データの相関そうかん

この 章しょう で 学まなぶ こと

第だい 9 章しょう で は 1 種類しゅるい の データ の 性質せいしつ を 調ちょう べ ました が、 こ の 章しょう で は 2 種類しゅるい の データ の 関係かんけい を 数かず で 表ひょう し ます。 「身長しんちょう と 体重たいじゅう」 「気温きおん と アイス の 売上うりあげ」 の よう な 2 変数へんすう の データ を 解析かいせき する 手法しゅほう で す。

• 散布図さんぷず の 読 み 方かた
• 共分散きょうぶんさん $s_{xy}$ の 定義ていぎ
• 相関係数そうかんけいすう $r$ の 公式こうしき と 範囲はんい
• 正ただし の 相関そうかん・負まけ の 相関そうかん・無む相関そうかん
• 回帰直線かいきちょくせん の 概念がいねん

ポイント: 「2 つ の 量りょう が 一緒いっしょ に 動どう く か」 を 数かず で 表ひょう す の が こ の 章しょう。 因果いんが関係かんけい と は 別物べつもの (相関そうかん が あ る ≠ 一方いっぽう が もう 一方いっぽう の 原因げんいん) と いう 注意ちゅうい も 大事だいじ。

1. 散布さんぷ図ず

散布さんぷ図ず と は

横よこ軸じく に $x$、 縦たて軸じく に $y$ を と り、 各かく データ ($x_i,y_i$) を 点てん で 打だ っ た 図ず を 散布図さんぷず と いう。

相関そうかん の 種類しゅるい

散布さんぷ の 様子ようす	相関そうかん
右みぎ上あがり に 並なみ ぶ	正せい の 相関そうかん ($x$ が 大だい → $y$ も 大だい)
右みぎ下さがり に 並なみ ぶ	負まけ の 相関そうかん ($x$ が 大だい → $y$ は 小しょう)
散ちら ば って いる	無む相関そうかん (関係かんけい なし)

強つよ さ の 判定はんてい

並ならび 方かた	強つよ さ
直線ちょくせん に ぴったり	強つよ い 相関そうかん
直線ちょくせん の まわり に 散ちらばる	弱じゃく い 相関そうかん
完全かんぜん に ばらばら	無む相関そうかん

例れい

「気温きおん」 と 「冷つめたい 飲のみ物もの の 売上うりあげ」 → 正ただし の 相関そうかん (気温きおん が 高こう い ほ ど 売上うりあげ も 上うえ が る)。

「気温きおん」 と 「カイロ の 売上うりあげ」 → 負まけ の 相関そうかん (気温きおん が 高こう い ほ ど 売上うりあげ は 下した が る)。

大事だいじ: 散布さんぷ図ず を 描 く だ け で 直感ちょっかん的てき に 相関そうかん を 判定はんてい で き ま す。 数値すうち計算けいさん す る 前まえ に ま ず 図ず で 確認かくにん す る 習慣しゅうかん を。

2. 共きょう分散ぶんさん

定義ていぎ

$x$ と $y$ の 共分散きょうぶんさん $s_{xy}$ は、 各かく データ の 「$x$ の 偏差へんさ と $y$ の 偏差へんさ の 積せき」 の 平均へいきん:

$s_{xy}=\frac{1}{n}\sum i=1n(x_i-xˉ)(y_i-yˉ)$

別べつ公式こうしき

$s_{xy}=xy‾-xˉ\cdot yˉ$

(平均へいきん の 積つむ を 「積つむ の 平均へいきん」 から 引 く)

符号ふごう の 意味いみ

$s_{xy}$ の 符号ふごう	相関そうかん
$>0$	正ただし の 相関そうかん
	[負
$\approx 0$	[無

例題れいだい

| $x_i$ | $y_i$ | $x_i-3$ | $y_i-4$ | 積つむ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $1$ | $2$ | $-2$ | $-2$ | $4$ | | $2$ | $3$ | $-1$ | $-1$ | $1$ | | $3$ | $4$ | $0$ | $0$ | $0$ | | $4$ | $5$ | $1$ | $1$ | $1$ | | $5$ | $6$ | $2$ | $2$ | $4$ | | 計けい | | $0$ | $0$ | $10$ |

