二に次じ関数かんすうの応用おうよう

この 章しょう で 学まなぶ こと

第だい 4 章しょう で 学まなんだ グラフ の 知識ちしき を 使つかって、 「与あたえ られ た 区間くかん で の 最大値さいだいち・最小値さいしょうち」 と 「二次方程式にじほうていしき の 解かい が どこ に あ る か」 を 解析かいせき し ます。 大学だいがく入試にゅうし で 最もっとも よ く 出でる テーマ の 一いち つ。

• 区間くかん が 固定こてい の 最大さいだい・最小さいしょう
• 区間くかん が 動うごく / 軸じく が 動うごく 最大さいだい・最小さいしょう
• 解の分布かいのぶんぷ と 3 条件じょうけん (判別はんべつ式しき・軸じく・端点たんてん)
• 二に次じ関数かんすう の 文章ぶんしょう題だい (面積めんせき・距離きょり等とう)

ポイント: 「軸じく が 区間くかん の 内うち か 外そと か、 内うち なら どの 端はじ が 高こう い か」 を 図ず を 描えがいて 必かならず 確認かくにん し ます。 暗算あんざん では 必かならず 抜ぬけ が 出で ます。

1. 区間くかん内ない の 最大さいだい・最小さいしょう (基本きほん)

区間くかん が 全ぜん実数じっすう の 場合ばあい

$y=a(x-p{)}^2+q$ ($a>0$) は すべて の 実数じっすう で 動うごく と 頂点ちょうてん$(p,q)$ で 最小さいしょう値ち$q$。 最大値さいだいち は なし (限かぎり なく 大おおきく なる)。

なら 頂点ちょうてん で 最大さいだい値ち$q$、 最小さいしょう値ち は なし。

区間くかん$[\alpha ,\beta ]$ の 場合ばあい

| 条件じょうけん | 最小さいしょう値ち (下か凸とつ) | 最大さいだい値ち (下か凸とつ) | |---|---|---| | 軸じく が 区間くかん内ない ($\alpha \le p\le \beta$) | $f\left(p\right)=q$ | $f\left(\alpha \right)$ と $f\left(\beta \right)$ の 大おおきい 方かた | | 軸じく が 区間くかん の 左ひだり () | $f\left(\alpha \right)$ | $f\left(\beta \right)$ | | 軸じく が 区間くかん の 右みぎ ($p>\beta$) | $f\left(\beta \right)$ | $f\left(\alpha \right)$ |

例題れいだい

$f\left(x\right)=x^2-4x+5$ の $0\le x\le 3$ における 最大さいだい値ち・最小さいしょう値ち を 求もとめよ。

平方完成へいほうかんせい: $f\left(x\right)=(x-2{)}^2+1$。 頂点ちょうてん$(2,1)$。

軸$x=2$ は 区間くかん$[0,3]$ の 内部ないぶ。 下した に 凸とつ なので

• 最小さいしょう値ち: $f\left(2\right)=1$
• 最大さいだい値ち: $f\left(0\right)=5$ と $f\left(3\right)=2$ の 大おおきい 方かた → $f\left(0\right)=5$

$x$	$0$	$2$	$3$
$f\left(x\right)$	$5$	$1$	$2$

よって 最大さいだい値ち$5$ ($x=0$)、 最小さいしょう値ち$1$ ($x=2$)。

大事だいじ: 必かならず 「軸じく・両端りょうたん・頂点ちょうてん の $f$ の 値ね」 を 表ひょう で 並ならべる。 図ず を 描 いて 確認かくにん する と さらに 確実かくじつ。

2. 軸じく が 動うごく 場合ばあい の 最大さいだい・最小さいしょう

文字もじ を 含ふくむ 二に次じ関数かんすう で、 区間くかん は 固定こてい だ が 軸じく が 文字もじ で 動うごく ケース。 場合ばあい分わけ が 必要ひつよう です。

