積分せきぶん法ほうの基本きほん

この章しょうで学まなぶこと

微分びぶん の 逆ぎゃく操そう作さ が 積分せきぶん です。 数学すうがく II では 多項式たこうしき の積せき分ぶん だけでしたが、 数学すうがく III では あらゆる関かん数すう を積せき分ぶん できるようになるための 武ぶ器き をそろえます。

• 不定積分ふていせきぶん・定積分ていせきぶん と 微分積分学の基本定理びぶんせきぶんがくのきほんていり の復ふく習しゅう
• 三さん角かく・指し数すう・対たい数すう の 積分せきぶん公こう式しき
• 置換積分ちかんせきぶん (変へん数すう を置おき換かえる)
• 部分積分ぶぶんせきぶん ($\int u{v}^{\prime }=uv-\int u^{\prime }v$)
• 部分分数ぶぶんぶんすう分ぶん解かい で楽らくにする
• 三さん角かく関かん数すう の 半角公式はんかくこうしき で次じ数すう を下さげる

ポイント: 積分せきぶん は 微び分ぶん の 「答えこたえ探さがし」。 「これを微び分ぶん すると元もとの式しきになる関かん数すう を見みつける」 という視し点てん を常つねに持もつと、 公こう式しき の暗あん記き が 論ろん理り に変かわります。

1. 不定ふてい積分せきぶん・定てい積分せきぶんの復習ふくしゅう

不定ふてい積分せきぶんの定義ていぎ

$F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$ となる $F$ を $f$ の 原始関数げんしかんすう と言いい、

$\int f\left(x\right)\hspace{0.17em}dx=F\left(x\right)+C(C は$積せき分ぶん 定てい数すう)\int f(x) \, dx = F(x) + C \quad (C \text{ は積せき分ぶん 定てい数すう})

定てい積分せきぶん

$\int abf\left(x\right)\hspace{0.17em}dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

微分積分学の基本定理びぶんせきぶんがくのきほんていり: 連れん続ぞく な $f$ の 原始関数げんしかんすう は 「$a$ から $x$ までの積せき分ぶん」 で与あたえられる。

$\frac{d}{dx}\int axf\left(t\right)\hspace{0.17em}dt=f\left(x\right)$

大事だいじ: 微分びぶん と 積分せきぶん は 互たがいに逆ぎゃくの操そう作さ。 この関かん係けい が数学すうがく全体ぜんたいを結むすぶ 基き本ほん定てい理り。

2. 基本きほん公式こうしき

関かん数すう	原始関数げんしかんすう
$x^n$ ($n\ne -1$)	$\frac{x^{n+1}}{n+1}$
$\frac{1}{x}$	$\log \mid x\mid$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$\frac{a^x}{\log a}$
$\sin x$	$-\cos x$
$\cos x$	$\sin x$
$\frac{1}{{\cos }^{2}x}$	$\tan x$
$\frac{1}{{\sin }^{2}x}$	$-\frac{1}{\tan x}$

例れい 1 直接ちょくせつ適用てきよう

$\int (3x^2+\frac{1}{x}-2\sin x)dx=x^3+\log \mid x\mid +2\cos x+C$

大事だいじ: $\int \frac{1}{x}dx=\log \mid x\mid +C$ は $\log \mid x\mid$ ($\mid \cdot \mid$必ひっ須す)。 でも定てい義ぎ されるように。

3. 置換ちかん積分せきぶん

公式こうしき

$\int f\left(g\right(x\left)\right)g^{\prime }\left(x\right)\hspace{0.17em}dx=\int f\left(u\right)\hspace{0.17em}du(u=g(x\left)\right)$

連鎖律れんさりつ の 逆ぎゃく向むき。 「内ない側がわの関かん数すう の微び分ぶん が外そとにいる」 形かたちを探さがす。

例れい 2 内側うちがわの微分びぶんが出でている

$\int 2x(x^2+1{)}^5\hspace{0.17em}dx$ ($u=x^2+1$、 $du=2x\hspace{0.17em}dx$)。

$=\int u^5\hspace{0.17em}du=\frac{u^6}{6}+C=\frac{(x^2+1{)}^6}{6}+C$

例れい 3 ルートの中

$\int x\sqrt{x^2+1}\hspace{0.17em}dx$。 $u=x^2+1$、 $du=2x\hspace{0.17em}dx$、 $x\hspace{0.17em}dx=\frac{du}{2}$。

$=\int \sqrt{u}\cdot \frac{du}{2}=\frac{1}{3}{u}^{3/2}+C=\frac{1}{3}(x^2+1{)}^{3/2}+C$

例れい 4 三角さんかく関数かんすうの置換ちかん

$\int 01\frac{1}{1+x^2}\hspace{0.17em}dx$。 $x=\tan \theta$ とおくと $dx=\frac{1}{{\cos }^2\theta }d\theta$、 $1+x^2=\frac{1}{{\cos }^2\theta }$。

$=\int 0\pi /41\hspace{0.17em}d\theta =\frac{\pi }{4}$

発はっ展てん: $\int \frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C$ は大学だいがくで必ひっ須す。 高校こうこうでは 「$x=\tan \theta$ で置換ちかん」 と覚おぼえる。

