図形づけいと計量けいりょう

この 章しょう で 学まなぶ こと

第だい 6・7 章しょう の 三角比さんかくひ を 図形づけい計量けいりょう の 武器ぶき として 使つかい こなす 章しょう です。 中学ちゅうがく の 「底辺ていへん × 高たかさ ÷ 2」 では 計算けいさん し に くい 三角形さんかっけい や 空間くうかん図形づけい を、 正弦せいげん や 余弦よげん で エレガント に 解とき ます。

• 三角形さんかっけい の 面積めんせき公式こうしき $S=\frac{1}{2}bc\sin A$
• ヘロンの公式ヘロンのこうしき (3 辺あたり から 面積めんせき)
• 内接円ないせつえん の 半径はんけい$r$ と $S=rs$
• 外接円がいせつえん の 半径はんけい$R$ と $S=\frac{abc}{4R}$
• 空間くうかん図形づけい (四よん面体めんてい・直方体ちょくほうたい) への 応用おうよう

ポイント: 「面積めんせき を どう 表あらわす か」 を 状況じょうきょう で 切きり替かえる こと。 与あたえ られ た 情報じょうほう (角かく + 2 辺あたり、 3 辺あたり、 $R$、 $r$ など) で 公式こうしき を 選せん び ま す。

1. 三角形さんかっけい の 面積めんせき

基本きほん (中学ちゅうがく復習ふくしゅう)

底辺ていへん$b$、 高たかさ $h$ の とき

$S=\frac{1}{2}\cdot b\cdot h$

三角さんかく比ひ を 使つかった 公式こうしき

$△ABC$ で 2 辺$b,c$ と 挟はさむ 角$A$ が わかる とき

$S=\frac{1}{2}bc\sin A$

由来ゆらい: 高たかさ $h$ は $b\sin A$ で 求もとめられる の で、 上うえ の 公式こうしき に 代入だいにゅう する だけ。

例題れいだい

$b=4,c=5,A=30°$ の 三角形さんかっけい の 面積めんせき。

$S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 5\cdot \sin 30°=10\cdot \frac{1}{2}=5$

どの 角かく で も OK

$S=\frac{1}{2}ca\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C$

大事だいじ: 「2 辺あたり と 挟はさむ 角かく」 が そろう なら この 公式こうしき一いち発はつ。 中学ちゅうがく の よう に 高たかさ を 探さがす 必要ひつよう が ない。

2. ヘロン の 公式こうしき

公式こうしき

3 辺あたり の 長ながさ $a,b,c$ から 面積めんせき$S$ を 直接ちょくせつ求もとめる:

$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

ここ で $s=\frac{a+b+c}{2}$ (半周長はんしゅうちょう)。

例題れいだい

$a=5,b=6,c=7$ の 面積めんせき。

$s=\frac{5+6+7}{2}=9$

$S=\sqrt{9\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=\sqrt{216}=6\sqrt{6}$

比較ひかく: 余弦よげん定理ていり経由けいゆ で も 求もとめ め られる

$\cos A$ を 出だして $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}$、 $S=\frac{1}{2}bc\sin A$。 ヘロンの公式ヘロンのこうしき は それ を まとめた もの。

ポイント: 3 辺あたり だけ が わかる とき は ヘロンの公式ヘロンのこうしき が 計算けいさん が 速はやい。 ただし $\sqrt{}$ の 計算けいさん が 出で る ので 整理せいり を 忘わすれず に。

3. 内接ないせつ円えん と 内接ないせつ円えん の 半径はんけい

三角形さんかっけい の 内接円ないせつえん

3 辺あたり すべて に 接せっする 円えん を 内接円ないせつえん と いう。 中心ちゅうしん を 内心ないしん と 呼よぶ (3 つ の 内角ないかく の 二に等分とうぶん線せん の 交点こうてん)。

半径はんけい$r$ と 面積めんせき の 関係かんけい

内接円ないせつえん の 半径はんけい$r$、 三角形さんかっけい の 面積めんせき$S$、 半周はんしゅう長ちょう$s$ の 間ま に

$S=rs$

由来ゆらい

三角形さんかっけい を 3 つ の 小しょう三角形さんかっけい ($△IAB,△IBC,△ICA$, $I$ は 内心ないしん) に 分解ぶんかい。 各かく小しょう三角形さんかっけい の 高たかさ は すべて $r$、 底辺ていへん は それぞれ $c,a,b$ なので

$S=\frac{1}{2}cr+\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br=\frac{1}{2}r(a+b+c)=rs$

例題れいだい

$a=5,b=6,c=7$ の 三角形さんかっけい の 内接円ないせつえん の 半径はんけい。

$s=9$, $S=6\sqrt{6}$ なので

$r=\frac{S}{s}=\frac{6\sqrt{6}}{9}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$

大事だいじ: $S=rs$ は 「面積めんせき = 半径はんけい × 半周はんしゅう長ちょう」 と 覚さとし え る。 ヘロンの公式ヘロンのこうしき と セット で 使し え ば 3 辺あたり だ け で 全ぜん て が 出で る。

4. 外接がいせつ円えん と 半径はんけい

三角形さんかっけい の 外接円がいせつえん

3 頂点ちょうてん すべて を 通とおる 円えん を 外接円がいせつえん と いう。 中心ちゅうしん を 外心がいしん と 呼よぶ (3 辺あたり の 垂直すいちょく二に等分とうぶん線せん の 交点こうてん)。

