数列すうれつの極限きょくげん

この章しょうで学まなぶこと

数学すうがく III の 入いり口くち となる章しょうです。 数学すうがく B で学まなんだ 数列すうれつ の一いっ般ぱん項を、 「項こう数すう $n$ を限かぎりなく大おおきくすると、 $a_n$ はどこに近ちかづくか」 という視し点てん で見直みなおします。 これが 極限きょくげん です。

• 数列すうれつ の 収束しゅうそく と 発散はっさん の区く別べつ
• ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=\alpha$ の意い味み
• はさみうち の 原理げんり の使つかい方かた
• 無む限げん 等比数列とうひすうれつ $\left\{r^n\right\}$ が収しゅう束そく する条じょう件けん
• 無む限げん 級数きゅうすう ととくに 無む限げん 等比級数とうひきゅうすう の和わ
• 循環小数じゅんかんしょうすう を分ぶん数すう で表あらわす応おう用よう

ポイント: 「$n$ をいくらでも大おおきくする」 という 無む限げん のあつかいが、 数学すうがく III 全ぜん体たい の共きょう通つう言げん語ご になります。 ここを早はやめに体からだに入いれると、 関かん数すう の極きょく限げん (第だい 2 章しょう) と 微分びぶん・積分せきぶん (第だい 3 章しょう以い降こう) が一いっ気き に楽らくになります。

1. 数列すうれつの極限きょくげんとは

直感ちょっかんから出発しゅっぱつ

数列すうれつ $a_n=\frac{1}{n}$ を並ならべると、

$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \dots$

となります。 $n$ を大おおきくするほど値ねは $0$ にいくらでも近ちかづきます。 このことを、

${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}=0$

と書かき、 「数列すうれつ$\left\{a_n\right\}$ は $0$ に 収束しゅうそく する」 と言いいます。

収束しゅうそくと発散はっさんの 4 分類ぶんるい

振舞ふるま い	例れい	表ひょう記き
収束しゅうそく ($\alpha$ に近ちかづく)	$\frac{1}{n}\to 0$	$\lim a_n=\alpha$
正せいの無む限げん大に発はっ散さん	$a_n=n$	$\lim a_n=+\infty$
負まけの無む限げん大に発はっ散さん	$a_n=-n^2$	$\lim a_n=-\infty$
振動しんどう (どこにも近ちかづかない)	$a_n=(-1{)}^n$	極きょく限げん なし

大事だいじ: 「発散はっさん」 と 「振動しんどう」 は違ちがいます。 $a_n=(-1{)}^n$ は $1,-1,1,-1,\dots$ と振しん動どう するだけで、 $\pm \infty$ には行いきません。 この場ば合あい は 「極きょく限げん は存そん在ざい しない」 と言いいます。

形式けいしき的てきな定義ていぎ (高校こうこうレベル)

数列すうれつ$\left\{a_n\right\}$ が $\alpha$ に 収束しゅうそく するとは、 「$n$ を十分ぶん大おおきくすれば、 $a_n$ と $\alpha$ の差さをいくらでも小ちいさくできる」 ことです。 厳密みつ な $\epsilon$-$N$論法ほう は大学だいがくで学まなびますが、 高校こうこうではこの 直ちょっ感かん的定義ぎ で十分ぶん です。

2. 極限きょくげんの性質せいしつ (基本きほん公式こうしき)

数列すうれつ$\left\{a_n\right\}$, $\left\{b_n\right\}$ がそれぞれ $\alpha$, $\beta$ に収しゅう束そく するなら、 次つぎが成なり立たちます。

公式こうしき	内ない容よう
定てい数すう倍ばい	$\lim k{a}_n=k\alpha$ ($k$ は定てい数すう)
和わ	$\lim (a_n+b_n)=\alpha +\beta$
差さ	$\lim (a_n-b_n)=\alpha -\beta$
積つむ	$\lim a_n{b}_n=\alpha \beta$
商しょう	$\lim \frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha }{\beta }$ ($\beta \ne 0$)

注ちゅう意い: 「収しゅう束そく する同士どうし」 であって初はじめて使つかえます。 片方かたほうが 発散はっさん すると別べっ途と考かんがえる必ひつ要よう があります。

例れい 1 分ぶん数すう式しきの極限きょくげん

${\lim }_{n\to \infty }\frac{2n^2+3n+1}{n^2-n+4}$

手て順じゅん: 分母ぶんぼの最さい高こう次じ$n^2$ で分子ぶんし・分母ぶんぼを割われる。

$={\lim }_{n\to \infty }\frac{2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}{1-\frac{1}{n}+\frac{4}{n^2}}=\frac{2+0+0}{1-0+0}=2$

コツ: 「最さい高こう次じで割われる」 が分ぶん数すう式しきの鉄てっ則そく です。 分子ぶんしの次じ数すう が大おおきければ $\pm \infty$、 小ちいさければ $0$ になります。

例れい 2 ルートを含ふくむ極限きょくげん

${\lim }_{n\to \infty }(\sqrt{n^2+n}-n)$

有理化ゆうりか します。

$=\lim \frac{(\sqrt{n^2+n}-n)(\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n}=\lim \frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}=\lim \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}=\frac{1}{2}$

