多項式たこうしきの展開てんかい

この章しょうで学まなぶこと

中学ちゅうがく 1 年ねん で 「文字式もじしき と 単項式たんこうしき・多項式たこうしき の 加法かほう減法げんぽう」、 中学ちゅうがく 2 年ねん で 「単項式たんこうしき × 多項式たこうしき」 まで 学まなび まし た。 中学ちゅうがく 3 年ねん で は いよいよ 多項式たこうしき × 多項式たこうしき に 進すすみ ます。

このとき 答こたえ を そのまま 1 行あるき で 書かける ように する 公式こうしき が 乗法公式じょうほうこうしき です。 入試にゅうし では 計算けいさん スピード と 正確せいかくさ の 両方りょうほう が 求もとめ られ、 ここ で つまずく と 後ご の 因数分解いんすうぶんかい や 二次方程式にじほうていしき が 全滅ぜんめつ し ます。 一気いっき に 完璧かんぺき に し ましょう。

この章しょう が 終おわる ころ には、 つぎ の こと が できる ように なっ て い ます。

• (a+b)(c+d) を 分配ぶんぱい法則ほうそく で 展開てんかい できる
• 4 つ の 乗法じょうほう公式こうしき を 暗記あんき し、 瞬時しゅんじ に 当あて はめ られる
• $(a+b+c{)}^2$ や 3 数かず の 積つむ など、 やや 複雑ふくざつ な 式しき も 工夫くふう し て 展開てんかい できる
• 共通きょうつう因数いんすう を くくる、 同おなじ 形かたち を 文字もじ で 置おき換かえる 等ひとし の 入試にゅうし で 頻出ひんしゅつ の テクニック を 身み に つけ られる

ポイント: 「展開てんかい」 は 「かっこ を はずし て 1 つ の 多項式たこうしき に する」 こと。 反対はんたい操作そうさ が 次じ章しょう の 因数いんすう分解ぶんかい で、 両者りょうしゃ は 逆 の 関係かんけい です。

1. 多項式たこうしき × 多項式たこうしき の 基本きほん (分配ぶんぱい法則ほうそく)

まず 一般いっぱん の (a+b)(c+d) を 考かんがえ ます。 1 つ ずつ かっこ を ばらす と、

$(a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd$

つまり、 左 の かっこ の 各項かくこう を、 右みぎ の かっこ の 各項かくこう に かけ て すべて たす という ルール です。

例題れいだい 1: $(x+2)(x+3)$ を 展開てんかい し なさい。

$(x+2)(x+3)=x\cdot x+x\cdot 3+2\cdot x+2\cdot 3=x^2+3x+2x+6=x^2+5x+6$

中 2 項こう (3x と 2x) を まとめ て 5x に する のが ポイント です。

例題れいだい 2: $(2x-1)(3x+4)$ を 展開てんかい し なさい。

$(2x-1)(3x+4)=6x^2+8x-3x-4=6x^2+5x-4$

符号ふごう は 「マイナス × プラス = マイナス」 を 意識いしき し ます。 展開てんかい の 計算けいさん ミス の 9 割わり は 符号ふごう です。

ポイント:展開てんかい し た 直後ちょくご は 必かならず 同類項どうるいこう を まとめる。 ここ を 忘わすれる と 「答こたえ が 4 項こう の まま」 で 減点げんてん対象たいしょう です。

2. 乗法じょうほう公式こうしき 1: $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

$(a+b{)}^2$ は $(a+b)(a+b)$ と 同おなじ なので、 上うえ の 分配ぶんぱい法則ほうそく で 計算けいさん できる の です が、 何なん度ど も 出で て くる ので 公式こうしき化か し ます。

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

「最初さいしょ の 2 乗じょう、 2 倍ばい の 積せき、 後ご の 2 乗じょう」 と 唱となえ ましょう。

例題れいだい 3: $(x+5{)}^2$ を 展開てんかい し なさい。

$a=x, b=5$ と 見み れば、

$(x+5{)}^2=x^2+2\cdot x\cdot 5+5^2=x^2+10x+25$

例題れいだい 4: $(3x+2y{)}^2$ を 展開てんかい し なさい。

$a=3x, b=2y$ と 置おき ます。

$(3x+2y{)}^2=(3x{)}^2+2\cdot 3x\cdot 2y+(2y{)}^2=9x^2+12xy+4y^2$

係数けいすう の 2 乗 ($3^2=9$ など) を 忘わすれ ない よう に。

3. 乗法じょうほう公式こうしき 2: $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

マイナス 版ばん も 公式こうしき化か し ます。

$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

中 の 項こう だけ が マイナス、 両端りょうたん の $a^2$ と $b^2$ は 必かならず プラス ($-b$ を 2 乗じょう する と プラス に なる ため) です。

