積分せきぶん法ほうの基本きほん一いち問もん一いち答とう

この一問一答で出る問題

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1. $F'(x) = f(x)$ を 満みたす $F(x)$ を $f(x)$ の何なにと呼よびますか？
   • ・導関数どうかんすう
   • ・原始関数げんしかんすう
   • ・逆関数ぎゃくかんすう
   • ・合成関数ごうせいかんすう
2. $\displaystyle \int \dfrac{1}{x}\,dx$ は どれ ですか？
   • ・$\log x + C$
   • ・$\log |x| + C$
   • ・$-\dfrac{1}{x^2} + C$
   • ・$x \log x + C$
3. $\displaystyle \int e^x\,dx$ は どれ ですか？
   • ・$x e^x + C$
   • ・$e^x + C$
   • ・$\dfrac{e^x}{x} + C$
   • ・$\log e^x + C$
4. $\displaystyle \int \sin x\,dx$ は どれ ですか？
   • ・$\cos x + C$
   • ・$-\cos x + C$
   • ・$\sin x + C$
   • ・$-\sin x + C$
5. $\displaystyle \int \cos x\,dx$ は どれ ですか？
   • ・$-\sin x + C$
   • ・$\tan x + C$
   • ・$\sin x + C$
   • ・$-\cos x + C$
6. $\displaystyle \int \dfrac{1}{\cos^2 x}\,dx$ は どれ ですか？
   • ・$-\dfrac{1}{\tan x} + C$
   • ・$\sin x + C$
   • ・$\log |\cos x| + C$
   • ・$\tan x + C$
7. 微分積分学の基本定理びぶんせきぶんがくのきほんていり $\dfrac{d}{dx} \int_a^x f(t)\,dt$ は どれ に 等ひとしい ですか ($f$ は 連続れんぞく)？
   • ・$F(x) - F(a)$
   • ・$f(a)$
   • ・$f(x)$
   • ・$0$
8. 置換積分ちかんせきぶん の 公式こうしき$\int f(g(x)) g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$ で、 $u$ に 取とる べき量りょうはどれ ですか？
   • ・$u = f(g(x))$
   • ・$u = g'(x)$
   • ・$u = f(x)$
   • ・$u = g(x)$
9. $\displaystyle \int 2x (x^2 + 1)^5 \, dx$ を 置換ちかん積分せきぶん ($u = x^2 + 1$) で 求もとめる と どれ ですか？
   • ・$\dfrac{(x^2 + 1)^6}{12} + C$
   • ・$(x^2 + 1)^6 + C$
   • ・$2x (x^2 + 1)^6 + C$
   • ・$\dfrac{(x^2 + 1)^6}{6} + C$
10. 部分積分ぶぶんせきぶん の 公式こうしき$\int u v'\,dx$ は どれ に 等ひとしい ですか？
    • ・$u v - \int u' v\,dx$
    • ・$u v + \int u' v\,dx$
    • ・$u' v - \int u v'\,dx$
    • ・$u v + u' v + C$
11. $\displaystyle \int x \cos x\,dx$ を 部分ぶぶん積分せきぶん で 求もとめる と どれ ですか？
    • ・$x \sin x - \cos x + C$
    • ・$x \cos x + \sin x + C$
    • ・$x \sin x + \sin x + C$
    • ・$x \sin x + \cos x + C$
12. $\displaystyle \int \log x\,dx$ は どれ ですか？
    • ・$\dfrac{1}{x} + C$
    • ・$x \log x + x + C$
    • ・$(\log x)^2 + C$
    • ・$x \log x - x + C$
13. LIATE の 原則げんそく で、 部分ぶぶん積分せきぶん で $u$ に 取とる 優先ゆうせん順位じゅんい が 最もっとも 高たかい のは どれ ですか？
    • ・多項式たこうしき
    • ・指数しすう 関数
    • ・対数たいすう 関数
    • ・三角さんかく 関数
14. $\dfrac{1}{x^2 - 1}$ を 部分分数ぶぶんぶんすう分解ぶんかい する と どれ ですか？
    • ・$\dfrac{1}{x-1} - \dfrac{1}{x+1}$
    • ・$\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x-1} + \dfrac{1}{x+1}\right)$
    • ・$\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x-1} - \dfrac{1}{x+1}\right)$
    • ・$\dfrac{1}{x-1} + \dfrac{1}{x+1}$
15. $\displaystyle \int \sin^2 x\,dx$ を 半角公式はんかくこうしき で 求もとめる と どれ ですか？
    • ・$\dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin 2x}{4} + C$
    • ・$\sin^3 x / 3 + C$
    • ・$\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C$
    • ・$-\dfrac{\cos^3 x}{3} + C$
16. $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{1 + x^2}\,dx$ は どれ ですか？ ($x = \tan\theta$ と 置換ちかん)
    • ・$\dfrac{\pi}{2}$
    • ・$\dfrac{\pi}{6}$
    • ・$1$
    • ・$\dfrac{\pi}{4}$
17. $\displaystyle \int x e^x\,dx$ は どれ ですか？
    • ・$x e^x + C$
    • ・$x e^x + e^x + C$
    • ・$x e^x - e^x + C$
    • ・$\dfrac{x^2}{2} e^x + C$
18. $\displaystyle \int_1^2 \dfrac{1}{x}\,dx$ は どれ ですか？
    • ・$\log 2$
    • ・$0$
    • ・$1$
    • ・$\dfrac{1}{2}$
19. $\displaystyle \int \tan x\,dx$ は どれ ですか？
    • ・$\log |\sin x| + C$
    • ・$\dfrac{1}{\cos^2 x} + C$
    • ・$-\log |\cos x| + C$
    • ・$\sec^2 x + C$
20. $\displaystyle \int \dfrac{x^2}{x - 1}\,dx$ を 求もとめる 第だい 1 ステップ と して 適切てきせつ な のは どれ ですか？
    • ・分子 を 分母 で 割っ て 次数 を 下げる
    • ・置換積分ちかんせきぶん $u = x - 1$ を 即 適用
    • ・部分積分ぶぶんせきぶん を 即 適用
    • ・両 辺 を 微分 する