微分びぶん法ほうの応用おうよう

この 章しょう で 学まなぶ こと

第だい 3・4 章しょう で 微び分ぶん の 計けい算さん を そろえ ま し た。 こ の 章しょう で は そ れ を 「関かん数すう を 調ちょう べ る 道どう具ぐ」 と し て 使し い ま す。

• $f^{\prime }\left(x\right)$ で 関かん数すう の 増ぞう減げん・極値きょくち
• $f^{\prime \prime }\left(x\right)$ で 凹凸おうとつ・変曲点へんきょくてん
• グラフ の 概形けい を 増減表ぞうげんひょう で 描えがく
• 最大値さいだいち と 最小値さいしょうち の 求もとめ め 方かた
• 速そく度ど と 加速度かそくど (物ぶつ理り的解釈しゃく)
• 平均値の定理へいきんちのていり と そ の 応おう用よう

ポイント: 「$f^{\prime }>0$ な ら 単調増加たんちょうぞうか」 「$f^{\prime \prime }>0$ な ら 下に凸したにとつ」 は 数学すうがく III で 最さい も 頻ひん出しゅつ の 武ぶ器き。 こ こ で 練れん習しゅう を 積つむ む と、 物ぶつ理り・経けい済ざい・統計とうけい な ど 大学だいがく で の 応おう用よう に 直ちょっ結けつ し ま す。

1. 関数かんすう の 増減ぞうげん

基本きほん

$f$ が 区く間かん で 微び分ぶん可か能のう な とき、

条じょう件けん	結けつ論ろん
$f^{\prime }\left(x\right)>0$	$f$ は その 区く間かん で **[[単調増加
	$f$ は その [区
$f^{\prime }\left(x\right)=0$	[増

例れい 1 増減ぞうげん表ひょう

$f\left(x\right)=x^3-3x$。 $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$。

$x$	$\dots$	$-1$	$\dots$	$1$	$\dots$
$f^{\prime }\left(x\right)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f\left(x\right)$	[増	まし]	**[極大	きょくだい]$2$**	[減

大事だいじ: 増減表ぞうげんひょう は 数学すうがく III の 答とう案あん の 必ひっ須す部ぶ品ひん。 「$f^{\prime }$ の 符ふ号ごう」 「極値きょくち」 「最終さいしゅう値ち」 を 1 枚まい の 表ひょう に 集しゅう約やく す る こ と で 採さい点てん者じゃ に 論ろん理り が 通つう る。

2. 極ごく値ね と 第だい 2 階かい導しるべ関数かんすう

極ごく値ね の 判定はんてい (第だい 1 階かい)

$f^{\prime }\left(a\right)=0$ で

• $f^{\prime }$ が $a$ の 前後ぜんご で $+\to -$ な ら 極大きょくだい
• $f^{\prime }$ が $a$ の 前後ぜんご で $-\to +$ な ら 極小きょくしょう
• 符ふ号ごう が 変へん わ ら な け れ ば 極値きょくち で は な い

第だい 2 階かい導しるべ関数かんすう に よる 判定はんてい

$f^{\prime }\left(a\right)=0$ か つ

• $f^{\prime \prime }\left(a\right)>0$ な ら 極小きょくしょう (下か に 凸とつ)
• な ら 極大きょくだい (上じょう に 凸とつ)
• $f^{\prime \prime }\left(a\right)=0$ な ら 不ふ明めい (別途べっと調ちょう査さ)

例れい 2 第だい 2 階かい で 判定はんてい

$f\left(x\right)=x{e}^{-x}$。 $f^{\prime }\left(x\right)=(1-x)e^{-x}$、 $f^{\prime }\left(x\right)=0\Rightarrow x=1$。 $f^{\prime \prime }\left(x\right)=(x-2)e^{-x}$、 。 よって $x=1$ で 極きょく大だい$f\left(1\right)=1/e$。

