複素数ふくそすう平面へいめん

この 章しょう で 学まなぶ こと

数学すうがく II で 「2 次つぎ方かた程てい式 の 解かい と し て の 複素数ふくそすう$i$」 を 導どう入にゅう し ま し た。 数学すうがく III で は そ れ を 平へい面めん上じょう の 点てん と し て 扱 う 複素数平面ふくそすうへいめん に 拡かく張ちょう し、 図形づけい と 数かず を 結むすぶ び つ け ま す。

• 複素数ふくそすう の 絶対値ぜったいち と 偏角へんかく
• 極形式きょくけいしき $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$
• 複素数ふくそすう の 積せき と 商しょう は 回転かいてん・拡かく大だい
• ド・モアブルの定理ド・モアブルのていり $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$
• 1 の $n$乗の根ね、 任にん意い の $n$乗の根ね
• 図形づけい へ の 応用おうよう (回転かいてん行列ぎょうれつ と の つ な が り)

ポイント: 「数すう と 図形づけい の 統とう一いつ」 が こ の 章しょう の 主しゅ題だい。 複素数ふくそすう の 掛かけ け 算さん = 回転かいてん と 拡かく大だい と い う 発はっ見けん が、 後ご の フーリエ解析フーリエかいせき・量子力学りょうしりきがく ま で 続ぞく く 大おおき な 流ながれ れ を つ く り ま す。

1. 複素数ふくそすう平面へいめん の 基本きほん

定義ていぎ

複素数ふくそすう$z=a+bi$ ($a,b$ は 実じっ数すう、 $i^2=-1$) を 平へい面めん上じょう の 点$(a,b)$ と み な す。 こ の 平へい面めん を 複素数平面ふくそすうへいめん (ガウス 平へい面めん) と 呼こ ぶ。

• 実じつ軸じく ($x$軸): $b=0$ の 点てん (実じっ数すう)
• 虚うろ軸じく ($y$軸): $a=0$ の 点てん (純じゅん虚きょ数すう)

共役きょうやく と 絶対ぜったい値ち

用よう語ご	定てい義ぎ
共役きょうやく	$zˉ=a-bi$
**[[絶対値	ぜったいち]]**
偏角へんかく	$\arg z=\theta$ ($z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$)

性せい質しつ	内ない容よう
$zzˉ$	$=
$	zw
$	z + w

例れい 1

$z=1+i$ の とき $\mid z\mid =\sqrt{2}$、 $\arg z=\pi /4$、 $zˉ=1-i$。

2. 極ごく形式けいしき

定義ていぎ

複素数ふくそすう を 長ちょう さ $r$ と 角$\theta$ で 表ひょう す:

$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$

• $r=\mid z\mid$ (原点げんてん か ら の 距離きょり)
• $\theta =\arg z$ (実じつ軸じく か ら の 角かく度ど)

例れい 2

$z=-\sqrt{3}+i$ の 極形式きょくけいしき。

$r=\sqrt{3+1}=2$、 $\theta =\arg z$ は 第だい 2 象限しょうげん で $\tan \theta =-1/\sqrt{3}$、 よって $\theta =5\pi /6$。

$z=2(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6})$

3. 積つむ と 商しょう (回転かいてん と 拡大かくだい)

重要じゅうよう な 性質せいしつ

$z_1=r_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)$、 $z_2=r_2(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)$ の とき、

$z_1{z}_2=r_1{r}_2\{\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1+{\theta }_2\left)\right\}$

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\{\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1-{\theta }_2\left)\right\}$

大事だいじ: 積せき = 「絶対値ぜったいち は 掛かけ け 算さん、 偏角へんかく は 足あし し 算さん」。 つ ま り 「$z_2$ を 掛かけ け る こ と は 角${\theta }_2$回転かいてん し、 $r_2$倍拡大だい す る」 と い う 図形づけい的てき な 操そう作さ。

例れい 3 90° 回転かいてん

$i$ を 掛かけ け る こ と は 90° 回転かいてん。 $i=1\cdot (\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2})$ よ り、 $\mid i\mid =1$、 $\arg i=\pi /2$。

$z\cdot i$ は $z$ を 原点げんてん中ちゅう心しん に 90° 回転かいてん さ せ た 点てん。

例れい 4 60° 回転かいてん

点$z=2+i$ を 原点げんてん中ちゅう心しん に 60° 回転かいてん す る:

$w=z\cdot (\cos 60°+i\sin 60°)=(2+i)(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)$

展開てんかい し て $w=(1-\frac{\sqrt{3}}{2})+(\sqrt{3}+\frac{1}{2})i$。

応用おうよう: 図形づけい の 回転かいてん が 複素数ふくそすう の 掛かけ け 算さん で 書しょ け る。 後ご で 学がく ぶ 回転行列かいてんぎょうれつ () と 同値どうち。

