数学すうがくI｜データの分析ぶんせき

この章しょうで学まなぶこと

中学ちゅうがくで学まなんだ 「平均へいきん」 「中央ちゅうおう値ち」 を高校こうこうでは 統計学とうけいがく の入口いりぐちとして体系たいけい化かし、 さらに 分散ぶんさん・標準偏差ひょうじゅんへんさ というデータの 「ばらつき」 を表あらわす量りょうを学まなびます。 第だい 10 章しょうの相関そうかんとセット。

• データの 代表だいひょう値ち (平均値へいきんち・中央値ちゅうおうち・最頻値さいひんち)
• 四分位数しぶんいすう と 箱ひげ図はこひげず
• 分散ぶんさん と 標準偏差ひょうじゅんへんさ の計算けいさん
• 公式こうしき$V=x^2‾-(xˉ{)}^2$ の使つかい方かた
• データの変換へんかんと統計とうけい量りょうの変化へんか

ポイント: 「データが どれくらい中央ちゅうおうに集あつまっているか」 を数かずで表あらわす章しょうです。 大学だいがく入試にゅうし共通きょうつうテストで必出でのテーマ。

1. データの代表だいひょう値ち

3 つの代表だいひょう値ち

名前なまえ	定義ていぎ	強つよみ
平均値へいきんち $xˉ$	$\frac{1}{n}\sum x_i$	全体ぜんたいの中心ちゅうしんを表あらわす
中央値ちゅうおうち (メジアン)	データを並ならべた真まん中なか	外れ値はずれちに影響えいきょうされない
最頻値さいひんち (モード)	最もっとも多おおく出でる値あたい	カテゴリデータで有用ゆうよう

例題れいだい

データ: $3,5,7,8,8,10,12$ ($n=7$)。

代表だいひょう値ち	値あたい
平均へいきん値ち	$\frac{3+5+7+8+8+10+12}{7}=\frac{53}{7}\approx 7.57$
中央ちゅうおう値ち	並ならべた 4 番ばん目め = $8$
最頻値さいひんち	2 回かい出でる $8$

偶数ぐうすう個この中央ちゅうおう値ち

データ数すうが偶数ぐうすうのとき、 中央ちゅうおう値ちは中央ちゅうおうの 2 つの平均へいきん。

例れい: $1,3,5,8$ → 中央ちゅうおう値ち$=\frac{3+5}{2}=4$。

大事だいじ: 外れ値はずれち (極端きょくたんに大おおきい / 小ちいさい値あたい) があるときは 中央ちゅうおう値ち のほうが実態じったいを表あらわします。 平均へいきんだけを信しんじないこと。

2. 四分位数しぶんいすうと箱はこひげ図ず

四分位数しぶんいすう

データを大おおきさの順じゅんに並ならべて 4 等分とうぶんする区切くぎりの値あたい:

名前なまえ	記号きごう	意味いみ
第だい 1 四分位数しぶんいすう	$Q_1$	下したから $25\%$ の位置いち
第だい 2 四分位数しぶんいすう	$Q_2$	$50\%$ (= 中央ちゅうおう値ち)
第だい 3 四分位数しぶんいすう	$Q_3$	$75\%$

四よん分ふん位い範囲はんい

$四分位範囲=Q_3-Q_1$

これがデータの 「中央ちゅうおう半はん分ぶんのはば」 を表あらわします。

例題れいだい

データ ($n=9$): $2,3,5,6,7,8,9,11,14$。

中央ちゅうおう値ち$Q_2=7$ (5 番ばん目め)。

下しも半分はんぶん$2,3,5,6$ の中央ちゅうおう値ち → $Q_1=\frac{3+5}{2}=4$。

上うえ半分はんぶん$8,9,11,14$ の中央ちゅうおう値ち → $Q_3=\frac{9+11}{2}=10$。

四よん分ふん位い範囲はんい$=10-4=6$。

箱はこひげ図ず

最小値さいしょうち・$Q_1$・$Q_2$・$Q_3$・最大値さいだいちの 5 数かずを箱はことひげで表あらわす図ず。

部分ぶぶん	表あらわすもの
箱はこの左端ひだりはし	$Q_1$
箱はこの中なかの線せん	$Q_2$ (中央ちゅうおう値ち)
箱はこの右端みぎはし	$Q_3$
ひげの左端ひだりはし	最小値さいしょうち
ひげの右端みぎはし	最大値さいだいち

5 数かず	値あたい
最小値さいしょうち	$2$
$Q_1$	$4$
$Q_2$	$7$
$Q_3$	$10$
最大値さいだいち	$14$

ポイント: 箱ひげ図はこひげずは 複数ふくすうのデータを並ならべて比較ひかく するのに強つよい。 平均へいきん値ちだけでは見みえない 「ばらつき」 が一目ひとめでわかります。

3. 分散ぶんさんと標準ひょうじゅん偏差へんい

偏差へんい

各かくデータ $x_i$ と平均へいきん$xˉ$ の差さ:

$x_i-xˉ$

これが 偏差へんい。 偏差へんいをそのまま平均へいきんすると必かならず $0$ になる ($+$ と $-$ が打うち消けし合あう)。

分散ぶんさん

偏差へんいの 平方へいほう の平均へいきん:

$V=\frac{1}{n}\sum i=1n(x_i-xˉ{)}^2$

標準ひょうじゅん偏差へんい

分散ぶんさんの平方根へいほうこん:

$\sigma =\sqrt{V}$

(ギリシャ文字もじシグマで表あらわす。 単位たんいが元もとのデータと同おなじに戻もどる)

例題れいだい

データ: $2,4,6,8,10$ ($n=5$)。

平均へいきん$xˉ=6$。

$x_i$	$x_i-xˉ$	$(x_i-xˉ{)}^2$
$2$	$-4$	$16$
$4$	$-2$	$4$
$6$	$0$	$0$
$8$	$2$	$4$
$10$	$4$	$16$
計けい	$0$	$40$

分散ぶんさん$V=\frac{40}{5}=8$、 標準ひょうじゅん偏差へんい$\sigma =\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。

大事だいじ: 標準偏差ひょうじゅんへんさは 「データが平均へいきんからどれくらい離はなれているかの平均へいきん的てきな大おおきさ」。 単位たんいがデータと同おなじなので直感ちょっかん的てきにわかりやすい。

4. 分散ぶんさんの別べつ公式こうしき

公式こうしき

$V=x^2‾-(xˉ{)}^2$

(平均へいきんの平方へいほうを引ひいた 「平方へいほうの平均へいきん」)

由来ゆらい

$V=\frac{1}{n}\sum (x_i-xˉ{)}^2=\frac{1}{n}\sum xi2-2xˉ\cdot \frac{1}{n}\sum x_i+x^{ˉ}$ $=x^2‾-2x^{ˉ}+x^{ˉ}=x^2‾-x^{ˉ}$

例題れいだい (再掲さいけい)

データ $2,4,6,8,10$:

$x^2‾=\frac{4+16+36+64+100}{5}=\frac{220}{5}=44$

$V=44-6^2=44-36=8$

(さきの結果けっかと一致いっち)

ポイント: データ数すうが多おおいとき はこの別べつ公式こうしきのほうが速はやい。 偏差へんいをいちいち出ださずに済すむ。

5. データの変換へんかんと統計とうけい量りょう

平均へいきん・分散ぶんさんの性質せいしつ

各かくデータを $y_i=a{x}_i+b$ と線形せんけい変換へんかんしたとき:

統計とうけい量りょう	変化へんか
平均へいきん	$yˉ=axˉ+b$
分散ぶんさん	$V_y=a^2{V}_x$
標準ひょうじゅん偏差へんい	${\sigma }_y=\mid a\mid {\sigma }_x$

例題れいだい

平均へいきん$50$, 標準ひょうじゅん偏差へんい$10$ のテストの点数てんすうを $y=0.5x+25$ に変換へんかんすると:

統計とうけい量りょう	値あたい
$yˉ$	$0.5\cdot 50+25=50$ (変かわらず)
${\sigma }_y$	$0.5\cdot 10=5$ (半分はんぶんに)

偏差へんい値

$T=\frac{x-xˉ}{\sigma }\cdot 10+50$

平均へいきん$50$, 標準ひょうじゅん偏差へんい$10$ に標準ひょうじゅん化かした値あたい。 自分じぶんが集団しゅうだんのどのあたりにいるかを比較ひかくするのに使つかいます。

大事だいじ: 線形せんけい変換へんかんで 平均へいきんは同おなじように動うごく が、 分散ぶんさんは $a^2$倍 (定数ていすう$b$ は影響えいきょうしない)。 ここが試験しけんでよく問とわれます。

6. 例題れいだい (総合そうごう)

10 人ひとのテスト点数てんすう: $40,50,60,60,65,70,75,80,85,95$。

(1) 平均へいきん

$xˉ=\frac{40+50+60+60+65+70+75+80+85+95}{10}=\frac{680}{10}=68$

(2) 中央ちゅうおう値ち ($n=10$, 偶数ぐうすう)

5 番ばん目めと 6 番ばん目めの平均へいきん: $\frac{65+70}{2}=67.5$

(3) 分散ぶんさん (別べつ公式こうしき)

$x^2‾=\frac{1600+2500+3600+3600+4225+4900+5625+6400+7225+9025}{10}=\frac{48700}{10}=4870$

$V=4870-{68}^2=4870-4624=246$

(4) 標準ひょうじゅん偏差へんい

$\sigma =\sqrt{246}\approx 15.7$

ポイント: 「平均へいきん → 平方へいほうの平均へいきん → 分散ぶんさん = 平方へいほうの平均へいきん - 平均へいきんの平方へいほう → 標準ひょうじゅん偏差へんい」 の 4 ステップ。 計算けいさんを表ひょうにして進すすめるとミスが減へります。

まとめ

• 代表だいひょう値ちは 平均へいきん・中央ちゅうおう値ち・最頻値さいひんち を状況じょうきょうで使つかい分わけ
• 四分位数しぶんいすうと箱ひげ図はこひげずでデータの 「広ひろがり」 を視覚しかく化か
• 分散ぶんさん = 偏差へんい平方へいほうの平均へいきん、 標準偏差ひょうじゅんへんさ = 分散ぶんさんの $\sqrt{}$
• 別べつ公式こうしき$V=x^2‾-(xˉ{)}^2$ が計算けいさんに便利べんり
• $y=ax+b$ で平均へいきんは線形せんけい、 分散ぶんさんは $a^2$倍

次じ章しょうでは 「2 つのデータの関係かんけい」 を表あらわす 相関係数そうかんけいすう と 散布図さんぷず を学まなび、 データの分析データのぶんせきを完結かんけつさせます。