数列すうれつの極限きょくげん

この 章しょう で 学まなぶ こと

数学すうがく III の 入いり 口くち と なる 章しょう で す。 数学すうがく B で 学まなんだ 数列すうれつ の 一いっ般ぱん項 を、 「項こう数すう$n$ を 限かぎり なく 大おおき く する と、 $a_n$ は どこ に 近ちかづく か」 と いう 視し点てん で 見直みなおし ます。 これ が 極限きょくげん で す。

• 数列すうれつ の 収束しゅうそく と 発散はっさん の 区く別べつ
• ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=\alpha$ の 意い味み
• はさみうち の 原理げんり の 使つかい 方かた
• 無む限げん等比数列とうひすうれつ$\left\{r^n\right\}$ が 収しゅう束そく する 条じょう件けん
• 無む限げん級数きゅうすう と とくに 無む限げん等比級数とうひきゅうすう の 和わ
• 循環小数じゅんかんしょうすう を 分ぶん数すう で 表あらわす 応おう用よう

ポイント: 「$n$ を いくら でも 大おおき く する」 と いう 無む限げん の あつかい が、 数学すうがく III 全ぜん体たい の 共きょう通つう言げん語ご に なり ます。 ここ を 早はや め に 体からだ に 入いれ る と、 関かん数すう の 極きょく限げん (第だい 2 章しょう) と 微分びぶん・積分せきぶん (第だい 3 章しょう以い降こう) が 一いっ気き に 楽らく に なり ます。

1. 数列すうれつ の 極限きょくげん と は

直感ちょっかん から 出発しゅっぱつ

数列すうれつ$a_n=\frac{1}{n}$ を 並ならべ る と、

$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \dots$

と なり ます。 $n$ を 大おおき く する ほど 値ね は $0$ に いくら でも 近ちかづき ます。 こ の こと を、

${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}=0$

と 書かき、 「数列すうれつ$\left\{a_n\right\}$ は $0$ に 収束しゅうそく する」 と 言いい ます。

収束しゅうそく と 発散はっさん の 4 分類ぶんるい

振舞ふるま い	例れい	表ひょう記き
**[[収束	しゅうそく]]** ($\alpha$ に 近ちかづく)	$\frac{1}{n}\to 0$
正せい の 無む限げん大 に 発はっ散さん	$a_n=n$	$\lim a_n=+\infty$
負まけ の 無む限げん大 に 発はっ散さん	$a_n=-n^2$	$\lim a_n=-\infty$
**[[振動	しんどう]]** (どこ に も 近ちかづか ない)	$a_n=(-1{)}^n$

大事だいじ: 「発散はっさん」 と 「振動しんどう」 は 違ちがい ます。 $a_n=(-1{)}^n$ は $1,-1,1,-1,\dots$ と 振しん動どう する だけ で、 $\pm \infty$ に は 行いき ませ ん。 こ の 場ば合あい は 「極きょく限げん は 存そん在ざい しない」 と 言いい ます。

形式けいしき的てき な 定義ていぎ (高校こうこう レベル)

数列すうれつ$\left\{a_n\right\}$ が $\alpha$ に 収束しゅうそく する と は、 「$n$ を 十分ぶん大おおき く すれば、 $a_n$ と $\alpha$ の 差さ を いくら でも 小ちいさく でき る」 こと で す。 厳密みつ な $\epsilon$-$N$論法ほう は 大学だいがく で 学まなび ます が、 高校こうこう で は こ の 直ちょっ感かん的定義ぎ で 十分ぶん です。

2. 極限きょくげん の 性質せいしつ (基本きほん公式こうしき)

数列すうれつ$\left\{a_n\right\}$, $\left\{b_n\right\}$ が それぞれ $\alpha$, $\beta$ に 収しゅう束そく する なら、 次つぎ が 成なり 立たち ます。

| 公式こうしき | 内ない容よう | |---|---| | 定てい数すう倍ばい | $\lim k{a}_n=k\alpha$ ($k$ は 定てい数すう) | | 和わ | $\lim (a_n+b_n)=\alpha +\beta$ | | 差さ | $\lim (a_n-b_n)=\alpha -\beta$ | | 積つむ | $\lim a_n{b}_n=\alpha \beta$ | | 商しょう | $\lim \frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha }{\beta }$ ($\beta \ne 0$) |

注ちゅう意い: 「収しゅう束そく する 同士どうし」 で あって 初はつ め て 使つかえ ます。 片方かたほう が 発散はっさん する と 別べっ途と考かんがえ る 必ひつ要よう が あり ます。

例れい 1 分ぶん数すう式しき の 極限きょくげん

${\lim }_{n\to \infty }\frac{2n^2+3n+1}{n^2-n+4}$

手て順じゅん: 分母ぶんぼ の 最さい高こう次じ$n^2$ で 分子ぶんし・分母ぶんぼ を 割われる。

$={\lim }_{n\to \infty }\frac{2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}{1-\frac{1}{n}+\frac{4}{n^2}}=\frac{2+0+0}{1-0+0}=2$

コツ: 「最さい高こう次じ で 割われる」 が 分ぶん数すう式しき の 鉄てっ則そく です。 分子ぶんし の 次じ数すう が 大おおき け れ ば $\pm \infty$、 小ちいさ け れ ば $0$ に なり ます。

例れい 2 ルート を 含ふくむ 極限きょくげん

${\lim }_{n\to \infty }(\sqrt{n^2+n}-n)$

有理化ゆうりか し ます。

$=\lim \frac{(\sqrt{n^2+n}-n)(\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n}=\lim \frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}=\lim \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}=\frac{1}{2}$

