数かずと式しき — 実数じっすうの分類ぶんるい・整式せいしきの展開てんかいと因数いんすう分解ぶんかい

この 章しょう で 学まなぶ こと

高校こうこう数学すうがくI の 出発しゅっぱつ点てん です。 中学ちゅうがく で 学まなんだ 「文字もじ式しき」 「平方根へいほうこん」 を 高校こうこう では 実数じっすう と 整式せいしき と いう 形かたち で 整理せいり し なおし ます。 ここ で の 計算けいさん力りょく が、 第だい 4 章しょう以降いこう の 二次関数にじかんすう や 第だい 6 章しょう の 三角比さんかくひ の 土台どだい に なり ます。

• 実数じっすう の 分類ぶんるい を 理解りかい する (自然数しぜんすう・整数せいすう・有理数ゆうりすう・無理数むりすう)
• 整式せいしき の 加法かほう・減法げんぽう・乗法じょうほう を 自由じゆう に 計算けいさん できる
• 展開てんかい の 公式こうしき を 使つかい こなす
• 因数分解いんすうぶんかい の パターン を 見みぬく
• 絶対値ぜったいち と 平方根へいほうこん を 正まさしく 扱あつかう

ポイント: 中学ちゅうがく と の 一番いちばん の 違ちがい は 「文字もじ式しき を 1 つ の 数かず として 自在じざい に 動うごかす」 こと です。 $(x+2)(x-3)$ を 一瞬いっしゅん で $x^2-x-6$ に 直なおせる よう に なる の が、 この 章しょう の ゴール。

1. 実数じっすう の 分類ぶんるい

数かず の 仲間なかま を 整理せいり する

中学ちゅうがく で 出会であった 数かず を、 高校こうこう では 実数じっすう と いう 大おおきな くく り で とらえ なおし ます。

名前なまえ	意味いみ	例れい
**[[自然数	しぜんすう]]**	1, 2, 3, ... の 正ただし の [[整数
**[[整数	せいすう]]**	自然しぜん数すう と 0 と 負まけ の 整数せいすう
**[[有理数	ゆうりすう]]**	分数ぶんすう で 表あらわせる 数かず
**[[無理数	むりすう]]**	分数ぶんすう で 表あらわせ ない 数かず
**[[実数	じっすう]]**	有理数ゆうりすう と 無理むり数すう を あわせた もの

有理数ゆうりすう と 無理むり数すう の 見分みわけ方かた

| 性質せいしつ | 有理数ゆうりすう | 無理数むりすう | |---|---|---| | 小しょう数表示すうひょうじ | 有限ゆうげん小数しょうすう か 循環小数じゅんかんしょうすう | 無限むげん に 続つづき 循環じゅんかん し ない | | 例れい | $\frac{1}{3}=\mathrm{0.333...}$ | $\sqrt{2}=\mathrm{1.41421356...}$ | | 分数ぶんすう化か | 必かならず できる | できない |

大事だいじ: $\sqrt{4}=2$ は 有理数ゆうりすう です。 「ルート が ついて いる から 無理むり数すう」 と は 限かぎり ません。 中身なかみ が 平方数へいほうすう か どう か を 必かならず 確認かくにん し ましょう。

数かず直線ちょくせん上じょう の イメージ

区間くかん表記ひょうき	意味いみ	例れい
$a\le x\le b$	$a$以上いじょう$b$以下いか	$0\le x\le 3$
	$a$ より [大	おお]きく $b$ より [小
	$a$[以上	いじょう]$b$[未満

2. 整式せいしき の 計算けいさん

用語ようご の 確認かくにん

文字もじ を 含ふくむ 式しき で、 加法かほう・減法げんぽう・乗法じょうほう だけ で できて いる もの を 整式せいしき と いい ます。

| 用語ようご | 意味いみ | 例れい | |---|---|---| | 項こう | 整式せいしき を $+$ で つない だ ひと まとまり | $3x^2$, $-5x$, $7$ | | 係数けいすう | 文字もじ に かかって いる 数かず | $3x^2$ の 係数けいすう は $3$ | | 次数じすう | 文字もじ が かけ られて いる 個数こすう | $3x^2$ の 次数じすう は $2$ | | 定数項ていすうこう | 文字もじ を 含ふくま ない 項こう | $3x^2-5x+7$ の $7$ |

整式せいしき の 加減かげん

同類項どうるいこう (文字もじ部分ぶぶん が 同おなじ 項こう) を まとめ ます。

例れい: $(3x^2-2x+1)+(x^2+5x-4)=4x^2+3x-3$

整式せいしき の 乗法じょうほう

分配ぶんぱい法則ほうそく を 使つかい、 すべて の 項こう を かけ合あわせ ます。

例れい: $(x+2)(x^2-3x+1)=x^3-3x^2+x+2x^2-6x+2=x^3-x^2-5x+2$

ポイント: 計算けいさん ミス を 防ふせぐ コツ は、 同類項どうるいこう を 縦たて に そろえ て 書かく こと。 高校こうこう で は 4 次つぎ・5 次つぎ の 整式せいしき も 出でて くる ので、 早はやい うち に 整理せいり する 習慣しゅうかん を つけ ましょう。

