データの分析ぶんせき

この 章しょう で 学まなぶ こと

中学ちゅうがく で 学まなんだ 「平均へいきん」 「中央ちゅうおう値ち」 を 高校こうこう では 統計学とうけいがく の 入口いりぐち として 体系たいけい化か し、 さらに 分散ぶんさん・標準偏差ひょうじゅんへんさ と いう データ の 「ばらつき」 を 表あらわす 量りょう を 学まなび ます。 第だい 10 章しょう の 相関そうかん と セット。

• データ の 代表だいひょう値ち (平均値へいきんち・中央値ちゅうおうち・最頻値さいひんち)
• 四分位数しぶんいすう と 箱ひげ図はこひげず
• 分散ぶんさん と 標準偏差ひょうじゅんへんさ の 計算けいさん
• 公式こうしき$V=x^2‾-(xˉ{)}^2$ の 使つかい 方かた
• データ の 変換へんかん と 統計とうけい量りょう の 変化へんか

ポイント: 「データ が どれ くらい 中央ちゅうおう に 集あつまって いる か」 を 数かず で 表あらわす 章しょう です。 大学だいがく入試にゅうし共通きょうつう テスト で 必出で の テーマ。

1. データ の 代表だいひょう値ち

3 つ の 代表だいひょう値ち

名前なまえ	定義ていぎ	強つよみ
**[[平均値	へいきんち]]** $xˉ$	$\frac{1}{n}\sum x_i$
**[[中央値	ちゅうおうち]]** (メジアン)	データ を 並ならべた 真しんん 中なか
**[[最頻値	さいひんち]]** (モード)	最もっとも 多おお く 出で る 値ね

例題れいだい

データ: $3,5,7,8,8,10,12$ ($n=7$)。

代表だいひょう値ち	値ね
平均へいきん値ち	$\frac{3+5+7+8+8+10+12}{7}=\frac{53}{7}\approx 7.57$
中央ちゅうおう値ち	並なみ べ た 4 番ばん目め = $8$
最さい頻しき値ね	2 回かい出で る $8$

偶数ぐうすう個こ の 中央ちゅうおう値ち

データ 数かず が 偶数ぐうすう の とき、 中央ちゅうおう値ち は 中央ちゅうおう の 2 つ の 平均へいきん。

例れい: $1,3,5,8$ → 中央ちゅうおう値ち$=\frac{3+5}{2}=4$。

大事だいじ: 外れ値はずれち (極端きょくたん に 大おおきい / 小ちいさい 値ね) が ある とき は 中央ちゅうおう値ち の ほう が 実態じったい を 表ひょう し ま す。 平均へいきん だ け を 信しん じ な い こ と。

2. 四よん分ふん位い数すう と 箱はこひげ図ず

四よん分ふん位い数すう

データ を 大おおき さ の 順じゅん に 並なみ べ て 4 等分とうぶん する 区切くぎり の 値ね:

名前なまえ	記号きごう	意味いみ
**第だい 1 [[四分位数	しぶんいすう]]**	$Q_1$
第だい 2 四よん分ふん位い数すう	$Q_2$	$50\%$ (= 中央ちゅうおう値ち)
第だい 3 四よん分ふん位い数すう	$Q_3$	$75\%$

四よん分ふん位い範囲はんい

$四分位範囲=Q_3-Q_1$

これ が データ の 「中央ちゅうおう半分はんぶん の はば」 を 表ひょう し ま す。

例題れいだい

データ ($n=9$): $2,3,5,6,7,8,9,11,14$。

中央ちゅうおう値ち$Q_2=7$ (5 番ばん目め)。

下しも半分はんぶん$2,3,5,6$ の 中央ちゅうおう値ち → $Q_1=\frac{3+5}{2}=4$。

上うえ半分はんぶん$8,9,11,14$ の 中央ちゅうおう値ち → $Q_3=\frac{9+11}{2}=10$。

四よん分ふん位い範囲はんい$=10-4=6$。

箱はこひげ図ず

最小さいしょう値ち・$Q_1$・$Q_2$・$Q_3$・最大さいだい値ち の 5 数かず を 箱はこ と ひげ で 表あらわす 図ず。

部分ぶぶん	表あらわす もの
箱はこ の 左端ひだりはし	$Q_1$
箱はこ の 中なか の 線せん	$Q_2$ (中央ちゅうおう値ち)
箱はこ の 右端みぎはし	$Q_3$
ひげ の 左端ひだりはし	最小さいしょう値ち
ひげ の 右端みぎはし	最大さいだい値ち

5 数かず	値ね
最小さいしょう値ち	$2$
$Q_1$	$4$
$Q_2$	$7$
$Q_3$	$10$
最大さいだい値ち	$14$

ポイント: 箱ひげ図はこひげず は 複数ふくすう の データ を 並なみ べ て 比較ひかく す る の に 強つよ い。 平均へいきん値ち だ け で は 見み え な い 「ば ら つ き」 が 一目いちもく で わ か り ま す。

3. 分散ぶんさん と 標準ひょうじゅん偏差へんさ

偏差へんさ

各かく データ $x_i$ と 平均へいきん$xˉ$ の 差さ:

$x_i-xˉ$

これ が 偏差へんさ。 偏差へんさ を そのまま 平均へいきん する と 必かならず $0$ に なる ($+$ と $-$ が 打だ ち 消しょう し 合ごう う)。

分散ぶんさん

偏差へんさ の 平方へいほう の 平均へいきん:

$V=\frac{1}{n}\sum i=1n(x_i-xˉ{)}^2$

標準ひょうじゅん偏差へんさ

分散ぶんさん の 平方根へいほうこん:

$\sigma =\sqrt{V}$

(ギリシャ 文字もじ シグマ で 表あらわす。 単位たんい が 元もと の データ と 同おなじ に 戻もど る)

例題れいだい

データ: $2,4,6,8,10$ ($n=5$)。

平均へいきん$xˉ=6$。

$x_i$	$x_i-xˉ$	$(x_i-xˉ{)}^2$
$2$	$-4$	$16$
$4$	$-2$	$4$
$6$	$0$	$0$
$8$	$2$	$4$
$10$	$4$	$16$
計けい	$0$	$40$

分散ぶんさん$V=\frac{40}{5}=8$、 標準ひょうじゅん偏差へんさ$\sigma =\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。

大事だいじ: 標準偏差ひょうじゅんへんさ は 「データ が 平均へいきん から どれ くらい 離はなれ れ て い る か の 平均へいきん的てき な 大だい き さ」。 単位たんい が データ と 同おなじ な ので 直感ちょっかん的てき に わ か り や す い。

4. 分散ぶんさん の 別べつ公式こうしき

公式こうしき

$V=x^2‾-(xˉ{)}^2$

(平均へいきん の 平方へいほう を 引 い た 「平方へいほう の 平均へいきん」)

由来ゆらい

$V=\frac{1}{n}\sum (x_i-xˉ{)}^2=\frac{1}{n}\sum xi2-2xˉ\cdot \frac{1}{n}\sum x_i+x^{ˉ}$ $=x^2‾-2x^{ˉ}+x^{ˉ}=x^2‾-x^{ˉ}$

例題れいだい (再掲さいけい)

データ $2,4,6,8,10$:

$x^2‾=\frac{4+16+36+64+100}{5}=\frac{220}{5}=44$

$V=44-6^2=44-36=8$

(さき の 結果けっか と 一致いっち)

ポイント: データ 数かず が 多おおい とき は こ の 別べつ公式こうしき の ほう が 速はや い。 偏差へんさ を いち いち 出で さ ず に 済すみ む。

5. データ の 変換へんかん と 統計とうけい量りょう

平均へいきん・分散ぶんさん の 性質せいしつ

各かく データ を $y_i=a{x}_i+b$ と 線形せんけい変換へんかん した とき:

統計とうけい量りょう	変化へんか
平均へいきん	$yˉ=axˉ+b$
分散ぶんさん	$V_y=a^2{V}_x$
標準ひょうじゅん偏差へんさ	$\sigma_y =

例題れいだい

平均へいきん$50$, 標準ひょうじゅん偏差へんさ$10$ の テスト の 点数てんすう を $y=0.5x+25$ に 変換へんかん すると:

統計とうけい量りょう	値ね
$yˉ$	$0.5\cdot 50+25=50$ (変へん わ ら ず)
${\sigma }_y$	$0.5\cdot 10=5$ (半分はんぶん に)

偏差へんさ値ち

$T=\frac{x-xˉ}{\sigma }\cdot 10+50$

平均へいきん$50$, 標準ひょうじゅん偏差へんさ$10$ に 標準ひょうじゅん化か した 値ね。 自分じぶん が 集団しゅうだん の どの あたり に いる か を 比較ひかく する の に 使し い ま す。

大事だいじ: 線形せんけい変換へんかん で 平均へいきん は 同どう じ よ う に 動どう く が、 分散ぶんさん は $a^2$倍 (定数ていすう$b$ は 影響えいきょう し な い)。 ここ が 試験しけん で よ く 問もん わ れ ま す。

6. 例題れいだい (総合そうごう)

10 人ひと の テスト 点数てんすう: $40,50,60,60,65,70,75,80,85,95$。

(1) 平均へいきん

$xˉ=\frac{40+50+60+60+65+70+75+80+85+95}{10}=\frac{680}{10}=68$

(2) 中央ちゅうおう値ち ($n=10$, 偶数ぐうすう)

5 番ばん目め と 6 番ばん目め の 平均へいきん: $\frac{65+70}{2}=67.5$

(3) 分散ぶんさん (別べつ公式こうしき)

$x^2‾=\frac{1600+2500+3600+3600+4225+4900+5625+6400+7225+9025}{10}=\frac{48700}{10}=4870$

$V=4870-{68}^2=4870-4624=246$

(4) 標準ひょうじゅん偏差へんさ

$\sigma =\sqrt{246}\approx 15.7$

ポイント: 「平均へいきん → 平方へいほう の 平均へいきん → 分散ぶんさん = 平方へいほう の 平均へいきん - 平均へいきん の 平方へいほう → 標準ひょうじゅん偏差へんさ」 の 4 ステップ。 計算けいさん を 表ひょう に し て 進すすむ め る と ミス が 減げん り ま す。

まとめ

• 代表だいひょう値ち は 平均へいきん・中央ちゅうおう値ち・最さい頻しき値ね を 状況じょうきょう で 使つかい 分ぶん け
• 四分位数しぶんいすう と 箱ひげ図はこひげず で データ の 「広ひろ が り」 を 視覚しかく化か
• 分散ぶんさん = 偏差へんさ平方へいほう の 平均へいきん、 標準偏差ひょうじゅんへんさ = 分散ぶんさん の $\sqrt{}$
• 別べつ公式こうしき$V=x^2‾-(xˉ{)}^2$ が 計算けいさん に 便利べんり
• $y=ax+b$ で 平均へいきん は 線形せんけい、 分散ぶんさん は $a^2$倍

次じ章しょう で は 「2 つ の デ ー タ の 関係かんけい」 を 表ひょう す 相関係数そうかんけいすう と 散布図さんぷず を 学がく び、 データの分析データのぶんせき を 完結かんけつ さ せ ま す。