一いち次じ・二に次じ不等式ふとうしき

この 章しょう で 学まなぶ こと

中学ちゅうがく で 学まなんだ 「一次方程式いちじほうていしき」 の 不等号ふとうごう版ばん を 高校こうこう で は 不等式ふとうしき と して 体系たいけい的てき に 整理せいり し、 さらに 二に次じ まで 拡張かくちょう し ます。 第だい 4・5 章しょう の 二次関数にじかんすう の 解析かいせき で 中心ちゅうしん的てき に 使つかう 道具どうぐ です。

• 一次不等式いちじふとうしき の 解法かいほう と 注意ちゅうい点てん
• 連立不等式れんりつふとうしき の 共通きょうつう範囲はんい
• 絶対値ぜったいち を 含ふくむ 不等式ふとうしき
• 二次不等式にじふとうしき と 二次関数にじかんすう の グラフ の 関係かんけい
• 判別式はんべつしき$D$ で 解かい の 様子ようす を 知しる

ポイント: 不等式ふとうしき で 一番いちばん注意ちゅうい する の は 「負まけ の 数かず で 両辺りょうへん を かけ たり わったり する と 不等号ふとうごう の 向むき が 変かわる」 こと。 ここ を 落おとす と すべて が 狂くるい ます。

1. 一いち次じ不等式ふとうしき の 基本きほん

不等式ふとうしき の 性質せいしつ

操作そうさ	不等号ふとうごう
両辺りょうへん に 同おなじ 数かず を 加くわえる / 引ひく	変かわら ない
両辺りょうへん に 正せい の 数かず を かける / わる	変かわら ない
両辺りょうへん に 負まけ の 数かず を かける / わる	逆転ぎゃくてん する

解法かいほう の ステップ

例れい: を 解とけ。

数すう直線ちょくせん で は 「$4$ より 左ひだり ($4$ を 含ふくま ず)」。

負まけ の 数かず で わる 例れい

例れい: $-2x+3\ge 7$ を 解とけ。

$-2x\ge 4$

両辺りょうへん を $-2$ で わる と 不等号ふとうごう が 逆転ぎゃくてん:

$x\le -2$

大事だいじ: 答こたえ が $x\le -2$ なら 数かず直線ちょくせん で 「$-2$ を 含ふくむ 左ひだり半分はんぶん」。 不等号ふとうごう と 黒丸くろまる / 白丸しろまる の 対応たいおう ($\le$ なら 黒丸くろまる、 なら 白丸しろまる) を 必かならず 確認かくにん。

2. 連立れんりつ不等式ふとうしき

共通きょうつう範囲はんい を とる

複数ふくすう の 不等式ふとうしき を 同時どうじ に 満みたす $x$ の 範囲はんい を 求もとめる の が 連立不等式れんりつふとうしき です。

例れい:

$\{3x-1>22x+5\le 11$

それぞれ 解とく と

$x>1かつx\le 3$

両方りょうほう を 満みたす の は

数かず直線ちょくせん で 視覚しかく化か

| 範囲はんい 1 | 範囲はんい 2 | 共通きょうつう | |---|---|---| | $x>1$ | $x\le 3$ | |

ポイント: 「かつ」 は 重かさなる 部分ぶぶん (せまい)、 「または」 は 合あわせた 部分ぶぶん (広ひろい)。 命題めいだい の 章しょう で 学まなんだ $\cap$ と $\cup$ と 同おなじ 関係かんけい です。

3. 絶対ぜったい値ち を 含ふくむ 不等式ふとうしき

基本形きほんけい

$a>0$ の とき:

例題れいだい

を 解とけ。

$\mid x-2\mid \ge 3$ を 解とけ。

$x-2\le -3\hspace{0.25em} または\hspace{0.25em} x-2\ge 3$ $x\le -1\hspace{0.25em} または\hspace{0.25em} x\ge 5$

場合ばあい分わけ を 使つかう 例

を 解とけ。

| 範囲はんい | $\mid x-1\mid$ | $\mid x-3\mid$ | 不等式ふとうしき | |---|---|---|---| | | $1-x$ | $3-x$ | | | | $x-1$ | $3-x$ | (常つねに 成立せいりつ) | | $x\ge 3$ | $x-1$ | $x-3$ | |

各かく範囲はんい と 元もと の 範囲はんい の 共通きょうつう部分ぶぶん を とり 合あわせ て:

大事だいじ: 絶対ぜったい値ち を 含ふくむ 不等式ふとうしき の 王道おうどう は (1) 公式こうしき が 使つかえる 形かたち か (2) 場合ばあい分わけ を する か。 公式こうしき が 使つかえる なら 必かならず そちら を。