4. ド ・ モアブル の 定理ていり

定理ていり

任にん意い の 整せい数すう$n$ に 対たい し、

$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$

「$n$乗 す る と 角かく が $n$倍」 と い う シ ン プ ル な 法ほう則そく。

例れい 5

${\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)}^8$ を 求もとめ め よ。 $\frac{1+i}{\sqrt{2}}=\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}$。 ド・モアブルの定理ド・モアブルのていり よ り、

$=\cos (8\cdot \pi /4)+i\sin (8\cdot \pi /4)=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1$

三角さんかく関数かんすう の 多た倍角ばいかく公式こうしき の 導出どうしゅつ

$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^3$ を 2 通つう り に 計けい算さん:

ド・モアブルの定理ド・モアブルのていり: $\cos 3\theta +i\sin 3\theta$。

2 項こう展てん開かい: ${\cos }^3\theta +3i{\cos }^2\theta \sin \theta -3\cos \theta {\sin }^2\theta -i{\sin }^3\theta$。

実み部ぶ・虚うろ部ぶ を 比較ひかく し て:

$\cos 3\theta ={\cos }^3\theta -3\cos \theta {\sin }^2\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$ $\sin 3\theta =3{\cos }^2\theta \sin \theta -{\sin }^3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$

数学すうがく II の 3倍角の公式3ばいかくのこうしき が 複素数ふくそすう で 統とう一いつ的 に 導しるべ け ま し た。

5. 1 の n 乗じょう根ね

定義ていぎ

$z^n=1$ の 解かい を 1 の $n$乗の根ね と 呼こ ぶ。

公式こうしき

$z=\cos \theta +i\sin \theta$、 ド・モアブルの定理ド・モアブルのていり よ り $\cos n\theta +i\sin n\theta =1$、 つ ま り $n\theta =2k\pi$ ($k=0,1,\dots ,n-1$)。

$z_k=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}(k=0,1,\dots ,n-1)$

幾き何か的意味み: 半はん径けい 1 の 円上えんじょう に $n$等分とうぶん さ れ た 点てん。 例れい: 1 の 3 乗じょう根ね は 正三角形せいさんかっけい の 頂ちょう点てん。

例れい 6 1 の 3 乗じょう根

$z^3=1$ の 解かい は、

$z_0=1,z_1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,z_2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

3 点てん を 結むすぶ ぶ と 原点げんてん中ちゅう心しん・半はん径けい 1 の 円えん に 内ない接せつ す る 正三角形せいさんかっけい。

例れい 7 任意にんい の n 乗じょう根

$z^4=16$ の 解かい。 $16=16(\cos 0+i\sin 0)$、 $\mid z\mid ={16}^{1/4}=2$、

$z_k=2(\cos \frac{2k\pi }{4}+i\sin \frac{2k\pi }{4})=2, 2i, -2, -2i$

6. 図形づけい への 応用おうよう

3 点てん で の 回転かいてん

複素数ふくそすう平へい面めん上じょう で、 点$\alpha$ を 中ちゅう心しん と し て 角$\theta$回転かいてん し、 $\beta$ を $\gamma$ に 移うつり す と:

$\gamma -\alpha =(\beta -\alpha )(\cos \theta +i\sin \theta )$

覚おぼえ 方かた: 「中ちゅう心しん か ら の ベ ク ト ル に 回転かいてん を 掛かけ け る」。

例れい 8 正三角形せいさんかっけい の 条件じょうけん

3 点$\alpha ,\beta ,\gamma$ が 正三角形せいさんかっけい を 成なる す 必ひつ要よう十分じゅうぶん条じょう件けん:

$\alpha +\omega \beta +{\omega }^2\gamma =0ま た は その 並 び 替 え$

($\omega$ は 1 の 原始げんし 3 乗じょう根ね。)

7. 章しょう末まつ まとめ

概がい念ねん	キー ポイント
[[複素数平面	ふくそすうへいめん]]
極形式きょくけいしき	$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$
積せき・商しょう	[[絶対値
[[ド・モアブルの定理	ド・モアブルのていり]]
1 の $n$乗の根ね	単位たんい円上えんじょう の $n$等分とうぶん点てん
回転かいてん	中ちゅう心しん$\alpha$、 角$\theta$: $\gamma -\alpha =(\beta -\alpha )e^{i\theta }$

次じ の 章しょう へ: 数学すうがく III の 最終さいしゅう章しょう で は、 曲線きょくせん を 媒ばい介かい変へん数すう や 極きょく座ざ標ひょう で 表ひょう す 方法ほう を 学がく び ま す。 サイクロイド・カージオイド な ど、 こ れ ま で の xy 座ざ標ひょう で は か き に く い 曲線きょくせん が 一気いっき に 扱 え る よ う に な り ま す。