二に次じ関数かんすうのグラフ

この 章しょう で 学まなぶ こと

中学ちゅうがく 3 年ねん で 学まなんだ $y=a{x}^2$ の グラフ を、 高校こうこう で は $y=a{x}^2+bx+c$ と いう 一般いっぱん形がた で 扱あつかい、 自由じゆう に 動うごかし たり 形かたち を 読よみ とったり できる よう に なり ます。 第だい 5 章しょう の 最大さいだい・最小さいしょう や 第だい 7 章しょう の 正弦定理せいげんていり の 図形づけい解析かいせき で も この 視点してん が 大だい活躍かつやく。

• 二次関数にじかんすう の 標準ひょうじゅん形がた$y=a(x-p{)}^2+q$
• 頂点ちょうてん と 軸じく の 求もとめ方かた
• 平方完成へいほうかんせい の 計算けいさん手順てじゅん
• 平行移動へいこういどう と 対称移動たいしょういどう
• グラフ から 式しき を 復元ふくげん する

ポイント: $y=a{x}^2+bx+c$ を 一いち発はつ で $y=a(x-p{)}^2+q$ に 直なおせる か どう か が この 章しょう の 試験しけん ポイント。 そこ から すべて が 始はじまり ます。

1. $y=a{x}^2$ の 復習ふくしゅう

基本きほん グラフ

中学ちゅうがく 3 年ねん で 学まなんだ $y=a{x}^2$ の グラフ は 放物線ほうぶつせん で、 頂点ちょうてん は 原点げんてん$(0,0)$、 軸じく は $y$軸 ($x=0$)。

$a$ の 符号ふごう	開ひらき 方かた
$a>0$	下した に 凸とつ (上じょう開ひらき)
	[上

| $\mid a\mid$ の 大おおきさ | 形かたち | |---|---| | 大おおきい | 細ほそい (たて 長ちょう) | | 小ちいさい | 広ひろい (横よこ広ひろ) |

グラフ の 対称たいしょう性せい

$y=a{x}^2$ は $y$軸 に 関かんして 線せん対称たいしょう。 $x$ と $-x$ で 同おなじ $y$ に なる ($x^2=(-x{)}^2$ の ため)。

2. 平行へいこう移動いどう

基本きほん公式こうしき

関数かんすう$y=f\left(x\right)$ を $x$軸じく方向ほうこう に $p$、 $y$軸じく方向ほうこう に $q$平行へいこう移動いどう し た グラフ は

$y-q=f(x-p)$

すなわち

$y=f(x-p)+q$

大事だいじ: $x$ の 方かた は 「$x-p$」 と マイナス で 入いれる の が ポイント。 グラフ が 右みぎ に $p$動うごく なら、 同おなじ $y$ を 出だす ため に $x$ から $p$ を 引ひい て 元もと の 場所ばしょ に 戻もどす イメージ。

二に次じ関数かんすう の 標準ひょうじゅん形がた

$y=a{x}^2$ を 平行へいこう移動いどう し た もの が

$y=a(x-p{)}^2+q$

このとき:

要素ようそ	値ね
**[[頂点	ちょうてん]]**
**[[軸	じく]]**
開ひらき	$a$ で 決きまる

例

$y=2(x-3{)}^2+5$ の 頂点ちょうてん と 軸じく を 求もとめよ。

頂点ちょうてん$(3,5)$、 軸$x=3$、 下した に 凸とつ ($a=2>0$)。

3. 平方へいほう完成かんせい

一般いっぱん形がた から 標準ひょうじゅん形がた へ

$y=a{x}^2+bx+c$ を $y=a(x-p{)}^2+q$ に 変形へんけい する 操作そうさ を 平方完成へいほうかんせい と いい ます。

手順てじゅん

1. $x^2$ の 係数けいすう$a$ を $x^2$ と $x$ の 項こう だけ で くくる
2. かっこ の 中なか を ${(x+\frac{b}{2a})}^2-{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2$ の 形かたち に 整ととのえる
3. 定数ていすう を 計算けいさん し て まとめる

例題れいだい

$y=2x^2-12x+7$ を 平方へいほう完成かんせい せよ。

$y=2(x^2-6x)+7$ $=2\left\{\right(x-3{)}^2-9\}+7$ $=2(x-3{)}^2-18+7$ $=2(x-3{)}^2-11$

よって 頂点ちょうてん は $(3,-11)$、 軸じく は $x=3$。

一般いっぱん公式こうしき

$y=a{x}^2+bx+c$ の 頂点ちょうてん は

$(-\frac{b}{2a},\hspace{0.25em} -\frac{b^2-4ac}{4a})$

ポイント: 公式こうしき を 暗記あんき する より も、 平方完成へいほうかんせい を 手て で 動うごかせる ように なる ほう が 試験しけん で の 適応てきおう力りょく が 上うえ が り ます。 練習れんしゅう あるのみ。