3. 凹凸おうとつ と 変へん曲きょく点てん

第だい 2 階かい導しるべ関数かんすう と 凹凸おうとつ

| 条じょう件けん | 凹おう凸とつ | |---|---| | $f^{\prime \prime }\left(x\right)>0$ | 下に凸したにとつ (carrol お わ ん 型かた) | | | 上に凸うえにとつ (山やま型がた) | | $f^{\prime \prime }\left(x\right)=0$ で 符ふ号ごう が 変へん わ る | 変曲点へんきょくてん |

イメージ: 下に凸したにとつ な 区く間かん で は 接せっ線せん が グラフ の 下しも に、 上に凸うえにとつ な 区く間かん で は 接せっ線せん が グラフ の 上うえ に あ る。

例れい 3 凹凸おうとつ表ひょう

$f\left(x\right)=x^3-3x^2$。 $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-6x=3x(x-2)$、 $f^{\prime \prime }\left(x\right)=6x-6$。

$x$	$\dots$	$0$	$\dots$	$1$	$\dots$	$2$	$\dots$
$f^{\prime }$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$f^{\prime \prime }$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$f$	増ぞう・上うえ凸とつ	極大きょくだい	減げん・上うえ凸とつ	変へん曲きょく	減げん・下しも凸とつ	極小きょくしょう	増ぞう・下しも凸とつ

極大きょくだい$f\left(0\right)=0$、 極小きょくしょう$f\left(2\right)=-4$、 変曲点へんきょくてん$(1,-2)$。

答とう案あん の コツ: $f^{\prime }$ と $f^{\prime \prime }$ の 両方りょうほう の 符ふ号ごう表ひょう を つ く る と、 増減ぞうげん・凹凸おうとつ・極値きょくち・変曲点へんきょくてん が 同時どうじ に わ か る。

4. グラフ の 概がい形がた

描画びょうが 5 ステップ

1. 定てい義ぎ域いき を 確かく認にん (とくに 分母ぶんぼ・ル ー ト・log)
2. 切片へん (x 切片へん、 y 切片へん) を 求もとめ め る
3. 漸近線ぜんきんせん を 調ちょう べ る (端たん の 極きょく限げん)
4. $f^{\prime }$、 $f^{\prime \prime }$ の 符ふ号ごう表ひょう
5. 上うえ を 総そう合ごう し て 概形けい を 描 く

例れい 4 分数ぶんすう関数かんすう の 概がい形がた

$y=\frac{x}{x^2+1}$。

• 定てい義ぎ域いき: 全ちょん実じっ数すう、 奇関数きかんすう
• $x\to \pm \infty$ で $y\to 0$ → 水すい平へい漸近線ぜんきんせん$y=0$
• $y^{\prime }=\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}$、 $y^{\prime }=0\Rightarrow x=\pm 1$
• $x=-1$ で 極小きょくしょう$-1/2$、 $x=1$ で 極大きょくだい$1/2$

発はっ展てん: こ の 関かん数すう は ローレンツ型 と 呼こ ば れ、 物ぶつ理り・統計とうけい で 頻ひん出しゅつ。

5. 最大さいだい値ち・最小さいしょう値ち

閉区間くかん で の 最大さいだい最小さいしょう

連れん続ぞく な $f$ の 閉区く間かん $[a,b]$ で の 最さい大だい・最さい小しょう は、 次つぎ の 候こう補ほ点てん の 中ちゅう か ら 選せん ぶ:

1. 区く間かん内 の 極値きょくち ($f^{\prime }\left(x\right)=0$ の 点てん)
2. 端点たんてん $f\left(a\right)$、 $f\left(b\right)$
3. $f$ が 微び分ぶん不ふ可か能のう な 点てん (絶ぜっ対たい値ち な ど)

例れい 5 実用じつよう問題もんだい

底そこ半径はんけい$r$、 高こう さ $h$ の 直円えん柱ちゅう の 体積たいせき が $V=\pi r^{2}h=1$ で 一いっ定てい の と き、 表面積ひょうめんせき を 最さい小しょう に す る $r$ を 求もとめ め よ。

