この 章 で 学ぶ こと
第 3 章 で 微分 の 道具 (積の微分・商の微分・連鎖律) を そろえ ま し た。 こ の 章 で は、 高校 で 出 て く る 基本関数 の 微分公式 を 一気 に 押さえ ます。
- 三角関数 の 微分(sinx)′=cosx他
- 指数関数 ex、 ax の 微分
- 対数関数 logx、 logax の 微分
- 対数微分法 (y=xx の よう な 形)
- 第 2 階導関数、 高階導関数 (簡単 に)
ポイント: 全公式 は 第 2 章 の 極限 (sinx/x→1、 (ex−1)/x→1 な ど) か ら 導 か れ ま す。 暗記 す る だ け で な く 「な ぜ こ う な る か」 を 把握 す る と 応用 が き く。
1. 三角関数 の 微分
sin の 微分 (導出)
定義 よ り、
(sinx)′=limh→0hsin(x+h)−sinx
加法定理: sin(x+h)=sinxcosh+cosxsinh。 代入 し て、
=limh→0hsinx(cosh−1)+cosxsinh=sinx⋅0+cosx⋅1=cosx
(極限hcosh−1→0、 hsinh→1 を 利用。)
基本公式
| 関数 | 導関数 |
|---|---|
| sinx | cosx |
| cosx | −sinx |
| tanx | cos2x1 |
| tanx1=cotx | −sin2x1 |
覚え 方: 「sin → cos → -sin → -cos → sin → ...」 と 4 周期 で 回る。 微分 す る た び に 90°進む と 覚え る 流儀 も。
例 1 連鎖律 と 組み合わせ
y=sin3(2x) の 微分。 外 から はが す:
y′=3sin2(2x)⋅cos(2x)⋅2=6sin2(2x)cos(2x)
例 2 積 と 商
y=xcosx、 y′=cosx+x⋅(−sinx)=cosx−xsinx。
y=xsinx、 y′=x2xcosx−sinx。
2. 指数関数 の 微分
ex の 微分
(ex)′=limh→0hex+h−ex=ex⋅limh→0heh−1=ex⋅1=ex
おどろき: ex は 微分 し て も 自分自身 と い う、 唯一無二 の 関数。 こ の 性質 こ そ が 第 2 章 で e を 「自然 な 底」 と し て 定義 す る 理由 で し た。
一般 の 底ax
a>0、 a=1 の とき、 ax=exloga と 書 け る ので、 連鎖律 で:
(ax)′=exloga⋅loga=axloga
| 関数 | 導関数 |
|---|---|
| ex | ex |
| ax | axloga |
| ekx | kekx |
| ef(x) | f′(x)ef(x) |
例 3 物理 への 応用
放射性崩壊 の モデル N(t)=N0e−λt。 単位時間 あたり の 減少量:
dtdN=−λN0e−λt=−λN(t)
「今残って い る 量 に 比例 し て 減る」 と い う 性質 が 数式 で 出 て き ま す。
3. 対数関数 の 微分
logx の 微分 (導出)
y=logx の 逆関数 は x=ey。 逆関数 の 微分 (第 3 章) で、
dxdy=dx/dy1=ey1=x1
大事: (logx)′=x1 は 数学 III で 最 も よ く 使 う 公式 の ひ と つ。 第 6 章 の 積分 で ∫x1dx=log∣x∣+C と し て 逆向 き に も 登場。
一般 の 底logax
logax=logalogx (底 の 変換)。 分母 が 定数 な ので、
(logax)′=xloga1
| 関数 | 導関数 |
|---|---|
| logx | x1 |
| log∣x∣ | x1 (x=0) |
| logax | xloga1 |
| logf(x) | f(x)f′(x) |
例 4 log(cosx) の 微分
y=log(cosx)、 y′=cosx−sinx=−tanx。
応用: ∫tanxdx=−log∣cosx∣+C と い う 積分公式 が こ の 微分 か ら 導 か れ ま す (第 6 章)。
4. 対数微分法
使う 場面
- y=xx の よう な 底 も 指数 も 変数
- 積 や 商 が 複雑 な とき (例: y=(x+3)2(x+1)3x−2)
手順
- 両辺 の 絶対値 の 対数 を 取 る
- 陰関数 と し て x で 微分
- y′ を 解 く
例 5 y=xx の 微分
両辺 の 対数: logy=xlogx。 x で 微分 (陰関数 と し て):
y1⋅y′=1⋅logx+x⋅x1=logx+1
y′=y(logx+1)=xx(logx+1)
例 6 複雑 な 積商
y=(x+3)2(x+1)3x−2 の 微分。 両辺 の log で、
log∣y∣=3log∣x+1∣+21log∣x−2∣−2log∣x+3∣
x で 微分:
yy′=x+13+2(x−2)1−x+32
最後 に y を かけ て 終了。 商の微分 を そ の ま ま 使 う よ り 遥か に 楽。
5. 高階導関数
定義
導関数 を さ ら に 微分 し た も の を 第 2 階導関数 と 言 い、
f′′(x), dx2d2y, y′′
と 書 き ま す。 同様 に 第n階導関数f(n)(x) も 定義 さ れ ま す。
例 7 三角関数
f(x)=sinx の 高階微分:
| n | f(n)(x) |
|---|
| 1 | cosx |
| 2 | −sinx |
| 3 | −cosx |
| 4 | sinx |
周期 4 で 元 に 戻 る。 一般 に f(n)(x)=sin(x+2nπ)。
例 8 指数関数
f(x)=e2x の n階: f(n)(x)=2ne2x。
応用: 第 2 階導関数f′′(x) は 第 5 章 で 凹凸 と 変曲点 を 調 べ る た め に 使 い ま す。 物理 で は 「加速度」 が 「位置 の 第 2 階微分」。
6. 章末 まとめ
| 関数 | 導関数 |
|---|---|
| sinx | cosx |
| cosx | −sinx |
| tanx | 1/cos2x |
| ex | ex |
| ax | axloga |
| logx | 1/x |
| logax | 1/(xloga) |
| 技法 | 使 い ど こ ろ |
|---|
| [[連鎖律 | れんさりつ]] |
| [[対数微分法 | たいすうびぶんほう]] |
| [[陰関数 | いんかんすう]]微分 |
| 高階微分 | [[凹凸 |
次 の 章 へ: こ こ ま で の 公式 を フ ル 活用 し て、 第 5 章 で 関数 の 増減・極値・凹凸・変曲点・グラフ の 概形 を 描 く 練習 を し ま す。