三角さんかく比ひの応用おうよう

この章しょうで学まなぶこと

第だい 6 章しょうで学まなんだ三角比さんかくひを 直角ちょっかくでない三角形さんかくけい にも適用てきようする武器ぶきが 正弦定理せいげんていり と 余弦定理よげんていり です。 これで 「3 つの情報じょうほうから三角形さんかくけいを完全かんぜんに決きめる」 ことができます。

• 正弦定理せいげんていり $\frac{a}{\sin A}=2R$ の形かたちと使つかい方かた
• 余弦定理よげんていり $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$
• 三角形さんかくけいの 決定けってい条件じょうけん (1 角かく 2 辺へんなど)
• どっちを使つかうかの判断はんだん基準きじゅん
• 角かくの大おおきさの判定はんてい ($\cos$ の符号ふごう)

ポイント: 「角かくと対辺たいへんのセット」 が 2 組くみそろうなら正弦定理せいげんていり、 「3 辺へん」 か 「2 辺へんと挟はさむ角かく」 なら余弦定理よげんていり。 これだけ押おさえれば 9 割わり解とけます。

1. 三角形さんかくけいの表記ひょうき

標準ひょうじゅん表記ひょうき

$△ABC$ で:

• 頂点ちょうてんを $A,B,C$ (大文字おおもじ)
• 各かく頂点ちょうてんに 対たいする辺へん を $a,b,c$ (小文字こもじ、 対面たいめん)
• 各かく頂点ちょうてんの内角ないかくも $A,B,C$ で表あらわす (兼用けんよう)

角かく	対辺たいへん
$A$	$a=BC$
$B$	$b=CA$
$C$	$c=AB$

大事だいじ: 「角$A$ の対辺たいへんが $a$」 という約束やくそくがこの章しょうの全ぜん公式こうしきを読よむ鍵かぎ。 必かならず図ずを描えがいて確認かくにん。

2. 正弦せいげん定理ていり

公式こうしき

$△ABC$ の 外接円がいせつえん の半径はんけいを $R$ とすると

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

意味いみ

「辺へん$a$ ÷ 対たい角かく$A$ の sin = 一定いってい (= 直径ちょっけい$2R$)」。 三角形さんかくけいのどの辺へんを取とっても同おなじ比ひになる、 という強力きょうりょくな関係かんけい。

使つかいどころ

与あたえられた情報じょうほう	使つかえるか	求もとまるもの
1 角かく + 対辺たいへん	$2R$ が求もとまる	他たの辺へん・角かく
2 角かく + 1 辺へん	残のこりの角かくがわかれば全部ぜんぶ	残のこりの辺へん

例題れいだい

$△ABC$ で $a=6$, $A=30°$ のとき、 外接円がいせつえんの半径はんけい$R$ を求もとめよ。

$2R=\frac{a}{\sin A}=\frac{6}{\sin 30°}=\frac{6}{1/2}=12$ $R=6$

例題れいだい 2

$A=45°$, $B=60°$, $a=4$ のとき $b$ を求もとめよ。

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ $b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{4\cdot \sin 60°}{\sin 45°}=\frac{4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{6}$

ポイント: 「角かくと対辺たいへんをペアで見みる」。 $\sin A$ と $a$, $\sin B$ と $b$ がセットになって等ひとしいことを確認かくにん。

3. 余弦よげん定理ていり

公式こうしき

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ $b^2=c^2+a^2-2ca\cos B$ $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

意味いみ

「ある辺へんの平方へいほう = 他たの 2 辺へんの平方和へいほうわ − 2 × 2 辺へんの積せき × 挟はさむ角かくの cos」。 中学ちゅうがくの三平方の定理さんへいほうのていり $a^2=b^2+c^2$ ($A=90°$ のとき $\cos A=0$ で一致いっち) の一般いっぱん化かです。

変形へんけい (角かくを求もとめる)

$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ $\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$ $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

使つかいどころ

与あたえられた情報じょうほう	使つかえるか
2 辺へん + 挟はさむ角かく	そのまま残のこりの辺へんを求もとめる
3 辺へん	変形へんけいで角かくを求もとめる

例題れいだい

$△ABC$ で $b=3$, $c=5$, $A=60°$ のとき $a$ を求もとめよ。

$a^2=3^2+5^2-2\cdot 3\cdot 5\cdot \cos 60°=9+25-30\cdot \frac{1}{2}=19$ $a=\sqrt{19}$

例題れいだい 2

$a=7,b=5,c=3$ のとき $A$ を求もとめよ。

$\cos A=\frac{5^2+3^2-7^2}{2\cdot 5\cdot 3}=\frac{25+9-49}{30}=\frac{-15}{30}=-\frac{1}{2}$ $A=120°$

大事だいじ: 「3 辺へんがわかったら $\cos$ で角かくが出でる」。 $\cos$ の 符号ふごう で鋭角えいかく / 直角ちょっかく / 鈍角どんかくが即そく判断はんだんできます。

