多項式たこうしきの展開てんかい

この章しょうで学まなぶこと

中学ちゅうがく 1 年ねんで 「文字式もじしきと単項式たんこうしき・多項式たこうしきの加法かほう減法げんぽう」、 中学ちゅうがく 2 年ねんで 「単項こう式 × 多項式たこうしき」 まで学まなびました。 中学ちゅうがく 3 年ねんではいよいよ 多項式たこうしき × 多項式たこうしき に進すすみます。

このとき答えこたえをそのまま 1 行くだりで書かけるようにする公式こうしきが 乗法公式じょうほうこうしき です。 入試にゅうしでは計算けいさんスピードと正確せいかくさの両方りょうほうが求もとめられ、 ここでつまずくと後ごの因数分解いんすうぶんかいや二次方程式にじほうていしきが全滅ぜんめつします。 一気いっきに完璧かんぺきにしましょう。

この章しょうが終おわるころには、 つぎのことができるようになっています。

• (a+b)(c+d) を 分配法則ぶんぱいほうそく で展開てんかいできる
• 4 つの乗法公式じょうほうこうしきを暗記あんきし、 瞬時しゅんじに当あてはめられる
• $(a+b+c{)}^2$ や 3 数かずの積せきなど、 やや複雑ふくざつな式しきも工夫くふうして展開てんかいできる
• 共通因数きょうつういんすうをくくる、 同おなじ形かたちを文字もじで置き換えおきかえる等とうの入試にゅうしで頻出ひんしゅつのテクニックを身みにつけられる

ポイント: 「展開てんかい」 は 「かっこをはずして 1 つの多項式たこうしきにする」 こと。 反対はんたい操作そうさが次じ章しょうの因数分解いんすうぶんかいで、 両者りょうしゃは 逆の関係かんけい です。

1. 多項式たこうしき × 多項式たこうしきの基本きほん (分配ぶんぱい法則ほうそく)

まず一般いっぱんの (a+b)(c+d) を考えかんがえます。 1 つずつかっこをばらすと、

$(a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd$

つまり、 左のかっこの各項かくこうを、 右みぎのかっこの各項かくこうにかけてすべてたす というルールです。

例題れいだい 1: $(x+2)(x+3)$ を展開てんかいしなさい。

$(x+2)(x+3)=x\cdot x+x\cdot 3+2\cdot x+2\cdot 3=x^2+3x+2x+6=x^2+5x+6$

中 2 項こう (3x と 2x) をまとめて 5x にするのがポイントです。

例題れいだい 2: $(2x-1)(3x+4)$ を展開てんかいしなさい。

$(2x-1)(3x+4)=6x^2+8x-3x-4=6x^2+5x-4$

符号ふごうは 「マイナス × プラス = マイナス」 を意識いしきします。 展開てんかいの計算けいさんミスの 9 割わりは 符号ふごう です。

ポイント:展開てんかいした直後ちょくごは必かならず 同類項どうるいこう をまとめる。 ここを忘わすれると 「答えこたえが 4 項こうのまま」 で減点げんてん対象たいしょうです。

2. 乗法じょうほう公式こうしき 1: $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

$(a+b{)}^2$ は $(a+b)(a+b)$ と同おなじなので、 上うえの分配ぶんぱい法則ほうそくで計算けいさんできるのですが、 何なん度ども出でてくるので 公式こうしき化か します。