例題れいだい

$f\left(x\right)=x^2-2ax+3$ の $0\le x\le 2$ における 最小さいしょう値ち を $a$ で 表ひょう せ。

平方完成へいほうかんせい: $f\left(x\right)=(x-a{)}^2+3-a^2$。 軸$x=a$。

$a$ の 範囲はんい	軸じく の 位置いち	最小さいしょう値ち
	[区間	くかん] の [左
$0\le a\le 2$	[区間	くかん] の [内
$a>2$	区間くかん の 右みぎ	$f\left(2\right)=4-4a+3=7-4a$

例題れいだい (続つづき)

同どう設定せってい で 最大さいだい値ち を 求もとめよ。

下した に 凸とつ なので 端点たんてん で 取とる。 軸じく が 区間くかん の 中央ちゅうおう$x=1$ より 左ひだり か 右みぎ か で 場合ばあい分わけ。

$a$ の 範囲はんい	軸じく と 中央ちゅうおう の 位置いち関係かんけい	最大さいだい値ち
	[軸	じく] が [中央
$a=1$	[軸	じく] が [中央
$a>1$	軸じく が 中央ちゅうおう より 右みぎ	$f\left(0\right)=3$ ($x=0$)

ポイント: 軸じく が 動うごく 問題もんだい は 「軸じく と 区間くかん の 端はじ、 軸じく と 区間くかん の 中央ちゅうおう」 の 比較ひかく で 場合ばあい分わけ。 最小さいしょう は 端はじ か 頂点ちょうてん、 最大さいだい は 端はじ で 「軸じく から 遠とおい 方かた」。

3. 区間くかん が 動うごく 場合ばあい

軸じく が 固定こてい で 区間くかん$[t,t+1]$ の よう に 動うごく ケース も 出題しゅつだい さ れ ます。

例れい: $f\left(x\right)=(x-1{)}^2+2$ の $t\le x\le t+1$ における 最小さいしょう値ち。

$t$ の 範囲はんい	軸じく と 区間くかん	最小さいしょう値ち
()	[区間	くかん] が [軸
$t\le 1\le t+1$ ($0\le t\le 1$)	[軸	じく] を [含
$t>1$	区間くかん が 軸じく より 右みぎ	$f\left(t\right)=(t-1{)}^2+2$

大事だいじ: 動うごく 区間くかん では 「区間くかん が 軸じく を 含ふくむ 条件じょうけん」 を まず 不等式ふとうしき で 書かき出で す。 ここ を 起点きてん に 場合ばあい分わけ。

4. 解かい の 分布ぶんぷ

二次方程式にじほうていしき$f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c=0$ の 実数じっすう解かい が どの 範囲はんい に あ る か を 調しらべる 問題もんだい。 大学だいがく入試にゅうし必出で。

3 つ の 武器ぶき

武器ぶき	役割やくわり
**[[判別式	はんべつしき]]$D$**
**[[軸	じく]]$x=-\frac{b}{2a}$ の 位置いち**
端点たんてん で の $f$ の 値ね	解かい が 端点たんてん を またぐ か

例題れいだい: 異ことなる 2 つ の 解かい が とも に 正

$x^2-2(a+1)x+a^2+3=0$ が 異ことなる 2 つ の 正ただし の 実数じっすう解かい を 持もつ 条件じょうけん を 求もとめよ。

$a>0$ なので グラフ は 下した に 凸とつ。 条件じょうけん:

(1) $D>0$: $4(a+1{)}^2-4(a^2+3)>0\Rightarrow 8a-8>0\Rightarrow a>1$

(2) 軸じく が 正せい: $x=a+1>0\Rightarrow a>-1$

(3) $f\left(0\right)>0$: $a^2+3>0$ (常つねに 成立せいりつ)

