積分せきぶんの応用おうよう (曲線きょくせんの長ながさ・物理ぶつり量りょう)

この章しょうで学まなぶこと

第だい 7 章しょうの 「面めん積せき・体たい積せき」 に続つづいて、 積分せきぶん の 応用おうようの幅はば を広ひろげます。

• 曲線きょくせん の長ながさ (弧こ長ちょう): $L=\int \sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}\hspace{0.17em}dx$
• 媒介変数表示ばいかいへんすうひょうじ の 曲線きょくせん の長ながさ
• 速そく度ど の 積分せきぶん で求もとめる 道のりみちのり (変位へんい と区く別べつ)
• 仕し事ごと $W=\int F\hspace{0.17em}dx$ (物理ぶつり との接せつ続ぞく)
• 重心じゅうしん の簡かん単たん な求もとめ方かた
• 回転かいてん体たいの 側面積そくめんせき

ポイント: 微分びぶん が 「変へん化か率りつ」、 積分せきぶん が 「累るい積せき」。 「単位たんい時じ間かん あたりの量りょうを 時じ間かん で足たす」 という視し点てん で、 物ぶつ理り・経けい済ざい のあらゆる量りょうが 積分せきぶん で書かけることを体たい感かん しましょう。

1. 曲線きょくせんの長ながさ (陽ひ関数かんすう)

公式こうしき

$y=f\left(x\right)$ ($a\le x\le b$) の 曲線きょくせん の長ながさ:

$L=\int ab\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}\hspace{0.17em}dx=\int ab\sqrt{1+\left(f^{\prime }\right(x){)}^2}\hspace{0.17em}dx$

イメージ: 微小びしょう区く間かん $dx$ での 曲線きょくせん の長ながさは 三さん平方へいほう で $\sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2}=\sqrt{1+(dy/dx{)}^2}dx$。 それを足たす。

例れい 1 放物線ほうぶつせんの弧こ長ちょう

$y=\frac{x^2}{2}$ の $0\le x\le 1$ の弧こ長ちょう。 $y^{\prime }=x$、

$L=\int 01\sqrt{1+x^2}\hspace{0.17em}dx$

これは $x=\tan \theta$ で置換ちかんするか、 双曲線そうきょくせん関数かんすうを使つかう必ひつ要よう がある (大学だいがく内ない容よう)。 高校こうこうでは 積せき分ぶん の形かたちを書かく まででよいことが多おおい。

例れい 2 計算けいさんがきれいなケース

$y=\frac{2}{3}{x}^{3/2}$ の $0\le x\le 3$。 $y^{\prime }=x^{1/2}$、

$L=\int 03\sqrt{1+x}\hspace{0.17em}dx=\frac{2}{3}\left[\right(1+x{)}^{3/2}]03=\frac{2}{3}(8-1)=\frac{14}{3}$

2. 媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじの曲線きょくせんの長ながさ

公式こうしき

$x=x\left(t\right)$、 $y=y\left(t\right)$ ($\alpha \le t\le \beta$) のとき、

$L=\int \alpha \beta \sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}\hspace{0.17em}dt$

例れい 3 円えんの周

$x=r\cos t$、 $y=r\sin t$、 $0\le t\le 2\pi$。 $dx/dt=-r\sin t$、 $dy/dt=r\cos t$、

$L=\int 02\pi \sqrt{r^2{\sin }^{2}t+r^2{\cos }^{2}t}\hspace{0.17em}dt=\int 02\pi r\hspace{0.17em}dt=2\pi r$

小しょう学がく で暗あん記き した 円周えんしゅうの公こう式しき が、 数学すうがく III で 証しょう明めい できました。

例れい 4 サイクロイドさいくろいど

$x=a(t-\sin t)$、 $y=a(1-\cos t)$、 $0\le t\le 2\pi$。

$dx/dt=a(1-\cos t)$、 $dy/dt=a\sin t$、

$(dx/dt{)}^2+(dy/dt{)}^2=a^2(1-2\cos t+{\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t)=2a^2(1-\cos t)=4a^2{\sin }^2\left(t/2\right)$

$L=\int 02\pi 2a\mid \sin \frac{t}{2}\mid \hspace{0.17em}dt=2a\int 02\pi \sin \frac{t}{2}\hspace{0.17em}dt=2a\cdot 4=8a$

発はっ展てん: サイクロイドさいくろいど の 1 周期しゅうきの弧こ長ちょうが直ちょっ径けい の 8 倍ばい という美うつくしい結けっ果か。 物ぶつ理り では 「最速さいそく降下こうか曲線きょくせん」 としても有名ゆうめい。

3. 速度そくど積分せきぶんと道のりみちのり

速度そくどと位置いち

物体ぶったいの速そく度ど が $v\left(t\right)$ のとき、

量りょう	積分せきぶん
変位へんい (位い置ち の差さ)	$\int abv\left(t\right)\hspace{0.17em}dt$
道のりみちのり (移い動どう の累るい積せき)	$\int ab\mid v\left(t\right)\mid \hspace{0.17em}dt$

