微分びぶん法ほうの応用おうよう

この章しょうで学まなぶこと

第だい 3・4 章しょうで 微び分ぶん の計けい算さん をそろえました。 この章しょうではそれを 「関かん数すう を調しらべる道どう具ぐ」 として使つかいます。

• $f^{\prime }\left(x\right)$ で 関かん数すう の増ぞう減げん・極値きょくち
• $f^{\prime \prime }\left(x\right)$ で 凹凸おうとつ・変曲点へんきょくてん
• グラフぐらふ の概形けい を 増減表ぞうげんひょう で描えがく
• 最大値さいだいち と 最小値さいしょうち の求もとめ方かた
• 速そく度ど と 加速度かそくど (物ぶつ理り的解釈しゃく)
• 平均値の定理へいきんちのていり とその応おう用よう

ポイント: 「$f^{\prime }>0$ なら 単調増加たんちょうぞうか」 「$f^{\prime \prime }>0$ なら 下に凸したにとつ」 は 数学すうがく III で最もっとも頻ひん出しゅつ の武ぶ器き。 ここで練れん習しゅう を積つむと、 物ぶつ理り・経けい済ざい・統計とうけい など大学だいがくでの応おう用よう に直ちょっ結けつ します。

1. 関数かんすうの増減ぞうげん

基本きほん

$f$ が区く間かん で微び分ぶん可か能のう なとき、

条じょう件けん	結けつ論ろん
$f^{\prime }\left(x\right)>0$	$f$ はその区く間かん で 単調増加たんちょうぞうか
	$f$ はその区く間かん で 単調減少たんちょうげんしょう
$f^{\prime }\left(x\right)=0$	増ぞう減げん が変かわる 候こう補ほ点てん

例れい 1 増減ぞうげん表ひょう

$f\left(x\right)=x^3-3x$。 $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$。

$x$	$\dots$	$-1$	$\dots$	$1$	$\dots$
$f^{\prime }\left(x\right)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f\left(x\right)$	増まし	極大きょくだい$2$	減げん	極小きょくしょう$-2$	増まし

大事だいじ: 増減表ぞうげんひょう は 数学すうがく III の答とう案あん の必ひっ須す部ぶ品ひん。 「$f^{\prime }$ の符ふ号ごう」 「極値きょくち」 「最終さいしゅう値ち」 を 1 枚まいの表ひょうに集しゅう約やく することで採さい点てん者じゃに 論ろん理り が通とおる。

2. 極ごく値ねと第だい 2 階かい導しるべ関数かんすう

極きょく値ちの判定はんてい (第だい 1 階かい)

$f^{\prime }\left(a\right)=0$ で

• $f^{\prime }$ が $a$ の前後ぜんごで $+\to -$ なら 極大きょくだい
• $f^{\prime }$ が $a$ の前後ぜんごで $-\to +$ なら 極小きょくしょう
• 符ふ号ごう が変かわらなければ 極値きょくち ではない

第だい 2 階かい導しるべ関数かんすうによる判定はんてい

$f^{\prime }\left(a\right)=0$ かつ

• $f^{\prime \prime }\left(a\right)>0$ なら 極小きょくしょう (下かに凸とつ)
• なら 極大きょくだい (上じょうに凸とつ)
• $f^{\prime \prime }\left(a\right)=0$ なら 不ふ明めい (別途べっと調ちょう査さ)

例れい 2 第だい 2 階かいで判定はんてい

$f\left(x\right)=x{e}^{-x}$。 $f^{\prime }\left(x\right)=(1-x)e^{-x}$、 $f^{\prime }\left(x\right)=0\Rightarrow x=1$。 $f^{\prime \prime }\left(x\right)=(x-2)e^{-x}$、 。 よって $x=1$ で極きょく大だい $f\left(1\right)=1/e$。

3. 凹凸おうとつと変へん曲きょく点てん

第だい 2 階かい導しるべ関数かんすうと凹凸おうとつ

条じょう件けん	凹おう凸とつ
$f^{\prime \prime }\left(x\right)>0$	下に凸したにとつ (carrol おわん型がた)
	上に凸うえにとつ (山やま型がた)
$f^{\prime \prime }\left(x\right)=0$ で符ふ号ごう が変かわる	変曲点へんきょくてん

イメージ: 下に凸したにとつ な区く間かん では 接せっ線せん がグラフの下しも に、 上に凸うえにとつ な区く間かん では 接せっ線せん がグラフの上うえ にある。

例れい 3 凹凸おうとつ表ひょう

$f\left(x\right)=x^3-3x^2$。 $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-6x=3x(x-2)$、 $f^{\prime \prime }\left(x\right)=6x-6$。

$x$	$\dots$	$0$	$\dots$	$1$	$\dots$	$2$	$\dots$
$f^{\prime }$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$f^{\prime \prime }$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$f$	増ぞう・上うえ凸とつ	極大きょくだい	減げん・上うえ凸とつ	変へん曲きょく	減げん・下しも凸とつ	極小きょくしょう	増ぞう・下しも凸とつ

極大きょくだい $f\left(0\right)=0$、 極小きょくしょう $f\left(2\right)=-4$、 変曲点へんきょくてん $(1,-2)$。

答とう案あん のコツ: $f^{\prime }$ と $f^{\prime \prime }$ の 両方りょうほうの符ふ号ごう表ひょう をつくると、 増減ぞうげん・凹凸おうとつ・極値きょくち・変曲点へんきょくてん が 同時どうじに わかる。