平均へいきん$xˉ=3,yˉ=4$。 共きょう分散ぶんさん$s_{xy}=\frac{10}{5}=2$。 正ただし → 正ただし の 相関そうかん。

ポイント: 「$x$ と $y$ が 同どう じ 向むこう き に 動どう く と 偏差へんさ の 積つむ が +、 逆ぎゃく向むこう き だ と −」。 これ を 平均へいきん し た の が 共きょう分散ぶんさん。 直感ちょっかん と も よ く 一致いっち し ま す。

3. 相関そうかん係数けいすう

定義ていぎ

共分散きょうぶんさん を $x,y$ それぞれ の 標準偏差ひょうじゅんへんさ で 割わり る と、 $-1$ から $+1$ の 範囲はんい に 標準ひょうじゅん化か さ れ た 相関係数そうかんけいすう $r$ に なる:

$r=\frac{s_{xy}}{{\sigma }_x{\sigma }_y}$

範囲はんい と 解釈かいしゃく

$-1\le r\le 1$

$r$ の 値ね	相関そうかん
$r=1$	完全かんぜん な 正ただし の 相関そうかん (一直線いっちょくせん に 並なみ ぶ)
$0.7\sim 1$	強つよ い 正ただし
$0.4\sim 0.7$	やや 強つよ い 正ただし
$0.2\sim 0.4$	弱じゃく い 正ただし
$-0.2\sim 0.2$	ほ ぼ 無む相関そうかん
$-0.4\sim -0.2$	弱じゃく い 負まけ
$-1\sim -0.7$	強つよ い 負まけ
$r=-1$	完全かんぜん な 負まけ の 相関そうかん

(目安めやす。 分野ぶんや に より 基準きじゅん は 違ちがう)

例題れいだい

第だい 2 節ふし の 例れい で は ${\sigma }_x=\sqrt{2},{\sigma }_y=\sqrt{2}$ ($x$ が $1,2,3,4,5$、 $y$ が $2,3,4,5,6$ と とも に 等差とうさ で 並なみ ぶ)。

$r=\frac{2}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{2}{2}=1$

完全かんぜん な 正ただし の 相関そうかん (実際じっさい すべて の 点てん が $y=x+1$上 に 並なみ ぶ)。

大事だいじ: $\mid r\mid$ が 大だい き い ほ ど 直線ちょくせん に 近きん い 並なみ び。 ただし $r=0$ で も 「曲線きょくせん的てき な 関係かんけい」 が ある ことが あり ます ($r$ は 線形せんけい の 関係かんけい だけ を 測はかる)。

4. 相関そうかん係数けいすう の 計算けいさん (実践じっせん)

手順てじゅん

1. $xˉ,yˉ$ を 計算けいさん
2. $V_x=x^2‾-x^{ˉ}$, $V_y=y^2‾-y^{ˉ}$
3. ${\sigma }_x=\sqrt{V_x},{\sigma }_y=\sqrt{V_y}$
4. $s_{xy}=xy‾-xˉyˉ$
5. $r=\frac{s_{xy}}{{\sigma }_x{\sigma }_y}$

例題れいだい

データ ($n=4$):

$x_i$	$y_i$
$1$	$4$
$2$	$3$
$4$	$2$
$5$	$1$

(1) 平均へいきん: $xˉ=3,yˉ=2.5$

(2) $x^2‾=\frac{1+4+16+25}{4}=\frac{46}{4}=11.5$, $V_x=11.5-9=2.5$

(3) $y^2‾=\frac{16+9+4+1}{4}=\frac{30}{4}=7.5$, $V_y=7.5-6.25=1.25$

(4) $xy‾=\frac{4+6+8+5}{4}=\frac{23}{4}=5.75$, $s_{xy}=5.75-3\cdot 2.5=-1.75$

(5) $r=\frac{-1.75}{\sqrt{2.5}\cdot \sqrt{1.25}}=\frac{-1.75}{\sqrt{3.125}}\approx \frac{-1.75}{1.768}\approx -0.99$

ほぼ 完全かんぜん な 負まけ の 相関そうかん ($x$ が 大だい きく なる ほど $y$ は 小しょう さ く な る)。

ポイント: $r$ の 符号ふごう が 共きょう分散ぶんさん の 符号ふごう と 必かならず 一致いっち ($\sigma >0$ なので)。 計算けいさん ミス を 検算けんざん す る 際さい に 使し え ま す。

