微分びぶん法ほうの応用おうよう

この章しょうで学まなぶこと

第だい 3・4 章しょうで 微び分ぶんの計けい算さん をそろえました。 この章しょうではそれを 「関かん数すうを調しらべる道どう具ぐ」 として使つかいます。

• $f^{\prime }\left(x\right)$ で 関かん数すうの増ぞう減げん・極値きょくち
• $f^{\prime \prime }\left(x\right)$ で 凹凸おうとつ・変曲点へんきょくてん
• グラフぐらふの概形けい を増減表ぞうげんひょうで描えがく
• 最大値さいだいちと最小値さいしょうち の求もとめ方かた
• 速そく度ど と 加速度かそくど (物ぶつ理り的解釈しゃく)
• 平均値の定理へいきんちのていり とその応おう用よう

ポイント: 「$f^{\prime }>0$ なら単調増加たんちょうぞうか」 「$f^{\prime \prime }>0$ なら下に凸したにとつ」 は 数学すうがく III で最もっとも頻ひん出しゅつの武ぶ器き。 ここで練れん習しゅうを積つむと、 物ぶつ理り・経けい済ざい・統計とうけいなど大学だいがくでの応おう用ように直ちょっ結けつします。

1. 関数かんすうの増減ぞうげん

基本きほん

$f$ が区く間かんで微び分ぶん可か能のうなとき、

条じょう件けん	結けつ論ろん
$f^{\prime }\left(x\right)>0$	$f$ はその区く間かんで 単調増加たんちょうぞうか
	$f$ はその区く間かんで 単調減少たんちょうげんしょう
$f^{\prime }\left(x\right)=0$	増ぞう減げんが変かわる 候こう補ほ点てん

例れい 1 増減ぞうげん表ひょう

$f\left(x\right)=x^3-3x$。 $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$。

$x$	$\dots$	$-1$	$\dots$	$1$	$\dots$
$f^{\prime }\left(x\right)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f\left(x\right)$	増まし	極大きょくだい$2$	減げん	極小きょくしょう$-2$	増まし

大事だいじ: 増減表ぞうげんひょうは 数学すうがく III の答とう案あんの必ひっ須す部ぶ品ひん。 「$f^{\prime }$ の符ふ号ごう」 「極値きょくち」 「最終さいしゅう値ち」 を 1 枚まいの表ひょうに集しゅう約やくすることで採さい点てん者じゃに 論ろん理りが通とおる。

2. 極値きょくちと第だい 2 階かい導どう関数かんすう

極値きょくちの判定はんてい (第だい 1 階かい)

$f^{\prime }\left(a\right)=0$ で

• $f^{\prime }$ が $a$ の前後ぜんごで $+\to -$ なら 極大きょくだい
• $f^{\prime }$ が $a$ の前後ぜんごで $-\to +$ なら 極小きょくしょう
• 符ふ号ごうが変かわらなければ 極値きょくちではない

第だい 2 階かい導どう関数かんすうによる判定はんてい

$f^{\prime }\left(a\right)=0$ かつ

• $f^{\prime \prime }\left(a\right)>0$ なら 極小きょくしょう (下かに凸とつ)
• なら 極大きょくだい (上じょうに凸とつ)
• $f^{\prime \prime }\left(a\right)=0$ なら 不ふ明めい (別途べっと調ちょう査さ)

例れい 2 第だい 2 階かいで判定はんてい

$f\left(x\right)=x{e}^{-x}$。 $f^{\prime }\left(x\right)=(1-x)e^{-x}$、 $f^{\prime }\left(x\right)=0\Rightarrow x=1$。 $f^{\prime \prime }\left(x\right)=(x-2)e^{-x}$、 。 よって $x=1$ で極きょく大だい $f\left(1\right)=1/e$。

3. 凹凸おうとつと変へん曲きょく点てん

第だい 2 階かい導どう関数かんすうと凹凸おうとつ

条じょう件けん	凹おう凸とつ
$f^{\prime \prime }\left(x\right)>0$	下に凸したにとつ (おわん型がた)
	上に凸うえにとつ (山やま型がた)
$f^{\prime \prime }\left(x\right)=0$ で符ふ号ごうが変かわる	変曲点へんきょくてん

イメージ: 下に凸したにとつな区く間かんでは 接せっ線せんがグラフの下しも に、 上に凸うえにとつな区く間かんでは 接せっ線せんがグラフの上うえ にある。

例れい 3 凹凸おうとつ表ひょう

$f\left(x\right)=x^3-3x^2$。 $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-6x=3x(x-2)$、 $f^{\prime \prime }\left(x\right)=6x-6$。

$x$	$\dots$	$0$	$\dots$	$1$	$\dots$	$2$	$\dots$
$f^{\prime }$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$f^{\prime \prime }$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$f$	増ぞう・上うえ凸とつ	極大きょくだい	減げん・上うえ凸とつ	変へん曲きょく	減げん・下しも凸とつ	極小きょくしょう	増ぞう・下しも凸とつ

極大きょくだい $f\left(0\right)=0$、 極小きょくしょう $f\left(2\right)=-4$、 変曲点へんきょくてん $(1,-2)$。

答とう案あんのコツ: $f^{\prime }$ と $f^{\prime \prime }$ の 両方りょうほうの符ふ号ごう表ひょう をつくると、 増減ぞうげん・凹凸おうとつ・極値きょくち・変曲点へんきょくてんが 同時どうじに わかる。

