図形ずけいと計量けいりょう

この章しょうで学まなぶこと

第だい 6・7 章しょうの 三角比さんかくひ を 図形ずけい計量けいりょうの武器ぶき として使つかいこなす章しょうです。 中学ちゅうがくの 「底辺ていへん × 高たかさ ÷ 2」 では計算けいさんしにくい三角形さんかくけいや空間くうかん図形ずけいを、 正弦せいげん や 余弦よげん でエレガントに解ときます。

• 三角形さんかくけいの面積めんせき公式こうしき $S=\frac{1}{2}bc\sin A$
• ヘロンの公式へろんのこうしき (3 辺あたりから面積めんせき)
• 内接円ないせつえん の半径はんけい$r$ と $S=rs$
• 外接円がいせつえん の半径はんけい$R$ と $S=\frac{abc}{4R}$
• 空間くうかん図形ずけい (四よん面体めんてい・直方体ちょくほうたい) への応用おうよう

ポイント: 「面積めんせきをどう表あらわすか」 を状況じょうきょうで切きり替かえる こと。 与あたえられた情報じょうほう (角かく + 2 辺あたり、 3 辺あたり、 $R$、 $r$ など) で公式こうしきを選えらびます。

1. 三角形さんかくけいの面積めんせき

基本きほん (中学ちゅうがく復習ふくしゅう)

底辺ていへん$b$、 高たかさ $h$ のとき

$S=\frac{1}{2}\cdot b\cdot h$

三角さんかく比ひを使つかった公式こうしき

$△ABC$ で 2 辺$b,c$ と挟はさむ角$A$ がわかるとき

$S=\frac{1}{2}bc\sin A$

由来ゆらい: 高たかさ $h$ は $b\sin A$ で求もとめられるので、 上うえの公式こうしきに代入だいにゅうするだけ。

例題れいだい

$b=4,c=5,A=30°$ の三角形さんかくけいの面積めんせき。

$S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 5\cdot \sin 30°=10\cdot \frac{1}{2}=5$

どの角かくでも OK

$S=\frac{1}{2}ca\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C$

大事だいじ: 「2 辺あたりと挟はさむ角かく」 がそろうならこの公式こうしき一いち発はつ。 中学ちゅうがくのように高たかさを探さがす必要ひつようがない。

2. ヘロンの公式こうしき

公式こうしき

3 辺あたりの長ながさ $a,b,c$ から面積めんせき$S$ を直接ちょくせつ求もとめる:

$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

ここで $s=\frac{a+b+c}{2}$ (半周長はんしゅうちょう)。

例題れいだい

$a=5,b=6,c=7$ の面積めんせき。

$s=\frac{5+6+7}{2}=9$

$S=\sqrt{9\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=\sqrt{216}=6\sqrt{6}$

比較ひかく: 余弦よげん定理ていり経由けいゆでも求もとめられる

$\cos A$ を出だして $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}$、 $S=\frac{1}{2}bc\sin A$。 ヘロンの公式へろんのこうしき はそれをまとめたもの。

ポイント: 3 辺あたりだけ がわかるときは ヘロンの公式へろんのこうしき が計算けいさんが速はやい。 ただし $\sqrt{}$ の計算けいさんが出でるので整理せいりを忘わすれずに。

3. 内接ないせつ円えんと内接ないせつ円えんの半径はんけい

三角形さんかくけいの 内接円ないせつえん

3 辺あたりすべてに接せっする円えんを 内接円ないせつえん という。 中心ちゅうしんを 内心ないしん と呼よぶ (3 つの内角ないかくの二に等分とうぶん線せんの交点こうてん)。

半径はんけい$r$ と面積めんせきの関係かんけい

内接円ないせつえん の半径はんけい$r$、 三角形さんかくけいの面積めんせき$S$、 半周はんしゅう長ちょう$s$ の間まに

$S=rs$

由来ゆらい

三角形さんかくけいを 3 つの小しょう三角形さんかくけい ($△IAB,△IBC,△ICA$, $I$ は 内心ないしん) に分解ぶんかい。 各かく小しょう三角形さんかくけいの高たかさはすべて $r$、 底辺ていへんはそれぞれ $c,a,b$ なので

$S=\frac{1}{2}cr+\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br=\frac{1}{2}r(a+b+c)=rs$

例題れいだい

$a=5,b=6,c=7$ の三角形さんかくけいの 内接円ないせつえん の半径はんけい。

$s=9$, $S=6\sqrt{6}$ なので

$r=\frac{S}{s}=\frac{6\sqrt{6}}{9}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$

大事だいじ: $S=rs$ は 「面積めんせき = 半径はんけい × 半周はんしゅう長ちょう」 と覚おぼえる。 ヘロンの公式へろんのこうしき とセットで使つかえば 3 辺あたりだけで全すべてが出でる。

4. 外接がいせつ円えんと半径はんけい

三角形さんかくけいの 外接円がいせつえん

3 頂点ちょうてんすべてを通とおる円えんを 外接円がいせつえん という。 中心ちゅうしんを 外心がいしん と呼よぶ (3 辺あたりの垂直すいちょく二に等分とうぶん線せんの交点こうてん)。

