三角さんかく比ひの応用おうよう

この 章しょう で 学まなぶ こと

第だい 6 章しょう で 学まなんだ 三角比さんかくひ を 直角ちょっかく で ない 三角形さんかっけい に も 適用てきよう する 武器ぶき が 正弦定理せいげんていり と 余弦定理よげんていり です。 これ で 「3 つ の 情報じょうほう から 三角形さんかっけい を 完全かんぜん に 決きめる」 こと が でき ます。

• 正弦定理せいげんていり $\frac{a}{\sin A}=2R$ の 形かたち と 使つかい 方かた
• 余弦定理よげんていり $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$
• 三角形さんかっけい の 決定けってい条件じょうけん (1 角かく 2 辺あたり など)
• どっち を 使つかうか の 判断はんだん基準きじゅん
• 角かく の 大おおき さ の 判定はんてい ($\cos$ の 符号ふごう)

ポイント: 「角かく と 対辺たいへん の セット」 が 2 組くみ そろう なら 正弦定理せいげんていり、 「3 辺あたり」 か 「2 辺あたり と 挟はさむ 角かく」 なら 余弦定理よげんていり。 これ だけ 押おさえれば 9 割わり解とけ ます。

1. 三角形さんかっけい の 表記ひょうき

標準ひょうじゅん表記ひょうき

$△ABC$ で:

• 頂点ちょうてん を $A,B,C$ (大文字だいもんじ)
• 各かく頂点ちょうてん に 対たいする 辺あたり を $a,b,c$ (小文字こもじ、 対面たいめん)
• 各かく頂点ちょうてん の 内角ないかく も $A,B,C$ で 表あらわす (兼用けんよう)

角かく	対辺たいへん
$A$	$a=BC$
$B$	$b=CA$
$C$	$c=AB$

大事だいじ: 「角$A$ の 対辺たいへん が $a$」 と いう 約束やくそく が この 章しょう の 全ぜん公式こうしき を 読 む 鍵かぎ。 必かならず 図ず を 描 い て 確認かくにん。

2. 正弦せいげん定理ていり

公式こうしき

$△ABC$ の 外接円がいせつえん の 半径はんけい を $R$ と すると

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

意味いみ

「辺$a$ ÷ 対たい角かく$A$ の sin = 一定いってい (= 直径ちょっけい$2R$)」。 三角形さんかっけい の どの 辺あたり を 取とって も 同おなじ 比ひ に なる、 と いう 強力きょうりょく な 関係かんけい。

使つかい どころ

与あたえ られた 情報じょうほう	使つかえ るか	求もとまる もの
1 角かく + 対辺たいへん	$2R$ が 求もとまる	他た の 辺あたり・角かく
2 角かく + 1 辺あたり	残のこり の 角かく が わかれば 全部ぜんぶ	残のこり の 辺あたり

例題れいだい

$△ABC$ で $a=6$, $A=30°$ の とき、 外接円がいせつえん の 半径はんけい$R$ を 求もとめ めよ。

$2R=\frac{a}{\sin A}=\frac{6}{\sin 30°}=\frac{6}{1/2}=12$ $R=6$

例題れいだい 2

$A=45°$, $B=60°$, $a=4$ の とき $b$ を 求もとめ めよ。

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ $b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{4\cdot \sin 60°}{\sin 45°}=\frac{4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{6}$

ポイント: 「角かく と 対辺たいへん を ペア で 見みる」。 $\sin A$ と $a$, $\sin B$ と $b$ が セット に なって 等ひとしい こと を 確認かくにん。

3. 余弦よげん定理ていり

公式こうしき

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ $b^2=c^2+a^2-2ca\cos B$ $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

意味いみ

「ある 辺あたり の 平方へいほう = 他た の 2 辺あたり の 平方和へいほうわ − 2 × 2 辺あたり の 積つむ × 挟はさむ 角かく の cos」。 中学ちゅうがく の 三平方の定理さんへいほうのていり$a^2=b^2+c^2$ ($A=90°$ の とき $\cos A=0$ で 一致いっち) の 一般いっぱん化か です。

変形へんけい (角かく を 求もとめる)

$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ $\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$ $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

使つかい どころ

与あたえ られた 情報じょうほう	使つかえ るか
2 辺あたり + 挟はさむ 角かく	そのまま 残のこり の 辺あたり を 求もとめ め る
3 辺あたり	変形へんけい で 角かく を 求もとめ め る

例題れいだい

$△ABC$ で $b=3$, $c=5$, $A=60°$ の とき $a$ を 求もとめ め よ。

$a^2=3^2+5^2-2\cdot 3\cdot 5\cdot \cos 60°=9+25-30\cdot \frac{1}{2}=19$ $a=\sqrt{19}$

例題れいだい 2

$a=7,b=5,c=3$ の とき $A$ を 求もとめ め よ。

$\cos A=\frac{5^2+3^2-7^2}{2\cdot 5\cdot 3}=\frac{25+9-49}{30}=\frac{-15}{30}=-\frac{1}{2}$ $A=120°$

大事だいじ: 「3 辺あたり が わかった ら $\cos$ で 角かく が 出でる」。 $\cos$ の 符号ふごう で 鋭角えいかく / 直角ちょっかく / 鈍角どんかく が 即そく判断はんだん でき ま す。

