この 章 で 学ぶ こと
第 6 章 で 学んだ 三角比 を 直角 で ない 三角形 に も 適用 する 武器 が 正弦定理 と 余弦定理 です。 これ で 「3 つ の 情報 から 三角形 を 完全 に 決める」 こと が でき ます。
- 正弦定理 sinAa=2R の 形 と 使い 方
- 余弦定理 a2=b2+c2−2bccosA
- 三角形 の 決定条件 (1 角 2 辺 など)
- どっち を 使うか の 判断基準
- 角 の 大き さ の 判定 (cos の 符号)
ポイント: 「角 と 対辺 の セット」 が 2 組 そろう なら 正弦定理、 「3 辺」 か 「2 辺 と 挟む 角」 なら 余弦定理。 これ だけ 押さえれば 9 割解け ます。
1. 三角形 の 表記
標準表記
△ABC で:
- 頂点 を A,B,C (大文字)
- 各頂点 に 対する 辺 を a,b,c (小文字、 対面)
- 各頂点 の 内角 も A,B,C で 表す (兼用)
| 角 | 対辺 |
|---|
| A | a=BC |
| B | b=CA |
| C | c=AB |
大事: 「角A の 対辺 が a」 と いう 約束 が この 章 の 全公式 を 読 む 鍵。 必ず 図 を 描 い て 確認。
2. 正弦定理
公式
△ABC の 外接円 の 半径 を R と すると
sinAa=sinBb=sinCc=2R
意味
「辺a ÷ 対角A の sin = 一定 (= 直径2R)」。 三角形 の どの 辺 を 取って も 同じ 比 に なる、 と いう 強力 な 関係。
使い どころ
| 与え られた 情報 | 使え るか | 求まる もの |
|---|
| 1 角 + 対辺 | 2R が 求まる | 他 の 辺・角 |
| 2 角 + 1 辺 | 残り の 角 が わかれば 全部 | 残り の 辺 |
例題
△ABC で a=6, A=30° の とき、 外接円 の 半径R を 求 めよ。
2R=sinAa=sin30°6=1/26=12
R=6
例題 2
A=45°, B=60°, a=4 の とき b を 求 めよ。
sinAa=sinBb
b=sinAasinB=sin45°4⋅sin60°=224⋅23=243=26
ポイント: 「角 と 対辺 を ペア で 見る」。 sinA と a, sinB と b が セット に なって 等しい こと を 確認。
3. 余弦定理
公式
a2=b2+c2−2bccosA
b2=c2+a2−2cacosB
c2=a2+b2−2abcosC
意味
「ある 辺 の 平方 = 他 の 2 辺 の 平方和 − 2 × 2 辺 の 積 × 挟む 角 の cos」。 中学 の 三平方の定理a2=b2+c2 (A=90° の とき cosA=0 で 一致) の 一般化 です。
変形 (角 を 求める)
cosA=2bcb2+c2−a2
cosB=2cac2+a2−b2
cosC=2aba2+b2−c2
使い どころ
| 与え られた 情報 | 使え るか |
|---|
| 2 辺 + 挟む 角 | そのまま 残り の 辺 を 求 め る |
| 3 辺 | 変形 で 角 を 求 め る |
例題
△ABC で b=3, c=5, A=60° の とき a を 求 め よ。
a2=32+52−2⋅3⋅5⋅cos60°=9+25−30⋅21=19
a=19
例題 2
a=7,b=5,c=3 の とき A を 求 め よ。
cosA=2⋅5⋅352+32−72=3025+9−49=30−15=−21
A=120°
大事: 「3 辺 が わかった ら cos で 角 が 出る」。 cos の 符号 で 鋭角 / 直角 / 鈍角 が 即判断 でき ま す。
4. 角 の 大きさ の 判定
余弦定理 の 変形 から、 三角形 の 最大 の 角 (θ) と 最大 の 辺 (x) の 関係:
| cosθ の 符号 | b2+c2 と a2 | θ の 種類 |
|---|
| cosθ>0 | b2+c2>a2 | 鋭角 |
| cosθ=0 | b2+c2=a2 | 直角 ([[三平方の定理 |
| cosθ<0 | b2+c2<a2 | [鈍角 |
例題
3 辺 が 5,7,8 の 三角形 は 鋭角・直角・鈍角 の どれ か。
最大 の 辺8 に 対応 する 角 を θ と する と
cosθ=2⋅5⋅752+72−82=7025+49−64=7010=71>0
よって 鋭角 (= 三角形全体 が 鋭角三角形)。
ポイント: 三角形 の 鋭角 / 鈍角 を 判定 する とき は 最大 の 辺 に 対応 する 角 だけ 調べれば 十分。 そこ が 鋭角 なら 残り も 鋭角。
5. 正弦定理 と 余弦定理 の 使い分け
三角形 の 決定条件
| 与えら れた 情報 | 使う 定理 |
|---|
| 3 辺 (SSS) | [[余弦定理 |
| 2 辺 + 挟む 角 (SAS) | [[余弦定理 |
| 1 辺 + 両端 の 2 角 (ASA) | A+B+C=180° で 残り の 角、 [[正弦定理 |
| 2 辺 + 対角 (SSA) | [[正弦定理 |
例題: SSA で 解 が 2 つ
a=4,b=6,A=30° の とき B を 求 め よ。
sin30°4=sinB6
sinB=46sin30°=46⋅1/2=43
B は 0°<B<150° (A+B<180°) の 範囲 で 2 つ の 候補:
B=arcsin43 または 180°−arcsin43
両方 とも A+B<180° を 満たす ので 2 通り の 三角形 が ある。
大事: SSA は 「曖昧 な ケース」。 解 が 0 個・1 個・2 個 と 場合 が ある の で 必ず 範囲 を 確認。
6. 例題 (総合)
例: △ABC で a=7,b=8,c=5 の とき、 (1) cosA、 (2) sinA、 (3) 外接円 の 半径R を 求 め よ。
(1) 余弦定理:
cosA=2⋅8⋅582+52−72=8064+25−49=8040=21
(2) A は 三角形 の 内角 なので sinA>0:
sinA=1−cos2A=1−41=23
(A=60° と わかる)
(3) 正弦定理:
2R=sinAa=3/27=314=3143
R=373
ポイント: 余弦定理 で cos を 出 し → sin を 計算 → 正弦定理 で R。 この 3 連 コンボ は 入試頻出。
まとめ
- 正弦定理 は 角 と 対辺 の ペア が 主役、 2R を 経由
- 余弦定理 は 3 辺 と 1 角 の 関係、 三平方の定理 の 一般化
- 3 辺 → 余弦定理 で 角、 2 辺 + 挟角 → 余弦定理 で 辺
- cos の 符号 で 鋭角 / 直角 / 鈍角 を 一発判定
- SSA は 解 が 0/1/2 個 に なり 得る 注意 ケース
次章 では これら の 定理 を 使って 三角形 の 面積 と ヘロンの公式、 空間図形 の 計量 を 行い ます。