二に次じ関数かんすうの応用おうよう

この章しょうで学まなぶこと

第だい 4 章しょうで学まなんだグラフの知識ちしきを使つかって、 「与あたえられた区間くかんでの 最大値さいだいち・最小値さいしょうち」 と 「二次方程式にじほうていしきの 解かいがどこにあるか」 を解析かいせきします。 大学だいがく入試にゅうしで最もっともよく出でるテーマの一ひとつ。

• 区間くかんが固定こていの最大さいだい・最小さいしょう
• 区間くかんが動うごく / 軸じくが動うごく最大さいだい・最小さいしょう
• 解の分布かいのぶんぷと 3 条件じょうけん (判別はんべつ式しき・軸じく・端点たんてん)
• 二次関数にじかんすうの文章ぶんしょう題だい (面積めんせき・距離きょり等とう)

ポイント: 「軸じくが区間くかんの内うちか外そとか、 内うちならどの端はじが高たかいか」 を図ずを描えがいて必かならず確認かくにんします。 暗算あんざんでは必かならず抜ぬけが出でます。

1. 区間くかん内ないの最大さいだい・最小さいしょう (基本きほん)

区間くかんが全ぜん実数じっすうの場合ばあい

$y=a(x-p{)}^2+q$ ($a>0$) はすべての実数じっすうで動うごくと頂点ちょうてん $(p,q)$ で 最小値さいしょうち$q$。 最大値さいだいちは なし (限かぎりなく大おおきくなる)。

なら頂点ちょうてんで 最大値さいだいち$q$、 最小値さいしょうちはなし。

区間くかん$[\alpha ,\beta ]$ の場合ばあい

条件じょうけん	最小値さいしょうち (下か凸とつ)	最大値さいだいち (下か凸とつ)
軸じくが区間くかん内ない ($\alpha \le p\le \beta$)	$f\left(p\right)=q$	$f\left(\alpha \right)$ と $f\left(\beta \right)$ の大おおきい方かた
軸じくが区間くかんの左ひだり ()	$f\left(\alpha \right)$	$f\left(\beta \right)$
軸じくが区間くかんの右みぎ ($p>\beta$)	$f\left(\beta \right)$	$f\left(\alpha \right)$

例題れいだい

$f\left(x\right)=x^2-4x+5$ の $0\le x\le 3$ における最大値さいだいち・最小値さいしょうちを求もとめよ。

平方完成へいほうかんせい: $f\left(x\right)=(x-2{)}^2+1$。 頂点ちょうてん$(2,1)$。

軸$x=2$ は区間くかん$[0,3]$ の内部ないぶ。 下したに凸とつなので

• 最小値さいしょうち: $f\left(2\right)=1$
• 最大値さいだいち: $f\left(0\right)=5$ と $f\left(3\right)=2$ の大おおきい方かた → $f\left(0\right)=5$

$x$	$0$	$2$	$3$
$f\left(x\right)$	$5$	$1$	$2$

よって最大値さいだいち$5$ ($x=0$)、 最小値さいしょうち$1$ ($x=2$)。

大事だいじ: 必かならず 「軸じく・両端りょうたん・頂点ちょうてんの $f$ の値あたい」 を表ひょうで並ならべる。 図ずを描えがいて確認かくにんするとさらに確実かくじつ。

2. 軸じくが動うごく場合ばあいの最大さいだい・最小さいしょう

文字もじを含ふくむ二に次じ関数かんすうで、 区間くかんは固定こていだが 軸じくが文字もじで動うごく ケース。 場合分けばあいわけが必要ひつようです。

例題れいだい

$f\left(x\right)=x^2-2ax+3$ の $0\le x\le 2$ における最小値さいしょうちを $a$ で表あらわせ。

平方完成へいほうかんせい: $f\left(x\right)=(x-a{)}^2+3-a^2$。 軸$x=a$。

$a$ の範囲はんい	軸じくの位置いち	最小値さいしょうち
	区間くかんの左ひだり	$f\left(0\right)=3$
$0\le a\le 2$	区間くかんの内うち	$f\left(a\right)=3-a^2$
$a>2$	区間くかんの右みぎ	$f\left(2\right)=4-4a+3=7-4a$

例題れいだい (続つづき)

同どう設定せっていで最大値さいだいちを求もとめよ。

下したに凸とつなので端点たんてんで取とる。 軸じくが区間くかんの中央ちゅうおう$x=1$ より 左ひだりか右みぎか で場合ばあい分わけ。

$a$ の範囲はんい	軸じくと中央ちゅうおうの位置いち関係かんけい	最大値さいだいち
	軸じくが中央ちゅうおうより左ひだり	$f\left(2\right)=7-4a$ ($x=2$)
$a=1$	軸じくが中央ちゅうおう	$f\left(0\right)=f\left(2\right)=3$
$a>1$	軸じくが中央ちゅうおうより右みぎ	$f\left(0\right)=3$ ($x=0$)

ポイント: 軸じくが動うごく問題もんだいは 「軸じくと区間くかんの端はじ、 軸じくと区間くかんの中央ちゅうおう」 の比較ひかくで場合ばあい分わけ。 最小さいしょうは端はじか頂点ちょうてん、 最大さいだいは端はじで 「軸じくから遠とおい方ほう」。

3. 区間くかんが動うごく場合ばあい

軸じくが固定こていで区間くかん$[t,t+1]$ のように動うごくケースも出題しゅつだいされます。

例れい: $f\left(x\right)=(x-1{)}^2+2$ の $t\le x\le t+1$ における最小値さいしょうち。

$t$ の範囲はんい	軸じくと区間くかん	最小値さいしょうち
()	区間くかんが軸じくより左ひだり	$f(t+1)=(t{)}^2+2=t^2+2$
$t\le 1\le t+1$ ($0\le t\le 1$)	軸じくを含ふくむ	$f\left(1\right)=2$
$t>1$	区間くかんが軸じくより右みぎ	$f\left(t\right)=(t-1{)}^2+2$