4. グラフ から 式しき を 復元ふくげん する

頂点ちょうてん が 与あたえ られた 場合ばあい

頂点ちょうてん$(p,q)$ と 通とおる 1 点てん が わかれ ば、

$y=a(x-p{)}^2+q$

に 代入だいにゅう し て $a$ を 求もとめる。

例れい: 頂点ちょうてん$(2,-3)$、 点$(0,1)$ を 通とおる 二に次じ関数かんすう を 求もとめよ。

$1=a(0-2{)}^2+(-3)=4a-3$ $a=1$

よって $y=(x-2{)}^2-3$。

3 点てん が 与あたえ られた 場合ばあい

$y=a{x}^2+bx+c$ に 代入だいにゅう し て 連立れんりつ方程式ほうていしき を 解とく。

例れい: $(0,1),(1,0),(2,5)$ を 通とおる 二に次じ関数かんすう。

点てん	式しき
$(0,1)$	$c=1$
$(1,0)$	$a+b+1=0\Rightarrow a+b=-1$
$(2,5)$	$4a+2b+1=5\Rightarrow 4a+2b=4\Rightarrow 2a+b=2$

辺あたり々々引ひい て $a=3$, $b=-4$。 よって $y=3x^2-4x+1$。

$x$軸 と の 交点こうてん が わかる 場合ばあい

$x$軸 と $\alpha ,\beta$ で 交まじわる なら

$y=a(x-\alpha )(x-\beta )$

の 形かたち を 使つかう と ラク。

大事だいじ: 与あたえ られた 情報じょうほう に 応おうじ て 形かたち を 使つかい分わける。 頂点ちょうてん → 標準ひょうじゅん形がた、 3 点てん → 一般いっぱん形がた、 $x$軸じく交点こうてん → 因数いんすう分解ぶんかい形がた。

5. 平行へいこう移動いどう と 対称たいしょう移動いどう

平行へいこう移動いどう ($x$方向ほうこう$p$, $y$方向ほうこう$q$)

$y=f\left(x\right)$ → $y=f(x-p)+q$

例: $y=x^2$ を $x$方向ほうこう に $2$, $y$方向ほうこう に $-3$動うごかす と

$y=(x-2{)}^2-3$

対称たいしょう移動いどう

軸じく	変換へんかん	例れい ($y=x^2+x$)
$x$軸 ($y$ の 符号ふごう反転はんてん)	$y\to -y$	$y=-(x^2+x)=-x^2-x$
$y$軸 ($x$ の 符号ふごう反転はんてん)	$x\to -x$	$y=(-x{)}^2+(-x)=x^2-x$
原点げんてん (両方りょうほう反転はんてん)	$x\to -x,y\to -y$	$y=-\left(\right(-x{)}^2+(-x))=-x^2+x$

例題れいだい

$y=x^2-4x+5$ を $x$軸 に 関かんして 対称たいしょう移動いどう し、 さらに $x$方向ほうこう に $1$平行へいこう移動いどう した グラフ の 式しき を 求もとめよ。

平方完成へいほうかんせい$y=(x-2{)}^2+1$。 頂点ちょうてん$(2,1)$, 下した に 凸とつ。

(1) $x$軸じく対称たいしょう: $y=-(x-2{)}^2-1$ (頂点ちょうてん$(2,-1)$, 上うえ に 凸とつ)

(2) $x$方向ほうこう に $+1$平行へいこう移動いどう: $y=-(x-3{)}^2-1$

ポイント: 「平行へいこう移動いどう → 対称たいしょう移動いどう」 と 「対称たいしょう移動いどう → 平行へいこう移動いどう」 で 結果けっか が 変かわる こと も ある の で、 順番じゅんばん を 厳密げんみつ に 守まもる こと。

6. グラフ の 性質せいしつ と 軸じく

軸じく の 重要じゅうよう性せい

二に次じ関数かんすう の グラフ は 軸じく を 境さかい に 左右さゆう対称たいしょう。 軸じく上じょう の 点てん が 頂点ちょうてん で、 そこ で $y$ が 最大さいだい または 最小さいしょう に なり ます (詳細しょうさい は 第だい 5 章しょう)。

軸じく と 頂点ちょうてん の 一覧いちらん

形かたち	頂点ちょうてん	軸じく
$y=a{x}^2$	$(0,0)$	$x=0$
$y=a(x-p{)}^2$	$(p,0)$	$x=p$
$y=a{x}^2+q$	$(0,q)$	$x=0$
$y=a(x-p{)}^2+q$	$(p,q)$	$x=p$
$y=a{x}^2+bx+c$	$(-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a})$	$x=-\frac{b}{2a}$

凸とつ の 向むき

$a$	凸とつ	頂点ちょうてん で の 値ね
$a>0$	下した に 凸とつ	[[最小値
	[上	うえ] に [凸

大事だいじ: 頂点ちょうてん と 軸じく と 凸とつ の 向むき、 この 3 点てん セット が グラフ の 「設計せっけい図ず」。 この 3 つ を 押おさえる だけ で 二に次じ関数かんすう の 大半たいはん の 問題もんだい が 解とけ ます。

まとめ

• $y=a{x}^2$ を 平行移動へいこういどう し た もの が $y=a(x-p{)}^2+q$
• 頂点ちょうてん$(p,q)$、 軸じく$x=p$
• 一般いっぱん形がた → 標準ひょうじゅん形がた は 平方完成へいほうかんせい
• グラフ から 式しき を 復元ふくげん する に は 「頂点ちょうてん」 「3 点てん」 「$x$軸じく交点こうてん」 で 形かたち を 使つかい分わける
• 対称たいしょう移動いどう は $x\to -x$, $y\to -y$ で 機械きかい的てき に

次じ章しょう で は この グラフ を 使つかって 最大さいだい・最小さいしょう と 解かい の 分布ぶんぷ、 つまり 「実戦じっせん で の 二に次じ関数かんすう」 を 解析かいせき し ます。