半径はんけい$R$ と 面積めんせき の 関係かんけい

$S=\frac{abc}{4R}\hspace{0.25em} \iff \hspace{0.25em} R=\frac{abc}{4S}$

由来ゆらい

正弦定理せいげんていり$\frac{a}{\sin A}=2R$ より $\sin A=\frac{a}{2R}$。 これ を $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ に 代入だいにゅう して

$S=\frac{1}{2}bc\cdot \frac{a}{2R}=\frac{abc}{4R}$

例題れいだい

$a=5,b=6,c=7$ の 三角形さんかっけい の 外接円がいせつえん の 半径はんけい。

$S=6\sqrt{6}$ なので

$R=\frac{abc}{4S}=\frac{5\cdot 6\cdot 7}{4\cdot 6\sqrt{6}}=\frac{210}{24\sqrt{6}}=\frac{35}{4\sqrt{6}}=\frac{35\sqrt{6}}{24}$

ポイント: 「3 辺あたり が わかれば $R$ も $r$ も 全部ぜんぶ求もとめ まる」。 ヘロンの公式ヘロンのこうしき → $S$ → $R=\frac{abc}{4S}$, $r=\frac{S}{s}$ の 流ながれ が 鉄板てっぱん。

5. 角かく の 二に等分とうぶん線せん と 内分ないぶん

角かく の 二に等分とうぶん線せん の 性質せいしつ

$△ABC$ で $\angle A$ の 二に等分とうぶん線せん が 辺$BC$ と 交まじわる 点てん を $D$ と すると

$BD:DC=AB:AC=c:b$

例題れいだい

$AB=6,AC=4,BC=7$ の とき $\angle A$ の 二に等分とうぶん線せん と $BC$ の 交点こうてん$D$ で

$BD:DC=6:4=3:2$

$BD=7\cdot \frac{3}{5}=\frac{21}{5}$, $DC=7\cdot \frac{2}{5}=\frac{14}{5}$。

大事だいじ: 「角かく を 二に等分とうぶん する 線せん は、 対辺たいへん を 隣接りんせつ する 2 辺あたり の 比ひ に 内分ないぶん する」。 中学ちゅうがく の 平行へいこう線せん の 比ひ と セット で 図形づけい問題もんだい で 大だい活躍かつやく。

6. 空間くうかん図形づけい への 応用おうよう

直方体ちょくほうたい の 対角線たいかくせん

縦$a$, 横$b$, 高たかさ $c$ の 直方体ちょくほうたい の 対角線たいかくせん の 長ちょう さ:

$d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

由来ゆらい: 底面ていめん の 対角線たいかくせん$\sqrt{a^2+b^2}$ と 高たかさ $c$ で 三平方の定理さんへいほうのていり を 2 回かい。

例題れいだい

$1\times 2\times 2$ の 直方体ちょくほうたい の 対角線たいかくせん。

$d=\sqrt{1+4+4}=3$

四よん面体めんてい (ピラミッド)

三さん角錐かくすい の 体積たいせき は

$V=\frac{1}{3}\cdot \left(底面積\right)\cdot \left(高さ\right)$

例題れいだい: 正せい四よん面体めんてい

1 辺$a$ の 正せい四よん面体めんてい ($4つの面がすべて正三角形$) の 体積たいせき。

底面ていめん (正三角形せいさんかっけい) の 面積めんせき:

$S=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$

頂点ちょうてん から 底面ていめん へ の 高たかさ $h$ は

$h=a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}a$

(底面ていめん の 重心じゅうしん から 頂点ちょうてん を 結むすぶ ぶ 直線ちょくせん で 求もとめ め る)

体積たいせき:

$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2\cdot \frac{\sqrt{6}}{3}a=\frac{\sqrt{18}}{36}{a}^3=\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^3$

空間くうかん で の 三角さんかく比ひ

空間くうかん図形づけい では、 まず 「ある 平面へいめん の 中なか で 三角形さんかっけい を 取とり出だす」 こと。 その 平面へいめん の 中なか で 第だい 6・7 章しょう の 公式こうしき を 使し う。

ポイント: 空間くうかん図形づけい は 平面へいめん に 落おとして 考かんがえる の が 鉄則てっそく。 立体りったい の まま 考こう え よう と し ない こ と。

まとめ

• 三角形さんかっけい の 面積めんせき: 底辺ていへん × 高たかさ、 $\frac{1}{2}bc\sin A$、 ヘロンの公式ヘロンのこうしき を 使し い 分ぶん け る
• 内接円ないせつえん: $S=rs$、 外接円がいせつえん: $S=\frac{abc}{4R}$
• 角かく の 二に等分とうぶん線せん は 対辺たいへん を 隣接りんせつ辺あたり の 比ひ に 内分ないぶん
• 空間くうかん図形づけい は 平面へいめん に 取とり出で し て 三角比さんかくひ を 適用てきよう

次じ章しょう から は 数学すうがく I 後半こうはん の データの分析データのぶんせき に 入はいり、 平均へいきん・分散ぶんさん・標準ひょうじゅん偏差へんさ など の 統計とうけい量りょう を 学まなび ます。