5. 相関そうかん と 因果いんが

注意ちゅうい 1: 相関そうかん ≠ 因果いんが

「アイスクリーム の 売上うりあげ と 水難すいなん事故じこ件数けんすう に は 強つよ い 正ただし の 相関そうかん」 が ある と し て も、 「アイス が 事故じこ を 起おこす」 わ け で は な い。 第だい三さん の 要因よういん (気温きおん = 夏なつ に な る と 両方りょうほう増ぞう え る) が 効こう い て い ま す。

注意ちゅうい 2: 外はずれ値ち の 影響えいきょう

ひとつ の 極端きょくたん な 点てん が ある だけ で $r$ の 値ね が 大だい き く 変へん わる こと が あ る。 必かならず 散布図さんぷず を 描 い て 確認かくにん。

注意ちゅうい 3: 線形せんけい関係かんけい の 測定そくてい だけ

$r=0$ で も 「$y=x^2$ の よう な 曲線きょくせん関係かんけい」 が ある こと あり。 $r$ は 直線ちょくせん的てき な 関係かんけい の 強つよ さ を 測はか る だ け。

大事だいじ: 「相関そうかん = 因果いんが」 と 早合点はやがてん し な い。 入試にゅうし で も 「因果いんが関係かんけい と し て 必かならず 結論けつろん で き る か」 を 問もん う 設問せつもん が あ り ま す。

6. 回帰かいき直線ちょくせん

概念がいねん

散布図さんぷず の 点てん の 「真しん ん 中なか を 通つう る 直線ちょくせん」 を 回帰直線かいきちょくせん と いう。 $y$ を $x$ で 予測よそく す る 直線ちょくせん。

公式こうしき (参考さんこう)

最小さいしょう二に乗法じょうほう で 得とく ら れ る 回帰かいき直線ちょくせん$y=ax+b$ は

$a=\frac{s_{xy}}{V_x},b=yˉ-axˉ$

例れい

第だい 2 節ふし の データ で は $a=\frac{2}{2}=1$, $b=4-1\cdot 3=1$ なので 回帰かいき直線ちょくせん は

$y=x+1$

実際じっさい すべて の 点てん が こ の 直線ちょくせん上じょう に 並なみ ん で い る ($r=1$ と 整合せいごう)。

用途ようと

ある $x$ から $y$ を 予測よそく す る:

例れい: 過去かこ デ ー タ の 「気温きおん と アイス の 売上うりあげ」 で 回帰かいき直線ちょくせん が $y=50x+200$ な ら、 気温きおん$30°$ の 日にち の 予測よそく売上うりあげ は $y=50\cdot 30+200=1700$個。

ポイント: 回帰直線かいきちょくせん は 予測よそく に 使し う が、 デ ー タ の 範囲はんい を 大だい き く 越こし え る $x$ で の 予測よそく は 危険きけん (外がい挿)。 必かならず デ ー タ の 範囲はんい内ない で。

まとめ

• 2 変数へんすう の 関係かんけい は 散布図さんぷず で 直感ちょっかん、 相関係数そうかんけいすう$r$ で 数値すうち化か
• $-1\le r\le 1$、 符号ふごう で 正ただし / 負まけ、 $\mid r\mid$ で 強つよ さ
• 計算けいさん は 「平均へいきん → 分散ぶんさん → 共きょう分散ぶんさん → $r=\frac{s_{xy}}{{\sigma }_x{\sigma }_y}$」
• 相関そうかん ≠ 因果いんが。 第だい三さん の 要因よういん・外そと れ 値ね・非線形ひせんけい関係かんけい に 注意ちゅうい
• 回帰直線かいきちょくせん$y=ax+b$ で 予測よそく で き る

これ で 数学すうがくI の 全ぜん 10 章しょう が 終おわり わ り ま し た。 数かず と 式しき か ら 始はじめ ま り、 集合しゅうごう・命題めいだい、 不等式ふとうしき、 二に次じ関数かんすう、 三角さんかく比ひ、 デ ー タ ま で、 高校こうこう数学すうがく全体ぜんたい の 「足場あしば」 を 作さく る 内容ないよう で し た。 次つぎ は 数学すうがくA の 「場合ばあい の 数かず と 確率かくりつ」 「図形づけい の 性質せいしつ」 「整数せいすう の 性質せいしつ」 へ と 進すすむ み ま し ょう。