この 章 で 学ぶ こと
第 1 章 の 数列 の 極限 (n→∞) を、 連続的 な 変数x に 拡張 し ます。 これ が 関数の極限 limx→af(x) で す。
- x→a ・ x→±∞ で の 極限
- 右極限 と 左極限 の 区別
- 00型 の 不定形 の 解消 (因数分解 / 有理化)
- 三角関数 の 極限x→0limxsinx=1
- 自然対数 の 底e の 定義
- 連続 の 定義 と 中間値の定理
ポイント: x→a と は 「x を a に いく ら でも 近づけ る (ただし x=a で は な い)」 と いう 意味。 「代入 し て し まえ ば おしまい」 で は な く、 「近づき 方 を 観察 す る」 の が 関数 の 極限 で す。
1. 関数 の 極限 の 定義
x を a に 限り なく 近づけ る と f(x) が α に 限り なく 近づく と き、
limx→af(x)=α
と 書き ます。 第 1 章 と 違 い、 x は 整数 と は 限ら ず、 a は 有限 でも 無限 でも よい の が 特徴 で す。
直接代入 で よい 場合
f(x) が x=a で 連続 な ら、 単純 に 代入 し て よい:
limx→2(x2−3x+1)=4−6+1=−1
大事: 代入 で 値 が 出 れ ば 終わ り。 問題 に な る の は 代入 す る と 00 や ∞∞ に な る とき (= 不定形) で す。
2. 不定形 の 解消
例 1 因数分解 で 約分
limx→1x−1x2−1
代入 す る と 00。 因数分解:
=limx→1x−1(x−1)(x+1)=limx→1(x+1)=2
キー: 「x→1 だ が x=1」 な の で x−1 で 約分 し て よい (ゼロ で 割る わけ で は な い)。
例 2 有理化
limx→0xx+4−2
分子 の 共役 を 掛け る。
=limx→0x(x+4+2)(x+4)2−22=limx→0x(x+4+2)x=41
例 3 x→∞ の 分数式
limx→∞2x2+x−13x2−x+5=lim2+x1−x213−x1+x25=23
共通戦略: 「最高次 で 割る」 (第 1 章 と 同 じ)。 x が 整数 か 実数 か は 関係 な く、 同 じ 道具 が 効き ます。
3. 右極限 と 左極限
片側極限
x を a に 右 から 近づける と き x→a+0limf(x)、 左 から 近づける と き x→a−0limf(x) と 書き ます。
重要: x→alimf(x) が 存在 す る ⟺ 両側 の 極限 が 一致 す る。
例 4 絶対値 を 含む 関数
f(x)=x∣x∣={1−1(x>0)(x<0)
| 極限 | 値 |
|---|---|
| limx→0+0f(x) | +1 |
| limx→0−0f(x) | −1 |
| limx→0f(x) | 存在 し ない |
例 5 分数関数 の 発散
x→1+0limx−11=+∞, x→1−0limx−11=−∞ なの で、 x→1limx−11 は 存在 し ない (両端 が 違 う 無限大 に 飛ぶ)。
4. 三角関数 の 極限
最重要公式
x→0limxsinx=1
ただし x は ラジアン で 測る。
イメージ: 半径1 の 円 で 中心角x ラジアン の 弧 の 長 さ は x、 そ の 弦 (= 2sin2x) と は ほ ぼ 等 し い。 厳密 に は はさみうち で 証明 (図形的不等式sinx<x<tanx を 利用)。
派生公式
| 公式 | 内容 |
|---|---|
| x→0limxtanx=1 | sinx/x⋅1/cosx |
| x→0limx21−cosx=21 | 1−cosx=2sin2(x/2) |
| x→0limxsinkx=k (k定数) | 置き換え u=kx |
例 6 派生形 の 計算
limx→0sin5xsin3x=limx→03xsin3x⋅sin5x5x⋅53=1⋅1⋅53=53
コツ: sin/x の 形 を 強制的 に 作る (係数 を かけ た り 割っ た り)。
5. 自然対数 の 底e
e の 定義
e=limn→∞(1+n1)n=2.71828…
これ は 無理数 で あ り 超越数 で も あ り ます (大学 で 証明)。 同 じ 値 を 関数 の 極限 で:
e=limx→0(1+x)x1
派生公式
| 公式 | 内容 |
|---|
| x→0limxex−1=1 | ex の [[微分 |
| x→0limxlog(1+x)=1 | logx の [[微分 |
大事: e は 「微分 と 積分 が いち ば ん 自然 に なる 底」。 だ から こ そ 自然 対数 の 底 と 呼ば れ ます。 第 4 章 で (logx)′=x1、 (ex)′=ex と なる の は こ の 公式 の おかげ。
6. 連続性
連続 の 定義
関数f(x) が x=a で 連続 で ある と は、 次 の 3 条件 が すべて 成り 立つ こと:
- f(a) が 定義 さ れ て い る
- x→alimf(x) が 存在 す る
- x→alimf(x)=f(a)
イメージ: 「グラフ が x=a で つながって い る」。 多項式、 三角関数、 指数関数、 対数関数 は そ れ ぞ れ の 定義域 で すべて 連続。
例 7 不連続 な 例
f(x)={x+1x2(x≤0)(x>0)
f(0)=1 だ が limx→0+0f(x)=0 な の で x=0 で 不連続。
7. 中間値 の 定理
定理
f(x) が 閉区間[a,b] で 連続 で、 f(a)=f(b) なら、 f(a) と f(b) の 間 の どんな 値k に 対 し ても、 f(c)=k と なる c が a<c<b に 存在 する。
応用: 「方程式f(x)=0 が 区間内 に 解 を も つ」 こ と を 示 す と き に 使 う。 例: f(x)=x3−x−1 は f(1)=−1<0、 f(2)=5>0 で 連続 な の で、 1<c<2 に 実数解 が 存在 す る。
例 8 解 の 存在証明
cosx=x は 区間[0,2π] に 解 を も つ こ と を 示 せ。
g(x)=cosx−x と お く。 g は 連続。 g(0)=1>0、 g(π/2)=−π/2<0 な の で 中間値の定理 よ り、 g(c)=0 つ ま り cosc=c と な る c が 存在 す る。
8. 章末 まとめ
| 概念 | キー ポイント |
|---|---|
| 関数 の 極限 | x→a は 「近づけ る (= に は しない)」 |
| 不定形 | 因数分解・有理化・最高次 で 割る |
| 三角関数 | limxsinx=1 (ラジアン) |
| e | lim(1+1/n)n |
| 連続 | 3 条件 (定義 / 極限存在 / 一致) |
| 中間値の定理 | 「連続 な ら 中間値 を 必 ず 取る」 |
次 の 章 へ: 「x を 限り なく 近づけ た と き の 比hf(x+h)−f(x) の 極限」 = 微分係数。 関数 の 極限 が わかる と、 微分 が 言語 と し て 通 じ る よう に な り ま す。