積分せきぶん法ほうの基本きほん

この 章しょう で 学まなぶ こと

微分びぶん の 逆ぎゃく操そう作さ が 積分せきぶん で す。 数学すうがく II で は 多項式たこうしき の 積せき分ぶん だ け で し た が、 数学すうがく III で は あらゆ る 関かん数すう を 積せき分ぶん で き る よう に な る た め の 武ぶ器き を そ ろ え ます。

• 不定積分ふていせきぶん・定積分ていせきぶん と 微分積分学の基本定理びぶんせきぶんがくのきほんていり の 復ふく習しゅう
• 三さん角かく・指し数すう・対たい数すう の 積分せきぶん公こう式しき
• 置換積分ちかんせきぶん (変へん数すう を 置 き 換 え る)
• 部分積分ぶぶんせきぶん ($\int u{v}^{\prime }=uv-\int u^{\prime }v$)
• 部分分数ぶぶんぶんすう分ぶん解かい で 楽らく に す る
• 三さん角かく関かん数すう の 半角公式はんかくこうしき で 次じ数すう を 下した げ る

ポイント: 積分せきぶん は 微び分ぶん の 「答こたえ え 探さぐ し」。 「こ れ を 微び分ぶん す る と 元もと の 式しき に な る 関かん数すう を 見み つ け る」 と い う 視し点てん を 常つね に 持じ つ と、 公こう式しき の 暗あん記き が 論ろん理り に 変へん わ り ま す。

1. 不定ふてい積分せきぶん・定てい積分せきぶん の 復習ふくしゅう

不定ふてい積分せきぶん の 定義ていぎ

$F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$ と なる $F$ を $f$ の 原始関数げんしかんすう と 言げん い、

$\int f\left(x\right)\hspace{0.17em}dx=F\left(x\right)+C\left(C は 積せき分ぶん 定てい数すう\right)$

定てい積分せきぶん

$\int abf\left(x\right)\hspace{0.17em}dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

微分積分学の基本定理びぶんせきぶんがくのきほんていり: 連れん続ぞく な $f$ の 原始関数げんしかんすう は 「$a$ か ら $x$ ま で の 積せき分ぶん」 で 与あたえ ら れる。

$\frac{d}{dx}\int axf\left(t\right)\hspace{0.17em}dt=f\left(x\right)$

大事だいじ: 微分びぶん と 積分せきぶん は 互 い に 逆ぎゃく の 操そう作さ。 こ の 関かん係けい が 数学すうがく全体ぜんたい を 結むすぶ ぶ 基き本ほん定てい理り。

2. 基本きほん公式こうしき

| 関かん数すう | 原始関数げんしかんすう | |---|---| | $x^n$ ($n\ne -1$) | $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ | | $\frac{1}{x}$ | $\log \mid x\mid$ | | $e^x$ | $e^x$ | | $a^x$ | $\frac{a^x}{\log a}$ | | $\sin x$ | $-\cos x$ | | $\cos x$ | $\sin x$ | | $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ | $\tan x$ | | $\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ | $-\frac{1}{\tan x}$ |

例れい 1 直接ちょくせつ適用てきよう

$\int (3x^2+\frac{1}{x}-2\sin x)dx=x^3+\log \mid x\mid +2\cos x+C$

大事だいじ: $\int \frac{1}{x}dx=\log \mid x\mid +C$ は $\log \mid x\mid$ ($\mid \cdot \mid$必ひっ須す)。 で も 定てい義ぎ さ れ る よう に。

3. 置換ちかん積分せきぶん

公式こうしき

$\int f\left(g\right(x\left)\right)g^{\prime }\left(x\right)\hspace{0.17em}dx=\int f\left(u\right)\hspace{0.17em}du(u=g(x\left)\right)$

連鎖律れんさりつ の 逆ぎゃく向むこう き。 「内ない側がわ の 関かん数すう の 微び分ぶん が 外そと に い る」 形かたち を 探さぐ す。

例れい 2 内側うちがわ の 微分びぶん が 出で て いる

$\int 2x(x^2+1{)}^5\hspace{0.17em}dx$ ($u=x^2+1$、 $du=2x\hspace{0.17em}dx$)。

$=\int u^5\hspace{0.17em}du=\frac{u^6}{6}+C=\frac{(x^2+1{)}^6}{6}+C$

例れい 3 ルート の 中

$\int x\sqrt{x^2+1}\hspace{0.17em}dx$。 $u=x^2+1$、 $du=2x\hspace{0.17em}dx$、 $x\hspace{0.17em}dx=\frac{du}{2}$。

$=\int \sqrt{u}\cdot \frac{du}{2}=\frac{1}{3}{u}^{3/2}+C=\frac{1}{3}(x^2+1{)}^{3/2}+C$

例れい 4 三角さんかく関数かんすう の 置換ちかん

$\int 01\frac{1}{1+x^2}\hspace{0.17em}dx$。 $x=\tan \theta$ と お く と $dx=\frac{1}{{\cos }^2\theta }d\theta$、 $1+x^2=\frac{1}{{\cos }^2\theta }$。

$=\int 0\pi /41\hspace{0.17em}d\theta =\frac{\pi }{4}$

発はっ展てん: $\int \frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C$ は 大学だいがく で 必ひっ須す。 高校こうこう で は 「$x=\tan \theta$ で 置換ちかん」 と 覚さとし え る。