半径はんけい$R$ と面積めんせきの関係かんけい

$S=\frac{abc}{4R}\hspace{0.25em} \iff \hspace{0.25em} R=\frac{abc}{4S}$

由来ゆらい

正弦定理せいげんていり $\frac{a}{\sin A}=2R$ より $\sin A=\frac{a}{2R}$。 これを $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ に代入だいにゅうして

$S=\frac{1}{2}bc\cdot \frac{a}{2R}=\frac{abc}{4R}$

例題れいだい

$a=5,b=6,c=7$ の三角形さんかくけいの 外接円がいせつえん の半径はんけい。

$S=6\sqrt{6}$ なので

$R=\frac{abc}{4S}=\frac{5\cdot 6\cdot 7}{4\cdot 6\sqrt{6}}=\frac{210}{24\sqrt{6}}=\frac{35}{4\sqrt{6}}=\frac{35\sqrt{6}}{24}$

ポイント: 「3 辺あたりがわかれば $R$ も $r$ も全部ぜんぶ求もとまる」。 ヘロンの公式へろんのこうしき → $S$ → $R=\frac{abc}{4S}$, $r=\frac{S}{s}$ の流ながれが鉄板てっぱん。

5. 角かくの二に等分とうぶん線せんと内分ないぶん

角かくの二に等分とうぶん線せんの性質せいしつ

$△ABC$ で $\angle A$ の二に等分とうぶん線せんが辺$BC$ と交まじわる点てんを $D$ とすると

$BD:DC=AB:AC=c:b$

例題れいだい

$AB=6,AC=4,BC=7$ のとき $\angle A$ の二に等分とうぶん線せんと $BC$ の交点こうてん$D$ で

$BD:DC=6:4=3:2$

$BD=7\cdot \frac{3}{5}=\frac{21}{5}$, $DC=7\cdot \frac{2}{5}=\frac{14}{5}$。

大事だいじ: 「角かくを二に等分とうぶんする線せんは、 対辺たいへんを隣接りんせつする 2 辺あたりの比ひに内分ないぶんする」。 中学ちゅうがくの平行へいこう線せんの比ひとセットで図形ずけい問題もんだいで大だい活躍かつやく。

6. 空間くうかん図形ずけいへの応用おうよう

直方体ちょくほうたいの対角線たいかくせん

縦$a$, 横$b$, 高たかさ $c$ の直方体ちょくほうたいの対角線たいかくせんの長ながさ:

$d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

由来ゆらい: 底面ていめんの対角線たいかくせん$\sqrt{a^2+b^2}$ と高たかさ $c$ で 三平方の定理さんへいほうのていり を 2 回かい。

例題れいだい

$1\times 2\times 2$ の直方体ちょくほうたいの対角線たいかくせん。

$d=\sqrt{1+4+4}=3$

四よん面体めんてい (ピラミッド)

三さん角錐かくすいの体積たいせきは

$V=\frac{1}{3}\cdot \left(底面積\right)\cdot \left(高さ\right)$

例題れいだい: 正せい四よん面体めんてい

1 辺$a$ の正せい四よん面体めんてい ($4つの面がすべて正三角形$) の体積たいせき。

底面ていめん (正三角形せいさんかっけい) の面積めんせき:

$S=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$

頂点ちょうてんから底面ていめんへの高たかさ $h$ は

$h=a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}a$

(底面ていめんの 重心じゅうしん から頂点ちょうてんを結むすぶ直線ちょくせんで求もとめる)

体積たいせき:

$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2\cdot \frac{\sqrt{6}}{3}a=\frac{\sqrt{18}}{36}{a}^3=\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^3$

空間くうかんでの三角さんかく比ひ

空間くうかん図形ずけいでは、 まず 「ある平面へいめんの中なかで三角形さんかくけいを取とり出だす」 こと。 その平面へいめんの中なかで第だい 6・7 章しょうの公式こうしきを使つかう。

ポイント: 空間くうかん図形ずけいは 平面へいめんに落おとして考かんがえる のが鉄則てっそく。 立体りったいのまま考かんがえようとしないこと。

まとめ

• 三角形さんかくけいの面積めんせき: 底辺ていへん × 高たかさ、 $\frac{1}{2}bc\sin A$、 ヘロンの公式へろんのこうしき を使つかい分わける
• 内接円ないせつえん: $S=rs$、 外接円がいせつえん: $S=\frac{abc}{4R}$
• 角かくの二に等分とうぶん線せんは対辺たいへんを隣接りんせつ辺あたりの比ひに 内分ないぶん
• 空間くうかん図形ずけいは平面へいめんに取とり出だして 三角比さんかくひ を適用てきよう

次じ章しょうからは数学すうがく I 後半こうはんの データの分析データのぶんせき に入はいり、 平均へいきん・分散ぶんさん・標準ひょうじゅん偏差へんいなどの統計とうけい量りょうを学まなびます。