積分せきぶんの応用おうよう (面積めんせき・体積たいせき)

この 章しょう で 学まなぶ こと

第だい 6 章しょう で 積分せきぶん の 計けい算さん が で き る よ う に な り ま し た。 こ こ か ら は 何なに を 求もとめ め る た め に 使し う か が 主しゅ役やく に な り ま す。

• 定積分ていせきぶん と 面積めんせき の 関かん係けい (復ふく習しゅう)
• 2 曲線きょくせん で 囲 ま れ る 面めん積せき
• 区分求積法くぶんきゅうせきほう と 定積分ていせきぶん の 定てい義ぎ
• 回転体かいてんたい の 体たい積せき ($V=\pi \int y^2\hspace{0.17em}dx$)
• $y$軸 ま わ り の 回転体かいてんたい (シェル 法ほう = バウムクーヘン積せき分ぶん)

ポイント: 「微分びぶん が 接線せっせん の 傾かたむき」 「積分せきぶん が 面めん積せき と 体たい積せき」 と い う 幾き何か的 な イ メ ー ジ が、 数学すうがく III の 応おう用よう を 支 え ま す。

1. 面積めんせき の 復習ふくしゅう

1 曲線きょくせん と $x$軸

$f\left(x\right)\ge 0$ が 区く間かん$[a,b]$ で 連れん続ぞく な とき、 曲線きょくせん$y=f\left(x\right)$、 $x$軸、 直ちょく線せん$x=a$、 $x=b$ で 囲 ま れ る 面めん積せき は、

$S=\int abf\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$

正負せいふ が 混まざる 場合ばあい

$f$ が 正負せいふ を 変へん え る 場ば合あい、 絶ぜっ対たい値ち を つ け て:

$S=\int ab\mid f\left(x\right)\mid \hspace{0.17em}dx$

正 と 負まけ の 区く間かん で 分ぶん け て 計けい算さん す る。

例れい 1

$y=x^3$ と $x$軸 と $x=-1$、 $x=2$ で 囲 む 面めん積せき。

$S=\int -10(-x^3)\hspace{0.17em}dx+\int 02x^3\hspace{0.17em}dx=\frac{1}{4}+4=\frac{17}{4}$

2. 2 曲線きょくせん で 囲かこむ 面積めんせき

公式こうしき

$f\left(x\right)\ge g\left(x\right)$ が 区く間かん$[a,b]$ で 成なる り 立たつ つ な ら、

$S=\int ab\left\{f\right(x)-g(x\left)\right\}\hspace{0.17em}dx$

「上じょう か ら 下した を 引 く」。 上下じょうげ が 入いり れ 替かわ わ る 場ば合あい は 入いり れ 替かわ わ る 点てん で 区切くぎり る。

例れい 2 放物線ほうぶつせん と 直線ちょくせん

$y=x^2$ と $y=x+2$ で 囲 む 面めん積せき。 交こう点てん は $x^2=x+2\Rightarrow x=-1,2$。 区く間かん内 で 上じょう が 直ちょく線せん:

$S=\int -12\left\{\right(x+2)-x^2\}\hspace{0.17em}dx=[\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}]-12=\frac{9}{2}$

大事だいじ: 「上じょう と 下した を 描 い て 確 か め る」。 グラフ を ざ っ く り で も 描 い て お く と、 「上うえ か ら 下した を 引 く」 を 間ま違 え な い。

例れい 3 sin と cos の 囲かこむ 面積めんせき

$y=\sin x$ と $y=\cos x$ が $x\in [0,2\pi ]$ で 囲 む 面めん積せき。 交こう点てん$x=\pi /4,5\pi /4$。

$S=\int \pi /45\pi /4(\sin x-\cos x)\hspace{0.17em}dx=2\sqrt{2}$

3. 区分くぶん求もとめ積せき法ほう と 定てい積分せきぶん

区分くぶん求もとめ積せき法ほう の 定義ていぎ

区く間かん$[a,b]$ を $n$等とう分ぶん し、 各かく小お区く間かん の 幅はば を $\Delta x=\frac{b-a}{n}$、 $x_k=a+k\Delta x$ ($k=1,2,\dots ,n$、 各かく小しょう区間くかん の 右みぎ端点たんてん) と す る。 各かく短たん冊ざく の 面めん積せき を 足あし し て $n\to \infty$ と し た 極きょく限げん が 定積分ていせきぶん:

$\int abf\left(x\right)\hspace{0.17em}dx={\lim }_{n\to \infty }\sum k=1nf\left(x_k\right)\Delta x$

注ちゅう: こ こ で は サ ン プ ル 点てん と し て 右みぎ端点たんてん を 採用さいよう し て い ま す が、 $f$ が 連続れんぞく で あ れ ば、 左端ひだりはし点てん ($x_{k-1}$) や 中点ちゅうてん、 任意にんい の 内部ないぶ点てん で も 極限きょくげん値ち は 同どう じ で す (リーマン和リーマンわ の 性質せいしつ)。 高校こうこう で は 右みぎ端点たんてん で 統一とういつ す る の が 標準ひょうじゅん。

数列すうれつ の 和わ を 定てい積分せきぶん で 計算けいさん

${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}\sum k=1nf\left(\frac{k}{n}\right)=\int 01f\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$

例れい 4

$\lim n\to \infty \frac{1}{n}\sum k=1n\frac{k}{n+k}$ を 求もとめ め よ。

$\frac{k/n}{1+k/n}=f\left(\frac{k}{n}\right)$、 $f\left(x\right)=\frac{x}{1+x}$ よ り、

$=\int 01\frac{x}{1+x}\hspace{0.17em}dx=\int 01(1-\frac{1}{1+x})dx=1-\log 2$

大事だいじ: シグマ の 中なか に $\frac{k}{n}$ が 出で て き た ら 区分求積法くぶんきゅうせきほう を 疑うたぐ う。 数学すうがく III の 大定てい番ばん 出題しゅつだい パ タ ー ン。

4. 回転かいてん体たい の 体積たいせき ($x$軸 まわり)

公式こうしき

曲線きょくせん$y=f\left(x\right)\ge 0$ を $x$軸 ま わ り に 1 回かい転てん さ せ て で き る 回転体かいてんたい の 体たい積せき:

$V=\pi \int ab\left\{f\right(x){\}}^2\hspace{0.17em}dx=\pi \int ab{y}^2\hspace{0.17em}dx$

イメージ: 厚あつ さ $dx$ の 円えん板いた (半径はんけい$y$) を 無む限げん に 重おも ね る。 円えん板ばん の 面めん積せき$\pi y^2$ × 厚あつ さ $dx$ を 足あし す。

例れい 5 球たま の 体積たいせき

$y=\sqrt{r^2-x^2}$ を $x$軸 ま わ り に 回転かいてん (半球はんきゅう ふ た つ で 球たま):

$V=\pi \int -rr(r^2-x^2)\hspace{0.17em}dx=\pi [r^{2}x-\frac{x^3}{3}]-rr=\frac{4}{3}\pi r^3$

中学ちゅうがく で 暗あん記き し た 公こう式しき が、 数学すうがく III の 積分せきぶん で 証しょう明めい で き ま し た。

例れい 6 円錐えんすい の 体積たいせき

直ちょく線せん$y=\frac{r}{h}x$ ($0\le x\le h$) を $x$軸 ま わ り に 回転かいてん:

$V=\pi \int 0h\frac{r^2}{h^2}{x}^2\hspace{0.17em}dx=\pi \frac{r^2}{h^2}\cdot \frac{h^3}{3}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

「底面ていめん積せき × 高こう さ ÷ 3」 の 円えん錐すい公こう式しき も 積せき分ぶん で。

5. 2 曲線きょくせん で 囲 まれた 部分ぶぶん の 回転かいてん体たい

公式こうしき

$f\left(x\right)\ge g\left(x\right)\ge 0$ で、 両りょう曲線きょくせん で 囲 ま れ た 部ぶ分ぶん を $x$軸 ま わ り に 回転かいてん さ せ た 体たい積せき:

$V=\pi \int ab\left\{f\right(x{)}^2-g\left(x{)}^2\right\}\hspace{0.17em}dx$

「外がい側がわ の 体たい積せき か ら 内側うちがわ の 体たい積せき を 引 く」 (ドーナツどーなつ型)。

例れい 7

$y=x^2$ と $y=x$ で 囲 ま れ た 部ぶ分ぶん ($0\le x\le 1$) を $x$軸 ま わ り に 回転かいてん:

$V=\pi \int 01(x^2-x^4)\hspace{0.17em}dx=\pi (\frac{1}{3}-\frac{1}{5})=\frac{2\pi }{15}$

6. $y$軸 まわり の 回転かいてん体たい

方法ほうほう 1 $x$ で 表あらわす

$y=f\left(x\right)$ を $x=g\left(y\right)$ と 解かい い て、

$V=\pi \int cd\left\{g\right(y){\}}^2\hspace{0.17em}dy$

方法ほうほう 2 シェル 法ほう (バウムクーヘン)

$x$ で 解かい け な い と き、 半はん径けい$x$、 高こう さ $f\left(x\right)$、 厚あつ さ $dx$ の 円筒えんとう殻から を 重おも ね る:

$V=2\pi \int abxf\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$

例れい 8

$y=\sin x$ ($0\le x\le \pi$) を $y$軸 ま わ り に 回転かいてん。 シェル 法ほう で:

$V=2\pi \int 0\pi x\sin x\hspace{0.17em}dx=2\pi [-x\cos x+\sin x]0\pi =2\pi \cdot \pi =2{\pi }^2$

(部分積分ぶぶんせきぶん を 使用しよう。)

発はっ展てん: バウムクーヘン積せき分ぶん は 教科書きょうかしょ に 載の ら な い こ と が 多おお い が、 国公立こっこうりつ の 入にゅう試し で 頻ひん出しゅつ。 「$x$ で 解かい け な い と き は 円筒えんとう殻から」 を 覚さとし え て お く と 強つよ い。

7. 体積たいせき の 一般いっぱん公式こうしき

断面だんめん積つむ が わかる 立体りったい

立りっ体たい を $x$軸 に 垂すい直ちょく な 平へい面めん で 切せつ っ た 断面だんめん積せき が $S\left(x\right)$ で あ る と き、

$V=\int abS\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$

例れい 9 三さん角錐かくすい (断面だんめん三角形さんかっけい)

底そこ が 一辺ぺん$a$ の 正三角形せいさんかっけい で 高こう さ $h$ の 三角さんかく錐すい:

各かく高こう さ $x$ で 断面だんめん が 一辺ぺん$a(1-x/h)$ の 正三角形せいさんかっけい、 $S\left(x\right)=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2(1-x/h{)}^2$。

$V=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2\int 0h{(1-\frac{x}{h})}^{2}dx=\frac{\sqrt{3}}{12}{a}^{2}h$

「底面ていめん積せき × 高こう さ ÷ 3」 の 一いっ般ぱん化 (底面ていめん の 形かたち は 何なに で も よ い)。

8. 章しょう末まつ まとめ

計けい算さん対たい象しょう	公こう式しき
1 曲線きょくせん と $x$軸 で 囲 む 面めん積せき	$\int
2 曲線きょくせん で 囲 む 面めん積せき	$\int (上-下)\hspace{0.17em}dx$
[[区分求積法	くぶんきゅうせきほう]]
回転かいてん体たい ($x$軸)	$\pi \int y^2\hspace{0.17em}dx$
回転かいてん体たい ($y$軸 シェル)	$2\pi \int xf\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$
一いっ般ぱん立りっ体たい	$\int S\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$

次じ の 章しょう へ: 第だい 8 章しょう で は 「曲線きょくせん の 長ちょう さ」 「物ぶつ理り量りょう (仕し事ごと・重心じゅうしん) の 積分せきぶん」 へ 進すすむ み、 数学すうがく III の 応用おうよう の 多様たよう さ を 体たい験けん し ま す。