4. 部分ぶぶん積分せきぶん

公式こうしき

$\int u\left(x\right)v^{\prime }\left(x\right)\hspace{0.17em}dx=u\left(x\right)v\left(x\right)-\int u^{\prime }\left(x\right)v\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$

積の微分せきのびぶん$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ の 逆ぎゃく向むこう き。

LIATE の 原則げんそく

「ど ち ら を $u$ (微び分ぶん す る 側がわ) に す る か」 の 経けい験けん則そく:

優ゆう先せん順じゅん位い	内ない容よう	例れい
L	対数たいすう	$\log x$
I	逆三角ぎゃくさんかく	$\arcsin x$
A	多項式たこうしき (algebraic)	$x^2$
T	三角さんかく	$\sin x$
E	指数しすう	$e^x$

上うえ の もの を $u$、 下した の もの を $v^{\prime }$ に 取と る と う ま く い き や す い。

例れい 5 $\int x\cos x\hspace{0.17em}dx$

$u=x$、 $v^{\prime }=\cos x$ (A と T な の で A = $x$ を $u$ に)。 $u^{\prime }=1$、 $v=\sin x$。

$\int x\cos x\hspace{0.17em}dx=x\sin x-\int \sin x\hspace{0.17em}dx=x\sin x+\cos x+C$

例れい 6 $\int \log x\hspace{0.17em}dx$

「掛かけ け 算さん が 1 つ し か な い」 場ば合あい で も、 $\log x\cdot 1$ と み な し て $u=\log x$、 $v^{\prime }=1$。

$\int \log x\hspace{0.17em}dx=x\log x-\int x\cdot \frac{1}{x}dx=x\log x-x+C$

例れい 7 部分ぶぶん積分せきぶん を 2 回

$\int x^2{e}^x\hspace{0.17em}dx$。 1 回かい目め: $u=x^2$、 $v^{\prime }=e^x$。

$=x^2{e}^x-\int 2x{e}^x\hspace{0.17em}dx$

2 回かい目め: $u=2x$、 $v^{\prime }=e^x$。

$=x^2{e}^x-(2x{e}^x-\int 2e^x\hspace{0.17em}dx)=x^2{e}^x-2x{e}^x+2e^x+C$

コツ: $\int x^n{e}^x\hspace{0.17em}dx$ や $\int x^n\sin x\hspace{0.17em}dx$ は、 多た項こう式しき の 次じ数すう だ け 部ぶ分ぶん積せき分ぶん を 繰くり 返かえ す。

5. 部分ぶぶん分数ぶんすう分解ぶんかい

使つかい どころ

分母ぶんぼ が 因いん数すう分ぶん解かい で き る 分数関数ぶんすうかんすう を、 分ぶん解かい し て ひ と つ ず つ 積分せきぶん す る。

例れい 8

$\int \frac{1}{x^2-1}\hspace{0.17em}dx$。

$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1})$ (部分分数ぶぶんぶんすう分ぶん解かい)。

$\int =\frac{1}{2}(\log \mid x-1\mid -\log \mid x+1\mid )+C=\frac{1}{2}\log \mid \frac{x-1}{x+1}\mid +C$

例れい 9 分子ぶんし の 次数じすう を 下さげる

$\int \frac{x^2}{x-1}\hspace{0.17em}dx$。 分子ぶんし を 分母ぶんぼ で 割わり る と $\frac{x^2}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}$。

$=\frac{x^2}{2}+x+\log \mid x-1\mid +C$

大事だいじ: 分子ぶんし の 次じ数すう$\ge$分母ぶんぼ の 次じ数すう な ら、 ま ず 割わり り 算さん。

6. 三角さんかく関数かんすう の 積分せきぶん で の 工夫くふう

半角はんかく公式こうしき

公こう式しき	用よう途と
${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$	次じ数すう を 下した げ る
${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$	同どう
$\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$	同どう

例れい 10

$\int {\sin }^{2}x\hspace{0.17em}dx=\int \frac{1-\cos 2x}{2}\hspace{0.17em}dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C$

例れい 11 積つむ を 和わ に

積和の公式せきわのこうしき$\sin A\cos B=\frac{1}{2}\{\sin (A+B)+\sin (A-B\left)\right\}$ で:

$\int \sin 3x\cos x\hspace{0.17em}dx=\frac{1}{2}\int (\sin 4x+\sin 2x)\hspace{0.17em}dx=-\frac{\cos 4x}{8}-\frac{\cos 2x}{4}+C$

コツ: 次じ数すう が 高こう い 三角さんかく関かん数すう は 「半角はんかく・積つむ和わ」 で 次じ数すう を 下した げ る。 そ の ま ま $\int$ し て は い け な い。

7. 章しょう末まつ まとめ

技ぎ法ほう	キー ワード
基き本ほん公こう式しき	$\int x^{n}dx$、 $\int \sin /\cos /e^x/1/x$
[[置換積分	ちかんせきぶん]]
[[部分積分	ぶぶんせきぶん]]
部分分数ぶぶんぶんすう	分母ぶんぼ を 因いん数すう分ぶん解かい
三さん角かく の 工夫くふう	[[半角公式

次じ の 章しょう へ: 積分せきぶん の 計けい算さん が で き る よ う に な っ た ら、 第だい 7 章しょう で 面めん積せき と 体たい積せき へ 応おう用よう し ま す。 中学ちゅうがく・高校こうこう を 通つう じ て 学がく ん で き た 「微分びぶん と 積分せきぶん の 関かん係けい」 が、 い よ い よ 実用じつよう に な り ま す。