積分せきぶんの応用おうよう (曲線きょくせんの長ながさ・物理ぶつり量りょう)

この 章しょう で 学まなぶ こと

第だい 7 章しょう の 「面めん積せき・体たい積せき」 に 続ぞく い て、 積分せきぶん の 応用おうよう の 幅はば を 広ひろ げ ま す。

• 曲線きょくせん の 長ちょう さ (弧こ長ちょう): $L=\int \sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}\hspace{0.17em}dx$
• 媒介変数ばいかいへんすう表ひょう示じ の 曲線きょくせん の 長ちょう さ
• 速そく度ど の 積分せきぶん で 求もとめ め る 道どう の り (変位へんい と 区く別べつ)
• 仕し事ごと $W=\int F\hspace{0.17em}dx$ (物理ぶつり と の 接せつ続ぞく)
• 重心じゅうしん の 簡かん単たん な 求もとめ め 方かた
• 回転かいてん体たい の 側面積そくめんせき

ポイント: 微分びぶん が 「変へん化か率りつ」、 積分せきぶん が 「累るい積せき」。 「単位たんい時じ間かん あ た り の 量りょう を 時じ間かん で 足あし す」 と い う 視し点てん で、 物ぶつ理り・経けい済ざい の あ ら ゆ る 量りょう が 積分せきぶん で 書しょ け る こ と を 体たい感かん し ま し ょ う。

1. 曲線きょくせん の 長ちょう さ (陽ひ関数かんすう)

公式こうしき

$y=f\left(x\right)$ ($a\le x\le b$) の 曲線きょくせん の 長ちょう さ:

$L=\int ab\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}\hspace{0.17em}dx=\int ab\sqrt{1+\left(f^{\prime }\right(x){)}^2}\hspace{0.17em}dx$

イメージ: 微小びしょう区く間かん$dx$ で の 曲線きょくせん の 長ちょう さ は 三さん平方へいほう で $\sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2}=\sqrt{1+(dy/dx{)}^2}dx$。 そ れ を 足あし す。

例れい 1 放物線ほうぶつせん の 弧こ長ちょう

$y=\frac{x^2}{2}$ の $0\le x\le 1$ の 弧こ長ちょう。 $y^{\prime }=x$、

$L=\int 01\sqrt{1+x^2}\hspace{0.17em}dx$

これ は $x=\tan \theta$ で 置換ちかん す る か、 双曲線そうきょくせん関数かんすう を 使し う 必ひつ要よう が あ る (大学だいがく内ない容よう)。 高校こうこう で は 積せき分ぶん の 形かたち を 書しょ く ま で で よ い こ と が 多おお い。

例れい 2 計算けいさん が きれい な ケース

$y=\frac{2}{3}{x}^{3/2}$ の $0\le x\le 3$。 $y^{\prime }=x^{1/2}$、

$L=\int 03\sqrt{1+x}\hspace{0.17em}dx=\frac{2}{3}\left[\right(1+x{)}^{3/2}]03=\frac{2}{3}(8-1)=\frac{14}{3}$

2. 媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじ の 曲線きょくせん の 長ちょう さ

公式こうしき

$x=x\left(t\right)$、 $y=y\left(t\right)$ ($\alpha \le t\le \beta$) の とき、

$L=\int \alpha \beta \sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}\hspace{0.17em}dt$

例れい 3 円えん の 周

$x=r\cos t$、 $y=r\sin t$、 $0\le t\le 2\pi$。 $dx/dt=-r\sin t$、 $dy/dt=r\cos t$、

$L=\int 02\pi \sqrt{r^2{\sin }^{2}t+r^2{\cos }^{2}t}\hspace{0.17em}dt=\int 02\pi r\hspace{0.17em}dt=2\pi r$

小しょう学がく で 暗あん記き し た 円周えんしゅう の 公こう式しき が、 数学すうがく III で 証しょう明めい で き ま し た。

例れい 4 サイクロイド

$x=a(t-\sin t)$、 $y=a(1-\cos t)$、 $0\le t\le 2\pi$。

$dx/dt=a(1-\cos t)$、 $dy/dt=a\sin t$、

$(dx/dt{)}^2+(dy/dt{)}^2=a^2(1-2\cos t+{\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t)=2a^2(1-\cos t)=4a^2{\sin }^2\left(t/2\right)$

$L=\int 02\pi 2a\mid \sin \frac{t}{2}\mid \hspace{0.17em}dt=2a\int 02\pi \sin \frac{t}{2}\hspace{0.17em}dt=2a\cdot 4=8a$

発はっ展てん: サイクロイド の 1 周期しゅうき の 弧こ長ちょう が 直ちょっ径けい の 8 倍ばい と い う 美よし し い 結けっ果か。 物ぶつ理り で は 「最速さいそく降下こうか曲線きょくせん」 と し て も 有名ゆうめい。

3. 速度そくど積分せきぶん と 道みち の り

速度そくど と 位置いち

物体ぶったい の 速そく度ど が $v\left(t\right)$ の と き、

| 量りょう | 積分せきぶん | |---|---| | 変位へんい (位い置ち の 差さ) | $\int abv\left(t\right)\hspace{0.17em}dt$ | | 道どう の り (移い動どう の 累るい積せき) | $\int ab\mid v\left(t\right)\mid \hspace{0.17em}dt$ |

