積分せきぶんの応用おうよう (曲線きょくせんの長ながさ・物理ぶつり量りょう) 一いち問もん一いち答とう

この一問一答で出る問題

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1. $y = f(x)$ ($a \le x \le b$) の 曲線きょくせん の 長ちょう さ $L$ は どれ ですか？
   • ・$\int_a^b f(x)\,dx$
   • ・$\int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2}\,dx$
   • ・$\int_a^b \sqrt{1 + f(x)^2}\,dx$
   • ・$\pi \int_a^b f'(x)^2\,dx$
2. 媒介変数ばいかいへんすう $x = x(t)$、 $y = y(t)$ ($\alpha \le t \le \beta$) の 曲線きょくせん の長ながさはどれ ですか？
   • ・$\int_\alpha^\beta \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}\,dt$
   • ・$\int_\alpha^\beta \{(x')^2 + (y')^2\}\,dt$
   • ・$\int_\alpha^\beta x'(t) y'(t)\,dt$
   • ・$\sqrt{\int_\alpha^\beta (x'^2 + y'^2)\,dt}$
3. $y = \dfrac{2}{3} x^{3/2}$ の $0 \le x \le 3$ の弧こ長ちょうはいくら ですか？
   • ・$\dfrac{14}{3}$
   • ・$\dfrac{7}{3}$
   • ・$7$
   • ・$\dfrac{14}{5}$
4. 半径はんけい$r$ の 円えん を $x = r\cos t$、 $y = r\sin t$ ($0 \le t \le 2\pi$) で表あらわしたとき、 弧こ長ちょうはいくらですか？
   • ・$\pi r$
   • ・$2\pi r$
   • ・$\pi r^2$
   • ・$4\pi r$
5. サイクロイドさいくろいど $x = a(t - \sin t)$、 $y = a(1 - \cos t)$ の 1 周期しゅうき ($0 \le t \le 2\pi$) の弧こ長ちょうはいくら ですか？
   • ・$2\pi a$
   • ・$4 a$
   • ・$\pi a$
   • ・$8 a$
6. 速そく度ど $v(t)$ で動うごく物体ぶったい の 区間くかん$[a, b]$ で の 変位へんい (位い置ち の 差さ) は どれ ですか？
   • ・$\int_a^b |v(t)|\,dt$
   • ・$v(b) - v(a)$
   • ・$\int_a^b v(t)\,dt$
   • ・$\int_a^b v(t)^2\,dt$
7. 速そく度ど $v(t)$ の 道どう の り (移い動どう の 累るい積せき) は どれ ですか？
   • ・$\int_a^b v(t)\,dt$
   • ・$|v(b) - v(a)|$
   • ・$\int_a^b v(t)^2\,dt$
   • ・$\int_a^b |v(t)|\,dt$
8. 直ちょく線せん上じょう で 速そく度ど $v(t) = 3t^2 - 12$ ($0 \le t \le 4$) の 変位へんい は いくら ですか？
   • ・$32$
   • ・$16$
   • ・$48$
   • ・$64$
9. 上記じょうき ($v(t) = 3t^2 - 12$、 $0 \le t \le 4$) の 道どう の り は いくら ですか？
   • ・$16$
   • ・$48$
   • ・$32$
   • ・$64$
10. 位置いち$x$ で変化へんかする力$F(x)$ で $a$ から $b$ まで 動うごかしたときの 仕事しごと $W$ はどれですか？
    • ・$W = F(b) - F(a)$
    • ・$W = F(b) \cdot b - F(a) \cdot a$
    • ・$W = \dfrac{F(a) + F(b)}{2}$
    • ・$W = \int_a^b F(x)\,dx$
11. ばね 定てい数すう $k$ の ばね を 自然長しぜんちょう から $L$ だけ伸のばす 仕事しごと は いくら ですか？ (フックの法則ふっくのほうそく $F = kx$)
