数かずと式しき — 実数じっすうの分類ぶんるい・整式せいしきの展開てんかいと因数いんすう分解ぶんかい

この章しょうで学まなぶこと

高校こうこう数学すうがくI の出発しゅっぱつ点てんです。 中学ちゅうがくで学まなんだ 「文字もじ式しき」 「平方根へいほうこん」 を高校こうこうでは 実数じっすう と 整式せいしき という形かたちで整理せいりしなおします。 ここでの計算けいさん力りょくが、 第だい 4 章しょう以降いこうの二次関数にじかんすうや第だい 6 章しょうの三角比さんかくひの土台どだいになります。

• 実数じっすうの分類ぶんるいを理解りかいする (自然数しぜんすう・整数せいすう・有理数ゆうりすう・無理数むりすう)
• 整式せいしきの加法かほう・減法げんぽう・乗法じょうほうを自由じゆうに計算けいさんできる
• 展開てんかいの公式こうしきを使つかいこなす
• 因数分解いんすうぶんかいのパターンを見みぬく
• 絶対値ぜったいちと平方根へいほうこんを正ただしく扱あつかう

ポイント: 中学ちゅうがくとの一番いちばんの違ちがいは 「文字もじ式しきを 1 つの数かずとして自在じざいに動うごかす」 ことです。 $(x+2)(x-3)$ を一瞬いっしゅんで $x^2-x-6$ に直なおせるようになるのが、 この章しょうのゴール。

1. 実数じっすうの分類ぶんるい

数かずの仲間なかまを整理せいりする

中学ちゅうがくで出会であった数かずを、 高校こうこうでは 実数じっすう という大おおきなくくりでとらえなおします。

名前なまえ	意味いみ	例れい
自然数しぜんすう	1, 2, 3, ... の正せいの整数せいすう	1, 5, 100
整数せいすう	自然しぜん数すうと 0 と負ふの整数せいすう	$-3,0,7$
有理数ゆうりすう	分数ぶんすうで表あらわせる数かず	$\frac{1}{2},-\frac{3}{4},0.25$
無理数むりすう	分数ぶんすうで表あらわせない数かず	$\sqrt{2},\pi ,e$
実数じっすう	有理数ゆうりすうと無理むり数すうをあわせたもの	上うえの全部ぜんぶ

有理数ゆうりすうと無理むり数すうの見分みわけ方かた

性質せいしつ	有理数ゆうりすう	無理数むりすう
小しょう数表示すうひょうじ	有限ゆうげん小数しょうすうか循環小数じゅんかんしょうすう	無限むげんに続つづき循環じゅんかんしない
例れい	$\frac{1}{3}=\mathrm{0.333...}$	$\sqrt{2}=\mathrm{1.41421356...}$
分数ぶんすう化か	必かならずできる	できない

大事だいじ: $\sqrt{4}=2$ は有理数ゆうりすうです。 「ルートがついているから無理むり数すう」 とは限かぎりません。 中身なかみが平方数へいほうすうかどうかを必かならず確認かくにんしましょう。

数かず直線ちょくせん上じょうのイメージ

区間くかん表記ひょうき	意味いみ	例れい
$a\le x\le b$	$a$以上いじょう$b$以下いか	$0\le x\le 3$
	$a$ より大おおきく $b$ より小ちいさい
	$a$以上いじょう$b$未満みまん

2. 整式せいしきの計算けいさん

用語ようごの確認かくにん

文字もじを含ふくむ式しきで、 加法かほう・減法げんぽう・乗法じょうほうだけでできているものを 整式せいしき といいます。

用語ようご	意味いみ	例れい
項こう	整式せいしきを $+$ でつないだひとまとまり	$3x^2$, $-5x$, $7$
係数けいすう	文字もじにかかっている数かず	$3x^2$ の係数けいすうは $3$
次数じすう	文字もじがかけられている個数こすう	$3x^2$ の次数じすうは $2$
定数項ていすうこう	文字もじを含ふくまない項こう	$3x^2-5x+7$ の $7$

整式せいしきの加減かげん

同類項どうるいこう (文字もじ部分ぶぶんが同おなじ項こう) をまとめます。

例れい: $(3x^2-2x+1)+(x^2+5x-4)=4x^2+3x-3$

整式せいしきの乗法じょうほう

分配ぶんぱい法則ほうそく を使つかい、 すべての項こうをかけ合あわせます。

例れい: $(x+2)(x^2-3x+1)=x^3-3x^2+x+2x^2-6x+2=x^3-x^2-5x+2$

ポイント: 計算けいさんミスを防ふせぐコツは、 同類項どうるいこうを縦たてにそろえて書かく こと。 高校こうこうでは 4 次つぎ・5 次つぎの整式せいしきも出でてくるので、 早はやいうちに整理せいりする習慣しゅうかんをつけましょう。