3. はさみうち の 原理げんり

定義ていぎ

すべて の $n$ で $b_n\le a_n\le c_n$ で、 $\lim b_n=\lim c_n=\alpha$ なら ば、

${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=\alpha$

イメージ: 「両りょう側がわ から 同どう じ 値ね に はさむ」 と、 真しん ん 中なか も そこ に 行いか ざる を 得とく ない。

例れい 3 三角さんかく関数かんすう を 含ふくむ 極限きょくげん

${\lim }_{n\to \infty }\frac{\sin n}{n}$

$-1\le \sin n\le 1$ なので、 $-\frac{1}{n}\le \frac{\sin n}{n}\le \frac{1}{n}$。 両端りょうたん が $0$ に 収しゅう束そく する ので、

${\lim }_{n\to \infty }\frac{\sin n}{n}=0$

使づかい どこ ろ: 直ちょく接せつ計けい算さん でき ない とき、 まず 「絶ぜっ対たい値ち で 上うえ から おさえる」 を 考かんがえ ま しょう。

4. 無限むげん等比とうひ数列すうれつ$\left\{r^n\right\}$

公おおやけ比ひ$r$ の 等比数列とうひすうれつ$a_n=r^n$ の 極きょく限げん は 4 通とおり に 場ば合あい分わけ でき ます。

$r$ の 範はん囲い	振舞ふるま い	$\lim r^n$
$r>1$	正ただし の 無む限げん大 に 発はっ散さん	$+\infty$
$r=1$	常つね に $1$	$1$
	$0$ に [収	しゅう][束
$r\le -1$	[[振動	しんどう]] ([極

収束しゅうそく条件じょうけん を まとめ る と

例れい 4 場合ばあい分わけ で 解とく

$\lim n\to \infty \frac{r^{n+1}}{1+r^n}$ を $r$ で 場ば合あい分わけ せよ。

• の とき $r^n\to 0$ なので、 値ね は $\frac{0}{1+0}=0$。
• $r=1$ の とき $\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$。
• $r>1$ の とき 分子ぶんし・分母ぶんぼ を $r^n$ で 割わって $\frac{r}{r^{-n}+1}\to \frac{r}{0+1}=r$。
• $r\le -1$ の とき 振動しんどう し 極きょく限げん な し。

必ひっ修しゅう: 「$r$ の 範はん囲い に よって 結けっ果か が 変かわ る」 タイプ は 入にゅう試し頻ひん出しゅつ。 表ひょう を 暗あん記き せ ず、 上うえ の 4 分ぶん類るい から 自分じぶん で 場ば合あい分わけ でき る よう に。

5. 無限むげん級数きゅうすう

定義ていぎ

数列すうれつ$\left\{a_n\right\}$ の すべて の 項こう を 加くわえ た もの を 無む限げん級数きゅうすう と 言いい、

$\sum n=1\infty a_n=a_1+a_2+a_3+\cdots$

と 書かき ます。 第$n$項 まで の 和わ を 部分和ぶぶんわ $S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$ と し、

${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=S\left(有ゆう限げん な 値\right)$

の とき 級きゅう数すう は 収しゅう束そく し て 和$S$ を もつ、 と 言いい ます。

大事だいじ: 級きゅう数すう の 収しゅう束そく と は 「部分和ぶぶんわ の 数すう列れつ の 収しゅう束そく」 で す。 元もと の $a_n$ が $0$ に 行いく だけ で は 不ふ足そく (例れい: 調ちょう和わ級きゅう数すう$\sum \frac{1}{n}$ は 発はっ散さん)。

無限むげん等比とうひ級数きゅうすう

初はつ項こう$a$、 公おおやけ比ひ$r$ の 無む限げん等比級数とうひきゅうすう:

$a+ar+a{r}^2+a{r}^3+\cdots$

条じょう件けん	結けっ果か
$	r
$	r

例れい 5 循環じゅんかん小数しょうすう を 分数ぶんすう に

$0.3\dot{}=0.333\dots$ を 分ぶん数すう で 表あらわす。

$0.3\dot{}=0.3+0.03+0.003+\cdots =\frac{0.3}{1-0.1}=\frac{0.3}{0.9}=\frac{1}{3}$

発はっ展てん: $0.1\dot{}2\dot{}=0.1212\cdots =\frac{0.12}{1-0.01}=\frac{12}{99}=\frac{4}{33}$。 循環小数じゅんかんしょうすう が す べて 分ぶん数すう で 表ひょう せ る こと の 数学すうがく的てき な 根こん拠きょ が 無む限げん等比級数とうひきゅうすう です。

6. 章しょう末まつ まとめ

概がい念ねん	キー ポイント
[[極限	きょくげん]]
はさみうち	「上うえ と 下した で 同どう じ 値ね に はさめ ば 真しん ん 中なか も そこ」
$r^n$	4 通とおり 場ば合あい分わけ、 収しゅう束そく条じょう件けん
[無	む][限
[無	む][限

次じ の 章しょう へ: 第だい 2 章しょう で は $n$ (整せい数すう) で は な く $x$ (実じっ数すう) で の 極きょく限げん を 扱あつかい、 連続性れんぞくせい を 学まなび ます。 こ こ ま で の 「は さ み う ち」 「最さい高こう次じ で 割われる」 「有理化ゆうりか」 は そ の ま ま 使つかえ ます。