二に次じ関数かんすうのグラフ

この章しょうで学まなぶこと

中学ちゅうがく 3 年ねんで学まなんだ $y=a{x}^2$ のグラフを、 高校こうこうでは $y=a{x}^2+bx+c$ という一般いっぱん形がたで扱あつかい、 自由じゆうに動うごかしたり形かたちを読よみとったりできるようになります。 第だい 5 章しょうの最大さいだい・最小さいしょうや第だい 7 章しょうの正弦定理せいげんていりの図形ずけい解析かいせきでもこの視点してんが大だい活躍かつやく。

• 二次関数にじかんすうの標準ひょうじゅん形がた$y=a(x-p{)}^2+q$
• 頂点ちょうてんと軸じくの求もとめ方かた
• 平方完成へいほうかんせいの計算けいさん手順てじゅん
• 平行移動へいこういどうと対称移動たいしょういどう
• グラフから式しきを復元ふくげんする

ポイント: $y=a{x}^2+bx+c$ を 一いち発はつで $y=a(x-p{)}^2+q$ に直なおせるかどうかがこの章しょうの試験しけんポイント。 そこからすべてが始はじまります。

1. $y=a{x}^2$ の復習ふくしゅう

基本きほんグラフ

中学ちゅうがく 3 年ねんで学まなんだ $y=a{x}^2$ のグラフは 放物線ほうぶつせん で、 頂点ちょうてんは原点げんてん$(0,0)$、 軸じくは $y$軸 ($x=0$)。

$a$ の符号ふごう	開ひらき方かた
$a>0$	下したに凸とつ (上じょう開ひらき)
	上うえに凸とつ (下か開ひらき)

$\mid a\mid$ の大おおきさ	形かたち
大おおきい	細ほそい (たて長ちょう)
小ちいさい	広ひろい (横よこ広ひろ)

グラフの対称たいしょう性せい

$y=a{x}^2$ は $y$軸に関かんして線せん対称たいしょう。 $x$ と $-x$ で同おなじ $y$ になる ($x^2=(-x{)}^2$ のため)。

2. 平行へいこう移動いどう

基本きほん公式こうしき

関数かんすう$y=f\left(x\right)$ を $x$軸じく方向ほうこうに $p$、 $y$軸じく方向ほうこうに $q$平行へいこう移動いどう したグラフは

$y-q=f(x-p)$

すなわち

$y=f(x-p)+q$

大事だいじ: $x$ の方ほうは 「$x-p$」 とマイナス で入いれるのがポイント。 グラフが右みぎに $p$動うごくなら、 同おなじ $y$ を出だすために $x$ から $p$ を引ひいて元もとの場所ばしょに戻もどすイメージ。

二に次じ関数かんすうの標準ひょうじゅん形がた

$y=a{x}^2$ を平行へいこう移動いどうしたものが

$y=a(x-p{)}^2+q$

このとき:

要素ようそ	値あたい
頂点ちょうてん	$(p,q)$
軸じく	直線ちょくせん$x=p$
開ひらき	$a$ で決きまる

例

$y=2(x-3{)}^2+5$ の頂点ちょうてんと軸じくを求もとめよ。

頂点ちょうてん$(3,5)$、 軸$x=3$、 下したに凸とつ ($a=2>0$)。

3. 平方へいほう完成かんせい

一般いっぱん形がたから標準ひょうじゅん形がたへ

$y=a{x}^2+bx+c$ を $y=a(x-p{)}^2+q$ に変形へんけいする操作そうさを 平方完成へいほうかんせい といいます。

手順てじゅん

1. $x^2$ の係数けいすう$a$ を $x^2$ と $x$ の項こうだけ でくくる
2. かっこの中なかを ${(x+\frac{b}{2a})}^2-{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2$ の形かたちに整ととのえる
3. 定数ていすうを計算けいさんしてまとめる

例題れいだい

$y=2x^2-12x+7$ を平方へいほう完成かんせいせよ。

$y=2(x^2-6x)+7$ $=2\left\{\right(x-3{)}^2-9\}+7$ $=2(x-3{)}^2-18+7$ $=2(x-3{)}^2-11$

よって頂点ちょうてんは $(3,-11)$、 軸じくは $x=3$。

一般いっぱん公式こうしき

$y=a{x}^2+bx+c$ の頂点ちょうてんは

$(-\frac{b}{2a},\hspace{0.25em} -\frac{b^2-4ac}{4a})$

ポイント: 公式こうしきを暗記あんきするよりも、 平方完成へいほうかんせいを手てで動うごかせる ようになるほうが試験しけんでの適応てきおう力りょくが上あがります。 練習れんしゅうあるのみ。