    • ・$k L$
    • ・$\dfrac{1}{2} k L$
    • ・$k L^2$
    • ・$\dfrac{1}{2} k L^2$
12. $x$軸じく上じょうの区間くかん$[a, b]$ で $f(x) \ge 0$ で囲かこまれた図形ずけいの 重心じゅうしん $\bar{x}$ はどれですか？
    • ・$\bar{x} = \dfrac{\int_a^b x\,dx}{\int_a^b f(x)\,dx}$
    • ・$\bar{x} = \dfrac{a + b}{2}$
    • ・$\bar{x} = \int_a^b x f(x)\,dx$
    • ・$\bar{x} = \dfrac{\int_a^b x f(x)\,dx}{\int_a^b f(x)\,dx}$
13. 頂点ちょうてん$(0,0)$、 $(1,0)$、 $(1,1)$ の 三角形さんかくけい ($f(x) = x$ で 囲かこまれた部分ぶぶん) の 重心じゅうしん $\bar{x}$ は いくら ですか？
    • ・$\dfrac{1}{3}$
    • ・$\dfrac{2}{3}$
    • ・$\dfrac{1}{2}$
    • ・$\dfrac{3}{4}$
14. 平へい面めん上じょうの動どう点てん$(x(t), y(t))$ の 速そく さ (スカラー) $|\vec{v}|$ は どれ ですか？
    • ・$x'(t) + y'(t)$
    • ・$\sqrt{x'(t) + y'(t)}$
    • ・$x'(t) \cdot y'(t)$
    • ・$\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}$
15. 中学ちゅうがく で 暗あん記き し た 円周えんしゅうの長ながさ $2\pi r$ は、 数学すうがく III で どの 公式こうしき から 導出どうしゅつ さ れます か？
    • ・媒介変数 表示 の 弧 長 公式しき
    • ・球きゅう の 表 面 積 公式しき
    • ・フックの法則フックのほうそく
    • ・微分積分学の基本定理びぶんせきぶんがくのきほんていり のみ
16. 弧こ長ちょう公式こうしき$L = \int_a^b \sqrt{1 + (y')^2}\,dx$ は どの 定てい理り が 根こん拠きょ ですか？
    • ・フックの法則フックのほうそく
    • ・ド・モアブルの定理ド・モアブルのていり
    • ・平均値の定理へいきんちのていり
    • ・三平方の定理さんへいほうのていり
17. 深ふかさ $h$ の円筒えんとうタンク (底てい面めん半径はんけい$r$、 密みつ度ど $\rho$) に満杯まんぱいの水みずを全部ぜんぶ上じょうまで汲くみ上あげる仕事しごとはどれですか？ (重力加速度じゅうりょくかそくど $g$)
    • ・$\rho g \pi r^2 h$
    • ・$\rho g \pi r^2 h^2$
    • ・$\dfrac{1}{3} \rho g \pi r^2 h$
    • ・$\dfrac{1}{2} \rho g \pi r^2 h^2$
18. 変位へんい と 道どう の り が 常つね に 一いっ致ち する の は、 速度そくど$v(t)$ が どんな 場合ばあい ですか？
    • ・$v(t) = 0$ の とき
    • ・$v(t)$ が 周期 関数すう の とき
    • ・$v(t)$ が 連続 の とき
    • ・$v(t) \ge 0$ (常つね に 正 か $0$) の とき
19. $y = \sin x$ ($0 \le x \le \pi$) の弧こ長ちょうを表あらわす 積分せきぶん は どれ ですか？
    • ・$\int_0^\pi \sin x\,dx$
    • ・$\int_0^\pi \sqrt{1 + \cos^2 x}\,dx$
    • ・$\int_0^\pi \sqrt{1 + \sin^2 x}\,dx$
    • ・$\int_0^\pi \cos x\,dx$
20. 「微分びぶん が 変へん化か率りつ、 積分せきぶん が 累るい積せき」 という視し点てん で、 積分せきぶん で 表あらわせ ない の は どれ ですか？
    • ・全 区間かん の 道 の り
    • ・ある 時刻じこく の 瞬間かん 速度ど
    • ・変化 する 力 の 仕事
    • ・流量 から 求める 全 注水量