi a$。

6. 極座標きょくざひょう で の 面積めんせき

公式こうしき

極方程式きょくほうていしき$r=f\left(\theta \right)$ ($\alpha \le \theta \le \beta$) で 表ひょう さ れ る 図形づけい が、 原げん点てん と 2 本ほん の 半はん直ちょく線せん$\theta =\alpha ,\theta =\beta$ で 囲 む 面めん積せき は

$S=\frac{1}{2}\int \alpha \beta \left\{f\right(\theta ){\}}^2\hspace{0.17em}d\theta$

公式こうしき の 導しるべ き 方かた

微小びしょう な 角$d\theta$ に 対たい し、 半はん径けい$r$ の 扇せん形けい の 面めん積せき は $\frac{1}{2}{r}^{2}d\theta$。 こ れ を 積つむ み 上うえ げ て 積せき分ぶん す る と 上うえ の 公式こうしき が 出で ま す。

例題れいだい 3

カージオイド $r=a(1+\cos \theta )$ ($0\le \theta \le 2\pi$) が 囲 む 面めん積せき を 求もとめ め よ。

解かい:

$S=\frac{1}{2}\int 02\pi a^2(1+\cos \theta {)}^2\hspace{0.17em}d\theta$

$(1+\cos \theta {)}^2=1+2\cos \theta +{\cos }^2\theta =1+2\cos \theta +\frac{1+\cos 2\theta }{2}$

$\int 02\pi \cos \theta \hspace{0.17em}d\theta =0,\int 02\pi \cos 2\theta \hspace{0.17em}d\theta =0$

し た が っ て

$S=\frac{a^2}{2}\int 02\pi (1+\frac{1}{2})d\theta =\frac{a^2}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot 2\pi =\frac{3}{2}\pi a^2$

7. 極座標きょくざひょう と 直交ちょっこう座標ざひょう の 使し い 分わけ

| 直ちょっ交こう座ざ標ひょう が 自し然ぜん | 極座標きょくざひょう が 自し然ぜん | |---|---| | 直ちょく線せん・長方形ちょうほうけい | 円えん・楕円だえん・渦うず | | 関数かんすう$y=f\left(x\right)$ | 中ちゅう心しん対たい称しょう な 図形づけい | | 「縦たて ×横よこ」 で 体たい積せき を 計けい算さん | 「半はん径けい と 角かく」 で 面めん積せき を 計けい算さん |

大事だいじ: 物理ぶつり で は 惑星わくせい の 軌き道どう や 電場でんば の 等電位面とうでんいめん の よ う に 中ちゅう心しん か ら の 広ひろ が り が 主しゅ役やく の と き、 極座標きょくざひょう が 圧あっ倒とう的 に 短たん く 美よし し い 式しき を 与あずか え ま す。 ケプラーの法則ケプラーのほうそく (惑わく星せい軌き道どう が 楕円だえん) は 極方程式きょくほうていしき$r=\frac{l}{1+e\cos \theta }$ で 一行いっこう に 書しょ け ま す。

8. 極座標きょくざひょう と 大学だいがく数学すうがく

高校こうこう で 学がく ぶ こ と	大学だいがく で の 拡かく張ちょう
平へい面めん[[極座標	きょくざひょう]]$(r,\theta )$
極ごく で の 面めん積せき$\frac{1}{2}\int r^{2}d\theta$	ヤコビアン を 使し っ た 一いっ般ぱん的 な 座標ざひょう変へん換かん
[[ケプラーの法則	ケプラーのほうそく]]

章しょう末まつ まとめ

• 極座標きょくざひょう$(r,\theta )$、 直ちょっ交こう と は $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$
• 円えん中ちゅう心しん原げん点てん = $r=a$、 中ちゅう心しん$(a,0)$ = $r=2a\cos \theta$
• カージオイド = $r=a(1+\cos \theta )$、 ばら曲線ばらきょくせん = $r=a\cos \left(n\theta \right)$
• 面めん積せき$S=\frac{1}{2}\int \alpha \beta r^2\hspace{0.17em}d\theta$
• 中ちゅう心しん対たい称しょう・渦うず・天体てんたい軌き道どう に は 極座標きょくざひょう が 自し然ぜん