この 章 で 学ぶ こと
第 4 章 で 学んだ グラフ の 知識 を 使って、 「与え られ た 区間 で の 最大値・最小値」 と 「二次方程式 の 解 が どこ に あ る か」 を 解析 し ます。 大学入試 で 最も よ く 出る テーマ の 一 つ。
- 区間 が 固定 の 最大・最小
- 区間 が 動く / 軸 が 動く 最大・最小
- 解の分布 と 3 条件 (判別式・軸・端点)
- 二次関数 の 文章題 (面積・距離等)
ポイント: 「軸 が 区間 の 内 か 外 か、 内 なら どの 端 が 高 い か」 を 図 を 描いて 必ず 確認 し ます。 暗算 では 必ず 抜け が 出 ます。
1. 区間内 の 最大・最小 (基本)
区間 が 全実数 の 場合
y=a(x−p)2+q (a>0) は すべて の 実数 で 動く と 頂点(p,q) で 最小値q。 最大値 は なし (限り なく 大きく なる)。
a<0 なら 頂点 で 最大値q、 最小値 は なし。
区間[α,β] の 場合
| 条件 | 最小値 (下凸) | 最大値 (下凸) |
|---|---|---|
| 軸 が 区間内 (α≤p≤β) | f(p)=q | f(α) と f(β) の 大きい 方 |
| 軸 が 区間 の 左 (p<α) | f(α) | f(β) |
| 軸 が 区間 の 右 (p>β) | f(β) | f(α) |
例題
f(x)=x2−4x+5 の 0≤x≤3 における 最大値・最小値 を 求めよ。
平方完成: f(x)=(x−2)2+1。 頂点(2,1)。
軸x=2 は 区間[0,3] の 内部。 下 に 凸 なので
- 最小値: f(2)=1
- 最大値: f(0)=5 と f(3)=2 の 大きい 方 → f(0)=5
| x | 0 | 2 | 3 |
|---|
| f(x) | 5 | 1 | 2 |
よって 最大値5 (x=0)、 最小値1 (x=2)。
大事: 必ず 「軸・両端・頂点 の f の 値」 を 表 で 並べる。 図 を 描 いて 確認 する と さらに 確実。
2. 軸 が 動く 場合 の 最大・最小
文字 を 含む 二次関数 で、 区間 は 固定 だ が 軸 が 文字 で 動く ケース。 場合分け が 必要 です。
例題
f(x)=x2−2ax+3 の 0≤x≤2 における 最小値 を a で 表 せ。
平方完成: f(x)=(x−a)2+3−a2。 軸x=a。
| a の 範囲 | 軸 の 位置 | 最小値 |
|---|
| a<0 | [区間 | くかん] の [左 |
| 0≤a≤2 | [区間 | くかん] の [内 |
| a>2 | 区間 の 右 | f(2)=4−4a+3=7−4a |
例題 (続き)
同設定 で 最大値 を 求めよ。
下 に 凸 なので 端点 で 取る。 軸 が 区間 の 中央x=1 より 左 か 右 か で 場合分け。
| a の 範囲 | 軸 と 中央 の 位置関係 | 最大値 |
|---|
| a<1 | [軸 | じく] が [中央 |
| a=1 | [軸 | じく] が [中央 |
| a>1 | 軸 が 中央 より 右 | f(0)=3 (x=0) |
ポイント: 軸 が 動く 問題 は 「軸 と 区間 の 端、 軸 と 区間 の 中央」 の 比較 で 場合分け。 最小 は 端 か 頂点、 最大 は 端 で 「軸 から 遠い 方」。
3. 区間 が 動く 場合
軸 が 固定 で 区間[t,t+1] の よう に 動く ケース も 出題 さ れ ます。
例: f(x)=(x−1)2+2 の t≤x≤t+1 における 最小値。
| t の 範囲 | 軸 と 区間 | 最小値 |
|---|
| t+1<1 (t<0) | [区間 | くかん] が [軸 |
| t≤1≤t+1 (0≤t≤1) | [軸 | じく] を [含 |