4. グラフの概形がいけい

描画びょうが 5 ステップ

1. 定てい義ぎ域いき を確かく認にん (とくに分母ぶんぼ・ルート・log)
2. 切片へん (x 切片へん、 y 切片へん) を求もとめる
3. 漸近線ぜんきんせん を調しらべる (端たんの極きょく限げん)
4. $f^{\prime }$、 $f^{\prime \prime }$ の符ふ号ごう表ひょう
5. 上うえを総そう合ごうして 概形けい を描えがく

例れい 4 分数ぶんすう関数かんすうの概形がいけい

$y=\frac{x}{x^2+1}$。

• 定てい義ぎ域いき: 全ちょん実じっ数すう、 奇関数きかんすう
• $x\to \pm \infty$ で $y\to 0$ → 水すい平へい漸近線ぜんきんせん $y=0$
• $y^{\prime }=\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}$、 $y^{\prime }=0\Rightarrow x=\pm 1$
• $x=-1$ で極小きょくしょう $-1/2$、 $x=1$ で極大きょくだい $1/2$

発はっ展てん: この関かん数すうは ローレンツ型がた と呼よばれ、 物ぶつ理り・統計とうけいで頻ひん出しゅつ。

5. 最大値さいだいち・最小値さいしょうち

閉区間くかんでの最大さいだい最小さいしょう

連れん続ぞくな $f$ の 閉区く間かん $[a,b]$ での最さい大だい・最さい小しょうは、 次つぎの 候こう補ほ点てんの中ちゅう から選えらぶ:

1. 区く間かん内の 極値きょくち ($f^{\prime }\left(x\right)=0$ の点てん)
2. 端点たんてん $f\left(a\right)$、 $f\left(b\right)$
3. $f$ が微び分ぶん不ふ可か能のうな点てん (絶ぜっ対たい値あたいなど)

例れい 5 実用じつよう問題もんだい

底そこ半径はんけい $r$、 高たかさ $h$ の直円えん柱ちゅうの体積たいせきが $V=\pi r^{2}h=1$ で一いっ定ていのとき、 表面積ひょうめんせきを最さい小しょうにする $r$ を求もとめよ。

表面積ひょうめんせきは $S=2\pi r^2+2\pi rh$。 $h=\frac{1}{\pi r^2}$ を代だい入にゅうして、

$S\left(r\right)=2\pi r^2+\frac{2}{r}$

$S^{\prime }\left(r\right)=4\pi r-\frac{2}{r^2}=0\Rightarrow r^3=\frac{1}{2\pi }\Rightarrow r=\frac{1}{2\pi }$。

$S^{\prime \prime }\left(r\right)>0$ なので確たしかに 最さい小しょう。

応おう用ようの鉄てっ則そく: 「変へん数すうが 2 つ出でてきたら、 拘こう束そく条じょう件けんで 1 つに減へらす」。 ここでは $V=1$ で $h$ を $r$ で表あらわした。

6. 速度そくどと加速度かそくど

位い置ち $x\left(t\right)$ の時間じかん微び分ぶん:

量りょう	表ひょう現げん
速度そくど	$v\left(t\right)=\frac{dx}{dt}$
加速度かそくど	$a\left(t\right)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$

物ぶつ理りとの接せつ続ぞく: 加速度かそくどが速そく度どの微び分ぶん、 速そく度どが位い置ちの微び分ぶん。 物ぶつ理りの 運うん動どう方かた程てい式 $F=ma$ はこの 数学すうがく III の第だい 2 階導関数どうかんすう で書かかれています。

例れい 6 単たん振動しんどう

$x\left(t\right)=A\sin \left(\omega t\right)$ の速そく度どと加速度かそくど:

$v\left(t\right)=A\omega \cos \left(\omega t\right),a\left(t\right)=-A{\omega }^2\sin \left(\omega t\right)=-{\omega }^{2}x\left(t\right)$

「加速度かそくどが 位い置ちに比ひ例れいし、 向むきが逆ぎゃく」 が 単振動たんしんどう の定てい義ぎそのもの。

7. 平均へいきん値ちの定理ていり

定理ていり

$f$ が $[a,b]$ で連れん続ぞく、 $(a,b)$ で微び分ぶん可か能のうなら、

$\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=f^{\prime }\left(c\right)と な る c\in (a,b) が$存そん在ざい す る\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c) \quad \text{と な る } c \in (a, b) \text{ が 存そん在ざい す る}

直ちょっ感かん: 「平均へいきん変へん化か率りつと 等ひとしい瞬しゅん間かん変へん化か率りつ が必かならずどこかにある」。 高速こうそく道路どうろで 平均へいきん時速じそく 100 km/h なら、 どこかで 瞬しゅん間かん 100 km/h を出だしている。

応用おうよう不等式ふとうしきの証明しょうめい

のとき を示しめす。

$f\left(x\right)=\log x$ に平均値の定理へいきんちのていり: ある $c$ () で $\frac{\log b-\log a}{b-a}=\frac{1}{c}$。 より なので、

8. 章しょう末まつまとめ

道どう具ぐ	何なにがわかる
$f^{\prime }\left(x\right)$	増減ぞうげんと極値きょくち
$f^{\prime \prime }\left(x\right)$	凹凸おうとつと変曲点へんきょくてん
増減表ぞうげんひょう	上うえ 2 つを統とう合ごう
端点たんてん + 極値ち	最さい大だい・最さい小しょう
第だい 2 階かい微び分ぶん	加速度かそくど (物ぶつ理り)
平均値の定理へいきんちのていり	不ふ等とう式証明めい

次じの章しょうへ: ここでの 微び分ぶん の逆ぎゃく操そう作さが 積分せきぶん。 第だい 6 章しょうで不ふ定てい積分せきぶんと置換積分ちかんせきぶん・部分積分ぶぶんせきぶんを学まなびます。