4. 二に次じ関数かんすう の グラフ の 復習ふくしゅう

二次不等式にじふとうしき を 解とく に は 二次関数にじかんすう $y=a{x}^2+bx+c$ の グラフ を 思おもい浮うかべる の が 一番いちばん速はやい です (詳細しょうさい は 次じ章しょう)。

$a$ の 符号ふごう	形かたち
$a>0$	下した に 凸とつ (お椀わん形がた)
	[上

$x$軸 と の 交点こうてん ($y=0$ の 解かい) を 実数解じっすうかい と いい、 判別式はんべつしき

$D=b^2-4ac$

の 符号ふごう で 個数こすう が 決きまり ます:

| $D$ の 符号ふごう | 実数じっすう解かい の 個数こすう | |---|---| | $D>0$ | 2 個こ | | $D=0$ | 1 個こ (重じゅう解かい) | | | 0 個こ |

5. 二に次じ不等式ふとうしき の 解法かいほう

基本きほん の 流ながれ

1. 右辺うへん を $0$ に する:
2. $y=a{x}^2+bx+c$ の グラフ を 描えがく
3. $y$ が 不等号ふとうごう を 満みたす $x$ の 範囲はんい を 読よみ とる

$a>0$ の 場合ばあい ($D>0$, 実数じっすう解かい)

| 不等式ふとうしき | 解かい | |---|---| | $a{x}^2+bx+c>0$ | または $x>\beta$ | | | | | $a{x}^2+bx+c\ge 0$ | $x\le \alpha$ または $x\ge \beta$ | | $a{x}^2+bx+c\le 0$ | $\alpha \le x\le \beta$ |

例題れいだい

$x^2-5x+6>0$ を 解とけ。

因数分解いんすうぶんかい: $(x-2)(x-3)>0$。 グラフ は 下した に 凸とつ、 $x$軸 と の 交点こうてん は $x=2,3$。

「$y>0$ ($x$軸 より 上うえ)」 の 範囲はんい は

$D=0$ の 場合ばあい (重じゅう解かい$\alpha$)

不等式ふとうしき	解かい
$a(x-\alpha {)}^2>0$	$x\ne \alpha$
$a(x-\alpha {)}^2\ge 0$	すべて の 実数じっすう
	[解
$a(x-\alpha {)}^2\le 0$	$x=\alpha$

の 場合ばあい (実数じっすう解かい なし)

$a>0$ なら グラフ は 全体ぜんたい が $x$軸 より 上うえ:

不等式ふとうしき	解かい
$>0,\ge 0$	すべて の 実数じっすう
	[解

ポイント: 「グラフ を 必かならず 描えがく」 こと。 描えがか ない で 暗算あんざん する と 符号ふごう ミス を 必かならず し ます。

6. 二に次じ不等式ふとうしき の 応用おうよう

例題れいだい: 文字もじ を 含ふくむ 不等式ふとうしき

を 解とけ。

因数分解いんすうぶんかい: 。

| $a$ の 場合ばあい | 解かい | |---|---| | $a>1$ | | | $a=1$ | 解かい なし (重じゅう解かい なので に なら ない) | | | |

例題れいだい: 全ぜん実数じっすう で 成なり立たつ 条件じょうけん

「すべて の 実数じっすう$x$ で $x^2+2kx+3>0$」 と なる $k$ の 範囲はんい を 求もとめよ。

「下した に 凸とつ で $x$軸 と 交まじわら ない」 が 条件じょうけん。 判別式はんべつしき:

大事だいじ: 「すべて の 実数じっすう で 成なり立たつ」 系けい の 問題もんだい は 判別式はんべつしき$D$ の 符号ふごう に 帰着きちゃく し ます。 第だい 5 章しょう の 「解かい の 分布ぶんぷ」 の 前ぜん振ふり。

まとめ

• 不等式ふとうしき は 負まけ の 数かず で わる と 向むき が 逆転ぎゃくてん が 第だい一いち鉄則てっそく
• 連立不等式れんりつふとうしき は 数かず直線ちょくせん で 重かさなる 部分ぶぶん を 取とる
• 絶対値ぜったいち を 含ふくむ 不等式ふとうしき は 公式こうしき か 場合ばあい分わけ で 外はずす
• 二次不等式にじふとうしき は グラフ を 描えがいて 解とく の が 王道おうどう
• 判別式はんべつしき$D$ の 符号ふごう で 解かい の 様子ようす が わかる

次じ章しょう から は 二次関数にじかんすう 本体ほんたい を、 グラフ の 頂点ちょうてん・軸じく・平行移動へいこういどう の 観点かんてん で 学まなび ます。