| t>1 | 区間 が 軸 より 右 | f(t)=(t−1)2+2 |
大事: 動く 区間 では 「区間 が 軸 を 含む 条件」 を まず 不等式 で 書き出 す。 ここ を 起点 に 場合分け。
4. 解 の 分布
二次方程式f(x)=ax2+bx+c=0 の 実数解 が どの 範囲 に あ る か を 調べる 問題。 大学入試必出。
3 つ の 武器
| 武器 | 役割 |
|---|
| **[[判別式 | はんべつしき]]D** |
| **[[軸 | じく]]x=−2ab の 位置** |
| 端点 で の f の 値 | 解 が 端点 を またぐ か |
例題: 異なる 2 つ の 解 が とも に 正
x2−2(a+1)x+a2+3=0 が 異なる 2 つ の 正 の 実数解 を 持つ 条件 を 求めよ。
a>0 なので グラフ は 下 に 凸。 条件:
(1) D>0: 4(a+1)2−4(a2+3)>0⇒8a−8>0⇒a>1
(2) 軸 が 正: x=a+1>0⇒a>−1
(3) f(0)>0: a2+3>0 (常に 成立)
3 つ の 共通: a>1。
例題: 1 つ の 解 が 区間内、 もう 1 つ が 区間外
f(α)f(β)<0 で 「f が 区間 の 端 で 符号 が 異なる」 と 言える。 すなわち α<x<β に 1 つ の 解 が 入る。
例: x2−2ax+3=0 が 0<x<2 に ちょうど 1 つ の 解 を 持つ 条件 を 求めよ。
f(0)f(2)<0
3⋅(4−4a+3)<0
7−4a<0
a>47
ポイント: 「解 が 端 を 含む 区間内 に 入る」 場合 は 端 で の 符号 (正・負) を 個別 に 確認 する 必要 が あり ます。 機械的 に f(α)f(β)<0 を 使え る の は 「両端 を 含ま ない」 とき だけ。
5. 文章題
面積最大化
例: 周 の 長 さ が 20 cm の 長方形 の 面積 を 最大 に せ よ。
縦 を x cm と すると 横 は 10−x cm。 面積:
S=x(10−x)=−x2+10x=−(x−5)2+25
0<x<10 で 頂点(5,25) が 内部 に ある の で
最大値S=25 cm² (x=5, つまり 正方形)。
距離最短
例: 直線y=2x+1上 を 動 く 点P(x,2x+1) と 原点O の 距離 が 最小 と な る 点 を 求 め よ。
OP2=x2+(2x+1)2=5x2+4x+1=5(x+52)2+51
最小値51 (x=−52)、 距離51=55。
大事: 文章題 で は 「変数 を 自分 で 設定 す る」 こと が 第一歩。 何 を x に 取 る か で 式 の 複雑 さ が 大 き く 変 わ り ま す。
6. 平方 で 表 す こ と が で き る か
二次関数 の 最大・最小 は 結局 「平方 (≥0)」 を 使 う 計算 に 帰着 し ま す。
a2≥0,(等号 は a=0 の とき)
例: f(a,b)=a2+b2−4a+6b+13 の 最小値 を 求めよ。
f=(a2−4a+4)+(b2+6b+9)=(a−2)2+(b+3)2
(a−2)2≥0 かつ (b+3)2≥0 より 最小値 は 0 (a=2,b=−3)。
ポイント: 2 変数 の 二次式 でも、 各変数 ごと に 平方完成 すれば 最小・最大 が 一気 に 出 ます。
まとめ
- 区間内 の 最大・最小 は 軸・両端・頂点 の f の 値 を 比較
- 軸 が 動く 場合 は 軸 と 区間 の 端 / 中央 の 位置関係 で 場合分け
- 解 の 分布 は 判別式 / 軸 / 端点 の 符号 の 3 武器
- 文章題 は 変数設定 と 範囲設定 が 第一歩
次章 から は 三角比 に 入り、 直角三角形 と sinθ,cosθ,tanθ の 関係 を 学び ます。