関数かんすうの極限きょくげん

この 章しょう で 学まなぶ こと

第だい 1 章しょう の 数列すうれつ の 極きょく限げん ($n\to \infty$) を、 連れん続ぞく的てき な 変へん数すう$x$ に 拡かく張ちょう し ます。 これ が 関数の極限かんすうのきょくげん ${\lim }_{x\to a}f\left(x\right)$ で す。

• $x\to a$ ・ $x\to \pm \infty$ で の 極きょく限げん
• 右極限みぎきょくげん と 左極限ひだりきょくげん の 区く別べつ
• $\frac{0}{0}$型 の 不ふ定てい形けい の 解かい消しょう (因いん数すう分ぶん解かい / 有理ゆうり化か)
• 三さん角かく関かん数すう の 極きょく限げん$\lim x\to 0\frac{\sin x}{x}=1$
• 自然しぜん対たい数すう の 底$e$ の 定てい義ぎ
• 連続れんぞく の 定てい義ぎ と 中間値の定理ちゅうかんちのていり

ポイント: $x\to a$ と は 「$x$ を $a$ に いく ら でも 近ちかづけ る (ただし $x=a$ で は な い)」 と いう 意い味み。 「代だい入にゅう し て し まえ ば おしまい」 で は な く、 「近ちかづき 方かた を 観かん察さつ す る」 の が 関かん数すう の 極きょく限げん で す。

1. 関数かんすう の 極限きょくげん の 定義ていぎ

$x$ を $a$ に 限かぎり なく 近ちかづけ る と $f\left(x\right)$ が $\alpha$ に 限かぎり なく 近ちかづく と き、

${\lim }_{x\to a}f\left(x\right)=\alpha$

と 書かき ます。 第だい 1 章しょう と 違 い、 $x$ は 整せい数すう と は 限きりら ず、 $a$ は 有ゆう限げん でも 無む限げん でも よい の が 特とく徴ちょう で す。

直接ちょくせつ代入だいにゅう で よい 場合ばあい

$f\left(x\right)$ が $x=a$ で 連れん続ぞく な ら、 単たん純じゅん に 代だい入にゅう し て よい:

${\lim }_{x\to 2}(x^2-3x+1)=4-6+1=-1$

大事だいじ: 代だい入にゅう で 値ね が 出で れ ば 終おわ り。 問もん題だい に な る の は 代だい入にゅう す る と $\frac{0}{0}$ や $\frac{\infty }{\infty }$ に な る とき (= 不ふ定てい形けい) で す。

2. 不ふ定形ていけい の 解消かいしょう

例れい 1 因数いんすう分解ぶんかい で 約分やくぶん

${\lim }_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}$

代だい入にゅう す る と $\frac{0}{0}$。 因いん数すう分ぶん解かい:

$={\lim }_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}={\lim }_{x\to 1}(x+1)=2$

キー: 「$x\to 1$ だ が $x\ne 1$」 な の で $x-1$ で 約やく分ぶん し て よい (ゼロ で 割われる わけ で は な い)。

例れい 2 有理ゆうり化か

${\lim }_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}$

分子ぶんし の 共きょう役やく を 掛かけ る。

$={\lim }_{x\to 0}\frac{(\sqrt{x+4}{)}^2-2^2}{x(\sqrt{x+4}+2)}={\lim }_{x\to 0}\frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\frac{1}{4}$

例れい 3 $x\to \infty$ の 分数ぶんすう式しき

${\lim }_{x\to \infty }\frac{3x^2-x+5}{2x^2+x-1}=\lim \frac{3-\frac{1}{x}+\frac{5}{x^2}}{2+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}=\frac{3}{2}$

共きょう通つう戦せん略りゃく: 「最さい高こう次じ で 割われる」 (第だい 1 章しょう と 同どう じ)。 $x$ が 整せい数すう か 実じっ数すう か は 関かん係けい な く、 同どう じ 道どう具ぐ が 効きき ます。

3. 右みぎ極限きょくげん と 左ひだり極限きょくげん

片側かたがわ極限きょくげん

$x$ を $a$ に 右みぎ から 近ちかづける と き $\lim x\to a+0f\left(x\right)$、 左ひだり から 近ちかづける と き $\lim x\to a-0f\left(x\right)$ と 書かき ます。

重じゅう要よう: $\lim x\to af\left(x\right)$ が 存そん在ざい す る $\hspace{0.25em} ⟺\hspace{0.25em}$ 両りょう側がわ の 極きょく限げん が 一いっ致ち す る。

例れい 4 絶対ぜったい値ち を 含ふくむ 関数かんすう

| 極きょく限げん | 値ね | |---|---| | ${\lim }_{x\to 0+0}f\left(x\right)$ | $+1$ | | ${\lim }_{x\to 0-0}f\left(x\right)$ | $-1$ | | ${\lim }_{x\to 0}f\left(x\right)$ | 存そん在ざい し ない |

例れい 5 分数ぶんすう関数かんすう の 発散はっさん

$\lim x\to 1+0\frac{1}{x-1}=+\infty$, $\lim x\to 1-0\frac{1}{x-1}=-\infty$ なの で、 $\lim x\to 1\frac{1}{x-1}$ は 存そん在ざい し ない (両端りょうたん が 違 う 無む限げん大 に 飛とぶ)。

4. 三角さんかく関数かんすう の 極限きょくげん

最さい重要じゅうよう公式こうしき

$\lim x\to 0\frac{\sin x}{x}=1$

ただし $x$ は ラジアン で 測はかる。

イメージ: 半はん径けい$1$ の 円えん で 中ちゅう心しん角$x$ ラジアン の 弧こ の 長ちょう さ は $x$、 そ の 弦つる (= $2\sin \frac{x}{2}$) と は ほ ぼ 等ひとし し い。 厳密みつ に は はさみうち で 証しょう明めい (図づ形けい的不等とう式しき を 利り用よう)。