4. グラフから式しきを復元ふくげんする

頂点ちょうてんが与あたえられた場合ばあい

頂点ちょうてん$(p,q)$ と通とおる 1 点てんがわかれば、

$y=a(x-p{)}^2+q$

に代入だいにゅうして $a$ を求もとめる。

例れい: 頂点ちょうてん$(2,-3)$、 点$(0,1)$ を通とおる二に次じ関数かんすうを求もとめよ。

$1=a(0-2{)}^2+(-3)=4a-3$ $a=1$

よって $y=(x-2{)}^2-3$。

3 点てんが与あたえられた場合ばあい

$y=a{x}^2+bx+c$ に代入だいにゅうして連立れんりつ方程式ほうていしきを解とく。

例れい: $(0,1),(1,0),(2,5)$ を通とおる二に次じ関数かんすう。

点てん	式しき
$(0,1)$	$c=1$
$(1,0)$	$a+b+1=0\Rightarrow a+b=-1$
$(2,5)$	$4a+2b+1=5\Rightarrow 4a+2b=4\Rightarrow 2a+b=2$

辺へん々引ひいて $a=3$, $b=-4$。 よって $y=3x^2-4x+1$。

$x$軸との交点こうてんがわかる場合ばあい

$x$軸と $\alpha ,\beta$ で交まじわるなら

$y=a(x-\alpha )(x-\beta )$

の形かたちを使つかうとラク。

大事だいじ: 与あたえられた情報じょうほうに応おうじて形かたちを使つかい分わける。 頂点ちょうてん → 標準ひょうじゅん形がた、 3 点てん → 一般いっぱん形がた、 $x$軸じく交点こうてん → 因数いんすう分解ぶんかい形がた。

5. 平行へいこう移動いどうと対称たいしょう移動いどう

平行へいこう移動いどう ($x$方向ほうこう$p$, $y$方向ほうこう$q$)

$y=f\left(x\right)$ → $y=f(x-p)+q$

例: $y=x^2$ を $x$方向ほうこうに $2$, $y$方向ほうこうに $-3$動うごかすと

$y=(x-2{)}^2-3$

対称たいしょう移動いどう

軸じく	変換へんかん	例れい ($y=x^2+x$)
$x$軸 ($y$ の符号ふごう反転はんてん)	$y\to -y$	$y=-(x^2+x)=-x^2-x$
$y$軸 ($x$ の符号ふごう反転はんてん)	$x\to -x$	$y=(-x{)}^2+(-x)=x^2-x$
原点げんてん (両方りょうほう反転はんてん)	$x\to -x,y\to -y$	$y=-\left(\right(-x{)}^2+(-x))=-x^2+x$

例題れいだい

$y=x^2-4x+5$ を $x$軸に関かんして対称たいしょう移動いどうし、 さらに $x$方向ほうこうに $1$平行へいこう移動いどうしたグラフの式しきを求もとめよ。

平方完成へいほうかんせい $y=(x-2{)}^2+1$。 頂点ちょうてん$(2,1)$, 下したに凸とつ。

(1) $x$軸じく対称たいしょう: $y=-(x-2{)}^2-1$ (頂点ちょうてん$(2,-1)$, 上うえに凸とつ)

(2) $x$方向ほうこうに $+1$平行へいこう移動いどう: $y=-(x-3{)}^2-1$

ポイント: 「平行へいこう移動いどう → 対称たいしょう移動いどう」 と 「対称たいしょう移動いどう → 平行へいこう移動いどう」 で結果けっかが変かわる こともあるので、 順番じゅんばんを厳密げんみつに守まもること。

6. グラフの性質せいしつと軸じく

軸じくの重要じゅうよう性せい

二に次じ関数かんすうのグラフは 軸じく を境さかいに左右さゆう対称たいしょう。 軸じく上じょうの点てんが 頂点ちょうてん で、 そこで $y$ が最大さいだいまたは最小さいしょうになります (詳細しょうさいは第だい 5 章しょう)。

軸じくと頂点ちょうてんの一覧いちらん

形かたち	頂点ちょうてん	軸じく
$y=a{x}^2$	$(0,0)$	$x=0$
$y=a(x-p{)}^2$	$(p,0)$	$x=p$
$y=a{x}^2+q$	$(0,q)$	$x=0$
$y=a(x-p{)}^2+q$	$(p,q)$	$x=p$
$y=a{x}^2+bx+c$	$(-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a})$	$x=-\frac{b}{2a}$

凸とつの向むき

$a$	凸とつ	頂点ちょうてんでの値あたい
$a>0$	下したに凸とつ	最小値さいしょうち
	上うえに凸とつ	最大値さいだいち

大事だいじ: 頂点ちょうてんと軸じくと凸とつの向むき、 この 3 点てんセットがグラフの 「設計せっけい図ず」。 この 3 つを押おさえるだけで二に次じ関数かんすうの大半たいはんの問題もんだいが解とけます。

まとめ

• $y=a{x}^2$ を 平行移動へいこういどう したものが $y=a(x-p{)}^2+q$
• 頂点ちょうてん $(p,q)$、 軸じく $x=p$
• 一般いっぱん形がた → 標準ひょうじゅん形がたは 平方完成へいほうかんせい
• グラフから式しきを復元ふくげんするには 「頂点ちょうてん」 「3 点てん」 「$x$軸じく交点こうてん」 で形かたちを使つかい分わける
• 対称たいしょう移動いどうは $x\to -x$, $y\to -y$ で機械きかい的てきに

次じ章しょうではこのグラフを使つかって 最大さいだい・最小さいしょうと解かいの分布ぶんぷ、 つまり 「実戦じっせんでの二に次じ関数かんすう」 を解析かいせきします。