積分せきぶんの応用おうよう (面積めんせき・体積たいせき) 一いち問もん一いち答とう

この一問一答で出る問題

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1. 区間くかん$[a, b]$ で $f(x) \ge 0$ の とき、 曲線きょくせん $y = f(x)$、 $x$軸、 $x = a$、 $x = b$ で 囲かこま れる 面積めんせき $S$ は どれ ですか？
   • ・$S = \int_a^b f'(x)\,dx$
   • ・$S = \pi \int_a^b f(x)^2\,dx$
   • ・$S = f(b) - f(a)$
   • ・$S = \int_a^b f(x)\,dx$
2. $f(x)$ が正負せいふを変かえる 区間くかん で の 面積めんせき (符号ふごう を 取とって 足たす) は どれ ですか？
   • ・$\int_a^b f(x)\,dx$
   • ・$\int_a^b f(x)^2\,dx$
   • ・$|f(b) - f(a)|$
   • ・$\int_a^b |f(x)|\,dx$
3. 区間くかん$[a, b]$ で $f(x) \ge g(x)$ の とき、 2 曲線きょくせん $y = f(x)$、 $y = g(x)$ で 囲かこま れる 面積めんせき は どれ ですか？
   • ・$\int_a^b \{f(x) + g(x)\}\,dx$
   • ・$\int_a^b \{f(x)^2 - g(x)^2\}\,dx$
   • ・$\int_a^b \{f(x) - g(x)\}\,dx$
   • ・$\int_a^b \sqrt{f(x)^2 + g(x)^2}\,dx$
4. $y = x^2$ と $y = x + 2$ で 囲かこま れる 面積めんせき は いくら ですか？ (交点こうてん$x = -1, 2$)
   • ・$\dfrac{9}{2}$
   • ・$\dfrac{7}{2}$
   • ・$\dfrac{11}{2}$
   • ・$3$
5. 区分求積法くぶんきゅうせきほう $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\dfrac{k}{n}\right)$ は どれ に 等ひとしい ですか？
   • ・$\int_0^n f(x)\,dx$
   • ・$f(1)$
   • ・$\sum f$
   • ・$\int_0^1 f(x)\,dx$
6. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n \dfrac{k}{n+k}$ は いくら ですか？
   • ・$1$
   • ・$\log 2$
   • ・$\dfrac{1}{2}$
   • ・$1 - \log 2$
7. 曲線きょくせん $y = f(x) \ge 0$ を $x$軸 まわり に 1 回転かいてんさせた 回転体の体積かいてんたいのたいせき $V$ は どれ ですか？
   • ・$V = \pi \int_a^b \{f(x)\}^2\,dx$
   • ・$V = \int_a^b f(x)\,dx$
   • ・$V = \pi \int_a^b f(x)\,dx$
   • ・$V = 2\pi \int_a^b x f(x)\,dx$
8. 半径はんけい$r$ の 球だま の 体積たいせき を $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ の $x$軸じく回転かいてん で 求もとめる と どれ ですか？
   • ・$\dfrac{2}{3} \pi r^3$
   • ・$4 \pi r^2$
   • ・$\pi r^3$
   • ・$\dfrac{4}{3} \pi r^3$
9. 底面ていめん半径はんけい$r$、 高たかさ $h$ の 円錐えんすい の 体積たいせき を 直線ちょくせん$y = \dfrac{r}{h} x$ の $x$軸じく回転かいてん で 求もとめる と どれ ですか？
   • ・$\dfrac{1}{3} \pi r^2 h$
   • ・$\pi r^2 h$
   • ・$\dfrac{1}{2} \pi r^2 h$
   • ・$\dfrac{2}{3} \pi r^2 h$
10. $f(x) \ge g(x) \ge 0$ で囲かこまれた部分ぶぶんを $x$軸まわりに回転かいてんさせた体積たいせきはどれですか？