表面積ひょうめんせき は $S=2\pi r^2+2\pi rh$。 $h=\frac{1}{\pi r^2}$ を 代だい入にゅう し て、

$S\left(r\right)=2\pi r^2+\frac{2}{r}$

$S^{\prime }\left(r\right)=4\pi r-\frac{2}{r^2}=0\Rightarrow r^3=\frac{1}{2\pi }\Rightarrow r=\frac{1}{2\pi }$。

$S^{\prime \prime }\left(r\right)>0$ な の で 確 か に 最さい小しょう。

応おう用よう の 鉄てっ則そく: 「変へん数すう が 2 つ 出で て き た ら、 拘こう束そく条じょう件けん で 1 つ に 減げん ら す」。 こ こ で は $V=1$ で $h$ を $r$ で 表ひょう し た。

6. 速度そくど と 加速度かそくど

位い置ち$x\left(t\right)$ の 時間じかん微び分ぶん:

量りょう	表ひょう現げん
**[[速度	そくど]]**
**[[加速度	かそくど]]**

物ぶつ理り と の 接せつ続ぞく: 加速度かそくど が 速そく度ど の 微び分ぶん、 速そく度ど が 位い置ち の 微び分ぶん。 物ぶつ理り の 運うん動どう方かた程てい式 $F=ma$ は こ の 数学すうがく III の 第だい 2 階導関数しるべかんすう で 書しょ か れ て い ま す。

例れい 6 単たん振動しんどう

$x\left(t\right)=A\sin \left(\omega t\right)$ の 速そく度ど と 加速度かそくど:

$v\left(t\right)=A\omega \cos \left(\omega t\right),a\left(t\right)=-A{\omega }^2\sin \left(\omega t\right)=-{\omega }^{2}x\left(t\right)$

「加速度かそくど が 位い置ち に 比ひ例れい し、 向むこう き が 逆ぎゃく」 が 単振動たんしんどう の 定てい義ぎ そ の も の。

7. 平均へいきん値ち の 定理ていり

定理ていり

$f$ が $[a,b]$ で 連れん続ぞく、 $(a,b)$ で 微び分ぶん可か能のう な ら、

$\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=f^{\prime }\left(c\right)と な る c\in (a,b) が 存そん在ざい す る$

直ちょっ感かん: 「平へい均きん変へん化か率りつ と 等とう し い 瞬しゅん間かん変へん化か率りつ が 必 ず ど こ か に あ る」。 高速こうそく道路どうろ で 平へい均きん時速じそく 100 km/h な ら、 ど こ か で 瞬しゅん間かん 100 km/h を 出で し て い る。

応用おうよう不等式ふとうしき の 証明しょうめい

の とき を 示 す。

$f\left(x\right)=\log x$ に 平均値の定理へいきんちのていり: ある $c$ () で $\frac{\log b-\log a}{b-a}=\frac{1}{c}$。 よ り な の で、

8. 章しょう末まつ まとめ

| 道どう具ぐ | 何なに が わ か る | |---|---| | $f^{\prime }\left(x\right)$ | 増減ぞうげん と 極値きょくち | | $f^{\prime \prime }\left(x\right)$ | 凹凸おうとつ と 変曲点へんきょくてん | | 増減表ぞうげんひょう | 上うえ 2 つ を 統とう合ごう | | 端点たんてん + 極値ち | 最さい大だい・最さい小しょう | | 第だい 2 階かい微び分ぶん | 加速度かそくど (物ぶつ理り) | | 平均値の定理へいきんちのていり | 不ふ等とう式証明めい |

次じ の 章しょう へ: こ こ で の 微び分ぶん の 逆ぎゃく操そう作さ が 積分せきぶん。 第だい 6 章しょう で 不ふ定てい積分せきぶん と 置換積分ちかんせきぶん・部分積分ぶぶんせきぶん を 学がく び ま す。