高校数学I 第3章一次・二次不等式｜絶対値・連立不等式

この章しょうで学まなぶこと

中学ちゅうがくで学まなんだ「一次方程式いちじほうていしき」の不等号ふとうごう版ばんを高校こうこうでは 不等式ふとうしき として体系たいけい的てきに整理せいりし、さらに 二に次じまで 拡張かくちょうします。第だい 4・5 章しょうの二次関数にじかんすうの解析かいせきで中心ちゅうしん的てきに使つかう道具どうぐです。

一次不等式いちじふとうしきの解法かいほうと注意ちゅうい点てん
連立不等式れんりつふとうしきの共通きょうつう範囲はんい
絶対値ぜったいちを含ふくむ不等式ふとうしき
二次不等式にじふとうしきと二次関数にじかんすうのグラフの関係かんけい
判別式はんべつしき $D$ で解かいの様子ようすを知しる

ポイント: 不等式ふとうしきで一番いちばん注意ちゅういするのは 「負ふの数かずで両辺りょうへんをかけたりわったりすると不等号ふとうごうの向むきが変かわる」 こと。ここを落おとすとすべてが狂くるいます。

1. 一いち次じ不等式ふとうしきの基本きほん

不等式ふとうしきの性質せいしつ

操作そうさ	不等号ふとうごう
両辺りょうへんに同おなじ数かずを加くわえる / 引ひく	変かわらない
両辺りょうへんに正せいの数すうをかける / わる	変かわらない
両辺りょうへんに負ふの数すうをかける / わる	逆転ぎゃくてんする

解法かいほうのステップ

例れい: $3 x + 5 < 2 x + 9$ を解とけ。

$3 x - 2 x < 9 - 5$ $x < 4$

数すう直線ちょくせんでは「 $4$ より左ひだり ( $4$ を含ふくまず)」。

負ふの数かずでわる例れい

例れい: $- 2 x + 3 \geq 7$ を解とけ。

$- 2 x \geq 4$

両辺りょうへんを $- 2$ でわると 不等号ふとうごうが逆転ぎゃくてん:

$x \leq - 2$

大事だいじ: 答えこたえが $x \leq - 2$ なら数すう直線ちょくせんで「 $- 2$ を含ふくむ左ひだり半分はんぶん」。不等号ふとうごうと黒丸くろまる / 白丸しろまるの対応たいおう ( $\leq$ なら黒丸くろまる、 $<$ なら白丸しろまる) を必かならず確認かくにん。

2. 連立れんりつ不等式ふとうしき

共通きょうつう範囲はんいをとる

複数ふくすうの不等式ふとうしきを同時どうじに満みたす $x$ の範囲はんいを求もとめるのが 連立不等式れんりつふとうしき です。

例れい:

${3 x - 1 > 2 2 x + 5 \leq 11$

それぞれ解とくと

$x > 1 かつ x \leq 3$

両方りょうほうを満みたすのは

$1 < x \leq 3$

数かず直線ちょくせんで視覚しかく化か

範囲はんい 1	範囲はんい 2	共通きょうつう
$x > 1$	$x \leq 3$	$1 < x \leq 3$

ポイント: 「かつ」は重かさなる部分ぶぶん (せまい)、「または」は合あわせた部分ぶぶん (広ひろい)。命題めいだいの章しょうで学まなんだ $\cap$ と $\cup$ と同おなじ関係かんけいです。

3. 絶対ぜったい値ちを含ふくむ不等式ふとうしき

基本形きほんけい

$a > 0$ のとき:

$∣ x ∣ < a \Leftrightarrow - a < x < a$ $∣ x ∣ > a \Leftrightarrow x < - a または x > a$

例題れいだい

$∣ x - 2 ∣ < 3$ を解とけ。

$- 3 < x - 2 < 3$ $- 1 < x < 5$

$∣ x - 2 ∣ \geq 3$ を解とけ。

$x - 2 \leq - 3 または x - 2 \geq 3$ $x \leq - 1 または x \geq 5$

場合ばあい分わけを使つかう例

$∣ x - 1 ∣ + ∣ x - 3 ∣ < 6$ を解とけ。

範囲はんい	$∣ x - 1 ∣$	$∣ x - 3 ∣$	不等式ふとうしき
$x < 1$	$1 - x$	$3 - x$	$4 - 2 x < 6 \Rightarrow x > - 1$
$1 \leq x < 3$	$x - 1$	$3 - x$	$2 < 6$ (常つねに成立せいりつ)
$x \geq 3$	$x - 1$	$x - 3$	$2 x - 4 < 6 \Rightarrow x < 5$

各かく範囲はんいと元もとの範囲はんいの 共通きょうつう部分ぶぶん をとり合あわせて:

$- 1 < x < 5$

大事だいじ: 絶対ぜったい値ちを含ふくむ不等式ふとうしきの王道おうどうは (1) 公式こうしきが使つかえる形かたちか (2) 場合ばあい分わけをするか。公式こうしきが使つかえるなら必かならずそちらを。

4. 二に次じ関数かんすうのグラフの復習ふくしゅう

二次不等式にじふとうしきを解とくには 二次関数にじかんすう $y = a x^{2} + b x + c$ のグラフを思おもい浮うかべるのが一番いちばん速はやいです (詳細しょうさいは次じ章しょう)。

$a$ の符号ふごう	形かたち
$a > 0$	下したに凸とつ (お椀わん形がた)
$a < 0$	上うえに凸とつ (帽子ぼうし形がた)

$x$ 軸との交点こうてん ( $y = 0$ の解かい) を 実数解じっすうかい といい、判別式はんべつしき

$D = b^{2} - 4 a c$

の符号ふごうで個数こすうが決きまります:

$D$ の符号ふごう	実数じっすう解かいの個数こすう
$D > 0$	2 個こ
$D = 0$	1 個こ (重じゅう解かい)
$D < 0$	0 個こ

5. 二に次じ不等式ふとうしきの解法かいほう

基本きほんの流ながれ

右辺うへんを $0$ にする: $a x^{2} + b x + c [<, >, \leq, \geq] 0$
$y = a x^{2} + b x + c$ のグラフを描えがく
$y$ が不等号ふとうごうを満みたす $x$ の範囲はんい を読よみとる

$a > 0$ の場合ばあい ( $D > 0$ , 実数じっすう解かい $α < β$ )

不等式ふとうしき	解かい
$a x^{2} + b x + c > 0$	$x < α$ または $x > β$
$a x^{2} + b x + c < 0$	$α < x < β$
$a x^{2} + b x + c \geq 0$	$x \leq α$ または $x \geq β$
$a x^{2} + b x + c \leq 0$	$α \leq x \leq β$

例題れいだい

$x^{2} - 5 x + 6 > 0$ を解とけ。

因数分解いんすうぶんかい: $(x - 2) (x - 3) > 0$ 。グラフは下したに凸とつ、 $x$ 軸との交点こうてんは $x = 2, 3$ 。

「 $y > 0$ ( $x$ 軸より上うえ)」の範囲はんいは

$x < 2 または x > 3$

$D = 0$ の場合ばあい (重じゅう解かい $α$ )

不等式ふとうしき	解かい
$a (x - α)^{2} > 0$	$x \neq α$
$a (x - α)^{2} \geq 0$	すべての実数じっすう
$a (x - α)^{2} < 0$	解かいなし
$a (x - α)^{2} \leq 0$	$x = α$

$D < 0$ の場合ばあい (実数じっすう解かいなし)

$a > 0$ ならグラフは全体ぜんたいが $x$ 軸より上うえ:

不等式ふとうしき	解かい
$> 0, \geq 0$	すべての実数じっすう
$< 0, \leq 0$	解かいなし

ポイント: 「グラフを必かならず描えがく」 こと。描えがかないで暗算あんざんすると符号ふごうミスを必かならずします。

6. 二に次じ不等式ふとうしきの応用おうよう

例題れいだい: 文字もじを含ふくむ不等式ふとうしき

$x^{2} - (a + 1) x + a < 0$ を解とけ。

因数分解いんすうぶんかい: $(x - 1) (x - a) < 0$ 。

$a$ の場合ばあい	解かい
$a > 1$	$1 < x < a$
$a = 1$	解かいなし (重じゅう解かいなので $< 0$ にならない)
$a < 1$	$a < x < 1$

例題れいだい: 全ぜん実数じっすうで成なり立たつ条件じょうけん

「すべての実数じっすう $x$ で $x^{2} + 2 k x + 3 > 0$ 」となる $k$ の範囲はんいを求もとめよ。

「下したに凸とつで $x$ 軸と交まじわらない」が条件じょうけん。判別式はんべつしき:

$D = (2 k)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 k^{2} - 12 < 0$

$k^{2} < 3 \Leftrightarrow - \sqrt{3} < k < \sqrt{3}$

大事だいじ: 「すべての実数じっすうで成なり立たつ」系けいの問題もんだいは 判別式はんべつしき $D$ の符号ふごう に帰着きちゃくします。第だい 5 章しょうの「解かいの分布ぶんぷ」の前ぜん振ふり。

まとめ

不等式ふとうしきは 負ふの数かずでわると向むきが逆転ぎゃくてん が第だい一いち鉄則てっそく
連立不等式れんりつふとうしきは数すう直線ちょくせんで重かさなる部分ぶぶんを取とる
絶対値ぜったいちを含ふくむ不等式ふとうしきは 公式こうしき か 場合ばあい分わけ で外はずす
二次不等式にじふとうしきは グラフを描えがいて 解とくのが王道おうどう
判別式はんべつしき $D$ の符号ふごうで解かいの様子ようすがわかる

次じ章しょうからは 二次関数にじかんすう 本体ほんたいを、グラフの頂点ちょうてん・軸じく・平行移動へいこういどうの観点かんてんで学まなびます。

一いち次じ・二に次じ不等式ふとうしき

この章しょうで学まなぶこと

1. 一いち次じ不等式ふとうしきの基本きほん

不等式ふとうしきの性質せいしつ

解法かいほうのステップ

負ふの数かずでわる例れい

2. 連立れんりつ不等式ふとうしき

共通きょうつう範囲はんいをとる

数かず直線ちょくせんで視覚しかく化か

3. 絶対ぜったい値ちを含ふくむ不等式ふとうしき

基本形きほんけい

例題れいだい

場合ばあい分わけを使つかう例

4. 二に次じ関数かんすうのグラフの復習ふくしゅう

5. 二に次じ不等式ふとうしきの解法かいほう

基本きほんの流ながれ

a>0a > 0a>0 の場合ばあい (D>0D > 0D>0, 実数じっすう解かいα<β\alpha < \betaα<β)

例題れいだい

D=0D = 0D=0 の場合ばあい (重じゅう解かいα\alphaα)

D<0D < 0D<0 の場合ばあい (実数じっすう解かいなし)

6. 二に次じ不等式ふとうしきの応用おうよう

例題れいだい: 文字もじを含ふくむ不等式ふとうしき

例題れいだい: 全ぜん実数じっすうで成なり立たつ条件じょうけん

まとめ

$a > 0$ の場合ばあい ( $D > 0$ , 実数じっすう解かい $α < β$ )

$D = 0$ の場合ばあい (重じゅう解かい $α$ )

$D < 0$ の場合ばあい (実数じっすう解かいなし)