三角さんかく・指数しすう・対数たいすうの微分びぶん

この 章しょう で 学まなぶ こと

第だい 3 章しょう で 微び分ぶん の 道どう具ぐ (積の微分せきのびぶん・商の微分しょうのびぶん・連鎖律れんさりつ) を そろえ ま し た。 こ の 章しょう で は、 高校こうこう で 出で て く る 基き本ほん関かん数すう の 微び分ぶん公こう式しき を 一いっ気き に 押おさえ ます。

• 三さん角かく関かん数すう の 微び分ぶん$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$他
• 指数関数しすうかんすう $e^x$、 $a^x$ の 微び分ぶん
• 対数関数たいすうかんすう $\log x$、 ${\log }_{a}x$ の 微び分ぶん
• 対数微分法たいすうびぶんほう ($y=x^x$ の よう な 形かたち)
• 第だい 2 階導関数しるべかんすう、 高階導関数こうかいどうかんすう (簡かん単たん に)

ポイント: 全ぜん公こう式しき は 第だい 2 章しょう の 極きょく限げん ($\sin x/x\to 1$、 $(e^x-1)/x\to 1$ な ど) か ら 導しるべ か れ ま す。 暗あん記き す る だ け で な く 「な ぜ こ う な る か」 を 把は握あく す る と 応おう用よう が き く。

1. 三角さんかく関数かんすう の 微分びぶん

sin の 微分びぶん (導出どうしゅつ)

定てい義ぎ よ り、

$(\sin x{)}^{\prime }={\lim }_{h\to 0}\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}$

加法定理かほうていり: $\sin (x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h$。 代だい入にゅう し て、

$={\lim }_{h\to 0}\frac{\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h}=\sin x\cdot 0+\cos x\cdot 1=\cos x$

(極きょく限げん$\frac{\cos h-1}{h}\to 0$、 $\frac{\sin h}{h}\to 1$ を 利り用よう。)

基本きほん公式こうしき

| 関かん数すう | 導関数しるべかんすう | |---|---| | $\sin x$ | $\cos x$ | | $\cos x$ | $-\sin x$ | | $\tan x$ | $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ | | $\frac{1}{\tan x}=\cot x$ | $-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ |

覚おぼえ 方かた: 「sin → cos → -sin → -cos → sin → ...」 と 4 周期しゅうき で 回まわる。 微び分ぶん す る た び に $90°$進すすむ と 覚おぼえ る 流りゅう儀ぎ も。

例れい 1 連鎖れんさ律りつ と 組くみ合あわせ

$y={\sin }^3\left(2x\right)$ の 微び分ぶん。 外そと から はが す:

$y^{\prime }=3{\sin }^2\left(2x\right)\cdot \cos \left(2x\right)\cdot 2=6{\sin }^2\left(2x\right)\cos \left(2x\right)$

例れい 2 積つむ と 商

$y=x\cos x$、 $y^{\prime }=\cos x+x\cdot (-\sin x)=\cos x-x\sin x$。

$y=\frac{\sin x}{x}$、 $y^{\prime }=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$。

2. 指数しすう関数かんすう の 微分びぶん

$e^x$ の 微分びぶん

$(e^x{)}^{\prime }={\lim }_{h\to 0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}=e^x\cdot {\lim }_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=e^x\cdot 1=e^x$

おどろき: $e^x$ は 微び分ぶん し て も 自じ分ぶん自じ身しん と い う、 唯ゆい一いつ無む二に の 関かん数すう。 こ の 性せい質しつ こ そ が 第だい 2 章しょう で $e$ を 「自然しぜん な 底そこ」 と し て 定てい義ぎ す る 理り由ゆう で し た。

一般いっぱん の 底$a^x$

$a>0$、 $a\ne 1$ の とき、 $a^x=e^{x\log a}$ と 書しょ け る ので、 連鎖律れんさりつ で:

$(a^x{)}^{\prime }=e^{x\log a}\cdot \log a=a^x\log a$

| 関かん数すう | 導関数しるべかんすう | |---|---| | $e^x$ | $e^x$ | | $a^x$ | $a^x\log a$ | | $e^{kx}$ | $k{e}^{kx}$ | | $e^{f\left(x\right)}$ | $f^{\prime }\left(x\right)e^{f\left(x\right)}$ |

例れい 3 物理ぶつり への 応用おうよう

放射性ほうしゃせい崩壊ほうかい の モデル $N\left(t\right)=N_0{e}^{-\lambda t}$。 単たん位い時じ間かん あたり の 減げん少しょう量りょう:

$\frac{dN}{dt}=-\lambda N_0{e}^{-\lambda t}=-\lambda N\left(t\right)$

「今いま残のこって い る 量りょう に 比ひ例れい し て 減へる」 と い う 性せい質しつ が 数式すうしき で 出で て き ま す。

3. 対数たいすう関数かんすう の 微分びぶん

$\log x$ の 微分びぶん (導出どうしゅつ)

$y=\log x$ の 逆ぎゃく関かん数すう は $x=e^y$。 逆関数ぎゃくかんすう の 微び分ぶん (第だい 3 章しょう) で、

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{dx/dy}=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{x}$

大事だいじ: $(\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ は 数学すうがく III で 最さい も よ く 使し う 公こう式しき の ひ と つ。 第だい 6 章しょう の 積分せきぶん で $\int \frac{1}{x}dx=\log \mid x\mid +C$ と し て 逆ぎゃく向むこう き に も 登とう場じょう。

