データの相関そうかん

この章しょうで学まなぶこと

第だい 9 章しょうでは 1 種類しゅるい のデータでーたの性質せいしつを調しらべましたが、 この章しょうでは 2 種類しゅるい のデータの関係かんけいを数かずで表あらわします。 「身長しんちょうと体重たいじゅう」 「気温きおんとアイスの売上うりあげ」 のような 2 変数へんすうのデータを解析かいせきする手法しゅほうです。

• 散布図さんぷず の読よみ方かた
• 共分散きょうぶんさん $s_{xy}$ の定義ていぎ
• 相関係数そうかんけいすう $r$ の公式こうしきと範囲はんい
• 正の相関せいのそうかん・負ふの相関そうかん・無む相関そうかん
• 回帰直線かいきちょくせん の概念がいねん

ポイント: 「2 つの量りょうが一緒いっしょに動うごくか」 を数かずで表あらわすのがこの章しょう。 因果いんが関係かんけいとは別物べつもの (相関そうかんがある ≠ 一方いっぽうがもう一方いっぽうの原因げんいん) という注意ちゅういも大事だいじ。

1. 散布さんぷ図ず

散布さんぷ図ずとは

横よこ軸じくに $x$、 縦たて軸じくに $y$ をとり、 各かくデータ ($x_i,y_i$) を点てんで打うった図ずを 散布図さんぷず という。

相関そうかんの種類しゅるい

散布さんぷの様子ようす	相関そうかん
右みぎ上あがりに並ならぶ	正せいの相関そうかん ($x$ が大だい → $y$ も大だい)
右みぎ下さがりに並ならぶ	負ふの相関そうかん ($x$ が大だい → $y$ は小しょう)
散ちらばっている	無む相関そうかん (関係かんけいなし)

強つよさの判定はんてい

並ならび方かた	強つよさ
直線ちょくせんにぴったり	強つよい相関そうかん
直線ちょくせんのまわりに散ちらばる	弱よわい相関そうかん
完全かんぜんにばらばら	無む相関そうかん

例れい

「気温きおん」 と 「冷つめたい飲のみ物ものの売上うりあげ」 → 正せいの相関そうかん (気温きおんが高たかいほど売上うりあげも上あがる)。

「気温きおん」 と 「カイロの売上うりあげ」 → 負ふの相関そうかん (気温きおんが高たかいほど売上うりあげは下さがる)。

大事だいじ: 散布さんぷ図ずを描えがくだけで 直感ちょっかん的てきに相関そうかんを判定はんてい できます。 数値すうち計算けいさんする前まえにまず図ずで確認かくにんする習慣しゅうかんを。

2. 共きょう分散ぶんさん

定義ていぎ

$x$ と $y$ の 共分散きょうぶんさん $s_{xy}$ は、 各かくデータの 「$x$ の偏差へんいと $y$ の偏差へんいの積せき」 の平均へいきん:

$s_{xy}=\frac{1}{n}\sum i=1n(x_i-xˉ)(y_i-yˉ)$

別べつ公式こうしき

$s_{xy}=xy‾-xˉ\cdot yˉ$

(平均へいきんの積せきを 「積せきの平均へいきん」 から引ひく)

符号ふごうの意味いみ

$s_{xy}$ の符号ふごう	相関そうかん
$>0$	正せいの相関そうかん
	負ふの相関そうかん
$\approx 0$	無む相関そうかん

例題れいだい

$x_i$	$y_i$	$x_i-3$	$y_i-4$	積つむ
$1$	$2$	$-2$	$-2$	$4$
$2$	$3$	$-1$	$-1$	$1$
$3$	$4$	$0$	$0$	$0$
$4$	$5$	$1$	$1$	$1$
$5$	$6$	$2$	$2$	$4$
計けい		$0$	$0$	$10$

