三角さんかく・指数しすう・対数たいすうの微分びぶん

この章しょうで学まなぶこと

第だい 3 章しょうで微び分ぶん の 道どう具ぐ (積の微分せきのびぶん・商の微分しょうのびぶん・連鎖律れんさりつ) をそろえました。 この章しょうでは、 高校こうこうで出でてくる 基き本ほん関かん数すう の微び分ぶん公こう式しき を一いっ気き に押おさえます。

• 三さん角かく関かん数すう の微び分ぶん $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$他
• 指数関数しすうかんすう $e^x$、 $a^x$ の微び分ぶん
• 対数関数たいすうかんすう $\log x$、 ${\log }_{a}x$ の微び分ぶん
• 対数微分法たいすうびぶんほう ($y=x^x$ のような形かたち)
• 第だい 2 階導関数どうかんすう、 高階導関数こうかいどうかんすう (簡かん単たん に)

ポイント: 全ぜん公こう式しき は 第だい 2 章しょうの極きょく限げん ($\sin x/x\to 1$、 $(e^x-1)/x\to 1$ など) から導みちびかれます。 暗あん記き するだけでなく 「なぜこうなるか」 を把は握あく すると応おう用よう がきく。

1. 三角さんかく関数かんすうの微分びぶん

sin の微分びぶん (導出どうしゅつ)

定てい義ぎ より、

$(\sin x{)}^{\prime }={\lim }_{h\to 0}\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}$

加法定理かほうていり: $\sin (x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h$。 代だい入にゅう して、

$={\lim }_{h\to 0}\frac{\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h}=\sin x\cdot 0+\cos x\cdot 1=\cos x$

(極きょく限げん $\frac{\cos h-1}{h}\to 0$、 $\frac{\sin h}{h}\to 1$ を利り用よう。)

基本きほん公式こうしき

関かん数すう	導関数どうかんすう
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\frac{1}{{\cos }^{2}x}$
$\frac{1}{\tan x}=\cot x$	$-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$

覚おぼえ方かた: 「sin → cos → -sin → -cos → sin → ...」 と 4 周期しゅうきで回まわる。 微び分ぶん するたびに $90°$進すすむ と覚おぼえる流りゅう儀ぎ も。

例れい 1 連鎖れんさ律りつと組み合わせくみあわせ

$y={\sin }^3\left(2x\right)$ の微び分ぶん。 外そとからはがす:

$y^{\prime }=3{\sin }^2\left(2x\right)\cdot \cos \left(2x\right)\cdot 2=6{\sin }^2\left(2x\right)\cos \left(2x\right)$

例れい 2 積せきと商

$y=x\cos x$、 $y^{\prime }=\cos x+x\cdot (-\sin x)=\cos x-x\sin x$。

$y=\frac{\sin x}{x}$、 $y^{\prime }=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$。

2. 指数しすう関数かんすうの微分びぶん

$e^x$ の微分びぶん

$(e^x{)}^{\prime }={\lim }_{h\to 0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}=e^x\cdot {\lim }_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=e^x\cdot 1=e^x$

おどろき: $e^x$ は 微び分ぶん しても自じ分ぶん自じ身しん という、 唯ゆい一いつ無む二に の関かん数すう。 この性せい質しつ こそが第だい 2 章しょうで $e$ を 「自然しぜん な底そこ」 として定てい義ぎ する理り由ゆう でした。

一般いっぱんの底$a^x$

$a>0$、 $a\ne 1$ のとき、 $a^x=e^{x\log a}$ と書かけるので、 連鎖律れんさりつ で:

$(a^x{)}^{\prime }=e^{x\log a}\cdot \log a=a^x\log a$

関かん数すう	導関数どうかんすう
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^x\log a$
$e^{kx}$	$k{e}^{kx}$
$e^{f\left(x\right)}$	$f^{\prime }\left(x\right)e^{f\left(x\right)}$

例れい 3 物理ぶつりへの応用おうよう

放射性ほうしゃせい 崩壊ほうかい のモデル $N\left(t\right)=N_0{e}^{-\lambda t}$。 単たん位い時じ間かん あたりの減げん少しょう量りょう:

$\frac{dN}{dt}=-\lambda N_0{e}^{-\lambda t}=-\lambda N\left(t\right)$

「今いま残のこっている量りょうに比ひ例れい して減へる」 という性せい質しつ が数式すうしきで出でてきます。

3. 対数たいすう関数かんすうの微分びぶん

$\log x$ の微分びぶん (導出どうしゅつ)

$y=\log x$ の逆ぎゃく関かん数すう は $x=e^y$。 逆関数の微分ぎゃくかんすうのびぶん (第だい 3 章しょう) で、

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{dx/dy}=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{x}$

大事だいじ: $(\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ は 数学すうがく III で最もっともよく使つかう公こう式しき のひとつ。 第だい 6 章しょうの 積分せきぶん で $\int \frac{1}{x}dx=\log \mid x\mid +C$ として 逆ぎゃく向むき にも登とう場じょう。