一般いっぱん の 底${\log }_{a}x$

${\log }_{a}x=\frac{\log x}{\log a}$ (底てい の 変へん換かん)。 分母ぶんぼ が 定てい数すう な ので、

$({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\log a}$

| 関かん数すう | 導関数しるべかんすう | |---|---| | $\log x$ | $\frac{1}{x}$ | | $\log \mid x\mid$ | $\frac{1}{x}$ ($x\ne 0$) | | ${\log }_{a}x$ | $\frac{1}{x\log a}$ | | $\log f\left(x\right)$ | $\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}$ |

例れい 4 $\log (\cos x)$ の 微分びぶん

$y=\log (\cos x)$、 $y^{\prime }=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x$。

応おう用よう: $\int \tan x\hspace{0.17em}dx=-\log \mid \cos x\mid +C$ と い う 積分せきぶん公こう式しき が こ の 微び分ぶん か ら 導しるべ か れ ま す (第だい 6 章しょう)。

4. 対数たいすう微分びぶん法ほう

使つかう 場面ばめん

• $y=x^x$ の よう な 底そこ も 指し数すう も 変へん数すう
• 積つむ や 商しょう が 複ふく雑ざつ な とき (例れい: $y=\frac{(x+1{)}^3\sqrt{x-2}}{(x+3{)}^2}$)

手順てじゅん

1. 両辺りょうへん の 絶ぜっ対たい値ち の 対たい数すう を 取と る
2. 陰関数いんかんすう と し て $x$ で 微び分ぶん
3. $y^{\prime }$ を 解かい く

例れい 5 $y=x^x$ の 微分びぶん

両辺りょうへん の 対たい数すう: $\log y=x\log x$。 $x$ で 微び分ぶん (陰関数いんかんすう と し て):

$\frac{1}{y}\cdot y^{\prime }=1\cdot \log x+x\cdot \frac{1}{x}=\log x+1$

$y^{\prime }=y(\log x+1)=x^x(\log x+1)$

例れい 6 複雑ふくざつ な 積せき商しょう

$y=\frac{(x+1{)}^3\sqrt{x-2}}{(x+3{)}^2}$ の 微び分ぶん。 両辺りょうへん の $\log$ で、

$\log \mid y\mid =3\log \mid x+1\mid +\frac{1}{2}\log \mid x-2\mid -2\log \mid x+3\mid$

$x$ で 微び分ぶん:

$\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{3}{x+1}+\frac{1}{2(x-2)}-\frac{2}{x+3}$

最後さいご に $y$ を かけ て 終しゅう了りょう。 商の微分しょうのびぶん を そ の ま ま 使し う よ り 遥かはる に 楽らく。

5. 高階たかしな導しるべ関数かんすう

定義ていぎ

導関数しるべかんすう を さ ら に 微び分ぶん し た も の を 第だい 2 階導関数しるべかんすう と 言げん い、

$f^{\prime \prime }\left(x\right), \frac{d^{2}y}{d{x}^2}, y^{\prime \prime }$

と 書しょ き ま す。 同様どうよう に 第$n$階導関数しるべかんすう$f^{\left(n\right)}\left(x\right)$ も 定てい義ぎ さ れ ま す。

例れい 7 三角さんかく関数かんすう

$f\left(x\right)=\sin x$ の 高階たかしな微び分ぶん:

$n$	$f^{\left(n\right)}\left(x\right)$
1	$\cos x$
2	$-\sin x$
3	$-\cos x$
4	$\sin x$

周しゅう期き 4 で 元もと に 戻もど る。 一いっ般ぱん に $f^{\left(n\right)}\left(x\right)=\sin (x+\frac{n\pi }{2})$。

例れい 8 指数しすう関数かんすう

$f\left(x\right)=e^{2x}$ の $n$階: $f^{\left(n\right)}\left(x\right)=2^n{e}^{2x}$。

応おう用よう: 第だい 2 階導関数しるべかんすう$f^{\prime \prime }\left(x\right)$ は 第だい 5 章しょう で 凹凸おうとつ と 変曲点へんきょくてん を 調ちょう べ る た め に 使し い ま す。 物ぶつ理り で は 「加速度かそくど」 が 「位い置ち の 第だい 2 階かい微び分ぶん」。

6. 章しょう末まつ まとめ

| 関かん数すう | 導関数しるべかんすう | |---|---| | $\sin x$ | $\cos x$ | | $\cos x$ | $-\sin x$ | | $\tan x$ | $1/{\cos }^{2}x$ | | $e^x$ | $e^x$ | | $a^x$ | $a^x\log a$ | | $\log x$ | $1/x$ | | ${\log }_{a}x$ | $1/(x\log a)$ |

技ぎ法ほう	使し い ど こ ろ
[[連鎖律	れんさりつ]]
[[対数微分法	たいすうびぶんほう]]
[[陰関数	いんかんすう]]微び分ぶん
高階たかしな微び分ぶん	[[凹凸

次じ の 章しょう へ: こ こ ま で の 公こう式しき を フ ル 活用かつよう し て、 第だい 5 章しょう で 関かん数すう の 増減ぞうげん・極値きょくち・凹凸おうとつ・変曲点へんきょくてん・グラフ の 概形けい を 描 く 練れん習しゅう を し ま す。