4. 部分ぶぶん積分せきぶん

公式こうしき

$\int u\left(x\right)v^{\prime }\left(x\right)\hspace{0.17em}dx=u\left(x\right)v\left(x\right)-\int u^{\prime }\left(x\right)v\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$

積の微分せきのびぶん $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ の 逆ぎゃく向むき。

LIATE の原則げんそく

「どちらを $u$ (微び分ぶん する側がわ) にするか」 の経けい験けん則そく:

優ゆう先せん順じゅん位い	内ない容よう	例れい
L	対数たいすう	$\log x$
I	逆三角ぎゃくさんかく	$\arcsin x$
A	多項式たこうしき (algebraic)	$x^2$
T	三角さんかく	$\sin x$
E	指数しすう	$e^x$

上うえのものを $u$、 下したのものを $v^{\prime }$ に取とるとうまくいきやすい。

例れい 5 $\int x\cos x\hspace{0.17em}dx$

$u=x$、 $v^{\prime }=\cos x$ (A と T なので A = $x$ を $u$ に)。 $u^{\prime }=1$、 $v=\sin x$。

$\int x\cos x\hspace{0.17em}dx=x\sin x-\int \sin x\hspace{0.17em}dx=x\sin x+\cos x+C$

例れい 6 $\int \log x\hspace{0.17em}dx$

「掛かけ算ざんが 1 つしかない」 場ば合あい でも、 $\log x\cdot 1$ とみなして $u=\log x$、 $v^{\prime }=1$。

$\int \log x\hspace{0.17em}dx=x\log x-\int x\cdot \frac{1}{x}dx=x\log x-x+C$

例れい 7 部分ぶぶん積分せきぶんを 2 回

$\int x^2{e}^x\hspace{0.17em}dx$。 1 回かい目め: $u=x^2$、 $v^{\prime }=e^x$。

$=x^2{e}^x-\int 2x{e}^x\hspace{0.17em}dx$

2 回かい目め: $u=2x$、 $v^{\prime }=e^x$。

$=x^2{e}^x-(2x{e}^x-\int 2e^x\hspace{0.17em}dx)=x^2{e}^x-2x{e}^x+2e^x+C$

コツ: $\int x^n{e}^x\hspace{0.17em}dx$ や $\int x^n\sin x\hspace{0.17em}dx$ は、 多た項こう式しきの次じ数すう だけ部ぶ分ぶん積せき分ぶん を繰くり返かえす。

5. 部分ぶぶん分数ぶんすう分解ぶんかい

使つかいどころ

分母ぶんぼが因いん数すう分ぶん解かい できる 分数関数ぶんすうかんすう を、 分ぶん解かい して ひとつずつ 積分せきぶん する。

例れい 8

$\int \frac{1}{x^2-1}\hspace{0.17em}dx$。

$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1})$ (部分分数ぶぶんぶんすう分ぶん解かい)。

$\int =\frac{1}{2}(\log \mid x-1\mid -\log \mid x+1\mid )+C=\frac{1}{2}\log \mid \frac{x-1}{x+1}\mid +C$

例れい 9 分子ぶんしの次数じすうを下さげる

$\int \frac{x^2}{x-1}\hspace{0.17em}dx$。 分子ぶんしを分母ぶんぼで割われると $\frac{x^2}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}$。

$=\frac{x^2}{2}+x+\log \mid x-1\mid +C$

大事だいじ: 分子ぶんしの次じ数すう $\ge$分母ぶんぼの次じ数すう なら、 まず割わり算ざん。

6. 三角さんかく関数かんすうの積分せきぶんでの工夫くふう

半角はんかく公式こうしき

公こう式しき	用よう途と
${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$	次じ数すう を下さげる
${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$	同どう
$\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$	同どう

例れい 10

$\int {\sin }^{2}x\hspace{0.17em}dx=\int \frac{1-\cos 2x}{2}\hspace{0.17em}dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C$

例れい 11 積せきを和わに

積和の公式せきわのこうしき $\sin A\cos B=\frac{1}{2}\{\sin (A+B)+\sin (A-B\left)\right\}$ で:

$\int \sin 3x\cos x\hspace{0.17em}dx=\frac{1}{2}\int (\sin 4x+\sin 2x)\hspace{0.17em}dx=-\frac{\cos 4x}{8}-\frac{\cos 2x}{4}+C$

コツ: 次じ数すう が高たかい三角さんかく関かん数すう は 「半角はんかく・積つむ和わ」 で次じ数すう を下さげる。 そのまま $\int$ してはいけない。

7. 章しょう末まつまとめ

技ぎ法ほう	キーワード
基き本ほん公こう式しき	$\int x^{n}dx$、 $\int \sin /\cos /e^x/1/x$
置換積分ちかんせきぶん	「内側うちがわの微び分ぶん が外そとにいる」 形かたち
部分積分ぶぶんせきぶん	LIATE で $u$ を決きめる
部分分数ぶぶんぶんすう	分母ぶんぼを因いん数すう分ぶん解かい
三さん角かく の工夫くふう	半角公式はんかくこうしき・積和の公式せきわのこうしき

次じの章しょうへ: 積分せきぶん の計けい算さん ができるようになったら、 第だい 7 章しょうで 面積めんせき と体たい積せき へ応おう用よう します。 中学ちゅうがく・高校こうこうを通つうじて学まなんできた 「微分びぶん と 積分せきぶん の関かん係けい」 が、 いよいよ 実用じつよう になります。