三角さんかく比ひ — sin・cos・tan と鈍角どんかくへの拡張かくちょう

この章しょうで学まなぶこと

中学ちゅうがくで学まなんだ 「直角三角形ちょっかくさんかっけいの辺へんの比ひ」 を高校こうこうでは 三角比さんかくひ という名なで体系たいけい化かし、 さらに 鈍角どんかくまで拡張かくちょう します。 第だい 7 章しょうの正弦定理せいげんていり・余弦定理よげんていり、 第だい 8 章しょうの図形ずけい計量けいりょうの土台どだい。

• $\sin \theta ,\cos \theta ,\tan \theta$ の定義ていぎ (鋭角えいかく)
• 特殊角とくしゅかく $30°,45°,60°$ の値あたい
• $0°\le \theta \le 180°$ への拡張かくちょう (単位たんい円えんを使つかう)
• 三角さんかく比ひの 相互関係そうごかんけい
• 三角さんかく比ひを含ふくむ式しきの計算けいさん

ポイント: $\sin ,\cos ,\tan$ は 記号きごうを怖こわがらない こと。 「ある角かくに対たいする辺へんの比ひ」 と思おもえば、 普通ふつうの数かずと同おなじように計算けいさんできます。

1. 直角ちょっかく三角形さんかくけいと三角さんかく比ひ

鋭角えいかく$\theta$ () の三角さんかく比ひ

直角ちょっかく三角形さんかくけいで $\angle C=90°$、 $\angle A=\theta$ とすると:

名前なまえ	記号きごう	比ひ
正弦せいげん (サインさいん)	$\sin \theta$	$\frac{}{}=\frac{a}{c}$
余弦よげん (コサインこさいん)	$\cos \theta$	$\frac{}{}=\frac{b}{c}$
正接せいせつ (タンジェントたんじぇんと)	$\tan \theta$	$\frac{}{}=\frac{a}{b}$

ここで 「対辺たいへん」 = 角$\theta$ の向むかい側がわの辺へん、 「隣となり辺へん」 = 角$\theta$ に接せっする (斜辺しゃへんでない) 辺へん。

覚おぼえ方かたのコツ

筆記ひっき体たいの s, c, t の形かたちをなぞると比ひが出でる。

• $s$ → 「対辺たいへん / 斜辺しゃへん」 ($\sin$)
• $c$ → 「隣となり辺へん / 斜辺しゃへん」 ($\cos$)
• $t$ → 「対辺たいへん / 隣となり辺へん」 ($\tan$)

大事だいじ: 「斜辺しゃへんが分母ぶんぼか分子ぶんしか」 を必かならず確認かくにん。 サインさいんとコサインこさいんは 斜辺しゃへんが分母ぶんぼ、 タンジェントたんじぇんとは 斜辺しゃへんを使つかわない。

2. 特殊とくしゅ角かくの値あたい

$30°,45°,60°$

$\theta$	$\sin \theta$	$\cos \theta$	$\tan \theta$
$30°$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$
$45°$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60°$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$

出所しゅっしょの三角形さんかくけい

• $45°$: 直角ちょっかく二等辺三角形にとうへんさんかくけい (辺へん比$1:1:\sqrt{2}$)
• $30°,60°$: 正三角形せいさんかくけいを半分はんぶんに切きった三角形さんかくけい (辺へん比$1:\sqrt{3}:2$)

$0°$ と $90°$

$\theta$	$\sin \theta$	$\cos \theta$	$\tan \theta$
$0°$	$0$	$1$	$0$
$90°$	$1$	$0$	(定義ていぎ不能ふのう)

ポイント: $\tan 90°$ は 「分母ぶんぼが $0$」 になるため 定義ていぎできない。 試験しけんでよく引ひっかかるポイント。

3. 三角さんかく比ひの拡張かくちょう

単位たんい円えんを使つかう

$0°$ から $180°$ までの角かくに三角さんかく比ひを拡張かくちょうするには、 半径はんけい$r=1$ の 単位円たんいえん を使つかいます。

座標ざひょう平面へいめんで原点げんてん$O$ を中心ちゅうしんに、 $x$軸から反はん時計とけい回まわりに $\theta$ だけ回まわした半はん直線ちょくせん上じょうに $r=1$ の点$P(x,y)$ をとると

三角さんかく比ひ	定義ていぎ
$\sin \theta$	$y$
$\cos \theta$	$x$
$\tan \theta$	$\frac{y}{x}$ ($x\ne 0$)

