関数かんすうの極限きょくげん

この章しょうで学まなぶこと

第だい 1 章しょうの 数列の極限すうれつのきょくげん ($n\to \infty$) を、 連れん続ぞく的てきな変へん数すう $x$ に拡かく張ちょう します。 これが 関数の極限かんすうのきょくげん ${\lim }_{x\to a}f\left(x\right)$ です。

• $x\to a$ ・ $x\to \pm \infty$ での極きょく限げん
• 右極限みぎきょくげん と 左極限ひだりきょくげん の区く別べつ
• $\frac{0}{0}$型の不ふ定てい形けいの解かい消しょう (因いん数すう分ぶん解かい / 有理ゆうり化か)
• 三さん角かく関かん数すう の極きょく限げん $\lim x\to 0\frac{\sin x}{x}=1$
• 自然しぜん対たい数すう の底$e$ の定てい義ぎ
• 連続れんぞく の定てい義ぎ と 中間値の定理ちゅうかんちのていり

ポイント: $x\to a$ とは 「$x$ を $a$ にいくらでも近ちかづける (ただし $x=a$ ではない)」 という意い味み。 「代だい入にゅう してしまえばおしまい」 ではなく、 「近ちかづき方かた を観察かんさつ する」 のが関かん数すう の極きょく限げん です。

1. 関数かんすうの極限きょくげんの定義ていぎ

$x$ を $a$ に限かぎりなく近ちかづけると $f\left(x\right)$ が $\alpha$ に限かぎりなく近ちかづくとき、

${\lim }_{x\to a}f\left(x\right)=\alpha$

と書かきます。 第だい 1 章しょうと違ちがい、 $x$ は整せい数すう とは限かぎらず、 $a$ は有ゆう限げん でも無む限げん でもよい のが特とく徴ちょう です。

直接ちょくせつ代入だいにゅうでよい場合ばあい

$f\left(x\right)$ が $x=a$ で連れん続ぞく なら、 単たん純じゅん に 代だい入にゅう してよい:

${\lim }_{x\to 2}(x^2-3x+1)=4-6+1=-1$

大事だいじ: 代だい入にゅう で値ねが出でれば終おわり。 問もん題だい になるのは 代だい入にゅう すると $\frac{0}{0}$ や $\frac{\infty }{\infty }$ になるとき (= 不ふ定てい形けい) です。

2. 不ふ定形ていけいの解消かいしょう

例れい 1 因数いんすう分解ぶんかいで約分やくぶん

${\lim }_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}$

代だい入にゅう すると $\frac{0}{0}$。 因いん数すう分ぶん解かい:

$={\lim }_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}={\lim }_{x\to 1}(x+1)=2$

キー: 「$x\to 1$ だが $x\ne 1$」 なので $x-1$ で約やく分ぶん してよい (ゼロで割われるわけではない)。

例れい 2 有理ゆうり化か

${\lim }_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}$

分子ぶんしの共きょう役やく を掛かける。

$={\lim }_{x\to 0}\frac{(\sqrt{x+4}{)}^2-2^2}{x(\sqrt{x+4}+2)}={\lim }_{x\to 0}\frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\frac{1}{4}$

例れい 3 $x\to \infty$ の分数ぶんすう式しき

${\lim }_{x\to \infty }\frac{3x^2-x+5}{2x^2+x-1}=\lim \frac{3-\frac{1}{x}+\frac{5}{x^2}}{2+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}=\frac{3}{2}$

共きょう通つう戦せん略りゃく: 「最さい高こう次じで割われる」 (第だい 1 章しょうと同おなじ)。 $x$ が整せい数すう か実じっ数すう かは関かん係けい なく、 同おなじ道どう具ぐ が効ききます。

3. 右みぎ極限きょくげんと左ひだり極限きょくげん

片側かたがわ極限きょくげん

$x$ を $a$ に 右みぎから 近ちかづけるとき $\lim x\to a+0f\left(x\right)$、 左ひだりから 近ちかづけるとき $\lim x\to a-0f\left(x\right)$ と書かきます。

重じゅう要よう: $\lim x\to af\left(x\right)$ が存そん在ざい する $\hspace{0.25em} ⟺\hspace{0.25em}$ 両りょう側がわ の極きょく限げん が一いっ致ち する。

例れい 4 絶対ぜったい値ちを含ふくむ関数かんすう

極きょく限げん	値ね
${\lim }_{x\to 0+0}f\left(x\right)$	$+1$
${\lim }_{x\to 0-0}f\left(x\right)$	$-1$
${\lim }_{x\to 0}f\left(x\right)$	存そん在ざい しない

例れい 5 分数ぶんすう関数かんすうの発散はっさん

$\lim x\to 1+0\frac{1}{x-1}=+\infty$, $\lim x\to 1-0\frac{1}{x-1}=-\infty$ なので、 $\lim x\to 1\frac{1}{x-1}$ は存そん在ざい しない (両端りょうたんが違ちがう無む限げん大に飛とぶ)。

4. 三角さんかく関数かんすうの極限きょくげん

最さい重要じゅうよう公式こうしき

$\lim x\to 0\frac{\sin x}{x}=1$

ただし $x$ は ラジアンらじあん で測はかる。

イメージ: 半はん径けい $1$ の円えんで中心ちゅうしん角$x$ ラジアンの弧この長ながさは $x$、 その弦つる (= $2\sin \frac{x}{2}$) とはほぼ等ひとしい。 厳密みつ にははさみうちで証しょう明めい (図づ形けい的不等とう式しき を利り用よう)。

