数学すうがくIII｜複素数ふくそすう平面へいめん一いち問もん一いち答とう

この一問一答で出る問題

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1. 虚数単位きょすうたんい $i$ の 定てい義ぎ は どれ ですか？
   • ・$i = -1$
   • ・$i = \sqrt{-1}$ つまり $i^2 = -1$
   • ・$i = 1$
   • ・$i = 0$
2. 複素数ふくそすう $z = a + bi$ ($a, b$ は 実数じっすう) の 絶対値ぜったいち $|z|$ は どれ ですか？
   • ・$|a + b|$
   • ・$\sqrt{a^2 + b^2}$
   • ・$a^2 + b^2$
   • ・$\sqrt{a^2 - b^2}$
3. $z = a + bi$ の 共役きょうやく $\bar{z}$ は どれ ですか？
   • ・$a + bi$
   • ・$-a + bi$
   • ・$a - bi$
   • ・$-a - bi$
4. $z = 1 + i$ の 絶対値ぜったいち と 偏角へんかく は どれ ですか？
   • ・$|z| = 2$、 $\arg z = \pi/4$
   • ・$|z| = \sqrt{2}$、 $\arg z = \pi/2$
   • ・$|z| = 1$、 $\arg z = \pi/3$
   • ・$|z| = \sqrt{2}$、 $\arg z = \pi/4$
5. 複素数ふくそすう $z$ の 極形式きょくけいしき は どれ ですか？ ($r = |z|$、 $\theta = \arg z$)
   • ・$z = r + \theta i$
   • ・$z = r(\sin\theta + i \cos\theta)$
   • ・$z = r \cos\theta \cdot i \sin\theta$
   • ・$z = r(\cos\theta + i \sin\theta)$
6. 2 つ の 複素数ふくそすう$z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$、 $z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$ の 積$z_1 z_2$ の 偏角へんかく は どれ ですか？
   • ・$\theta_1 + \theta_2$
   • ・$\theta_1 - \theta_2$
   • ・$\theta_1 \theta_2$
   • ・$\dfrac{\theta_1 + \theta_2}{2}$
7. 商$\dfrac{z_1}{z_2}$ の 偏角へんかく は どれ ですか？
   • ・$\theta_1 - \theta_2$
   • ・$\theta_1 + \theta_2$
   • ・$\theta_2 - \theta_1$
   • ・$\dfrac{\theta_1}{\theta_2}$
8. 複素数ふくそすう を $i$ で 掛かける こと は 複素数ふくそすう平面へいめん上じょう で どんな 操そう作さ です か？
   • ・原点 中心しん に 45° 回 転
   • ・原点 中心しん に 180° 回 転
   • ・原点 中心しん に 90° 回 転
   • ・実 軸 で の 反 転
9. ド・モアブルの定理どもあぶるのていり は どれ ですか？
   • ・$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = n \cos\theta + i n \sin\theta$
   • ・$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i \sin n\theta$
   • ・$\cos n\theta = (\cos\theta)^n$
   • ・$\sin(\theta_1 + \theta_2) = \sin\theta_1 + \sin\theta_2$
10. $\left(\dfrac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^8$ は いくら ですか？
    • ・$-1$
    • ・$1$
    • ・$i$
    • ・$-i$
11. $z = -\sqrt{3} + i$ の 極形式きょくけいしき は どれ ですか？
    • ・$2(\cos(5\pi/6) + i\sin(5\pi/6))$
    • ・$2(\cos(\pi/6) + i\sin(\pi/6))$
    • ・$4(\cos(\pi/3) + i\sin(\pi/3))$
    • ・$2(\cos(2\pi/3) + i\sin(2\pi/3))$
12. 1 の 3 乗根じょうこん ($z^3 = 1$ の解かい) を 複素数ふくそすう平面へいめん上じょうで結むすぶ とどんな図形ずけいになりますか？
    • ・正 方 形
    • ・正 六 角 形
    • ・直 線
    • ・正 三 角 形
13. 1 の $n$乗根じょうこん は 複素数ふくそすう平面へいめん上じょうでどんな 配置はいち に なり ます か？
    • ・実 軸 上 に 等 間 隔
    • ・$y = x$ の 直線せん 上
    • ・ばら ばら に 散らばる
    • ・原 点 中心しん・半 径 1 の 単 位 円 上 に $n$ 等分ぶん
14. $z^4 = 16$ の 解かい ($|z| = 16^{1/4} = 2$) は どれ ですか？
    • ・$\pm 2$、 $\pm 2i$
    • ・$2$ の み
    • ・$2, 2i$
    • ・$4$ の み
15. 点$\beta$ を 中心ちゅうしん $\alpha$、 角$\theta$ で 回かい転てん させた点$\gamma$ の 公式こうしき は どれ ですか？
    • ・$\gamma - \alpha = (\beta - \alpha)(\cos\theta + i\sin\theta)$
    • ・$\gamma = \alpha + \beta (\cos\theta + i\sin\theta)$
    • ・$\gamma - \alpha = (\beta + \alpha)(\cos\theta + i\sin\theta)$
    • ・$\gamma = \alpha \beta (\cos\theta + i\sin\theta)$
16. $|zw|$ ($z, w$ は 複素数ふくそすう) は どれ に 等ひとしい ですか？
    • ・$|z| \cdot |w|$
    • ・$|z| + |w|$
    • ・$|z| - |w|$
    • ・$|z|^2 + |w|^2$
17. $z = \cos\theta + i\sin\theta$ の とき、 $|z|$ は いくら ですか？
    • ・$0$
    • ・$1$
    • ・$\theta$
    • ・$2$
18. $(\cos\theta + i\sin\theta)^3$ を ド・モアブルの定理どもあぶるのていり と 二に項こう展てん開かい で 比較ひかく し、 実部じつぶ を 取とる と どの 公式こうしきが得えられます か？
    • ・$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$
    • ・$\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$
    • ・$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
    • ・$\tan(\theta + \pi) = \tan\theta$
19. 複素数平面ふくそすうへいめん の 三角不等式さんかくふとうしき は どれ ですか？
    • ・$|z + w| \ge |z| + |w|$
    • ・$|zw| \le |z| + |w|$
    • ・$|z - w| = |z| - |w|$
    • ・$|z + w| \le |z| + |w|$
20. 1 の 4 乗根じょうこん ($z^4 = 1$ の 解かい) は どれ ですか？
    • ・$1$ の み
    • ・$\pm 1$ の 2 個
    • ・$1, \omega, \omega^2$
    • ・$1, i, -1, -i$ の 4 個