3. 展開てんかい の 公式こうしき

中学ちゅうがく で 学まなんだ $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ を 拡張かくちょう し ます。

必須ひっす の 展開公式てんかいこうしき

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$ $(ax+b)(cx+d)=ac{x}^2+(ad+bc)x+bd$

3 数かず の 平方へいほう

$(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

3 乗じょう の 公式こうしき

$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$ $(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

例題れいだい

$(2x-3{)}^2$ を 展開てんかい せよ。

$(2x-3{)}^2=(2x{)}^2-2\cdot 2x\cdot 3+3^2=4x^2-12x+9$

大事だいじ: 公式こうしき の $a,b$ に は どんな 式しき でも 入いれ られ ます。 $(2x+3{)}^2$ なら $a=2x$, $b=3$ と 見みて 当あてはめ ます。

4. 因数いんすう分解ぶんかい

展開てんかい の 逆ぎゃく操作そうさ が 因数分解いんすうぶんかい です。 「式しき を いくつ か の 積つむ に 直なおす」 と 覚おぼえ ましょう。

共通きょうつう因数いんすう を くくり出だす

$6x^2+9x=3x(2x+3)$

公式こうしき利用りよう

$x^2+2ax+a^2=(x+a{)}^2$ $x^2-a^2=(x+a)(x-a)$ $x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$

たすき掛かけ

$a{x}^2+bx+c$ の 因数いんすう分解ぶんかい で、 係数けいすう が 1 で ない 場合ばあい に 使つかい ます。

例れい: $2x^2+7x+3$ を 因数いんすう分解ぶんかい する。

		$\to$ かけ算ざん
$2x$	$1$	$2x$
$1x$	$3$	$6x$

たすき掛かけ の 和わ が $2x+6x=8x$ では 合ごうわ ない ので 並ならべ替がえ。

		$\to$ かけ算ざん
$2x$	$1$	$1x$
$1x$	$3$	$6x$

和$=1x+6x=7x$ で 一致いっち。 よって

$2x^2+7x+3=(2x+1)(x+3)$

ポイント: たすき掛かけ は 慣なれる まで 試行錯誤しこうさくご が 必要ひつよう です。 まず $a=2,c=3$ の 約数やくすう の 組くみ を 全ぜん パターン 書かき出だし、 和わ が $b=7$ に なる もの を さがす 流ながれ で 練習れんしゅう し ましょう。

5. 絶対ぜったい値ち

数かず直線ちょくせん上じょう で 0 から の 距離きょり を 表あらわす の が 絶対値ぜったいち です。

例れい

| 式しき | 値ね | |---|---| | $\mid 3\mid$ | $3$ | | $\mid -5\mid$ | $5$ | | $\mid 0\mid$ | $0$ | | $\mid 2-7\mid$ | $\mid -5\mid =5$ |

文字もじ を 含ふくむ 場合ばあい の 場合ばあい分わけ

$\mid x-2\mid$ を 簡単かんたん に せよ。

| 範囲はんい | $x-2$ の 符号ふごう | $\mid x-2\mid$ | |---|---|---| | $x\ge 2$ | $+$ または $0$ | $x-2$ | | | $-$ | $-(x-2)=2-x$ |

大事だいじ: 絶対ぜったい値ち は 「マイナス を プラス に する 装置そうち」 と イメージ する と わかり やすい。 第だい 3 章しょう の 絶対値ぜったいち を 含ふくむ 不等式ふとうしき で この 場合ばあい分わけ を 多用たよう し ます。

6. 平方根へいほうこん の 計算けいさん

基本きほん性質せいしつ

$\sqrt{a^2}=\mid a\mid ,(\sqrt{a}{)}^2=a(a\ge 0)$ $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}(a,b\ge 0)$ $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a\ge 0,b>0)$

分母ぶんぼ の 有理ゆうり化か

$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

二に重じゅう根号こんごう

$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}(a\ge b\ge 0)$

例: $\sqrt{5+2\sqrt{6}}$ を 簡単かんたん に せよ。

$5=2+3$, $6=2\cdot 3$ より

$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$

ポイント: 分母ぶんぼ に 根号こんごう が ある 形かたち は 必かならず 有理化ゆうりか し て 答こたえ ます。 高校こうこう数学すうがく の マナー です。

まとめ

• 実数じっすう は 有理数ゆうりすう (有限ゆうげん小数しょうすう か 循環小数じゅんかんしょうすう) と 無理数むりすう (循環じゅんかん し ない 無限むげん小数しょうすう) に 分わかれる
• 整式せいしき の 計算けいさん は 同類項どうるいこう を まとめる の が 基本きほん
• 展開てんかい は 公式こうしき で 一気いっき に、 因数分解いんすうぶんかい は 「逆ぎゃく を 想像そうぞう する」
• 絶対値ぜったいち は 場合ばあい分わけ で はずす
• 平方根へいほうこん は 必かならず 有理化ゆうりか し て 答こたえる

次じ章しょう で は 「集合しゅうごう と 命題めいだい」 を 学まなび、 数学すうがく的てき な 議論ぎろん の しかた を 整理せいり し ます。