平均へいきん$xˉ=3,yˉ=4$。 共きょう分散ぶんさん$s_{xy}=\frac{10}{5}=2$。 正せい → 正せいの相関そうかん。

ポイント: 「$x$ と $y$ が同おなじ向むきに動うごくと偏差へんいの積せきが +、 逆ぎゃく向むきだと −」。 これを平均へいきんしたのが共きょう分散ぶんさん。 直感ちょっかんともよく一致いっちします。

3. 相関そうかん係数けいすう

定義ていぎ

共分散きょうぶんさんを $x,y$ それぞれの標準偏差ひょうじゅんへんさで割われると、 $-1$ から $+1$ の範囲はんいに標準ひょうじゅん化かされた 相関係数そうかんけいすう $r$ になる:

$r=\frac{s_{xy}}{{\sigma }_x{\sigma }_y}$

範囲はんいと解釈かいしゃく

$-1\le r\le 1$

$r$ の値あたい	相関そうかん
$r=1$	完全かんぜんな正せいの相関そうかん (一直線いっちょくせんに並ならぶ)
$0.7\sim 1$	強つよい正せい
$0.4\sim 0.7$	やや強つよい正せい
$0.2\sim 0.4$	弱よわい正せい
$-0.2\sim 0.2$	ほぼ無む相関そうかん
$-0.4\sim -0.2$	弱よわい負ふ
$-1\sim -0.7$	強つよい負ふ
$r=-1$	完全かんぜんな負ふの相関そうかん

(目安めやす。 分野ぶんやにより基準きじゅんは違ちがう)

例題れいだい

第だい 2 節ふしの例れいでは ${\sigma }_x=\sqrt{2},{\sigma }_y=\sqrt{2}$ ($x$ が $1,2,3,4,5$、 $y$ が $2,3,4,5,6$ とともに等差とうさで並ならぶ)。

$r=\frac{2}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{2}{2}=1$

完全かんぜんな正せいの相関そうかん (実際じっさいすべての点てんが $y=x+1$上に並ならぶ)。

大事だいじ: $\mid r\mid$ が大おおきいほど直線ちょくせんに近ちかい並ならび。 ただし $r=0$ でも 「曲線きょくせん的てきな関係かんけい」 があることがあります ($r$ は線形せんけいの関係かんけいだけを測はかる)。

4. 相関そうかん係数けいすうの計算けいさん (実践じっせん)

手順てじゅん

1. $xˉ,yˉ$ を計算けいさん
2. $V_x=x^2‾-x^{ˉ}$, $V_y=y^2‾-y^{ˉ}$
3. ${\sigma }_x=\sqrt{V_x},{\sigma }_y=\sqrt{V_y}$
4. $s_{xy}=xy‾-xˉyˉ$
5. $r=\frac{s_{xy}}{{\sigma }_x{\sigma }_y}$

例題れいだい

データ ($n=4$):

$x_i$	$y_i$
$1$	$4$
$2$	$3$
$4$	$2$
$5$	$1$

(1) 平均へいきん: $xˉ=3,yˉ=2.5$

(2) $x^2‾=\frac{1+4+16+25}{4}=\frac{46}{4}=11.5$, $V_x=11.5-9=2.5$

(3) $y^2‾=\frac{16+9+4+1}{4}=\frac{30}{4}=7.5$, $V_y=7.5-6.25=1.25$

(4) $xy‾=\frac{4+6+8+5}{4}=\frac{23}{4}=5.75$, $s_{xy}=5.75-3\cdot 2.5=-1.75$

(5) $r=\frac{-1.75}{\sqrt{2.5}\cdot \sqrt{1.25}}=\frac{-1.75}{\sqrt{3.125}}\approx \frac{-1.75}{1.768}\approx -0.99$

ほぼ完全かんぜんな負ふの相関そうかん ($x$ が大おおきくなるほど $y$ は小ちいさくなる)。

ポイント: $r$ の符号ふごう が共きょう分散ぶんさんの符号ふごうと必かならず一致いっち ($\sigma >0$ なので)。 計算けいさんミスを検算けんざんする際さいに使つかえます。