4. グラフの概がい形がた

描画びょうが 5 ステップ

1. 定てい義ぎ域いき を確かく認にん (とくに分母ぶんぼ・ルート・log)
2. 切片へん (x 切片へん、 y 切片へん) を求もとめる
3. 漸近線ぜんきんせん を調しらべる (端たんの極きょく限げん)
4. $f^{\prime }$、 $f^{\prime \prime }$ の符ふ号ごう表ひょう
5. 上うえを総そう合ごう して 概形けい を描えがく

例れい 4 分数ぶんすう関数かんすうの概がい形がた

$y=\frac{x}{x^2+1}$。

• 定てい義ぎ域いき: 全ちょん実じっ数すう、 奇関数きかんすう
• $x\to \pm \infty$ で $y\to 0$ → 水すい平へい 漸近線ぜんきんせん $y=0$
• $y^{\prime }=\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}$、 $y^{\prime }=0\Rightarrow x=\pm 1$
• $x=-1$ で 極小きょくしょう $-1/2$、 $x=1$ で 極大きょくだい $1/2$

発はっ展てん: この関かん数すう は ローレンツ 型かた と呼よばれ、 物ぶつ理り・統計とうけい で頻ひん出しゅつ。

5. 最大さいだい値ち・最小さいしょう値ち

閉区間くかんでの最大さいだい最小さいしょう

連れん続ぞく な $f$ の 閉区く間かん $[a,b]$ での最さい大だい・最さい小しょう は、 次つぎの 候こう補ほ点てんの中ちゅう から選えらぶ:

1. 区く間かん内の 極値きょくち ($f^{\prime }\left(x\right)=0$ の点てん)
2. 端点たんてん $f\left(a\right)$、 $f\left(b\right)$
3. $f$ が微び分ぶん不ふ可か能のうな点てん (絶ぜっ対たい値ちなど)

例れい 5 実用じつよう問題もんだい

底そこ半径はんけい $r$、 高たかさ $h$ の直円えん柱ちゅうの 体積たいせき が $V=\pi r^{2}h=1$ で一いっ定てい のとき、 表面積ひょうめんせき を最さい小しょう にする $r$ を求もとめよ。

表面積ひょうめんせき は $S=2\pi r^2+2\pi rh$。 $h=\frac{1}{\pi r^2}$ を代だい入にゅう して、

$S\left(r\right)=2\pi r^2+\frac{2}{r}$

$S^{\prime }\left(r\right)=4\pi r-\frac{2}{r^2}=0\Rightarrow r^3=\frac{1}{2\pi }\Rightarrow r=\frac{1}{2\pi }$。

$S^{\prime \prime }\left(r\right)>0$ なので確たしかに 最さい小しょう。

応おう用よう の鉄てっ則そく: 「変へん数すう が 2 つ出でてきたら、 拘こう束そく条じょう件けん で 1 つに減へらす」。 ここでは $V=1$ で $h$ を $r$ で表あらわした。

6. 速度そくどと加速度かそくど

位い置ち $x\left(t\right)$ の 時間じかん微び分ぶん:

量りょう	表ひょう現げん
速度そくど	$v\left(t\right)=\frac{dx}{dt}$
加速度かそくど	$a\left(t\right)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$

物ぶつ理り との接せつ続ぞく: 加速度かそくど が速そく度ど の微び分ぶん、 速そく度ど が位い置ち の微び分ぶん。 物ぶつ理り の 運うん動どう方かた程てい式 $F=ma$ はこの 数学すうがく III の第だい 2 階導関数どうかんすう で書かかれています。

例れい 6 単たん振動しんどう

$x\left(t\right)=A\sin \left(\omega t\right)$ の速そく度ど と 加速度かそくど:

$v\left(t\right)=A\omega \cos \left(\omega t\right),a\left(t\right)=-A{\omega }^2\sin \left(\omega t\right)=-{\omega }^{2}x\left(t\right)$

「加速度かそくど が 位い置ち に比ひ例れい し、 向むきが逆ぎゃく」 が 単振動たんしんどう の定てい義ぎ そのもの。

7. 平均へいきん値ちの定理ていり

定理ていり

$f$ が $[a,b]$ で連れん続ぞく、 $(a,b)$ で微び分ぶん可か能のう なら、

$\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=f^{\prime }\left(c\right)となる c\in (a,b) が$存そん在ざい する\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c) \quad \text{となる } c \in (a, b) \text{ が存そん在ざい する}

直ちょっ感かん: 「平へい均きん変へん化か率りつと 等ひとしい瞬しゅん間かん変へん化か率りつ が必かならずどこかにある」。 高速こうそく道路どうろで 平へい均きん時速じそく 100 km/h なら、 どこかで 瞬しゅん間かん 100 km/h を出だしている。

応用おうよう不等式ふとうしきの証明しょうめい

のとき を示しめす。

$f\left(x\right)=\log x$ に 平均値の定理へいきんちのていり: ある $c$ () で $\frac{\log b-\log a}{b-a}=\frac{1}{c}$。 より なので、

8. 章しょう末まつまとめ

道どう具ぐ	何なにがわかる
$f^{\prime }\left(x\right)$	増減ぞうげん と 極値きょくち
$f^{\prime \prime }\left(x\right)$	凹凸おうとつ と 変曲点へんきょくてん
増減表ぞうげんひょう	上うえ 2 つを統とう合ごう
端点たんてん + 極値ち	最さい大だい・最さい小しょう
第だい 2 階かい微び分ぶん	加速度かそくど (物ぶつ理り)
平均値の定理へいきんちのていり	不ふ等とう式証明めい

次じの章しょうへ: ここでの 微び分ぶん の逆ぎゃく操そう作さ が 積分せきぶん。 第だい 6 章しょうで不ふ定てい 積分せきぶん と 置換積分ちかんせきぶん・部分積分ぶぶんせきぶん を学まなびます。