例題れいだい 5: $(2x-7{)}^2$ を 展開てんかい し なさい。

$(2x-7{)}^2=(2x{)}^2-2\cdot 2x\cdot 7+7^2=4x^2-28x+49$

よく ある ミス:$(a-b{)}^2=a^2-b^2$ と 書しょ い て しまう。 $a^2-b^2$ は 別 の 公式こうしき (次じ で 学まなぶ 和わ と 差さ の 積せき) なので、 混同こんどう し ない こと。

4. 乗法じょうほう公式こうしき 3: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ (和わ と 差さ の 積せき)

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

これ は 「和 と 差さ の 積つむ は 2 乗じょう の 差」 と 覚おぼえ ます。 中なか の 項こう が 消きえる の が 美うつくしい 公式こうしき。

例題れいだい 6: $(x+4)(x-4)$ を 展開てんかい し なさい。

$(x+4)(x-4)=x^2-16$

例題れいだい 7: $(5a+3b)(5a-3b)$ を 展開てんかい し なさい。

$(5a+3b)(5a-3b)=(5a{)}^2-(3b{)}^2=25a^2-9b^2$

例題れいだい 8 (入試にゅうし頻出ひんしゅつ): $99\times 101$ を 工夫くふう し て 計算けいさん し なさい。

$99=100-1, 101=100+1$ と 見み れ ば、

$99\times 101=(100-1)(100+1)={100}^2-1^2=10000-1=9999$

数値すうち計算けいさん でも この 公式こうしき は 使つかえ ます。

5. 乗法じょうほう公式こうしき 4: $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$

最後さいご の 公式こうしき は 1 次つぎ の 係数けいすう と 定数ていすう項こう に 注目ちゅうもく し ます。

$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$

「$x$ の 係数けいすう = $a$ と $b$ の 和かず、 定数ていすう項こう = $a$ と $b$ の 積せき」 と 覚おぼえ ます。

例題れいだい 9: $(x+3)(x+5)$ を 展開てんかい し なさい。

和$3+5=8$、 積$3\times 5=15$ より、

$(x+3)(x+5)=x^2+8x+15$

例題れいだい 10: $(x-2)(x+7)$ を 展開てんかい し なさい。

和$(-2)+7=5$、 積$(-2)\times 7=-14$ より、

$(x-2)(x+7)=x^2+5x-14$

符号ふごう を 含ふくめ た 「足たし算ざん」 と 「かけ算ざん」 を 落おち着ぎ い て 行おこなえ ば OK。

6. 4 つ の 公式こうしき まとめ表ひょう

番号ばんごう	公式こうしき	使つかう 場面ばめん
1	$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$	同おなじ かっこ の 2 乗じょう (プラス)
2	$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$	同おなじ かっこ の 2 乗じょう (マイナス)
3	$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$	中なか の 文字もじ が 同おなじ で 符号ふごう だけ ちがう 2 つ の 積つむ
4	$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$	$x$ で 始はじまる 2 つ の 1 次つぎ式しき の 積つむ

ポイント:入試にゅうし で は 「形かたち を 見み た 瞬間しゅんかん に どの 公式こうしき か 判別はんべつ」 できる ように なる こと が ゴール。 暗記あんき + 演習えんしゅう 100 問もん で 体からだ に 染しみ込こま せ ましょう。

7. 入試にゅうし で 使つかう テクニック

(1) 共通きょうつう因数いんすう を 先さき に くくる

例題れいだい 11: $3(x+2)(x-1)-(x+2)(x-3)$ を 展開てんかい し なさい。

$(x+2)$ が 共通きょうつう なので、 先さき に くくる と 楽らく です。

$3(x+2)(x-1)-(x+2)(x-3)=(x+2)\left\{3\right(x-1)-(x-3\left)\right\}$

中身なかみ を 計算けいさん し ます。

$3(x-1)-(x-3)=3x-3-x+3=2x$

よって、

$(x+2)\cdot 2x=2x^2+4x$

(2) 同おなじ かたまり を 文字もじ で 置おく (置換ちかん)

