複素数ふくそすう平面へいめん

この章しょうで学まなぶこと

数学すうがく II で 「2 次つぎ方かた程てい式の解かいとしての 複素数ふくそすう $i$」 を導どう入にゅうしました。 数学すうがく III ではそれを 平へい面めん上じょうの点てん として扱あつかう 複素数平面ふくそすうへいめん に拡かく張ちょうし、 図形ずけいと数かずを結むすびつけます。

• 複素数ふくそすうの 絶対値ぜったいち と 偏角へんかく
• 極形式きょくけいしき $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$
• 複素数ふくそすうの 積せきと商しょう は 回転かいてん・拡かく大だい
• ド・モアブルの定理どもあぶるのていり $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$
• 1 の $n$乗根じょうこん、 任にん意いの $n$乗根じょうこん
• 図形ずけいへの応用おうよう (回転行列かいてんぎょうれつとのつながり)

ポイント: 「数すうと図形ずけいの統とう一いつ」 がこの章しょうの主しゅ題だい。 複素数ふくそすうの 掛かけ算ざん = 回転かいてんと拡かく大だい という発はっ見けんが、 後ごの フーリエ解析フーリエかいせき・量子力学りょうしりきがく まで続つづく大おおきな流ながれをつくります。

1. 複素数ふくそすう平面へいめんの基本きほん

定義ていぎ

複素数ふくそすう$z=a+bi$ ($a,b$ は実じっ数すう、 $i^2=-1$) を 平へい面めん上じょうの点$(a,b)$ とみなす。 この平へい面めんを 複素数平面ふくそすうへいめん (ガウス平へい面めん) と呼よぶ。

• 実じつ軸じく ($x$軸): $b=0$ の点てん (実じっ数すう)
• 虚うろ軸じく ($y$軸): $a=0$ の点てん (純じゅん虚きょ数すう)

共役きょうやくと絶対ぜったい値ち

用よう語ご	定てい義ぎ
共役きょうやく	$zˉ=a-bi$
絶対値ぜったいち	$\mid z\mid =\sqrt{a^2+b^2}$
偏角へんかく	$\arg z=\theta$ ($z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$)

性せい質しつ	内ない容よう
$zzˉ$	$=\mid z{\mid }^2$
$\mid zw\mid$	$=\mid z\mid \cdot \mid w\mid$
$\mid z+w\mid \le \mid z\mid +\mid w\mid$	三角不等式さんかくふとうしき

例れい 1

$z=1+i$ のとき $\mid z\mid =\sqrt{2}$、 $\arg z=\pi /4$、 $zˉ=1-i$。

2. 極形式きょくけいしき

定義ていぎ

複素数ふくそすうを 長ながさ $r$ と 角$\theta$ で表あらわす:

$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$

• $r=\mid z\mid$ (原点げんてんからの距離きょり)
• $\theta =\arg z$ (実じつ軸じくからの角かく度ど)

例れい 2

$z=-\sqrt{3}+i$ の極形式きょくけいしき。

$r=\sqrt{3+1}=2$、 $\theta =\arg z$ は第だい 2 象限しょうげんで $\tan \theta =-1/\sqrt{3}$、 よって $\theta =5\pi /6$。

$z=2(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6})$

3. 積せきと商しょう (回転かいてんと拡大かくだい)

重要じゅうような性質せいしつ

$z_1=r_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)$、 $z_2=r_2(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)$ のとき、

$z_1{z}_2=r_1{r}_2\{\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1+{\theta }_2\left)\right\}$

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\{\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1-{\theta }_2\left)\right\}$

大事だいじ: 積せき = 「絶対値ぜったいちは掛かけ算ざん、 偏角へんかくは足たし算ざん」。 つまり 「$z_2$ を掛かける ことは 角${\theta }_2$回転かいてんし、 $r_2$倍拡大だいする」 という図形ずけい的てきな操そう作さ。

例れい 3 90° 回転かいてん

$i$ を掛かけることは 90° 回転かいてん。 $i=1\cdot (\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2})$ より、 $\mid i\mid =1$、 $\arg i=\pi /2$。

$z\cdot i$ は $z$ を原点げんてん中心ちゅうしんに 90° 回転かいてん させた点てん。

例れい 4 60° 回転かいてん

点$z=2+i$ を原点げんてん中心ちゅうしんに 60° 回転かいてんする:

$w=z\cdot (\cos 60°+i\sin 60°)=(2+i)(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)$

展開てんかいして $w=(1-\frac{\sqrt{3}}{2})+(\sqrt{3}+\frac{1}{2})i$。

応用おうよう: 図形ずけいの 回転かいてん が 複素数ふくそすうの掛かけ算ざん で書かける。 後あとで学まなぶ 回転行列かいてんぎょうれつ () と 同値どうち。