3. はさみうちの原理げんり

定義ていぎ

すべての $n$ で $b_n\le a_n\le c_n$ で、 $\lim b_n=\lim c_n=\alpha$ ならば、

${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=\alpha$

イメージ: 「両りょう側がわ から 同おなじ値ねにはさむ」 と、 真まん中なかもそこに行いかざるを得えない。

例れい 3 三角さんかく関数かんすうを含ふくむ極限きょくげん

${\lim }_{n\to \infty }\frac{\sin n}{n}$

$-1\le \sin n\le 1$ なので、 $-\frac{1}{n}\le \frac{\sin n}{n}\le \frac{1}{n}$。 両端りょうたんが $0$ に収しゅう束そく するので、

${\lim }_{n\to \infty }\frac{\sin n}{n}=0$

使づかいどころ: 直ちょく接せつ計けい算さん できないとき、 まず 「絶ぜっ対たい値ちで上うえからおさえる」 を考えかんがえましょう。

4. 無限むげん等比とうひ数列すうれつ$\left\{r^n\right\}$

公おおやけ比ひ $r$ の 等比数列とうひすうれつ $a_n=r^n$ の極きょく限げん は 4 通とおり に場ば合あい分わけできます。

$r$ の範はん囲い	振舞ふるま い	$\lim r^n$
$r>1$	正せいの無む限げん大に発はっ散さん	$+\infty$
$r=1$	常つねに $1$	$1$
	$0$ に収しゅう束そく	$0$
$r\le -1$	振動しんどう (極きょく限げん なし)	なし

収束しゅうそく条件じょうけんをまとめると

例れい 4 場合ばあい分わけで解とく

$\lim n\to \infty \frac{r^{n+1}}{1+r^n}$ を $r$ で場ば合あい分わけせよ。

• のとき $r^n\to 0$ なので、 値ねは $\frac{0}{1+0}=0$。
• $r=1$ のとき $\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$。
• $r>1$ のとき分子ぶんし・分母ぶんぼを $r^n$ で割わって $\frac{r}{r^{-n}+1}\to \frac{r}{0+1}=r$。
• $r\le -1$ のとき 振動しんどう し極きょく限げん なし。

必ひっ修しゅう: 「$r$ の範はん囲い によって結けっ果か が変かわる」 タイプは入にゅう試し頻ひん出しゅつ。 表ひょうを暗あん記き せず、 上うえの 4 分ぶん類るい から 自分じぶんで場ば合あい分わけできる ように。

5. 無限むげん級数きゅうすう

定義ていぎ

数列すうれつ $\left\{a_n\right\}$ のすべての項こうを加くわえたものを 無む限げん 級数きゅうすう と言いい、

$\sum n=1\infty a_n=a_1+a_2+a_3+\cdots$

と書かきます。 第$n$項までの和わを 部分和ぶぶんわ $S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$ とし、

${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=S($有ゆう限げん な値)\lim_{n \to \infty} S_n = S \quad (\text{有ゆう限げん な値})

のとき級きゅう数すう は 収しゅう束そく して和$S$ をもつ、 と言いいます。

大事だいじ: 級きゅう数すう の収しゅう束そく とは 「部分和ぶぶんわ の数すう列れつ の収しゅう束そく」 です。 元もとの $a_n$ が $0$ に行いくだけでは不ふ足そく (例れい: 調ちょう和わ級きゅう数すう $\sum \frac{1}{n}$ は発はっ散さん)。

無限むげん等比とうひ級数きゅうすう

初はつ項こう $a$、 公おおやけ比ひ $r$ の無む限げん 等比級数とうひきゅうすう:

$a+ar+a{r}^2+a{r}^3+\cdots$

条じょう件けん	結けっ果か
	収しゅう束そく して和$\frac{a}{1-r}$
$\mid r\mid \ge 1$ ($a\ne 0$)	発はっ散さん

例れい 5 循環じゅんかん小数しょうすうを分数ぶんすうに

$0.3\dot{}=0.333\dots$ を分ぶん数すう で表あらわす。

$0.3\dot{}=0.3+0.03+0.003+\cdots =\frac{0.3}{1-0.1}=\frac{0.3}{0.9}=\frac{1}{3}$

発はっ展てん: $0.1\dot{}2\dot{}=0.1212\cdots =\frac{0.12}{1-0.01}=\frac{12}{99}=\frac{4}{33}$。 循環小数じゅんかんしょうすう が すべて分ぶん数すう で表あらわせる ことの数学すうがく的てきな根こん拠きょ が無む限げん 等比級数とうひきゅうすう です。

6. 章しょう末まつまとめ

概がい念ねん	キーポイント
極限きょくげん	「$n\to \infty$ でどこに行いくか」
はさみうち	「上うえと下したで同おなじ値ねにはさめば真まん中なかもそこ」
$r^n$	4 通とおり場ば合あい分わけ、 収しゅう束そく条じょう件けん
無む限げん級きゅう数すう	部分和ぶぶんわ の極きょく限げん
無む限げん等比とうひ級きゅう数すう	で和$\frac{a}{1-r}$

次じの章しょうへ: 第だい 2 章しょうでは $n$ (整せい数すう) ではなく $x$ (実じっ数すう) での極きょく限げん を扱あつかい、 連続性れんぞくせい を学まなびます。 ここまでの 「はさみうち」 「最さい高こう次じで割われる」 「有理化ゆうりか」 はそのまま使つかえます。