4. 角かく の 大おおきさ の 判定はんてい

余弦定理よげんていり の 変形へんけい から、 三角形さんかっけい の 最大さいだい の 角かく ($\theta$) と 最大さいだい の 辺あたり ($x$) の 関係かんけい:

$\cos \theta$ の 符号ふごう	$b^2+c^2$ と $a^2$	$\theta$ の 種類しゅるい
$\cos \theta >0$	$b^2+c^2>a^2$	鋭角えいかく
$\cos \theta =0$	$b^2+c^2=a^2$	直角ちょっかく ([[三平方の定理
		[鈍角

例題れいだい

3 辺あたり が $5,7,8$ の 三角形さんかっけい は 鋭角えいかく・直角ちょっかく・鈍角どんかく の どれ か。

最大さいだい の 辺$8$ に 対応たいおう する 角かく を $\theta$ と する と

$\cos \theta =\frac{5^2+7^2-8^2}{2\cdot 5\cdot 7}=\frac{25+49-64}{70}=\frac{10}{70}=\frac{1}{7}>0$

よって 鋭角えいかく (= 三角形さんかっけい全体ぜんたい が 鋭角えいかく三角形さんかっけい)。

ポイント: 三角形さんかっけい の 鋭角えいかく / 鈍角どんかく を 判定はんてい する とき は 最大さいだい の 辺あたり に 対応たいおう する 角かく だけ 調しらべれば 十分じゅうぶん。 そこ が 鋭角えいかく なら 残のこり も 鋭角えいかく。

5. 正弦せいげん定理ていり と 余弦よげん定理ていり の 使つかい分わけ

三角形さんかっけい の 決定けってい条件じょうけん

与あたえら れた 情報じょうほう	使つかう 定理ていり
3 辺あたり (SSS)	[[余弦定理
2 辺あたり + 挟はさむ 角かく (SAS)	[[余弦定理
1 辺あたり + 両端りょうたん の 2 角かく (ASA)	$A+B+C=180°$ で 残のこり の 角すみ、 [[正弦定理
2 辺あたり + 対たい角かく (SSA)	[[正弦定理

例題れいだい: SSA で 解かい が 2 つ

$a=4,b=6,A=30°$ の とき $B$ を 求もとめ め よ。

$\frac{4}{\sin 30°}=\frac{6}{\sin B}$ $\sin B=\frac{6\sin 30°}{4}=\frac{6\cdot 1/2}{4}=\frac{3}{4}$

$B$ は () の 範囲はんい で 2 つ の 候補こうほ:

$B=\arcsin \frac{3}{4}\hspace{0.25em} または \hspace{0.25em} 180°-\arcsin \frac{3}{4}$

両方りょうほう とも を 満みたす ので 2 通とおり の 三角形さんかっけい が ある。

大事だいじ: SSA は 「曖昧あいまい な ケース」。 解かい が 0 個こ・1 個こ・2 個こ と 場合ばあい が ある の で 必かならず 範囲はんい を 確認かくにん。

6. 例題れいだい (総合そうごう)

例れい: $△ABC$ で $a=7,b=8,c=5$ の とき、 (1) $\cos A$、 (2) $\sin A$、 (3) 外接円がいせつえん の 半径はんけい$R$ を 求もとめ め よ。

(1) 余弦定理よげんていり:

$\cos A=\frac{8^2+5^2-7^2}{2\cdot 8\cdot 5}=\frac{64+25-49}{80}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$

(2) $A$ は 三角形さんかっけい の 内角ないかく なので $\sin A>0$:

$\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

($A=60°$ と わかる)

(3) 正弦定理せいげんていり:

$2R=\frac{a}{\sin A}=\frac{7}{\sqrt{3}/2}=\frac{14}{\sqrt{3}}=\frac{14\sqrt{3}}{3}$ $R=\frac{7\sqrt{3}}{3}$

ポイント: 余弦定理よげんていり で $\cos$ を 出で し → $\sin$ を 計算けいさん → 正弦定理せいげんていり で $R$。 この 3 連れん コンボ は 入試にゅうし頻出ひんしゅつ。

まとめ

• 正弦定理せいげんていり は 角かく と 対辺たいへん の ペア が 主役しゅやく、 $2R$ を 経由けいゆ
• 余弦定理よげんていり は 3 辺あたり と 1 角かく の 関係かんけい、 三平方の定理さんへいほうのていり の 一般いっぱん化か
• 3 辺あたり → 余弦定理よげんていり で 角すみ、 2 辺あたり + 挟きょう角かく → 余弦定理よげんていり で 辺あたり
• $\cos$ の 符号ふごう で 鋭角えいかく / 直角ちょっかく / 鈍角どんかく を 一いち発はつ判定はんてい
• SSA は 解かい が 0/1/2 個こ に なり 得える 注意ちゅうい ケース

次じ章しょう では これら の 定理ていり を 使つかって 三角形さんかっけい の 面積めんせき と ヘロンの公式ヘロンのこうしき、 空間くうかん図形づけい の 計量けいりょう を 行おこない ます。