数列すうれつの極限きょくげん

この章しょうで学まなぶこと

数学すうがく III の 入いり口くち となる章しょうです。 数学すうがく B で学まなんだ数列すうれつの一いっ般ぱん項を、 「項こう数すう $n$ を限かぎりなく大おおきくすると、 $a_n$ はどこに近ちかづくか」 という視し点てんで見直みなおします。 これが 極限きょくげん です。

• 数列すうれつの 収束しゅうそく と 発散はっさん の区く別べつ
• ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=\alpha$ の意い味み
• はさみうち の原理げんりの使つかい方かた
• 無む限げん等比数列とうひすうれつ $\left\{r^n\right\}$ が収しゅう束そくする条じょう件けん
• 無む限げん級数きゅうすうととくに 無む限げん等比級数とうひきゅうすう の和わ
• 循環小数じゅんかんしょうすうを分ぶん数すうで表あらわす応おう用よう

ポイント: 「$n$ をいくらでも大おおきくする」 という 無む限げん のあつかいが、 数学すうがく III 全ぜん体たいの共きょう通つう言げん語ごになります。 ここを早はやめに体からだに入いれると、 関かん数すうの極きょく限げん (第だい 2 章しょう) と微分びぶん・積分せきぶん (第だい 3 章しょう以い降こう) が一いっ気きに楽らくになります。

1. 数列すうれつの極限きょくげんとは

直感ちょっかんから出発しゅっぱつ

数列すうれつ $a_n=\frac{1}{n}$ を並ならべると、

$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \dots$

となります。 $n$ を大おおきくするほど値あたいは $0$ にいくらでも近ちかづきます。 このことを、

${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}=0$

と書かき、 「数列すうれつ$\left\{a_n\right\}$ は $0$ に収束しゅうそくする」 と言いいます。

収束しゅうそくと発散はっさんの 4 分類ぶんるい

振舞ふるまい	例れい	表ひょう記き
収束しゅうそく ($\alpha$ に近ちかづく)	$\frac{1}{n}\to 0$	$\lim a_n=\alpha$
正せいの無む限げん大に発はっ散さん	$a_n=n$	$\lim a_n=+\infty$
負まけの無む限げん大に発はっ散さん	$a_n=-n^2$	$\lim a_n=-\infty$
振動しんどう (どこにも近ちかづかない)	$a_n=(-1{)}^n$	極きょく限げんなし

大事だいじ: 「発散はっさん」 と 「振動しんどう」 は違ちがいます。 $a_n=(-1{)}^n$ は $1,-1,1,-1,\dots$ と振しん動どうするだけで、 $\pm \infty$ には行いきません。 この場ば合あいは 「極きょく限げんは存そん在ざいしない」 と言いいます。

形式けいしき的てきな定義ていぎ (高校こうこうレベル)

数列すうれつ$\left\{a_n\right\}$ が $\alpha$ に収束しゅうそくするとは、 「$n$ を十分ぶん大おおきくすれば、 $a_n$ と $\alpha$ の差さをいくらでも小ちいさくできる」 ことです。 厳密みつな $\epsilon$-$N$論法ほうは大学だいがくで学まなびますが、 高校こうこうではこの 直ちょっ感かん的定義ぎ で十分ぶんです。

2. 極限きょくげんの性質せいしつ (基本きほん公式こうしき)

数列すうれつ$\left\{a_n\right\}$, $\left\{b_n\right\}$ がそれぞれ $\alpha$, $\beta$ に収しゅう束そくするなら、 次つぎが成なり立たちます。

公式こうしき	内ない容よう
定てい数すう倍ばい	$\lim k{a}_n=k\alpha$ ($k$ は定てい数すう)
和わ	$\lim (a_n+b_n)=\alpha +\beta$
差さ	$\lim (a_n-b_n)=\alpha -\beta$
積つむ	$\lim a_n{b}_n=\alpha \beta$
商しょう	$\lim \frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha }{\beta }$ ($\beta \ne 0$)

注ちゅう意い: 「収しゅう束そくする同士どうし」 であって初はじめて使つかえます。 片方かたほうが発散はっさんすると別べっ途と考かんがえる必ひつ要ようがあります。

例れい 1 分ぶん数すう式しきの極限きょくげん

${\lim }_{n\to \infty }\frac{2n^2+3n+1}{n^2-n+4}$

手て順じゅん: 分母ぶんぼの最さい高こう次じ$n^2$ で分子ぶんし・分母ぶんぼを割われる。

$={\lim }_{n\to \infty }\frac{2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}{1-\frac{1}{n}+\frac{4}{n^2}}=\frac{2+0+0}{1-0+0}=2$

コツ: 「最さい高こう次じで割われる」 が分ぶん数すう式しきの鉄てっ則そくです。 分子ぶんしの次じ数すうが大おおきければ $\pm \infty$、 小ちいさければ $0$ になります。

例れい 2 ルートを含ふくむ極限きょくげん

${\lim }_{n\to \infty }(\sqrt{n^2+n}-n)$

有理化ゆうりかします。

$=\lim \frac{(\sqrt{n^2+n}-n)(\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n}=\lim \frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}=\lim \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}=\frac{1}{2}$

