この 章 で 学ぶ こと
数学 III の 入り 口 と なる 章 で す。 数学 B で 学んだ 数列 の 一般項 を、 「項数n を 限り なく 大き く する と、 an は どこ に 近づく か」 と いう 視点 で 見直し ます。 これ が 極限 で す。
- 数列 の 収束 と 発散 の 区別
- limn→∞an=α の 意味
- はさみうち の 原理 の 使い 方
- 無限等比数列{rn} が 収束 する 条件
- 無限級数 と とくに 無限等比級数 の 和
- 循環小数 を 分数 で 表す 応用
ポイント: 「n を いくら でも 大き く する」 と いう 無限 の あつかい が、 数学 III 全体 の 共通言語 に なり ます。 ここ を 早 め に 体 に 入れ る と、 関数 の 極限 (第 2 章) と 微分・積分 (第 3 章以降) が 一気 に 楽 に なり ます。
1. 数列 の 極限 と は
直感 から 出発
数列an=n1 を 並べ る と、
1, 21, 31, 41, 51, …
と なり ます。 n を 大き く する ほど 値 は 0 に いくら でも 近づき ます。 こ の こと を、
limn→∞n1=0
と 書き、 「数列{an} は 0 に 収束 する」 と 言い ます。
収束 と 発散 の 4 分類
| 振舞 い | 例 | 表記 |
|---|
| **[[収束 | しゅうそく]]** (α に 近づく) | n1→0 |
| 正 の 無限大 に 発散 | an=n | liman=+∞ |
| 負 の 無限大 に 発散 | an=−n2 | liman=−∞ |
| **[[振動 | しんどう]]** (どこ に も 近づか ない) | an=(−1)n |
大事: 「発散」 と 「振動」 は 違い ます。 an=(−1)n は 1,−1,1,−1,… と 振動 する だけ で、 ±∞ に は 行き ませ ん。 こ の 場合 は 「極限 は 存在 しない」 と 言い ます。
形式的 な 定義 (高校 レベル)
数列{an} が α に 収束 する と は、 「n を 十分大き く すれば、 an と α の 差 を いくら でも 小さく でき る」 こと で す。 厳密 な ε-N論法 は 大学 で 学び ます が、 高校 で は こ の 直感的定義 で 十分 です。
2. 極限 の 性質 (基本公式)
数列{an}, {bn} が それぞれ α, β に 収束 する なら、 次 が 成り 立ち ます。
| 公式 | 内容 |
|---|---|
| 定数倍 | limkan=kα (k は 定数) |
| 和 | lim(an+bn)=α+β |
| 差 | lim(an−bn)=α−β |
| 積 | limanbn=αβ |
| 商 | limbnan=βα (β=0) |
注意: 「収束 する 同士」 で あって 初 め て 使え ます。 片方 が 発散 する と 別途考え る 必要 が あり ます。
例 1 分数式 の 極限
limn→∞n2−n+42n2+3n+1
手順: 分母 の 最高次n2 で 分子・分母 を 割る。
=limn→∞1−n1+n242+n3+n21=1−0+02+0+0=2
コツ: 「最高次 で 割る」 が 分数式 の 鉄則 です。 分子 の 次数 が 大き け れ ば ±∞、 小さ け れ ば 0 に なり ます。
例 2 ルート を 含む 極限
limn→∞(n2+n−n)
有理化 し ます。
=limn2+n+n(n2+n−n)(n2+n+n)=limn2+n+nn=lim1+n1+11=21
3. はさみうち の 原理
定義
すべて の n で bn≤an≤cn で、 limbn=limcn=α なら ば、
limn→∞an=α
イメージ: 「両側 から 同 じ 値 に はさむ」 と、 真 ん 中 も そこ に 行か ざる を 得 ない。
例 3 三角関数 を 含む 極限
limn→∞nsinn
−1≤sinn≤1 なので、 −n1≤nsinn≤n1。 両端 が 0 に 収束 する ので、
limn→∞nsinn=0
使い どこ ろ: 直接計算 でき ない とき、 まず 「絶対値 で 上 から おさえる」 を 考え ま しょう。
4. 無限等比数列{rn}
公比r の 等比数列an=rn の 極限 は 4 通り に 場合分け でき ます。
| r の 範囲 | 振舞 い | limrn |
|---|
| r>1 | 正 の 無限大 に 発散 | +∞ |
| r=1 | 常 に 1 | 1 |
| −1<r<1 | 0 に [収 | しゅう][束 |
| r≤−1 | [[振動 | しんどう]] ([極 |
収束条件 を まとめ る と
{rn} が 収束する⟺−1<r≤1
例 4 場合分け で 解く
n→∞lim1+rnrn+1 を r で 場合分け せよ。
- ∣r∣<1 の とき rn→0 なので、 値 は 1+00=0。
- r=1 の とき 1+11=21。
- r>1 の とき 分子・分母 を rn で 割って r−n+1r→0+1r=r。
- r≤−1 の とき 振動 し 極限 な し。
必修: 「r の 範囲 に よって 結果 が 変わ る」 タイプ は 入試頻出。 表 を 暗記 せ ず、 上 の 4 分類 から 自分 で 場合分け でき る よう に。
5. 無限級数
定義
数列{an} の すべて の 項 を 加え た もの を 無限級数 と 言い、
∑n=1∞an=a1+a2+a3+⋯
と 書き ます。 第n項 まで の 和 を 部分和 Sn=a1+a2+⋯+an と し、
limn→∞Sn=S(<ruby>有<rt>ゆう</rt></ruby><ruby>限<rt>げん</rt></ruby> な 値)
の とき 級数 は 収束 し て 和S を もつ、 と 言い ます。
大事: 級数 の 収束 と は 「部分和 の 数列 の 収束」 で す。 元 の an が 0 に 行く だけ で は 不足 (例: 調和級数∑n1 は 発散)。
無限等比級数
初項a、 公比r の 無限等比級数:
a+ar+ar2+ar3+⋯
例 5 循環小数 を 分数 に
0.3˙=0.333… を 分数 で 表す。
0.3˙=0.3+0.03+0.003+⋯=1−0.10.3=0.90.3=31
発展: 0.1˙2˙=0.1212⋯=1−0.010.12=9912=334。 循環小数 が す べて 分数 で 表 せ る こと の 数学的 な 根拠 が 無限等比級数 です。
6. 章末 まとめ
| 概念 | キー ポイント |
|---|
| [[極限 | きょくげん]] |
| はさみうち | 「上 と 下 で 同 じ 値 に はさめ ば 真 ん 中 も そこ」 |
| rn | 4 通り 場合分け、 収束条件−1<r≤1 |
| [無 | む][限 |
| [無 | む][限 |
次 の 章 へ: 第 2 章 で は n (整数) で は な く x (実数) で の 極限 を 扱い、 連続性 を 学び ます。 こ こ ま で の 「は さ み う ち」 「最高次 で 割る」 「有理化」 は そ の ま ま 使え ます。