一般いっぱんの底${\log }_{a}x$

${\log }_{a}x=\frac{\log x}{\log a}$ (底てい の変へん換かん)。 分母ぶんぼが定てい数すう なので、

$({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\log a}$

関かん数すう	導関数どうかんすう
$\log x$	$\frac{1}{x}$
$\log \mid x\mid$	$\frac{1}{x}$ ($x\ne 0$)
${\log }_{a}x$	$\frac{1}{x\log a}$
$\log f\left(x\right)$	$\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}$

例れい 4 $\log (\cos x)$ の微分びぶん

$y=\log (\cos x)$、 $y^{\prime }=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x$。

応おう用よう: $\int \tan x\hspace{0.17em}dx=-\log \mid \cos x\mid +C$ という 積分せきぶん公こう式しき が この微び分ぶん から導みちびかれます (第だい 6 章しょう)。

4. 対数たいすう微分びぶん法ほう

使つかう場面ばめん

• $y=x^x$ のような 底そこも指し数すう も変へん数すう
• 積せきや商しょうが複ふく雑ざつ なとき (例れい: $y=\frac{(x+1{)}^3\sqrt{x-2}}{(x+3{)}^2}$)

手順てじゅん

1. 両辺りょうへんの 絶ぜっ対たい値ちの対たい数すう を取とる
2. 陰関数いんかんすう として $x$ で微び分ぶん
3. $y^{\prime }$ を解とく

例れい 5 $y=x^x$ の微分びぶん

両辺りょうへんの対たい数すう: $\log y=x\log x$。 $x$ で微び分ぶん (陰関数いんかんすう として):

$\frac{1}{y}\cdot y^{\prime }=1\cdot \log x+x\cdot \frac{1}{x}=\log x+1$

$y^{\prime }=y(\log x+1)=x^x(\log x+1)$

例れい 6 複雑ふくざつな積せき商しょう

$y=\frac{(x+1{)}^3\sqrt{x-2}}{(x+3{)}^2}$ の微び分ぶん。 両辺りょうへんの $\log$ で、

$\log \mid y\mid =3\log \mid x+1\mid +\frac{1}{2}\log \mid x-2\mid -2\log \mid x+3\mid$

$x$ で微び分ぶん:

$\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{3}{x+1}+\frac{1}{2(x-2)}-\frac{2}{x+3}$

最後さいごに $y$ をかけて終しゅう了りょう。 商の微分しょうのびぶん をそのまま使つかうより 遥かはる に楽らく。

5. 高階たかしな導しるべ関数かんすう

定義ていぎ

導関数どうかんすう をさらに微び分ぶん したものを第だい 2 階導関数どうかんすう と言いい、

$f^{\prime \prime }\left(x\right), \frac{d^{2}y}{d{x}^2}, y^{\prime \prime }$

と書かきます。 同様どうように第$n$階導関数どうかんすう $f^{\left(n\right)}\left(x\right)$ も定てい義ぎ されます。

例れい 7 三角さんかく関数かんすう

$f\left(x\right)=\sin x$ の高階たかしな微び分ぶん:

$n$	$f^{\left(n\right)}\left(x\right)$
1	$\cos x$
2	$-\sin x$
3	$-\cos x$
4	$\sin x$

周しゅう期き 4 で元もとに戻もどる。 一いっ般ぱん に $f^{\left(n\right)}\left(x\right)=\sin (x+\frac{n\pi }{2})$。

例れい 8 指数しすう関数かんすう

$f\left(x\right)=e^{2x}$ の $n$階: $f^{\left(n\right)}\left(x\right)=2^n{e}^{2x}$。

応おう用よう: 第だい 2 階導関数どうかんすう $f^{\prime \prime }\left(x\right)$ は第だい 5 章しょうで 凹凸おうとつ と 変曲点へんきょくてん を調しらべるために使つかいます。 物ぶつ理り では 「加速度かそくど」 が 「位い置ち の第だい 2 階かい微び分ぶん」。

6. 章しょう末まつまとめ

関かん数すう	導関数どうかんすう
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$1/{\cos }^{2}x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^x\log a$
$\log x$	$1/x$
${\log }_{a}x$	$1/(x\log a)$

技ぎ法ほう	使つかいどころ
連鎖律れんさりつ	合成ごうせいされた関かん数すう
対数微分法たいすうびぶんほう	$x^x$型・複ふく雑ざつ な積せき商しょう
陰関数微分いんかんすうびぶん	2 次じ曲線きょくせん など
高階たかしな微び分ぶん	凹凸おうとつ・加速度かそくど

次じの章しょうへ: ここまでの公こう式しき をフル活用かつようして、 第だい 5 章しょうで 関かん数すう の増減ぞうげん・極値きょくち・凹凸おうとつ・変曲点へんきょくてん・グラフぐらふ の概形けい を描えがく練れん習しゅう をします。