大事だいじ: 変位へんい は 向むき込こみ でキャンセルされうる ($v$ がマイナスで逆戻ぎゃくもどり) が、 道のりみちのり は 絶ぜっ対たい値ち で加くわえる。

例れい 5

直ちょく線せん上じょうで速そく度ど $v\left(t\right)=3t^2-12$ ($0\le t\le 4$) で動うごく点てん。

変位へんい $=\int 04(3t^2-12)dt=[t^3-12t]04=64-48=16$

道のりみちのり: $v\left(t\right)=0\Rightarrow t=2$。 で 、 で $v>0$。

$道のり=\int 02(12-3t^2)dt+\int 24(3t^2-12)dt=16+32=48$

4. 平面へいめん上じょうの動どう点てんの道のりみちのり

公式こうしき

平へい面めん上じょうの動どう点てん$\left(x\right(t),y(t\left)\right)$ が $t=\alpha$ から $t=\beta$ まで動うごくときの 道のりみちのり は 曲線きょくせん の長ながさ:

$L=\int \alpha \beta \sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}\hspace{0.17em}dt=\int \alpha \beta \mid v⃗\left(t\right)\mid \hspace{0.17em}dt$

$\mid v⃗\mid$ は 速はやさ (スカラー)。

5. 仕事しごとと積分せきぶん

物理ぶつり公式こうしき

一いっ定てい の力$F$ で 距離きょり $d$ 動うごかしたときの 仕事しごと は $W=Fd$ (中ちゅう学理がくり科か)。

力ちからが位い置ち $x$ によって変かわる $F\left(x\right)$ のとき、 微び分ぶん的てき には $dW=F\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$。 累るい積せき すれば、

$W=\int abF\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$

例れい 6 ばねの仕事しごと

フックの法則ふっくのほうそく: ばねを $x$ だけ伸のばすに必ひつ要よう な力$F\left(x\right)=kx$ ($k$ はばね定てい数すう)。

自然長しぜんちょう から $L$ まで伸のばす 仕事しごと は、

$W=\int 0Lkx\hspace{0.17em}dx=\frac{1}{2}k{L}^2$

これは 弾性だんせい エネルギー の公こう式しき そのもの。

物ぶつ理り との接せつ続ぞく: 数学すうがく III の 積分せきぶん が、 「変化へんかする量りょうの累るい積せき」 という統とう一いつ言げん語ご としてあらゆる 科学かがく に浸しん透とう しています。

例れい 7 水みずを汲くみ上あげる仕事しごと

深ふかさ $h$ の円筒えんとうタンクに水みずが満まん杯ぱい。 全すべてを上うえまで汲くみ上あげる 仕事しごと は、

$W=\int 0h\left(\rho g\pi r^2\right)(h-x)\hspace{0.17em}dx=\frac{1}{2}\rho g\pi r^2{h}^2$

($\rho$ は 水みず の 密度みつど、 $g$ は重力じゅうりょく加速かそく度ど)。

6. 重心じゅうしん

平面へいめん図形ずけいの重心じゅうしん

$x$軸上うえの区く間かん $[a,b]$ で $f\left(x\right)\ge 0$ で囲かこまれた図形ずけいの 重心じゅうしん $xˉ$:

$xˉ=\frac{\int }{a}$

「面めん積せき で重おもみ付づけした平へい均きん座ざ標ひょう」。

例れい 8 三角形さんかくけいの重心じゅうしん

頂ちょう点てん $(0,0)$、 $(1,0)$、 $(1,1)$ の三角形さんかくけい ($f\left(x\right)=x$ で囲かこまれた部ぶ分ぶん)。

$xˉ=\frac{\int 01x\cdot x\hspace{0.17em}dx}{\int 01x\hspace{0.17em}dx}=\frac{1/3}{1/2}=\frac{2}{3}$

中学ちゅうがくで学まなんだ 「重心じゅうしん は中ちゅう線せん の 2:1」 と一いっ致ち します。

7. 章しょう末まつまとめ

量りょう	積分せきぶん公こう式しき
弧こ長ちょう ($y=f\left(x\right)$)	$\int \sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}\hspace{0.17em}dx$
弧こ長ちょう (媒ばい介かい)	$\int \sqrt{(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2}\hspace{0.17em}dt$
変位へんい	$\int v\hspace{0.17em}dt$
道のりみちのり	$\int \mid v\mid \hspace{0.17em}dt$
仕事しごと	$\int F\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$
重心じゅうしん $xˉ$	$\frac{\int xf\hspace{0.17em}dx}{\int f\hspace{0.17em}dx}$

次じの章しょうへ: ここまでの数学すうがく III は 実数じっすうの関かん数すう が中ちゅう心しん でした。 第だい 9 章しょうから 複素数ふくそすう 平面へいめん に入はいり、 数かずの世せ界かい が一気いっきに拡かく張ちょう します。