大事だいじ: 変位へんい は 向むこう き 込こみ み で キャ ン セ ル さ れ う る ($v$ が マイナス で 逆ぎゃく戻もど り) が、 道どう の り は 絶ぜっ対たい値ち で 加か え る。

例れい 5

直ちょく線せん上じょう で 速そく度ど$v\left(t\right)=3t^2-12$ ($0\le t\le 4$) で 動どう く 点てん。

変位へんい$=\int 04(3t^2-12)dt=[t^3-12t]04=64-48=16$

道 の り: $v\left(t\right)=0\Rightarrow t=2$。 で 、 で $v>0$。

$道 の り=\int 02(12-3t^2)dt+\int 24(3t^2-12)dt=16+32=48$

4. 平面へいめん上じょう の 動どう点てん の 道みち の り

公式こうしき

平へい面めん上じょう の 動どう点てん$\left(x\right(t),y(t\left)\right)$ が $t=\alpha$ か ら $t=\beta$ ま で 動どう く と き の 道どう の り は 曲線きょくせん の 長ちょう さ:

$L=\int \alpha \beta \sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}\hspace{0.17em}dt=\int \alpha \beta \mid v⃗\left(t\right)\mid \hspace{0.17em}dt$

$\mid v⃗\mid$ は 速そく さ (スカラー)。

5. 仕事しごと と 積分せきぶん

物理ぶつり公式こうしき

一いっ定てい の 力$F$ で 距離きょり$d$ 動どう か し た と き の 仕事しごと は $W=Fd$ (中ちゅう学理がくり科か)。

力ちから が 位い置ち$x$ に よって 変へん わる $F\left(x\right)$ の とき、 微び分ぶん的てき に は $dW=F\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$。 累るい積せき す れ ば、

$W=\int abF\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$

例れい 6 ばね の 仕事しごと

フックの法則フックのほうそく: ばね を $x$ だ け 伸しん ば す に 必ひつ要よう な 力$F\left(x\right)=kx$ ($k$ は ばね 定てい数すう)。

自然長しぜんちょう か ら $L$ ま で 伸しん ば す 仕事しごと は、

$W=\int 0Lkx\hspace{0.17em}dx=\frac{1}{2}k{L}^2$

これ は 弾性だんせい エ ネ ル ギ ー の 公こう式しき そ の も の。

物ぶつ理り と の 接せつ続ぞく: 数学すうがく III の 積分せきぶん が、 「変化へんか す る 量りょう の 累るい積せき」 と い う 統とう一いつ言げん語ご と し て あ ら ゆ る 科学かがく に 浸しん透とう し て い ま す。

例れい 7 水みず を 汲くみ 上あげる 仕事しごと

深ふか さ $h$ の 円筒えんとう タンク に 水みず が 満まん杯ぱい。 全ぜん て を 上うえ ま で 汲 み 上うえ げ る 仕事しごと は、

$W=\int 0h\left(\rho g\pi r^2\right)(h-x)\hspace{0.17em}dx=\frac{1}{2}\rho g\pi r^2{h}^2$

($\rho$ は 水みず の 密度みつど、 $g$ は 重力じゅうりょく加速かそく度ど)。

6. 重心じゅうしん

平面へいめん図形づけい の 重心じゅうしん

$x$軸じく上じょう の 区く間かん$[a,b]$ で $f\left(x\right)\ge 0$ で 囲 ま れ た 図形づけい の 重心じゅうしん $xˉ$:

$xˉ=\frac{\int }{a}$

「面めん積せき で 重おも み 付つけ け し た 平へい均きん座ざ標ひょう」。

例れい 8 三角形さんかっけい の 重心じゅうしん

頂ちょう点てん$(0,0)$、 $(1,0)$、 $(1,1)$ の 三角形さんかっけい ($f\left(x\right)=x$ で 囲 ま れ た 部ぶ分ぶん)。

$xˉ=\frac{\int 01x\cdot x\hspace{0.17em}dx}{\int 01x\hspace{0.17em}dx}=\frac{1/3}{1/2}=\frac{2}{3}$

中学ちゅうがく で 学がく ん だ 「重心じゅうしん は 中ちゅう線せん の 2:1」 と 一いっ致ち し ま す。

7. 章しょう末まつ まとめ

| 量りょう | 積分せきぶん公こう式しき | |---|---| | 弧こ長ちょう ($y=f\left(x\right)$) | $\int \sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}\hspace{0.17em}dx$ | | 弧こ長ちょう (媒ばい介かい) | $\int \sqrt{(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2}\hspace{0.17em}dt$ | | 変位へんい | $\int v\hspace{0.17em}dt$ | | 道みち の り | $\int \mid v\mid \hspace{0.17em}dt$ | | 仕事しごと | $\int F\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$ | | 重心じゅうしん$xˉ$ | $\frac{\int xf\hspace{0.17em}dx}{\int f\hspace{0.17em}dx}$ |

次じ の 章しょう へ: こ こ ま で の 数学すうがく III は 実数じっすう の 関かん数すう が 中ちゅう心しん で し た。 第だい 9 章しょう か ら 複素数ふくそすう平面へいめん に 入いり り、 数かず の 世せ界かい が 一気いっき に 拡かく張ちょう し ま す。