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

「最初さいしょの 2 乗じょう、 2 倍ばいの積せき、 後ごの 2 乗じょう」 と唱となえましょう。

例題れいだい 3: $(x+5{)}^2$ を展開てんかいしなさい。

$a=x, b=5$ と見みれば、

$(x+5{)}^2=x^2+2\cdot x\cdot 5+5^2=x^2+10x+25$

例題れいだい 4: $(3x+2y{)}^2$ を展開てんかいしなさい。

$a=3x, b=2y$ と置おきます。

$(3x+2y{)}^2=(3x{)}^2+2\cdot 3x\cdot 2y+(2y{)}^2=9x^2+12xy+4y^2$

係数けいすうの 2 乗 ($3^2=9$ など) を忘わすれないように。

3. 乗法じょうほう公式こうしき 2: $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

マイナス版ばんも公式こうしき化かします。

$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

中の項こうだけがマイナス、 両端りょうたんの $a^2$ と $b^2$ は 必かならずプラス ($-b$ を 2 乗じょうするとプラスになるため) です。

例題れいだい 5: $(2x-7{)}^2$ を展開てんかいしなさい。

$(2x-7{)}^2=(2x{)}^2-2\cdot 2x\cdot 7+7^2=4x^2-28x+49$

よくあるミス: $(a-b{)}^2=a^2-b^2$ と書かいてしまう。 $a^2-b^2$ は 別の公式こうしき (次じで学まなぶ和と差の積わとさのせき) なので、 混同こんどうしないこと。

4. 乗法じょうほう公式こうしき 3: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ (和わと差さの積せき)

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

これは 「和と差さの積せきは 2 乗じょうの差」 と覚おぼえます。 中なかの項こうが消きえるのが美うつくしい公式こうしき。

例題れいだい 6: $(x+4)(x-4)$ を展開てんかいしなさい。

$(x+4)(x-4)=x^2-16$

例題れいだい 7: $(5a+3b)(5a-3b)$ を展開てんかいしなさい。

$(5a+3b)(5a-3b)=(5a{)}^2-(3b{)}^2=25a^2-9b^2$

例題れいだい 8 (入試にゅうし頻出ひんしゅつ): $99\times 101$ を工夫くふうして計算けいさんしなさい。

$99=100-1, 101=100+1$ と見みれば、

$99\times 101=(100-1)(100+1)={100}^2-1^2=10000-1=9999$

数値すうち計算けいさんでもこの公式こうしきは使つかえます。

5. 乗法じょうほう公式こうしき 4: $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$

最後さいごの公式こうしきは 1 次つぎの係数けいすうと定数ていすう項こう に注目ちゅうもくします。

$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$

「$x$ の係数けいすう = $a$ と $b$ の和わ、 定数ていすう項こう = $a$ と $b$ の積せき」 と覚おぼえます。

例題れいだい 9: $(x+3)(x+5)$ を展開てんかいしなさい。

和$3+5=8$、 積$3\times 5=15$ より、

$(x+3)(x+5)=x^2+8x+15$

例題れいだい 10: $(x-2)(x+7)$ を展開てんかいしなさい。

和$(-2)+7=5$、 積$(-2)\times 7=-14$ より、

$(x-2)(x+7)=x^2+5x-14$

符号ふごうを含ふくめた 「足たし算ざん」 と 「かけ算ざん」 を落おち着ついて行おこなえば OK。

6. 4 つの公式こうしきまとめ表ひょう

番号ばんごう	公式こうしき	使つかう場面ばめん
1	$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$	同おなじかっこの 2 乗じょう (プラス)
2	$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$	同おなじかっこの 2 乗じょう (マイナス)
3	$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$	中なかの文字もじが同おなじで符号ふごうだけちがう 2 つの積せき
4	$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$	$x$ で始はじまる 2 つの 1 次つぎ式しきの積せき

ポイント:入試にゅうしでは 「形かたちを見みた瞬間しゅんかんにどの公式こうしきか判別はんべつ」 できるようになることがゴール。 暗記あんき + 演習えんしゅう 100 問もんで体からだに染しみ込こませましょう。

7. 入試にゅうしで使つかうテクニック

(1) 共通きょうつう因数いんすうを先さきにくくる

例題れいだい 11: $3(x+2)(x-1)-(x+2)(x-3)$ を展開てんかいしなさい。

$(x+2)$ が共通きょうつうなので、 先さきにくくると楽らくです。

$3(x+2)(x-1)-(x+2)(x-3)=(x+2)\left\{3\right(x-1)-(x-3\left)\right\}$

中身なかみを計算けいさんします。

$3(x-1)-(x-3)=3x-3-x+3=2x$

よって、

$(x+2)\cdot 2x=2x^2+4x$

(2) 同おなじかたまりを文字もじで置おく (置換ちかん)