派生はせい公式こうしき

公こう式しき	内ない容よう
$\lim x\to 0\frac{\tan x}{x}=1$	$\sin x/x\cdot 1/\cos x$
$\lim x\to 0\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$	$1-\cos x=2{\sin }^2\left(x/2\right)$
$\lim x\to 0\frac{\sin kx}{x}=k$ ($k$定てい数すう)	置き換えおきかえ $u=kx$

例れい 6 派生はせい形がたの計算けいさん

${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{\sin 5x}={\lim }_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{3x}\cdot \frac{5x}{\sin 5x}\cdot \frac{3}{5}=1\cdot 1\cdot \frac{3}{5}=\frac{3}{5}$

コツ: $\sin /x$ の形かたちを強きょう制せい的てきに作つくる (係けい数すう をかけたり割わったり)。

5. 自然しぜん対数たいすうの底$e$

$e$ の定義ていぎ

$e={\lim }_{n\to \infty }{(1+\frac{1}{n})}^n=2.71828\dots$

これは 無理数むりすう であり 超越数ちょうえつすう でもあります (大学だいがくで証しょう明めい)。 同おなじ値ねを関かん数すう の極きょく限げん で:

$e={\lim }_{x\to 0}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}$

派生はせい公式こうしき

公こう式しき	内ない容よう
$\lim x\to 0\frac{e^x-1}{x}=1$	$e^x$ の 微分びぶん (第だい 4 章しょう) の元もとネタ
$\lim x\to 0\frac{\log (1+x)}{x}=1$	$\log x$ の 微分びぶん の元もとネタ

大事だいじ: $e$ は 「微分びぶん と 積分せきぶん がいちばん自然しぜん になる底そこ」。 だからこそ 自然しぜん 対たい数すう の底そこと呼よばれます。 第だい 4 章しょうで $(\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$、 $(e^x{)}^{\prime }=e^x$ となるのはこの公こう式しき のおかげ。

6. 連続れんぞく性せい

連続れんぞくの定義ていぎ

関かん数すう $f\left(x\right)$ が $x=a$ で 連続れんぞく であるとは、 次つぎの 3 条じょう件けん がすべて成なり立たつこと:

1. $f\left(a\right)$ が定てい義ぎ されている
2. $\lim x\to af\left(x\right)$ が存そん在ざい する
3. $\lim x\to af\left(x\right)=f\left(a\right)$

イメージ: 「グラフが $x=a$ でつながっている」。 多項式たこうしき、 三さん角かく関かん数すう、 指数関数しすうかんすう、 対数関数たいすうかんすう は それぞれの定てい義ぎ域いきですべて連れん続ぞく。

例れい 7 不連続ふれんぞくな例

$f\left(0\right)=1$ だが ${\lim }_{x\to 0+0}f\left(x\right)=0$ なので $x=0$ で不ふ連れん続ぞく。

7. 中間ちゅうかん値ちの定理ていり

定理ていり

$f\left(x\right)$ が閉区く間かん$[a,b]$ で連れん続ぞく で、 $f\left(a\right)\ne f\left(b\right)$ なら、 $f\left(a\right)$ と $f\left(b\right)$ の 間かんのどんな値$k$ に対たいしても、 $f\left(c\right)=k$ となる $c$ が に存そん在ざい する。

応おう用よう: 「方程てい式$f\left(x\right)=0$ が区く間かん内に解かいをもつ」 ことを示しめすときに使つかう。 例れい: $f\left(x\right)=x^3-x-1$ は 、 $f\left(2\right)=5>0$ で連れん続ぞく なので、 に 実数じっすう解かい が存そん在ざい する。

例れい 8 解かいの存在そんざい証明しょうめい

$\cos x=x$ は区く間かん $[0,\frac{\pi }{2}]$ に解かいをもつことを示しめせ。

$g\left(x\right)=\cos x-x$ とおく。 $g$ は連れん続ぞく。 $g\left(0\right)=1>0$、 なので 中間値の定理ちゅうかんちのていり より、 $g\left(c\right)=0$ つまり $\cos c=c$ となる $c$ が存そん在ざい する。

8. 章しょう末まつまとめ

概がい念ねん	キーポイント
関かん数すう の極きょく限げん	$x\to a$ は 「近ちかづける (= にはしない)」
不ふ定てい形けい	因いん数すう分ぶん解かい・有理ゆうり化か・最さい高こう次じで割われる
三さん角かく関かん数すう	$\lim \frac{\sin x}{x}=1$ (ラジアン)
$e$	$\lim (1+1/n{)}^n$
連続れんぞく	3 条じょう件けん (定てい義ぎ / 極きょく限げん存そん在ざい / 一いっ致ち)
中間値の定理ちゅうかんちのていり	「連れん続ぞく なら中ちゅう間かん値を必かならず取とる」

次じの章しょうへ: 「$x$ を限かぎりなく近ちかづけたときの比$\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$ の極きょく限げん」 = 微分係数びぶんけいすう。 関かん数すう の極きょく限げん がわかると、 微分びぶん が言げん語ご として通つうじるようになります。