4. ド ・ モアブルの定理ていり

定理ていり

任にん意いの整せい数すう $n$ に対たいし、

$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$

「$n$乗すると角かくが $n$倍」 というシンプルな法ほう則そく。

例れい 5

${\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)}^8$ を求もとめよ。 $\frac{1+i}{\sqrt{2}}=\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}$。 ド・モアブルの定理どもあぶるのていりより、

$=\cos (8\cdot \pi /4)+i\sin (8\cdot \pi /4)=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1$

三角さんかく関数かんすうの多た倍角ばいかく公式こうしきの導出どうしゅつ

$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^3$ を 2 通とおり に計けい算さん:

ド・モアブルの定理どもあぶるのていり: $\cos 3\theta +i\sin 3\theta$。

2 項こう展てん開かい: ${\cos }^3\theta +3i{\cos }^2\theta \sin \theta -3\cos \theta {\sin }^2\theta -i{\sin }^3\theta$。

実部じつぶ・虚部きょぶを比較ひかくして:

$\cos 3\theta ={\cos }^3\theta -3\cos \theta {\sin }^2\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$ $\sin 3\theta =3{\cos }^2\theta \sin \theta -{\sin }^3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$

数学すうがく II の 3倍角の公式さんばいかくのこうしき が 複素数ふくそすうで統とう一いつ的に導みちびけました。

5. 1 の n 乗根じょうこん

定義ていぎ

$z^n=1$ の解かいを 1 の $n$乗根じょうこん と呼よぶ。

公式こうしき

$z=\cos \theta +i\sin \theta$、 ド・モアブルの定理どもあぶるのていりより $\cos n\theta +i\sin n\theta =1$、 つまり $n\theta =2k\pi$ ($k=0,1,\dots ,n-1$)。

$z_k=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}(k=0,1,\dots ,n-1)$

幾き何か的意味み: 半はん径けい 1 の円上えんじょうに $n$等分とうぶん された点てん。 例れい: 1 の 3 乗根じょうこんは正三角形せいさんかくけいの頂ちょう点てん。

例れい 6 1 の 3 乗根じょうこん

$z^3=1$ の解かいは、

$z_0=1,z_1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,z_2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

3 点てんを結むすぶと 原点げんてん中心ちゅうしん・半はん径けい 1 の円えんに内ない接せつする正三角形せいさんかくけい。

例れい 7 任意にんいの n 乗根じょうこん

$z^4=16$ の解かい。 $16=16(\cos 0+i\sin 0)$、 $\mid z\mid ={16}^{1/4}=2$、

$z_k=2(\cos \frac{2k\pi }{4}+i\sin \frac{2k\pi }{4})=2, 2i, -2, -2i$

6. 図形ずけいへの応用おうよう

3 点てんでの回転かいてん

複素数ふくそすう平へい面めん上じょうで、 点$\alpha$ を中心ちゅうしんとして 角$\theta$回転かいてん し、 $\beta$ を $\gamma$ に移うつすと:

$\gamma -\alpha =(\beta -\alpha )(\cos \theta +i\sin \theta )$

覚おぼえ方かた: 「中心ちゅうしんからのベクトルに回転かいてんを掛かける」。

例れい 8 正三角形せいさんかくけいの条件じょうけん

3 点$\alpha ,\beta ,\gamma$ が正三角形せいさんかくけいを成なす必ひつ要よう十分じゅうぶん条じょう件けん:

$\alpha +\omega \beta +{\omega }^2\gamma =0またはその並び替え$

($\omega$ は 1 の原始げんし 3 乗根じょうこん。)

7. 章しょう末まつまとめ

概がい念ねん	キーポイント
複素数平面ふくそすうへいめん	$z=a+bi\leftrightarrow (a,b)$
極形式きょくけいしき	$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$
積せき・商しょう	絶対値ぜったいちは掛かけ/割わり、 偏角へんかくは加か/減げん
ド・モアブルの定理どもあぶるのていり	$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$
1 の $n$乗根じょうこん	単位たんい円上えんじょうの $n$等分とうぶん点てん
回転かいてん	中心ちゅうしん $\alpha$、 角$\theta$: $\gamma -\alpha =(\beta -\alpha )e^{i\theta }$

次じの章しょうへ: 数学すうがく III の 最終さいしゅう章しょう では、 曲線きょくせんを 媒ばい介かい変へん数すう や 極座標きょくざひょう で表あらわす方法ほうを学まなびます。 サイクロイドさいくろいど・カージオイドかーじおいどなど、 これまでの xy 座ざ標ひょうではかきにくい曲線きょくせん が一気いっきに扱あつかえるようになります。