派生はせい公式こうしき

| 公こう式しき | 内ない容よう | |---|---| | $\lim x\to 0\frac{\tan x}{x}=1$ | $\sin x/x\cdot 1/\cos x$ | | $\lim x\to 0\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$ | $1-\cos x=2{\sin }^2\left(x/2\right)$ | | $\lim x\to 0\frac{\sin kx}{x}=k$ ($k$定てい数すう) | 置おき換かえ $u=kx$ |

例れい 6 派生はせい形がた の 計算けいさん

${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{\sin 5x}={\lim }_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{3x}\cdot \frac{5x}{\sin 5x}\cdot \frac{3}{5}=1\cdot 1\cdot \frac{3}{5}=\frac{3}{5}$

コツ: $\sin /x$ の 形かたち を 強きょう制せい的てき に 作つくる (係けい数すう を かけ た り 割わっ た り)。

5. 自然しぜん対数たいすう の 底$e$

$e$ の 定義ていぎ

$e={\lim }_{n\to \infty }{(1+\frac{1}{n})}^n=2.71828\dots$

これ は 無理数むりすう で あ り 超越数ちょうえつすう で も あ り ます (大学だいがく で 証しょう明めい)。 同どう じ 値ね を 関かん数すう の 極きょく限げん で:

$e={\lim }_{x\to 0}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}$

派生はせい公式こうしき

公こう式しき	内ない容よう
$\lim x\to 0\frac{e^x-1}{x}=1$	$e^x$ の [[微分
$\lim x\to 0\frac{\log (1+x)}{x}=1$	$\log x$ の [[微分

大事だいじ: $e$ は 「微分びぶん と 積分せきぶん が いち ば ん 自然しぜん に なる 底そこ」。 だ から こ そ 自然しぜん 対たい数すう の 底そこ と 呼よば れ ます。 第だい 4 章しょう で $(\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$、 $(e^x{)}^{\prime }=e^x$ と なる の は こ の 公こう式しき の おかげ。

6. 連続れんぞく性せい

連続れんぞく の 定義ていぎ

関かん数すう$f\left(x\right)$ が $x=a$ で 連続れんぞく で ある と は、 次つぎ の 3 条じょう件けん が すべて 成なり 立たつ こと:

1. $f\left(a\right)$ が 定てい義ぎ さ れ て い る
2. $\lim x\to af\left(x\right)$ が 存そん在ざい す る
3. $\lim x\to af\left(x\right)=f\left(a\right)$

イメージ: 「グラフ が $x=a$ で つながって い る」。 多項式たこうしき、 三さん角かく関かん数すう、 指数関数しすうかんすう、 対数関数たいすうかんすう は そ れ ぞ れ の 定てい義ぎ域いき で すべて 連れん続ぞく。

例れい 7 不連続ふれんぞく な 例

$f\left(0\right)=1$ だ が ${\lim }_{x\to 0+0}f\left(x\right)=0$ な の で $x=0$ で 不ふ連れん続ぞく。

7. 中間ちゅうかん値ち の 定理ていり

定理ていり

$f\left(x\right)$ が 閉区く間かん$[a,b]$ で 連れん続ぞく で、 $f\left(a\right)\ne f\left(b\right)$ なら、 $f\left(a\right)$ と $f\left(b\right)$ の 間かん の どんな 値$k$ に 対たい し ても、 $f\left(c\right)=k$ と なる $c$ が に 存そん在ざい する。

応おう用よう: 「方程てい式$f\left(x\right)=0$ が 区く間かん内 に 解かい を も つ」 こ と を 示 す と き に 使し う。 例れい: $f\left(x\right)=x^3-x-1$ は 、 $f\left(2\right)=5>0$ で 連れん続ぞく な の で、 に 実数じっすう解かい が 存そん在ざい す る。

例れい 8 解かい の 存在そんざい証明しょうめい

$\cos x=x$ は 区く間かん$[0,\frac{\pi }{2}]$ に 解かい を も つ こ と を 示 せ。

$g\left(x\right)=\cos x-x$ と お く。 $g$ は 連れん続ぞく。 $g\left(0\right)=1>0$、 な の で 中間値の定理ちゅうかんちのていり よ り、 $g\left(c\right)=0$ つ ま り $\cos c=c$ と な る $c$ が 存そん在ざい す る。

8. 章しょう末まつ まとめ

| 概がい念ねん | キー ポイント | |---|---| | 関かん数すう の 極きょく限げん | $x\to a$ は 「近ちかづけ る (= に は しない)」 | | 不ふ定てい形けい | 因いん数すう分ぶん解かい・有理ゆうり化か・最さい高こう次じ で 割われる | | 三さん角かく関かん数すう | $\lim \frac{\sin x}{x}=1$ (ラジアン) | | $e$ | $\lim (1+1/n{)}^n$ | | 連続れんぞく | 3 条じょう件けん (定てい義ぎ / 極きょく限げん存そん在ざい / 一いっ致ち) | | 中間値の定理ちゅうかんちのていり | 「連れん続ぞく な ら 中ちゅう間かん値 を 必 ず 取とる」 |

次じ の 章しょう へ: 「$x$ を 限かぎり なく 近ちかづけ た と き の 比$\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$ の 極きょく限げん」 = 微分びぶん係けい数すう。 関かん数すう の 極きょく限げん が わかる と、 微分びぶん が 言げん語ご と し て 通つう じ る よう に な り ま す。