微分びぶん法ほう の 応用おうよう一いち問もん一いち答とう

この一問一答で出る問題

全20問。答えと解説は「スタート」を押すと1問ずつ表示されます。

1. 区く間かん で $f'(x) > 0$ な ら ば $f$ はその区く間かん で。
   • ・単調減少たんちょうげんしょう
   • ・単調増加たんちょうぞうか
   • ・定数すう
   • ・極大きょくだい と な る
2. $f(x) = x^3 - 3x$ の 極値きょくち を与あたえる $x$ は。
   • ・$x = \pm 1$
   • ・$x = 0$ の み
   • ・$x = \pm \sqrt{3}$
   • ・極値きょくち な し
3. $f'(a) = 0$ か つ $f''(a) < 0$ な ら ば $f$ は $x = a$ で。
   • ・極小きょくしょう
   • ・変曲点へんきょくてん
   • ・判定てい 不能のう
   • ・極大きょくだい
4. $f(x) = x e^{-x}$ の 極値きょくち を求もとめると。
   • ・$x = 0$ で 極大きょくだい $0$
   • ・$x = 1$ で 極小きょくしょう $1/e$
   • ・$x = e$ で 極大きょくだい
   • ・$x = 1$ で 極大きょくだい $1/e$
5. 区く間かん で $f''(x) > 0$ な ら ば $f$ はその区く間かん で。
   • ・単調増加たんちょうぞうか
   • ・上に凸うえにとつ (山 型)
   • ・下に凸したにとつ (お わ ん 型)
   • ・極大きょくだい
6. $f(x) = x^3 - 3x^2$ の 変曲点へんきょくてん の $x$座ざ標ひょう は。
   • ・$x = 0$
   • ・$x = 1$
   • ・$x = 2$
   • ・$x = 3$
7. 閉区く間かん$[a, b]$ で 連続れんぞく な 関かん数すう $f$ の 最さい大だい最さい小しょう の 候こう補ほ と し て 誤あやまっている も の は。
   • ・$f'(x) = 0$ と な る 内部ぶ の 点
   • ・端 点 $f(a)$、 $f(b)$
   • ・$f''(x) = 0$ と な る 点 (= 変曲点へんきょくてん 候補ほ)
   • ・$f$ が 微分ぶん 不可か 能 な 点 (絶対たい 値 な ど)
8. $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ の 極値きょくち は。
   • ・極大きょくだい $1$ ($x = 0$)
   • ・極大きょくだい $\dfrac{1}{2}$ ($x = 1$)、 極小きょくしょう $-\dfrac{1}{2}$ ($x = -1$)
   • ・極値きょくち な し
   • ・極小きょくしょう $0$ ($x = 0$)
9. $y = \dfrac{1}{x^2 + 1}$ の 漸近線ぜんきんせん は。
   • ・$x = 0$
   • ・$y = x$
   • ・$y = 0$
   • ・な し
10. $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ の 閉区く間かん$[0, 4]$ で の 最大値さいだいち は。
    • ・$f(1) = 4$
    • ・$f(0) = 0$
    • ・$f(3) = 0$
    • ・$f(4) = 4$
11. 位い置ち $x(t) = A \sin(\omega t)$ の 加速度かそくど は。
    • ・$A \cos(\omega t)$
    • ・$-A \omega^2 \sin(\omega t) = -\omega^2 x(t)$
    • ・$A \omega \cos(\omega t)$
    • ・$0$
12. 平均値の定理へいきんちのていり が 主しゅ張ちょう することは ($f$ は $[a, b]$ で 連続れんぞく、 $(a, b)$ で 微び分ぶん可か能のう)。
    • ・$f$ は 連続れんぞく で あ る
    • ・$f$ は 極値きょくち を も つ
    • ・$\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$ と な る $c \in (a, b)$ が 存在ざい す る
    • ・$f(b) > f(a)$
13. $f(x) = \log x$ に 平均値の定理へいきんちのていり を 適てき用よう し $0 < a < b$ で $f'(c) = \dfrac{1}{c}$ より得えられる不ふ等とう式しき は。
    • ・$\dfrac{b - a}{a} < \log b - \log a < \dfrac{b - a}{b}$
    • ・$\log b - \log a = \dfrac{a + b}{2}$
    • ・$\dfrac{b - a}{b} < \log b - \log a < \dfrac{b - a}{a}$
    • ・$\log a + \log b > 0$
14. グラフぐらふ の概形けい を描えがく 5 ステップの順じゅん番ばん として適切てきせつなものは。
    • ・概形けい → $f'$ → 定義ぎ 域 → 切片へん → 漸近線ぜんきんせん
    • ・$f'$ → 定義ぎ 域 → 切片へん → 概形けい
    • ・定義ぎ 域 → 切片へん → 漸近線ぜんきんせん → $f'$/$f''$ 符号ごう 表 → 概形けい
    • ・漸近線ぜんきんせん → 概形けい → 定義ぎ 域
15. 底そこ半径はんけい $r$、 高こう さ $h$ の 直円えん柱ちゅう の 体積たいせき が $\pi r^2 h = 1$ で 一いっ定てい。 表面積ひょうめんせき $S = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h$ を 最さい小しょう に す る $r$ は。
    • ・$r = 1$
    • ・$r = \dfrac{1}{\sqrt[3]{2 \pi}}$
    • ・$r = \dfrac{1}{\sqrt{\pi}}$
    • ・$r = \pi$
16. $f(x) = x^2 e^{-x}$ ($x \ge 0$) の 極大きょくだい を与あたえる $x$ は。
    • ・$x = 0$
    • ・$x = 2$
    • ・$x = 1$
    • ・$x = e$
17. $y = e^x - x - 1$ の $x \ge 0$ における増減ぞうげんと極値ち は。
    • ・単調減少たんちょうげんしょう、 $y \le 0$
    • ・単調増加たんちょうぞうか、 $y \ge 0$ で 等号ごう は $x = 0$
    • ・$x = 1$ で 極大きょくだい
    • ・$x = -1$ で 極小きょくしょう
18. $f(x) = \log x - x$ の 極大きょくだい を与あたえる $x$ は。
    • ・$x = 0$ (定義ぎ 外)
    • ・$x = e$
    • ・極値きょくち な し
    • ・$x = 1$
19. $f(x) = x - \sin x$ の 増減ぞうげん について正ただしいものは。
    • ・全 実 数 で 単調減少たんちょうげんしょう
    • ・極大きょくだい と 極小きょくしょう を 交 互 に 持 つ
    • ・$x = 0$ で 不連れん続ぞく
    • ・全 実 数 で 単調増加たんちょうぞうか (等号ごう は 離 散 点 の み)
20. $f(x)$ が区く間かん で微び分ぶん可か能のう で全すべての $x$ で $f'(x) = 0$ ならば $f$ はその区く間かん で。
    • ・単調増加たんちょうぞうか
    • ・定数すう 関数すう
    • ・単調減少たんちょうげんしょう
    • ・極値きょくち を 持 つ