例題れいだい 12: $(x+y+3)(x+y-3)$ を展開てんかいしなさい。

$x+y=A$ と置おくと、

$(A+3)(A-3)=A^2-9=(x+y{)}^2-9=x^2+2xy+y^2-9$

3 つ以上いじょうの項こうがある多項式たこうしきでも、 共通きょうつう部分ぶぶんを 1 文字もじに置おき換かえる ことで公式こうしきが使つかえます。

(3) 順序じゅんじょを入いれ替かえて公式こうしきを使つかう

例題れいだい 13: $(a+b-c)(a-b+c)$ を展開てんかいしなさい。

$\{a+(b-c\left)\right\}\{a-(b-c\left)\right\}$ と見みれば、 和わと差さの積せき公式こうしきが使つかえます。

$\{a+(b-c\left)\right\}\{a-(b-c\left)\right\}=a^2-(b-c{)}^2=a^2-(b^2-2bc+c^2)=a^2-b^2+2bc-c^2$

ポイント: $-(b-c{)}^2$ のカッコをハズすとき、 すべての項こうの符号ふごうを反転はんてん する。 ここもミスが多おおい。

(4) $(a+b+c{)}^2$ の公式こうしき (覚おぼえておくと速はやい)

$(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

3 つの項こうの 2 乗じょうと、 2 つずつの積せきの 2 倍ばい 3 セットの和わです。 入試にゅうしで出でたら即答そくとうしたい公式こうしき。

例題れいだい 14: $(x+2y-3{)}^2$ を展開てんかいしなさい。

$x^2+(2y{)}^2+(-3{)}^2+2\cdot x\cdot 2y+2\cdot 2y\cdot (-3)+2\cdot (-3)\cdot x$ $=x^2+4y^2+9+4xy-12y-6x$

8. 章しょう末まつ演習えんしゅう (入試にゅうし形式けいしき)

つぎの式しきを展開てんかいせよ。

(1) $(2x+3)(2x-3)$ (2) $(x-6{)}^2$ (3) $(x+4)(x-9)$ (4) $(3a+5{)}^2-(3a-5{)}^2$ (5) $(x+y+1)(x+y-1)$

略解かい: (1) $4x^2-9$ (2) $x^2-12x+36$ (3) $x^2-5x-36$ (4) 公式こうしき 1, 2 で各かく々展開てんかいすると $\{9a^2+30a+25\}-\{9a^2-30a+25\}=60a$ (5) $x+y=A$ と置おくと $A^2-1=x^2+2xy+y^2-1$

章のまとめ:展開てんかいは 「形かたちを見抜みぬく」 → 「公式こうしき当あてはめ」 → 「符号ふごうと同類項どうるいこうを確実かくじつに」 の 3 段階だんかい。 ここで速はやく正確せいかくに解とける力ちからを付つけると、 次じ章しょうの因数分解いんすうぶんかい、 第だい 4 章しょうの二次方程式にじほうていしきが一気いっきにラクになります。

まとめ — 多項式たこうしきの展開てんかいを 3 行くだりで

• 展開てんかい公式こうしきは $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$、 $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$、 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$、 $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$ の 4 本ほんが基本きほんである
• 複雑ふくざつな式しきは共通きょうつう部分ぶぶんを $A$ などに置換ちかんして既知きちの公式こうしきに帰着きちゃくさせると見通しみとおしがよくなる
• 展開てんかいの鉄則てっそくは「形かたちを見抜みぬく → 公式こうしきに当あてはめる → 符号ふごうと同類項どうるいこうを正確せいかくに処理しょりする」 の 3 段階だんかいで、 速はやさと正確せいかくさの両立りょうりつが肝心かんじんである