積分せきぶんの応用おうよう (面積めんせき・体積たいせき)

この章しょうで学まなぶこと

第だい 6 章しょうで積分せきぶんの計けい算さんができるようになりました。 ここからは 何なにを求もとめるために使つかうか が主しゅ役やくになります。

• 定積分ていせきぶんと 面積めんせき の関かん係けい (復ふく習しゅう)
• 2 曲線きょくせん で囲かこまれる面積めんせき
• 区分求積法くぶんきゅうせきほう と定積分ていせきぶんの定てい義ぎ
• 回転体かいてんたい の 体たい積せき ($V=\pi \int y^2\hspace{0.17em}dx$)
• $y$軸まわりの回転体かいてんたい (シェル法ほう = バウムクーヘン積せき分ぶん)

ポイント: 「微分びぶんが接線せっせんの傾かたむき」 「積分せきぶんが面積めんせきと体たい積せき」 という 幾き何か的なイメージ が、 数学すうがく III の応おう用ようを支ささえます。

1. 面積めんせきの復習ふくしゅう

1 曲線きょくせんと $x$軸

$f\left(x\right)\ge 0$ が区く間かん $[a,b]$ で連れん続ぞくなとき、 曲線きょくせん $y=f\left(x\right)$、 $x$軸、 直ちょく線せん $x=a$、 $x=b$ で囲かこまれる面積めんせきは、

$S=\int abf\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$

正負せいふが混まざる場合ばあい

$f$ が正負せいふを変かえる場ば合あい、 絶ぜっ対たい値あたい をつけて:

$S=\int ab\mid f\left(x\right)\mid \hspace{0.17em}dx$

正と負ふの区く間かんで分わけて計けい算さんする。

例れい 1

$y=x^3$ と $x$軸と $x=-1$、 $x=2$ で囲かこむ面積めんせき。

$S=\int -10(-x^3)\hspace{0.17em}dx+\int 02x^3\hspace{0.17em}dx=\frac{1}{4}+4=\frac{17}{4}$

2. 2 曲線きょくせんで囲かこむ面積めんせき

公式こうしき

$f\left(x\right)\ge g\left(x\right)$ が区く間かん $[a,b]$ で成なり立たつなら、

$S=\int ab\left\{f\right(x)-g(x\left)\right\}\hspace{0.17em}dx$

「上じょうから下したを引ひく」。 上下じょうげが入いれ替かわる場ば合あいは 入いれ替かわる点てんで区切くぎる。

例れい 2 放物線ほうぶつせんと直線ちょくせん

$y=x^2$ と $y=x+2$ で囲かこむ面積めんせき。 交こう点てんは $x^2=x+2\Rightarrow x=-1,2$。 区く間かん内で 上じょうが直ちょく線せん:

$S=\int -12\left\{\right(x+2)-x^2\}\hspace{0.17em}dx=[\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}]-12=\frac{9}{2}$

大事だいじ: 「上うえと下したを描えがいて確たしかめる」。 グラフぐらふをざっくりでも描えがいておくと、 「上うえから下したを引ひく」 を間違まちがえない。

例れい 3 sin と cos の囲かこむ面積めんせき

$y=\sin x$ と $y=\cos x$ が $x\in [0,2\pi ]$ で囲かこむ面積めんせき。 交こう点てん $x=\pi /4,5\pi /4$。

$S=\int \pi /45\pi /4(\sin x-\cos x)\hspace{0.17em}dx=2\sqrt{2}$

3. 区分くぶん求もとめ積せき法ほうと定てい積分せきぶん

区分くぶん求もとめ積せき法ほうの定義ていぎ

区く間かん $[a,b]$ を $n$等とう分ぶんし、 各かく小お区く間かんの幅はばを $\Delta x=\frac{b-a}{n}$、 $x_k=a+k\Delta x$ ($k=1,2,\dots ,n$、 各かく小しょう区間くかんの右みぎ端点たんてん) とする。 各かく短たん冊ざくの面積めんせきを足たして $n\to \infty$ とした極きょく限げんが定積分ていせきぶん:

$\int abf\left(x\right)\hspace{0.17em}dx={\lim }_{n\to \infty }\sum k=1nf\left(x_k\right)\Delta x$

注ちゅう: ここではサンプル点てんとして右みぎ端点たんてんを採用さいようしていますが、 $f$ が連続れんぞくであれば、 左端ひだりはし点てん ($x_{k-1}$) や中点ちゅうてん、 任意にんいの内部ないぶ点てんでも極限値きょくげんちは同おなじです (リーマン和りーまんわの性質せいしつ)。 高校こうこうでは右みぎ端点たんてんで統一とういつするのが標準ひょうじゅん。

数列すうれつの和わを定てい積分せきぶんで計算けいさん

${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}\sum k=1nf\left(\frac{k}{n}\right)=\int 01f\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$

例れい 4

$\lim n\to \infty \frac{1}{n}\sum k=1n\frac{k}{n+k}$ を求もとめよ。

$\frac{k/n}{1+k/n}=f\left(\frac{k}{n}\right)$、 $f\left(x\right)=\frac{x}{1+x}$ より、

$=\int 01\frac{x}{1+x}\hspace{0.17em}dx=\int 01(1-\frac{1}{1+x})dx=1-\log 2$

大事だいじ: シグマの中なかに $\frac{k}{n}$ が出でてきたら 区分求積法くぶんきゅうせきほう を疑うたがう。 数学すうがく III の 大定てい番ばん 出題しゅつだいパターン。

4. 回転かいてん体たいの体積たいせき ($x$軸まわり)

公式こうしき

曲線きょくせん $y=f\left(x\right)\ge 0$ を $x$軸まわりに 1 回かい転てんさせてできる回転体の体積かいてんたいのたいせき:

$V=\pi \int ab\left\{f\right(x){\}}^2\hspace{0.17em}dx=\pi \int ab{y}^2\hspace{0.17em}dx$

イメージ: 厚あつさ $dx$ の 円えん板いた (半径はんけい $y$) を無む限げんに重かさねる。 円えん板ばんの面積めんせき $\pi y^2$ × 厚あつさ $dx$ を足たす。

例れい 5 球きゅうの体積たいせき

$y=\sqrt{r^2-x^2}$ を $x$軸まわりに回転かいてん (半球はんきゅうふたつで球きゅう):

$V=\pi \int -rr(r^2-x^2)\hspace{0.17em}dx=\pi [r^{2}x-\frac{x^3}{3}]-rr=\frac{4}{3}\pi r^3$

中学ちゅうがくで暗あん記きした公こう式しきが、 数学すうがく III の積分せきぶんで 証しょう明めいできました。

例れい 6 円錐えんすいの体積たいせき

直ちょく線せん $y=\frac{r}{h}x$ ($0\le x\le h$) を $x$軸まわりに回転かいてん:

$V=\pi \int 0h\frac{r^2}{h^2}{x}^2\hspace{0.17em}dx=\pi \frac{r^2}{h^2}\cdot \frac{h^3}{3}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

「底面ていめん積せき × 高たかさ ÷ 3」 の円えん錐すい公こう式しきも積せき分ぶんで。

5. 2 曲線きょくせんで囲かこまれた部分ぶぶんの回転かいてん体たい

公式こうしき

$f\left(x\right)\ge g\left(x\right)\ge 0$ で、 両りょう曲線きょくせんで囲かこまれた部ぶ分ぶんを $x$軸まわりに回転かいてんさせた体たい積せき:

$V=\pi \int ab\left\{f\right(x{)}^2-g\left(x{)}^2\right\}\hspace{0.17em}dx$

「外がい側がわの体たい積せきから内側うちがわの体たい積せきを引ひく」 (ドーナツどーなつ型)。

例れい 7

$y=x^2$ と $y=x$ で囲かこまれた部ぶ分ぶん ($0\le x\le 1$) を $x$軸まわりに回転かいてん:

$V=\pi \int 01(x^2-x^4)\hspace{0.17em}dx=\pi (\frac{1}{3}-\frac{1}{5})=\frac{2\pi }{15}$

6. $y$軸まわりの回転かいてん体たい

方法ほうほう 1 $x$ で表あらわす

$y=f\left(x\right)$ を $x=g\left(y\right)$ と解といて、

$V=\pi \int cd\left\{g\right(y){\}}^2\hspace{0.17em}dy$

方法ほうほう 2 シェル法ほう (バウムクーヘン)

$x$ で解とけないとき、 半はん径けい $x$、 高たかさ $f\left(x\right)$、 厚あつさ $dx$ の 円筒えんとう殻から を重かさねる:

$V=2\pi \int abxf\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$

例れい 8

$y=\sin x$ ($0\le x\le \pi$) を $y$軸まわりに回転かいてん。 シェル法ほうで:

$V=2\pi \int 0\pi x\sin x\hspace{0.17em}dx=2\pi [-x\cos x+\sin x]0\pi =2\pi \cdot \pi =2{\pi }^2$

(部分積分ぶぶんせきぶんを使用しよう。)

発はっ展てん: バウムクーヘン積せき分ぶんは教科書きょうかしょに載のらないことが多おおいが、 国公立こっこうりつの入にゅう試しで頻ひん出しゅつ。 「$x$ で解とけないときは円筒えんとう殻から」 を覚おぼえておくと強つよい。

7. 体積たいせきの一般いっぱん公式こうしき

断面だんめん積せきがわかる立体りったい

立りっ体たいを $x$軸に垂直すいちょくな平へい面めんで切きった断面だんめん積せきが $S\left(x\right)$ であるとき、

$V=\int abS\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$

例れい 9 三さん角錐かくすい (断面だんめん三角形さんかくけい)

底そこが一辺ぺん $a$ の正三角形せいさんかくけいで高たかさ $h$ の三角さんかく錐すい:

各かく高たかさ $x$ で断面だんめんが一辺ぺん $a(1-x/h)$ の正三角形せいさんかくけい、 $S\left(x\right)=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2(1-x/h{)}^2$。

$V=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2\int 0h{(1-\frac{x}{h})}^{2}dx=\frac{\sqrt{3}}{12}{a}^{2}h$

「底面ていめん積せき × 高たかさ ÷ 3」 の一いっ般ぱん化 (底面ていめんの形かたちは何なにでもよい)。

8. 章しょう末まつまとめ

計けい算さん対たい象しょう	公こう式しき
1 曲線きょくせんと $x$軸で囲かこむ面積めんせき	$\int \mid f\left(x\right)\mid \hspace{0.17em}dx$
2 曲線きょくせんで囲かこむ面積めんせき	$\int (上-下)\hspace{0.17em}dx$
区分求積法くぶんきゅうせきほう	$\frac{1}{n}\sum f\left(k/n\right)\to \int 01f$
回転かいてん体たい ($x$軸)	$\pi \int y^2\hspace{0.17em}dx$
回転かいてん体たい ($y$軸シェル)	$2\pi \int xf\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$
一いっ般ぱん立りっ体たい	$\int S\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$

次じの章しょうへ: 第だい 8 章しょうでは 「曲線きょくせんの長ながさ」 「物ぶつ理り量りょう (仕し事ごと・重心じゅうしん) の積分せきぶん」 へ進すすみ、 数学すうがく III の 応用おうようの多様たようさ を体たい験けんします。