積分せきぶんの応用おうよう (面積めんせき・体積たいせき) 一いち問もん一いち答とう

この一問一答で出る問題

全20問。答えと解説は「スタート」を押すと1問ずつ表示されます。

1. 区間くかん$[a, b]$ で $f(x) \ge 0$ の とき、 曲線きょくせん $y = f(x)$、 $x$軸、 $x = a$、 $x = b$ で 囲かこま れる 面積めんせき $S$ は どれ ですか？
2. $f(x)$ が正負せいふを変かえる 区間くかん で の 面積めんせき (符号ふごう を 取とって 足たす) は どれ ですか？
3. 区間くかん$[a, b]$ で $f(x) \ge g(x)$ の とき、 2 曲線きょくせん $y = f(x)$、 $y = g(x)$ で 囲かこま れる 面積めんせき は どれ ですか？
4. $y = x^2$ と $y = x + 2$ で 囲かこま れる 面積めんせき は いくら ですか？ (交点こうてん$x = -1, 2$)
5. 区分求積法くぶんきゅうせきほう $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\dfrac{k}{n}\right)$ は どれ に 等ひとしい ですか？
6. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n \dfrac{k}{n+k}$ は いくら ですか？
7. 曲線きょくせん $y = f(x) \ge 0$ を $x$軸 まわり に 1 回転かいてんさせた 回転体の体積かいてんたいのたいせき $V$ は どれ ですか？
8. 半径はんけい$r$ の 球だま の 体積たいせき を $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ の $x$軸じく回転かいてん で 求もとめる と どれ ですか？
9. 底面ていめん半径はんけい$r$、 高たかさ $h$ の 円錐えんすい の 体積たいせき を 直線ちょくせん$y = \dfrac{r}{h} x$ の $x$軸じく回転かいてん で 求もとめる と どれ ですか？
10. $f(x) \ge g(x) \ge 0$ で囲かこまれた部分ぶぶんを $x$軸まわりに回転かいてんさせた体積たいせきはどれですか？
11. $y = x^2$ と $y = x$ で囲かこまれた部分ぶぶん ($0 \le x \le 1$) を $x$軸まわりに回転かいてんした体積たいせきはいくらですか？
12. シェル法ほう (バウムクーヘン 積分せきぶん) $V = 2\pi \int_a^b x f(x)\,dx$ は どんな 回転かいてん体たい の 体積たいせき を 表あらわし ます か？
13. $y = \sin x$ ($0 \le x \le \pi$) を $y$軸 まわり に 回転かいてん した 体積たいせき を シェル法ほう で 求もとめる と どれ ですか？
14. 立体りったい を $x$軸 に 垂直すいちょく な 平へい面めん で 切きっ た 断だん面積めんせき が $S(x)$ の とき、 体積たいせき は どれ ですか？
15. $y = \sin x$ と $y = \cos x$ が 区く間かん $[0, 2\pi]$ で 囲かこむ 面積めんせき は いくら ですか？ (交点こうてん$\pi/4, 5\pi/4$)
16. $y = x^3$ と $x$軸、 $x = -1$、 $x = 2$ で 囲かこむ 面積めんせき ($|f|$ で 計算けいさん) は いくら ですか？
17. 微小びしょう角かく$d\theta$ に お ける 扇形おうぎがた の 面積めんせき (半はん径けい $r$) は どれ ですか？
18. 区間くかん$[a, b]$ を $n$等とう分ぶん した各かく短たん冊ざく の 幅はば は どれ ですか？
19. $y = x^2$ ($0 \le x \le 1$) を $x$軸 まわり に 回転かいてんした体積たいせき は いくら ですか？
20. 面積めんせき を 求もとめる 際さい に 重要じゅうよう な 手順てじゅん と し て 誤あやまっ て いる の は どれ ですか？