3. はさみうちの原理げんり

定義ていぎ

すべての $n$ で $b_n\le a_n\le c_n$ で、 $\lim b_n=\lim c_n=\alpha$ ならば、

${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=\alpha$

イメージ: 「両りょう側がわから 同おなじ値あたいにはさむ」 と、 真まん中なかもそこに行いかざるを得えない。

例れい 3 三角さんかく関数かんすうを含ふくむ極限きょくげん

${\lim }_{n\to \infty }\frac{\sin n}{n}$

$-1\le \sin n\le 1$ なので、 $-\frac{1}{n}\le \frac{\sin n}{n}\le \frac{1}{n}$。 両端りょうたんが $0$ に収しゅう束そくするので、

${\lim }_{n\to \infty }\frac{\sin n}{n}=0$

使づかいどころ: 直ちょく接せつ計けい算さんできないとき、 まず 「絶ぜっ対たい値あたいで上うえからおさえる」 を考えかんがえましょう。

4. 無限むげん等比とうひ数列すうれつ$\left\{r^n\right\}$

公おおやけ比ひ $r$ の等比数列とうひすうれつ $a_n=r^n$ の極きょく限げんは 4 通とおり に場ば合あい分わけできます。

$r$ の範はん囲い	振舞ふるまい	$\lim r^n$
$r>1$	正せいの無む限げん大に発はっ散さん	$+\infty$
$r=1$	常つねに $1$	$1$
	$0$ に収しゅう束そく	$0$
$r\le -1$	振動しんどう (極きょく限げんなし)	なし

収束しゅうそく条件じょうけんをまとめると

例れい 4 場合ばあい分わけで解とく

$\lim n\to \infty \frac{r^{n+1}}{1+r^n}$ を $r$ で場ば合あい分わけせよ。

• のとき $r^n\to 0$ なので、 値あたいは $\frac{0}{1+0}=0$。
• $r=1$ のとき $\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$。
• $r>1$ のとき分子ぶんし・分母ぶんぼを $r^n$ で割わって $\frac{r}{r^{-n}+1}\to \frac{r}{0+1}=r$。
• $r\le -1$ のとき振動しんどうし極きょく限げんなし。

必ひっ修しゅう: 「$r$ の範はん囲いによって結けっ果かが変かわる」 タイプは入にゅう試し頻ひん出しゅつ。 表ひょうを暗あん記きせず、 上うえの 4 分ぶん類るいから 自分じぶんで場ば合あい分わけできる ように。

5. 無限むげん級数きゅうすう

定義ていぎ

数列すうれつ $\left\{a_n\right\}$ のすべての項こうを加くわえたものを 無む限げん級数きゅうすう と言いい、

$\sum n=1\infty a_n=a_1+a_2+a_3+\cdots$

と書かきます。 第$n$項までの和わを 部分和ぶぶんわ $S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$ とし、

${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=S($有ゆう限げん な 値)\lim_{n \to \infty} S_n = S \quad (\text{有ゆう限げん な 値})

のとき級きゅう数すうは 収しゅう束そくして和$S$ をもつ、 と言いいます。

大事だいじ: 級きゅう数すうの収しゅう束そくとは 「部分和ぶぶんわの数すう列れつの収しゅう束そく」 です。 元もとの $a_n$ が $0$ に行いくだけでは不ふ足そく (例れい: 調ちょう和わ級きゅう数すう $\sum \frac{1}{n}$ は発はっ散さん)。

無限むげん等比とうひ級数きゅうすう

初はつ項こう $a$、 公おおやけ比ひ $r$ の無む限げん等比級数とうひきゅうすう:

$a+ar+a{r}^2+a{r}^3+\cdots$

条じょう件けん	結けっ果か
	収しゅう束そくして和$\frac{a}{1-r}$
$\mid r\mid \ge 1$ ($a\ne 0$)	発はっ散さん

例れい 5 循環じゅんかん小数しょうすうを分数ぶんすうに

$0.3\dot{}=0.333\dots$ を分ぶん数すうで表あらわす。

$0.3\dot{}=0.3+0.03+0.003+\cdots =\frac{0.3}{1-0.1}=\frac{0.3}{0.9}=\frac{1}{3}$

発はっ展てん: $0.1\dot{}2\dot{}=0.1212\cdots =\frac{0.12}{1-0.01}=\frac{12}{99}=\frac{4}{33}$。 循環小数じゅんかんしょうすうが すべて分ぶん数すうで表あらわせる ことの数学すうがく的てきな根こん拠きょが無む限げん等比級数とうひきゅうすうです。

6. 章しょう末まつまとめ

概がい念ねん	キーポイント
極限きょくげん	「$n\to \infty$ でどこに行いくか」
はさみうち	「上うえと下したで同おなじ値あたいにはさめば真まん中なかもそこ」
$r^n$	4 通とおり場ば合あい分わけ、 収しゅう束そく条じょう件けん
無む限げん級きゅう数すう	部分和ぶぶんわの極きょく限げん
無む限げん等比とうひ級きゅう数すう	で和$\frac{a}{1-r}$

次じの章しょうへ: 第だい 2 章しょうでは $n$ (整せい数すう) ではなく $x$ (実じっ数すう) での極きょく限げんを扱あつかい、 連続性れんぞくせいを学まなびます。 ここまでの 「はさみうち」 「最さい高こう次じで割われる」 「有理化ゆうりか」 はそのまま使つかえます。