4. 角かくの大おおきさの判定はんてい

余弦定理よげんていりの変形へんけいから、 三角形さんかくけいの最大さいだいの角かく ($\theta$) と最大さいだいの辺へん ($x$) の関係かんけい:

$\cos \theta$ の符号ふごう	$b^2+c^2$ と $a^2$	$\theta$ の種類しゅるい
$\cos \theta >0$	$b^2+c^2>a^2$	鋭角えいかく
$\cos \theta =0$	$b^2+c^2=a^2$	直角ちょっかく (三平方の定理さんへいほうのていり)
		鈍角どんかく

例題れいだい

3 辺へんが $5,7,8$ の三角形さんかくけいは鋭角えいかく・直角ちょっかく・鈍角どんかくのどれか。

最大さいだいの辺へん$8$ に対応たいおうする角かくを $\theta$ とすると

$\cos \theta =\frac{5^2+7^2-8^2}{2\cdot 5\cdot 7}=\frac{25+49-64}{70}=\frac{10}{70}=\frac{1}{7}>0$

よって鋭角えいかく (= 三角形さんかくけい全体ぜんたいが鋭角えいかく三角形さんかくけい)。

ポイント: 三角形さんかくけいの鋭角えいかく / 鈍角どんかくを判定はんていするときは 最大さいだいの辺へん に対応たいおうする角かくだけ調しらべれば十分じゅうぶん。 そこが鋭角えいかくなら残のこりも鋭角えいかく。

5. 正弦せいげん定理ていりと余弦よげん定理ていりの使つかい分わけ

三角形さんかくけいの決定けってい条件じょうけん

与あたえられた情報じょうほう	使つかう定理ていり
3 辺へん (SSS)	余弦定理よげんていりで角かくを求もとめる
2 辺へん + 挟はさむ角かく (SAS)	余弦定理よげんていりで残のこりの辺へん、 正弦定理せいげんていりで角かく
1 辺へん + 両端りょうたんの 2 角かく (ASA)	$A+B+C=180°$ で残のこりの角かく、 正弦定理せいげんていりで残のこりの辺へん
2 辺へん + 対たい角かく (SSA)	正弦定理せいげんていりで角かく、 ただし解かいが 2 つある場合ばあいあり

例題れいだい: SSA で解かいが 2 つ

$a=4,b=6,A=30°$ のとき $B$ を求もとめよ。

$\frac{4}{\sin 30°}=\frac{6}{\sin B}$ $\sin B=\frac{6\sin 30°}{4}=\frac{6\cdot 1/2}{4}=\frac{3}{4}$

$B$ は () の範囲はんいで 2 つの候補こうほ:

$B=\arcsin \frac{3}{4}\hspace{0.25em} または \hspace{0.25em} 180°-\arcsin \frac{3}{4}$

両方りょうほうとも を満みたすので 2 通とおりの三角形さんかくけい がある。

大事だいじ: SSA は 「曖昧あいまいなケース」。 解かいが 0 個こ・1 個こ・2 個こと場合ばあいがあるので必かならず範囲はんいを確認かくにん。

6. 例題れいだい (総合そうごう)

例れい: $△ABC$ で $a=7,b=8,c=5$ のとき、 (1) $\cos A$、 (2) $\sin A$、 (3) 外接円がいせつえんの半径はんけい$R$ を求もとめよ。

(1) 余弦定理よげんていり:

$\cos A=\frac{8^2+5^2-7^2}{2\cdot 8\cdot 5}=\frac{64+25-49}{80}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$

(2) $A$ は三角形さんかくけいの内角ないかくなので $\sin A>0$:

$\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

($A=60°$ とわかる)

(3) 正弦定理せいげんていり:

$2R=\frac{a}{\sin A}=\frac{7}{\sqrt{3}/2}=\frac{14}{\sqrt{3}}=\frac{14\sqrt{3}}{3}$ $R=\frac{7\sqrt{3}}{3}$

ポイント: 余弦定理よげんていりで $\cos$ を出だし → $\sin$ を計算けいさん → 正弦定理せいげんていりで $R$。 この 3 連れんコンボは入試にゅうし頻出ひんしゅつ。

まとめ

• 正弦定理せいげんていりは 角かくと対辺たいへんのペア が主役しゅやく、 $2R$ を経由けいゆ
• 余弦定理よげんていりは 3 辺へんと 1 角かく の関係かんけい、 三平方の定理さんへいほうのていりの一般いっぱん化か
• 3 辺へん → 余弦定理よげんていりで角かく、 2 辺へん + 挟きょう角かく → 余弦定理よげんていりで辺へん
• $\cos$ の 符号ふごう で鋭角えいかく / 直角ちょっかく / 鈍角どんかくを一いち発はつ判定はんてい
• SSA は 解かいが 0/1/2 個こ になり得える注意ちゅういケース

次じ章しょうではこれらの定理ていりを使つかって 三角形さんかくけいの面積めんせきとヘロンの公式へろんのこうしき、 空間くうかん図形ずけい の計量けいりょうを行おこないます。