    • ・$\pi \int_a^b \{f(x) - g(x)\}\,dx$
    • ・$\pi \int_a^b \{f(x)^2 - g(x)^2\}\,dx$
    • ・$\pi \int_a^b \{f(x) - g(x)\}^2\,dx$
    • ・$\pi \int_a^b \{f(x)^2 + g(x)^2\}\,dx$
11. $y = x^2$ と $y = x$ で囲かこまれた部分ぶぶん ($0 \le x \le 1$) を $x$軸まわりに回転かいてんした体積たいせきはいくらですか？
    • ・$\dfrac{\pi}{15}$
    • ・$\dfrac{\pi}{6}$
    • ・$\dfrac{2\pi}{15}$
    • ・$\dfrac{\pi}{30}$
12. シェル法ほう (バウムクーヘン 積分せきぶん) $V = 2\pi \int_a^b x f(x)\,dx$ は どんな 回転かいてん体たい の 体積たいせき を 表あらわし ます か？
    • ・$x$ 軸 まわり の 回転体
    • ・原点 中心しん の 球
    • ・円錐
    • ・$y$ 軸 まわり の 回転体
13. $y = \sin x$ ($0 \le x \le \pi$) を $y$軸 まわり に 回転かいてん した 体積たいせき を シェル法ほう で 求もとめる と どれ ですか？
    • ・$2\pi^2$
    • ・$\pi^2$
    • ・$\pi$
    • ・$2\pi$
14. 立体りったい を $x$軸 に 垂直すいちょく な 平へい面めん で 切きっ た 断だん面積めんせき が $S(x)$ の とき、 体積たいせき は どれ ですか？
    • ・$\pi \int_a^b S(x)\,dx$
    • ・$\int_a^b S'(x)\,dx$
    • ・$\int_a^b S(x)\,dx$
    • ・$\int_a^b \sqrt{S(x)}\,dx$
15. $y = \sin x$ と $y = \cos x$ が 区く間かん $[0, 2\pi]$ で 囲かこむ 面積めんせき は いくら ですか？ (交点こうてん$\pi/4, 5\pi/4$)
    • ・$2\sqrt{2}$
    • ・$\sqrt{2}$
    • ・$4\sqrt{2}$
    • ・$\pi$
16. $y = x^3$ と $x$軸、 $x = -1$、 $x = 2$ で 囲かこむ 面積めんせき ($|f|$ で 計算けいさん) は いくら ですか？
    • ・$\dfrac{15}{4}$
    • ・$\dfrac{17}{4}$
    • ・$4$
    • ・$\dfrac{17}{2}$
17. 微小びしょう角かく$d\theta$ に お ける 扇形おうぎがた の 面積めんせき (半はん径けい $r$) は どれ ですか？
    • ・$\dfrac{1}{2} r^2\,d\theta$
    • ・$r\,d\theta$
    • ・$\dfrac{1}{2} r\,d\theta$
    • ・$\pi r^2\,d\theta$
18. 区間くかん$[a, b]$ を $n$等とう分ぶん した各かく短たん冊ざく の 幅はば は どれ ですか？
    • ・$\dfrac{b - a}{n}$
    • ・$\dfrac{1}{n}$
    • ・$\dfrac{a + b}{n}$
    • ・$n(b - a)$
19. $y = x^2$ ($0 \le x \le 1$) を $x$軸 まわり に 回転かいてんした体積たいせき は いくら ですか？
    • ・$\dfrac{\pi}{3}$
    • ・$\dfrac{2\pi}{5}$
    • ・$\dfrac{\pi}{5}$
    • ・$\dfrac{\pi}{2}$
20. 面積めんせき を 求もとめる 際さい に 重要じゅうよう な 手順てじゅん と し て 誤あやまっ て いる の は どれ ですか？
    • ・グラフ を 描 い て 上 下 関係けい を 確 認 する
    • ・面積せき は 必 ず マイナス を 含 め た まま 計算 する
    • ・交点てん の $x$ 座標ひょう を 求める
    • ・上 下 が 入 れ 替 わ る とき は そ の 点 で 区切き る