3. 展開てんかいの公式こうしき

中学ちゅうがくで学まなんだ $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ を拡張かくちょうします。

必須ひっすの展開公式てんかいこうしき

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$ $(ax+b)(cx+d)=ac{x}^2+(ad+bc)x+bd$

3 数かずの平方へいほう

$(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

3 乗じょうの公式こうしき

$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$ $(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

例題れいだい

$(2x-3{)}^2$ を展開てんかいせよ。

$(2x-3{)}^2=(2x{)}^2-2\cdot 2x\cdot 3+3^2=4x^2-12x+9$

大事だいじ: 公式こうしきの $a,b$ には どんな式しきでも入いれられます。 $(2x+3{)}^2$ なら $a=2x$, $b=3$ と見みて当あてはめます。

4. 因数いんすう分解ぶんかい

展開てんかいの逆ぎゃく操作そうさが 因数分解いんすうぶんかい です。 「式しきをいくつかの積せきに直なおす」 と覚おぼえましょう。

共通きょうつう因数いんすうをくくり出だす

$6x^2+9x=3x(2x+3)$

公式こうしき利用りよう

$x^2+2ax+a^2=(x+a{)}^2$ $x^2-a^2=(x+a)(x-a)$ $x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$

たすき掛かけ

$a{x}^2+bx+c$ の因数いんすう分解ぶんかいで、 係数けいすうが 1 でない場合ばあいに使つかいます。

例れい: $2x^2+7x+3$ を因数いんすう分解ぶんかいする。

		$\to$ かけ算ざん
$2x$	$1$	$2x$
$1x$	$3$	$6x$

たすき掛かけの和わが $2x+6x=8x$ では合あわないので並ならべ替がえ。

		$\to$ かけ算ざん
$2x$	$1$	$1x$
$1x$	$3$	$6x$

和$=1x+6x=7x$ で一致いっち。 よって

$2x^2+7x+3=(2x+1)(x+3)$

ポイント: たすき掛かけは慣なれるまで試行錯誤しこうさくごが必要ひつようです。 まず $a=2,c=3$ の約数やくすうの組くみを全ぜんパターン書かき出だし、 和わが $b=7$ になるものをさがす流ながれで練習れんしゅうしましょう。

5. 絶対ぜったい値ち

数かず直線ちょくせん上じょうで 0 からの距離きょり を表あらわすのが 絶対値ぜったいち です。

例れい

式しき	値あたい
$\mid 3\mid$	$3$
$\mid -5\mid$	$5$
$\mid 0\mid$	$0$
$\mid 2-7\mid$	$\mid -5\mid =5$

文字もじを含ふくむ場合ばあいの場合ばあい分わけ

$\mid x-2\mid$ を簡単かんたんにせよ。

範囲はんい	$x-2$ の符号ふごう	$\mid x-2\mid$
$x\ge 2$	$+$ または $0$	$x-2$
	$-$	$-(x-2)=2-x$

大事だいじ: 絶対ぜったい値ちは 「マイナスをプラスにする装置そうち」 とイメージするとわかりやすい。 第だい 3 章しょうの絶対値ぜったいちを含ふくむ不等式ふとうしきでこの場合ばあい分わけを多用たようします。

6. 平方根へいほうこんの計算けいさん

基本きほん性質せいしつ

$\sqrt{a^2}=\mid a\mid ,(\sqrt{a}{)}^2=a(a\ge 0)$ $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}(a,b\ge 0)$ $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a\ge 0,b>0)$

分母ぶんぼの有理ゆうり化か

$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

二に重じゅう根号こんごう

$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}(a\ge b\ge 0)$

例: $\sqrt{5+2\sqrt{6}}$ を簡単かんたんにせよ。

$5=2+3$, $6=2\cdot 3$ より

$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$

ポイント: 分母ぶんぼに根号こんごうがある形かたちは 必かならず有理化ゆうりか して答えこたえます。 高校こうこう数学すうがくのマナーです。

まとめ

• 実数じっすうは有理数ゆうりすう (有限ゆうげん小数しょうすうか循環小数じゅんかんしょうすう) と無理数むりすう (循環じゅんかんしない無限むげん小数しょうすう) に分わかれる
• 整式せいしきの計算けいさんは同類項どうるいこうをまとめるのが基本きほん
• 展開てんかいは公式こうしきで一気いっきに、 因数分解いんすうぶんかいは 「逆ぎゃくを想像そうぞうする」
• 絶対値ぜったいちは場合ばあい分わけではずす
• 平方根へいほうこんは必かならず有理化ゆうりかして答こたえる

次じ章しょうでは 「集合しゅうごうと命題めいだい」 を学まなび、 数学すうがく的てきな議論ぎろんのしかたを整理せいりします。