三角さんかく比ひ — sin・cos・tan と 鈍角どんかくへの拡張かくちょう

この 章しょう で 学まなぶ こと

中学ちゅうがく で 学まなんだ 「直角ちょっかく三角形さんかっけい の 辺あたり の 比ひ」 を 高校こうこう で は 三角比さんかくひ という 名な で 体系たいけい化か し、 さらに 鈍角どんかく まで 拡張かくちょう し ます。 第だい 7 章しょう の 正弦定理せいげんていり・余弦定理よげんていり、 第だい 8 章しょう の 図形づけい計量けいりょう の 土台どだい。

• $\sin \theta ,\cos \theta ,\tan \theta$ の 定義ていぎ (鋭角えいかく)
• 特殊角とくしゅかく$30°,45°,60°$ の 値ね
• $0°\le \theta \le 180°$ への 拡張かくちょう (単位たんい円えん を 使つかう)
• 三角さんかく比ひ の 相互関係そうごかんけい
• 三角さんかく比ひ を 含ふくむ 式しき の 計算けいさん

ポイント: $\sin ,\cos ,\tan$ は 記号きごう を 怖こわが ら ない こと。 「ある 角かく に 対たいする 辺あたり の 比ひ」 と 思おもえ ば、 普通ふつう の 数かず と 同おなじ よう に 計算けいさん でき ます。

1. 直角ちょっかく三角形さんかっけい と 三角さんかく比ひ

鋭角えいかく$\theta$ () の 三角さんかく比ひ

直角ちょっかく三角形さんかっけい で $\angle C=90°$、 $\angle A=\theta$ と する と:

| 名前なまえ | 記号きごう | 比ひ | |---|---|---| | 正弦せいげん (サイン) | $\sin \theta$ | $\frac{}{}=\frac{a}{c}$ | | 余弦よげん (コサイン) | $\cos \theta$ | $\frac{}{}=\frac{b}{c}$ | | 正接せいせつ (タンジェント) | $\tan \theta$ | $\frac{}{}=\frac{a}{b}$ |

ここ で 「対辺たいへん」 = 角$\theta$ の 向むかい 側がわ の 辺あたり、 「隣となり辺あたり」 = 角$\theta$ に 接せっ する (斜辺しゃへん で ない) 辺あたり。

覚おぼえ方かた の コツ

筆記ひっき体たい の s, c, t の 形かたち を なぞる と 比ひ が 出でる。

• $s$ → 「対辺たいへん / 斜辺しゃへん」 ($\sin$)
• $c$ → 「隣となり辺あたり / 斜辺しゃへん」 ($\cos$)
• $t$ → 「対辺たいへん / 隣となり辺あたり」 ($\tan$)

大事だいじ: 「斜辺しゃへん が 分母ぶんぼ か 分子ぶんし か」 を 必かならず 確認かくにん。 サイン と コサイン は 斜辺しゃへん が 分母ぶんぼ、 タンジェント は 斜辺しゃへん を 使つかわ ない。

2. 特殊とくしゅ角かく の 値ね

$30°,45°,60°$

$\theta$	$\sin \theta$	$\cos \theta$	$\tan \theta$
$30°$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$
$45°$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60°$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$

出所しゅっしょ の 三角形さんかっけい

• $45°$: 直角ちょっかく二等辺三角形にとうへんさんかっけい (辺あたり比ひ$1:1:\sqrt{2}$)
• $30°,60°$: 正三角形せいさんかっけい を 半分はんぶん に 切きった 三角形さんかっけい (辺あたり比ひ$1:\sqrt{3}:2$)

$0°$ と $90°$

$\theta$	$\sin \theta$	$\cos \theta$	$\tan \theta$
$0°$	$0$	$1$	$0$
$90°$	$1$	$0$	(定義ていぎ不能ふのう)

ポイント: $\tan 90°$ は 「分母ぶんぼ が $0$」 に なる ため 定義ていぎ で きない。 試験しけん で よく 引ひっかかる ポイント。

3. 三角さんかく比ひ の 拡張かくちょう

単位たんい円えん を 使つかう

$0°$ から $180°$ まで の 角かく に 三角さんかく比ひ を 拡張かくちょう する に は、 半径はんけい$r=1$ の 単位円たんいえん を 使つかい ます。

座標ざひょう平面へいめん で 原点げんてん$O$ を 中心ちゅうしん に、 $x$軸 から 反はん時計とけい回まわり に $\theta$ だけ 回まわし た 半はん直線ちょくせん上じょう に $r=1$ の 点$P(x,y)$ を と る と

三角さんかく比ひ	定義ていぎ
$\sin \theta$	$y$
$\cos \theta$	$x$
$\tan \theta$	$\frac{y}{x}$ ($x\ne 0$)