鈍角どんかく () での値あたい

$\theta$	$\sin \theta$	$\cos \theta$	$\tan \theta$
$120°$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$
$135°$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-1$
$150°$	$\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$
$180°$	$0$	$-1$	$0$

補角ほかく公式こうしき

$\sin (180°-\theta )=\sin \theta$ $\cos (180°-\theta )=-\cos \theta$ $\tan (180°-\theta )=-\tan \theta$

大事だいじ: 鈍角どんかくの三角さんかく比ひは 「対応たいおうする鋭角えいかくの値あたいに符号ふごうをつけ替かえる」 のが基本きほん戦略せんりゃく。 単位たんい円えんでどこにあるか (第だい II 象限しょうげん) をイメージすると符号ふごうが自然しぜんにわかる。

4. 相互そうご関係かんけい

3 つの重要じゅうよう公式こうしき

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }(\cos \theta \ne 0)$ $1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$

由来ゆらい

単位円たんいえん上の点$(\cos \theta ,\sin \theta )$ は半径はんけい$1$ の円上えんじょうにあるので

$x^2+y^2=1\hspace{0.25em} ⟺\hspace{0.25em} {\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$

例題れいだい

$\sin \theta =\frac{3}{5}$, のとき、 $\cos \theta ,\tan \theta$ の値あたいを求もとめよ。

${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta =1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$

$\theta$ は鈍角どんかくなので :

$\cos \theta =-\frac{4}{5}$

$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{3/5}{-4/5}=-\frac{3}{4}$

ポイント: 平方へいほうをはずすときに 必かならず符号ふごうを確認かくにん。 $\theta$ の範囲はんいを見みて第だい何なん象限しょうげんかを判定はんていする習慣しゅうかんをつけましょう。

5. 三角さんかく比ひを含ふくむ計算けいさん

例題れいだい 1

$\sin \theta +\cos \theta =\frac{1}{2}$ のとき、 $\sin \theta \cos \theta$ の値あたいを求もとめよ。

両辺りょうへんを平方へいほう:

$(\sin \theta +\cos \theta {)}^2={\sin }^2\theta +2\sin \theta \cos \theta +{\cos }^2\theta =\frac{1}{4}$

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ より

$1+2\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{4}$ $\sin \theta \cos \theta =-\frac{3}{8}$

例題れいだい 2

$\sin \theta -\cos \theta$ の値あたいも求もとめよ。

$(\sin \theta -\cos \theta {)}^2=1-2\sin \theta \cos \theta =1+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}$ $\sin \theta -\cos \theta =\pm \frac{\sqrt{7}}{2}$

大事だいじ: $\sin +\cos$ と $\sin \cos$ と $\sin -\cos$ は 平方へいほうと ${\sin }^2+{\cos }^2=1$ で相互そうごに行いき来きできます。 三角さんかく比ひ計算けいさんの王道おうどう。

6. 三角さんかく比ひの値あたいから角かくを求もとめる

例れい: $\sin \theta =\frac{1}{2}$ ($0°\le \theta \le 180°$) を満みたす $\theta$ を求もとめよ。

特殊角とくしゅかくの表ひょうを思おもい出だすと $\theta =30°$。 鈍角どんかくでは $180°-30°=150°$ も答えこたえ。

$\theta =30°,150°$

例: $\cos \theta =-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ($0°\le \theta \le 180°$) を解とけ。

$\cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}$ なら $\theta =45°$ なので、 補角ほかく公式こうしきで

$\theta =180°-45°=135°$

ポイント: $\sin$ は 2 つ の解かいが出でることが多おおい ($\theta$ と $180°-\theta$)。 $\cos$ と $\tan$ は範囲はんい内ないで 1 つ だけ (単調たんちょう性せいから)。

まとめ

• 鋭角えいかくの三角さんかく比ひは 直角ちょっかく三角形さんかくけいの辺へんの比ひ
• 拡張かくちょうは 単位円たんいえん で 「$x$ が $\cos$, $y$ が $\sin$」
• 補角ほかく公式こうしきで鈍角どんかくの値あたいを鋭角えいかくに帰着きちゃく
• 相互そうご関係かんけい${\sin }^2+{\cos }^2=1$ が万能ばんのう
• $\sin \theta =k$ は解かいが 2 つ、 $\cos$ は 1 つ

次じ章しょうではこの三角さんかく比ひを三角形さんかくけい一般いっぱんに適用てきようし、 正弦定理せいげんていり・余弦定理よげんていり を学まなびます。