例題れいだい 12: $(x+y+3)(x+y-3)$ を 展開てんかい し なさい。

$x+y=A$ と 置おく と、

$(A+3)(A-3)=A^2-9=(x+y{)}^2-9=x^2+2xy+y^2-9$

3 つ 以上いじょう の 項こう が ある 多項式たこうしき でも、 共通きょうつう部分ぶぶん を 1 文字もじ に 置おき換かえる こと で 公式こうしき が 使つかえ ます。

(3) 順序じゅんじょ を 入いれ替かえ て 公式こうしき を 使つかう

例題れいだい 13: $(a+b-c)(a-b+c)$ を 展開てんかい し なさい。

$\{a+(b-c\left)\right\}\{a-(b-c\left)\right\}$ と 見み れ ば、 和わ と 差さ の 積せき公式こうしき が 使つかえ ます。

$\{a+(b-c\left)\right\}\{a-(b-c\left)\right\}=a^2-(b-c{)}^2=a^2-(b^2-2bc+c^2)=a^2-b^2+2bc-c^2$

ポイント:$-(b-c{)}^2$ の カッコ を ハズす とき、 すべて の 項こう の 符号ふごう を 反転はんてん する。 ここ も ミス が 多おおい。

(4) $(a+b+c{)}^2$ の 公式こうしき (覚おぼえ て おく と 速はやい)

$(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

3 つ の 項こう の 2 乗じょう と、 2 つ ずつ の 積つむ の 2 倍ばい 3 セット の 和わ です。 入試にゅうし で 出で たら 即答そくとう し たい 公式こうしき。

例題れいだい 14: $(x+2y-3{)}^2$ を 展開てんかい し なさい。

$x^2+(2y{)}^2+(-3{)}^2+2\cdot x\cdot 2y+2\cdot 2y\cdot (-3)+2\cdot (-3)\cdot x$ $=x^2+4y^2+9+4xy-12y-6x$

8. 章しょう末まつ演習えんしゅう (入試にゅうし形式けいしき)

つぎ の 式しき を 展開てんかい せよ。

(1) $(2x+3)(2x-3)$ (2) $(x-6{)}^2$ (3) $(x+4)(x-9)$ (4) $(3a+5{)}^2-(3a-5{)}^2$ (5) $(x+y+1)(x+y-1)$

略解りゃっかい: (1) $4x^2-9$ (2) $x^2-12x+36$ (3) $x^2-5x-36$ (4) 公式こうしき 1, 2 で 各々おのおの展開てんかい する と $\{9a^2+30a+25\}-\{9a^2-30a+25\}=60a$ (5) $x+y=A$ と 置おく と $A^2-1=x^2+2xy+y^2-1$

章 の まとめ:展開てんかい は 「形かたち を 見抜みぬく」 → 「公式こうしき当あて はめ」 → 「符号ふごう と 同類項どうるいこう を 確実かくじつ に」 の 3 段階だんかい。 ここ で 速はやく 正確せいかく に 解とける 力ちから を 付つける と、 次じ章しょう の 因数いんすう分解ぶんかい、 第だい 4 章しょう の 二に次じ方程式ほうていしき が 一気いっき に ラク に なり ます。

まとめ — 多項式たこうしきの展開てんかい を 3 行くだりで

• 展開てんかい公式こうしきは $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$、 $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$、 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$、 $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$ の 4 本ほんが基本きほんである
• 複雑ふくざつな式しきは共通きょうつう部分ぶぶんを $A$ などに置換ちかんして既知きちの公式こうしきに帰着きちゃくさせると見通しみとおしがよくなる
• 展開てんかいの鉄則てっそくは「形かたちを見抜みぬく → 公式こうしきに当あてはめる → 符号ふごうと同類項どうるいこうを正確せいかくに処理しょりする」 の 3 段階だんかいで、 速はやさと正確せいかくさの両立りょうりつが肝心かんじんである