鈍角どんかく () で の 値ね

$\theta$	$\sin \theta$	$\cos \theta$	$\tan \theta$
$120°$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$
$135°$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-1$
$150°$	$\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$
$180°$	$0$	$-1$	$0$

補角ほかく公式こうしき

$\sin (180°-\theta )=\sin \theta$ $\cos (180°-\theta )=-\cos \theta$ $\tan (180°-\theta )=-\tan \theta$

大事だいじ: 鈍角どんかく の 三角さんかく比ひ は 「対応たいおう する 鋭角えいかく の 値ね に 符号ふごう を つけ替かえる」 の が 基本きほん戦略せんりゃく。 単位たんい円えん で どこ に ある か (第だい II 象限しょうげん) を イメージ する と 符号ふごう が 自然しぜん に わかる。

4. 相互そうご関係かんけい

3 つ の 重要じゅうよう公式こうしき

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }(\cos \theta \ne 0)$ $1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$

由来ゆらい

単位円たんいえん上 の 点$(\cos \theta ,\sin \theta )$ は 半径はんけい$1$ の 円上えんじょう に ある の で

$x^2+y^2=1\hspace{0.25em} ⟺\hspace{0.25em} {\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$

例題れいだい

$\sin \theta =\frac{3}{5}$, の とき、 $\cos \theta ,\tan \theta$ の 値ね を 求もとめよ。

${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta =1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$

$\theta$ は 鈍角どんかく なので :

$\cos \theta =-\frac{4}{5}$

$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{3/5}{-4/5}=-\frac{3}{4}$

ポイント: 平方へいほう を はずす とき に 必かならず 符号ふごう を 確認かくにん。 $\theta$ の 範囲はんい を 見みて 第だい何なん象限しょうげん か を 判定はんてい する 習慣しゅうかん を つけ ま しょう。

5. 三角さんかく比ひ を 含ふくむ 計算けいさん

例題れいだい 1

$\sin \theta +\cos \theta =\frac{1}{2}$ の とき、 $\sin \theta \cos \theta$ の 値ね を 求もとめよ。

両辺りょうへん を 平方へいほう:

$(\sin \theta +\cos \theta {)}^2={\sin }^2\theta +2\sin \theta \cos \theta +{\cos }^2\theta =\frac{1}{4}$

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ より

$1+2\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{4}$ $\sin \theta \cos \theta =-\frac{3}{8}$

例題れいだい 2

$\sin \theta -\cos \theta$ の 値ね も 求もとめよ。

$(\sin \theta -\cos \theta {)}^2=1-2\sin \theta \cos \theta =1+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}$ $\sin \theta -\cos \theta =\pm \frac{\sqrt{7}}{2}$

大事だいじ: $\sin +\cos$ と $\sin \cos$ と $\sin -\cos$ は 平方へいほう と ${\sin }^2+{\cos }^2=1$ で 相互そうご に 行いき来き でき ます。 三角さんかく比ひ計算けいさん の 王道おうどう。

6. 三角さんかく比ひ の 値ね から 角かく を 求もとめる

例れい: $\sin \theta =\frac{1}{2}$ ($0°\le \theta \le 180°$) を 満みたす $\theta$ を 求もとめよ。

特殊角とくしゅかく の 表ひょう を 思おもい出だす と $\theta =30°$。 鈍角どんかく で は $180°-30°=150°$ も 答こたえ。

$\theta =30°,150°$

例: $\cos \theta =-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ($0°\le \theta \le 180°$) を 解とけ。

$\cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}$ なら $\theta =45°$ なので、 補角ほかく公式こうしき で

$\theta =180°-45°=135°$

ポイント: $\sin$ は 2 つ の 解かい が 出でる こと が 多おおい ($\theta$ と $180°-\theta$)。 $\cos$ と $\tan$ は 範囲はんい内ない で 1 つ だけ (単調たんちょう性せい から)。

まとめ

• 鋭角えいかく の 三角さんかく比ひ は 直角ちょっかく三角形さんかっけい の 辺あたり の 比ひ
• 拡張かくちょう は 単位円たんいえん で 「$x$ が $\cos$, $y$ が $\sin$」
• 補角ほかく公式こうしき で 鈍角どんかく の 値ね を 鋭角えいかく に 帰着きちゃく
• 相互そうご関係かんけい${\sin }^2+{\cos }^2=1$ が 万能ばんのう
• $\sin \theta =k$ は 解かい が 2 つ、 $\cos$ は 1 つ

次じ章しょう では この 三角さんかく比ひ を 三角形さんかっけい一般いっぱん に 適用てきよう し、 正弦定理せいげんていり・余弦定理よげんていり を 学まなび ます。