大事だいじ: 動うごく区間くかんでは 「区間くかんが軸じくを含ふくむ条件じょうけん」 をまず不等式ふとうしきで書かき出だす。 ここを起点きてんに場合ばあい分わけ。

4. 解かいの分布ぶんぷ

二次方程式にじほうていしき $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c=0$ の実数じっすう解かいが どの範囲はんいにあるか を調しらべる問題もんだい。 大学だいがく入試にゅうし必出で。

3 つの武器ぶき

武器ぶき	役割やくわり
判別式はんべつしき $D$	実数じっすう解かいが何なん個こか
軸じく $x=-\frac{b}{2a}$ の位置いち	解かいが区間くかんの内側うちがわか
端点たんてんでの $f$ の値あたい	解かいが端点たんてんをまたぐか

例題れいだい: 異ことなる 2 つの解かいがともに正せい

$x^2-2(a+1)x+a^2+3=0$ が異ことなる 2 つの正せいの実数じっすう解かいを持もつ条件じょうけんを求もとめよ。

$x^2$ の係数けいすうが正せいなのでグラフは下したに凸とつ。 条件じょうけん:

(1) $D>0$: $4(a+1{)}^2-4(a^2+3)>0\Rightarrow 8a-8>0\Rightarrow a>1$

(2) 軸じくが正せい: $x=a+1>0\Rightarrow a>-1$

(3) $f\left(0\right)>0$: $a^2+3>0$ (常つねに成立せいりつ)

3 つの共通きょうつう: $a>1$。

例題れいだい: 1 つの解かいが区間くかん内ない、 もう 1 つが区間くかん外がい

で 「$f$ が区間くかんの端はじで符号ふごうが異ことなる」 と言いえる。 すなわち に 1 つの解かいが入はいる。

例れい: $x^2-2ax+3=0$ が にちょうど 1 つの解かいを持もつ条件じょうけんを求もとめよ。

$a>\frac{7}{4}$

ポイント: 「解かいが端はじを含ふくむ区間くかん内ないに入はいる」 場合ばあいは端はじでの符号ふごう (正せい・負ふ) を個別こべつに確認かくにんする必要ひつようがあります。 機械きかい的てきに を使つかえるのは 「両端りょうたんを含ふくまない」 ときだけ。

5. 文章ぶんしょう題だい

面積めんせき最大さいだい化か

例れい: 周しゅうの長ながさが $20$ cm の長方形ちょうほうけいの面積めんせきを最大さいだいにせよ。

縦たてを $x$ cm とすると横よこは $10-x$ cm。 面積めんせき:

$S=x(10-x)=-x^2+10x=-(x-5{)}^2+25$

で頂点ちょうてん$(5,25)$ が内部ないぶにあるので

最大値さいだいち$S=25$ cm² ($x=5$, つまり正方形せいほうけい)。

距離きょり最短さいたん

例れい: 直線ちょくせん$y=2x+1$上を動うごく点$P(x,2x+1)$ と原点げんてん$O$ の距離きょりが最小さいしょうとなる点てんを求もとめよ。

$O{P}^2=x^2+(2x+1{)}^2=5x^2+4x+1=5{(x+\frac{2}{5})}^2+\frac{1}{5}$

最小値さいしょうち$\frac{1}{5}$ ($x=-\frac{2}{5}$)、 距離きょり$\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。

大事だいじ: 文章ぶんしょう題だいでは 「変数へんすうを自分じぶんで設定せっていする」 ことが第一歩だいいっぽ。 何なにを $x$ に取とるかで式しきの複雑ふくざつさが大おおきく変かわります。

6. 平方へいほうで表あらわすことができるか

二に次じ関数かんすうの最大さいだい・最小さいしょうは結局けっきょく 「平方へいほう ($\ge 0$)」 を使つかう計算けいさん に帰着きちゃくします。

$a^2\ge 0,(等号 は a=0 の とき)$

例: $f(a,b)=a^2+b^2-4a+6b+13$ の最小値さいしょうちを求もとめよ。

$f=(a^2-4a+4)+(b^2+6b+9)=(a-2{)}^2+(b+3{)}^2$

$(a-2{)}^2\ge 0$ かつ $(b+3{)}^2\ge 0$ より最小値さいしょうちは $0$ ($a=2,b=-3$)。

ポイント: 2 変数へんすうの二に次じ式しきでも、 各かく変数へんすうごとに平方完成へいほうかんせいすれば最小さいしょう・最大さいだいが一気いっきに出でます。

まとめ

• 区間くかん内ないの最大さいだい・最小さいしょうは 軸じく・両端りょうたん・頂点ちょうてん の $f$ の値あたいを比較ひかく
• 軸じくが動うごく場合ばあいは 軸じくと区間くかんの端はじ / 中央ちゅうおう の位置いち関係かんけいで場合ばあい分わけ
• 解かいの分布ぶんぷは 判別はんべつ式しき / 軸じく / 端点たんてんの符号ふごう の 3 武器ぶき
• 文章ぶんしょう題だいは 変数へんすう設定せっていと範囲はんい設定せってい が第一歩だいいっぽ

次じ章しょうからは 三角比さんかくひ に入はいり、 直角ちょっかく三角形さんかくけいと $\sin \theta ,\cos \theta ,\tan \theta$ の関係かんけいを学まなびます。