3 つ の 共通きょうつう: $a>1$。

例題れいだい: 1 つ の 解かい が 区間くかん内ない、 もう 1 つ が 区間くかん外がい

で 「$f$ が 区間くかん の 端はじ で 符号ふごう が 異ことなる」 と 言いえる。 すなわち に 1 つ の 解かい が 入はいる。

例れい: $x^2-2ax+3=0$ が に ちょうど 1 つ の 解かい を 持もつ 条件じょうけん を 求もとめよ。

$a>\frac{7}{4}$

ポイント: 「解かい が 端はじ を 含ふくむ 区間くかん内ない に 入はいる」 場合ばあい は 端はじ で の 符号ふごう (正ただし・負ふ) を 個別こべつ に 確認かくにん する 必要ひつよう が あり ます。 機械きかい的てき に を 使つかえ る の は 「両端りょうたん を 含ふくま ない」 とき だけ。

5. 文章ぶんしょう題だい

面積めんせき最大さいだい化か

例れい: 周しゅう の 長ちょう さ が $20$ cm の 長方形ちょうほうけい の 面積めんせき を 最大さいだい に せ よ。

縦たて を $x$ cm と すると 横よこ は $10-x$ cm。 面積めんせき:

$S=x(10-x)=-x^2+10x=-(x-5{)}^2+25$

で 頂点ちょうてん$(5,25)$ が 内部ないぶ に ある の で

最大さいだい値ち$S=25$ cm² ($x=5$, つまり 正方形せいほうけい)。

距離きょり最短さいたん

例れい: 直線ちょくせん$y=2x+1$上 を 動どう く 点$P(x,2x+1)$ と 原点げんてん$O$ の 距離きょり が 最小さいしょう と な る 点てん を 求もとめ め よ。

$O{P}^2=x^2+(2x+1{)}^2=5x^2+4x+1=5{(x+\frac{2}{5})}^2+\frac{1}{5}$

最小さいしょう値ち$\frac{1}{5}$ ($x=-\frac{2}{5}$)、 距離きょり$\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。

大事だいじ: 文章ぶんしょう題だい で は 「変数へんすう を 自分じぶん で 設定せってい す る」 こと が 第一歩だいいっぽ。 何なに を $x$ に 取と る か で 式しき の 複雑ふくざつ さ が 大だい き く 変へん わ り ま す。

6. 平方へいほう で 表ひょう す こ と が で き る か

二に次じ関数かんすう の 最大さいだい・最小さいしょう は 結局けっきょく 「平方へいほう ($\ge 0$)」 を 使し う 計算けいさん に 帰着きちゃく し ま す。

$a^2\ge 0,(等号 は a=0 の とき)$

例: $f(a,b)=a^2+b^2-4a+6b+13$ の 最小さいしょう値ち を 求もとめよ。

$f=(a^2-4a+4)+(b^2+6b+9)=(a-2{)}^2+(b+3{)}^2$

$(a-2{)}^2\ge 0$ かつ $(b+3{)}^2\ge 0$ より 最小さいしょう値ち は $0$ ($a=2,b=-3$)。

ポイント: 2 変数へんすう の 二に次じ式しき でも、 各かく変数へんすう ごと に 平方完成へいほうかんせい すれば 最小さいしょう・最大さいだい が 一気いっき に 出で ます。

まとめ

• 区間くかん内ない の 最大さいだい・最小さいしょう は 軸じく・両端りょうたん・頂点ちょうてん の $f$ の 値ね を 比較ひかく
• 軸じく が 動うごく 場合ばあい は 軸じく と 区間くかん の 端はじ / 中央ちゅうおう の 位置いち関係かんけい で 場合ばあい分わけ
• 解かい の 分布ぶんぷ は 判別はんべつ式しき / 軸じく / 端点たんてん の 符号ふごう の 3 武器ぶき
• 文章ぶんしょう題だい は 変数へんすう設定せってい と 範囲はんい設定せってい が 第一歩だいいっぽ

次じ章しょう から は 三角比さんかくひ に 入はいり、 直角ちょっかく三角形さんかっけい と $\sin \theta ,\cos \theta ,\tan \theta$ の 関係かんけい を 学まなび ます。