5. 相関そうかんと因果いんが

注意ちゅうい 1: 相関そうかん ≠ 因果いんが

「アイスクリームの売上うりあげと水難すいなん事故じこ件数けんすうには強つよい正せいの相関そうかん」 があるとしても、 「アイスが事故じこを起おこす」 わけではない。 第だい三さんの要因よういん (気温きおん = 夏なつになると両方りょうほう増ふえる) が効きいています。

注意ちゅうい 2: 外はずれ値ちの影響えいきょう

ひとつの極端きょくたんな点てんがあるだけで $r$ の値あたいが大おおきく変かわることがある。 必かならず散布図さんぷずを描えがいて確認かくにん。

注意ちゅうい 3: 線形せんけい関係かんけいの測定そくていだけ

$r=0$ でも 「$y=x^2$ のような曲線きょくせん関係かんけい」 があることあり。 $r$ は 直線ちょくせん的てきな関係かんけいの強つよさ を測はかるだけ。

大事だいじ: 「相関そうかん = 因果いんが」 と早合点はやがてんしない。 入試にゅうしでも 「因果いんが関係かんけいとして必かならず結論けつろんできるか」 を問とう設問せつもんがあります。

6. 回帰かいき直線ちょくせん

概念がいねん

散布図さんぷずの点てんの 「真まん中なかを通とおる直線ちょくせん」 を 回帰直線かいきちょくせん という。 $y$ を $x$ で予測よそくする直線ちょくせん。

公式こうしき (参考さんこう)

最小さいしょう二に乗法じょうほうで得えられる回帰かいき直線ちょくせん$y=ax+b$ は

$a=\frac{s_{xy}}{V_x},b=yˉ-axˉ$

例れい

第だい 2 節ふしのデータでは $a=\frac{2}{2}=1$, $b=4-1\cdot 3=1$ なので回帰かいき直線ちょくせんは

$y=x+1$

実際じっさいすべての点てんがこの直線ちょくせん上じょうに並ならんでいる ($r=1$ と整合せいごう)。

用途ようと

ある $x$ から $y$ を 予測よそく する:

例れい: 過去かこデータの 「気温きおんとアイスの売上うりあげ」 で回帰かいき直線ちょくせんが $y=50x+200$ なら、 気温きおん$30°$ の日ひの予測よそく売上うりあげは $y=50\cdot 30+200=1700$個。

ポイント: 回帰直線かいきちょくせんは 予測よそく に使つかうが、 データの範囲はんいを大おおきく越こえる $x$ での予測よそくは危険きけん (外挿がいそう)。 必かならずデータの範囲はんい内ないで。

まとめ

• 2 変数へんすうの関係かんけいは 散布図さんぷず で直感ちょっかん、 相関係数そうかんけいすう $r$ で数値すうち化か
• $-1\le r\le 1$、 符号ふごうで正せい / 負ふ、 $\mid r\mid$ で強つよさ
• 計算けいさんは 「平均へいきん → 分散ぶんさん → 共きょう分散ぶんさん → $r=\frac{s_{xy}}{{\sigma }_x{\sigma }_y}$」
• 相関そうかん ≠ 因果いんが。 第だい三さんの要因よういん・外はずれ値ち・非線形ひせんけい関係かんけいに注意ちゅうい
• 回帰直線かいきちょくせん $y=ax+b$ で予測よそくできる

これで数学すうがくI の全ぜん 10 章しょうが終おわりました。 数かずと式しきから始はじまり、 集合しゅうごう・命題めいだい、 不等式ふとうしき、 二に次じ関数かんすう、 三角さんかく比ひ、 データまで、 高校こうこう数学すうがく全体ぜんたいの 「足場あしば」 を作つくる内容ないようでした。 次つぎは 数学すうがくA の 「場合ばあいの数かずと確率かくりつ」 「図形ずけいの性質せいしつ」 「整数せいすうの性質せいしつ」 へと進すすみましょう。