円えん — 円周えんしゅう角かくの定理ていり・接線せっせん・接せっ弦げん定理ていり

この章しょうで学まなぶこと

中学ちゅうがく 1, 2 年ねんでも円えんを扱あつかいましたが、 中学ちゅうがく 3 年ねんで学まなぶ 円周角えんしゅうかくの定理ていり は図形ずけい単元たんげんの中なかでも 最強さいきょうの武器ぶき の 1 つ。 円えんの中なかに隠かくれた等ひとしい角かくを一瞬いっしゅんで見みつけられるようになります。

入試にゅうしでは 「円周角えんしゅうかくを利用りようして角度かくどを求もとめる」 「円周えんしゅう角かくで相似そうじを証明しょうめいする」 「接線せっせんや接弦定理せつげんていりと組くみ合あわせる」 等ひとし、 円えんが絡からむ問題もんだいは必かならず出題しゅつだいされます。

ゴール:

• 円周角の定理えんしゅうかくのていり: 同おなじ弧こに対たいする円周えんしゅう角かくは等ひとしく、 中心角ちゅうしんかくの半分はんぶん
• 半円はんえんの弧こに対たいする円周えんしゅう角かく = 90° (直径ちょっけいを見込みこむ角かく)
• 円周えんしゅう角かくの逆ぎゃくを使つかい、 4 点てんが同どう一いち円周えんしゅう上じょうにあることを示しめせる
• 接線せっせんは 接点せってんを通とおる半径はんけいと垂直すいちょく
• 2 接線せっせんの長ながさは等ひとしい
• 接弦げん定理ていり: 接線せっせんと弦げんのなす角かく = その弦げんに対たいする円周えんしゅう角かく

1. 円周えんしゅう角かくと中心ちゅうしん角かく

円周えんしゅう上じょうの 1 点てんから、 円周えんしゅう上じょうの 2 点てんを結むすんだ角かくを 円周角えんしゅうかく という。 また、 円えんの中心ちゅうしんと同おなじ 2 点てんを結むすんだ角かくを 中心角ちゅうしんかく という。

円周えんしゅう角かくの定理ていり

1 つの弧こに対たいする円周えんしゅう角かくはすべて等ひとしく、 中心ちゅうしん角かくの半分はんぶんである。

$\angle \left(円 周 角\right)=\frac{1}{2}\angle \left(中心 角\right)$

例題れいだい 1: 中心ちゅうしん角かくが 80° のとき、 同おなじ弧こに対たいする円周えんしゅう角かくは?

$80÷2=40°$

例題れいだい 2: 円周えんしゅう角かくが 35° のとき、 中心ちゅうしん角かくは?

$35\times 2=70°$

ポイント: 「同おなじ弧こ」 が大事だいじ。 別べつの弧こ (反対はんたい側がわ) を見みていると別べつの角度かくどになります。

2. 弧こと円周えんしゅう角かくの大小だいしょう関係かんけい

同おなじ円えんでは、 弧こが長ながいほど円周えんしゅう角かくも大おおきい。 等ひとしい弧こ → 等ひとしい円周えんしゅう角かく、 等ひとしい円周えんしゅう角かく → 等ひとしい弧こ。

例題れいだい 3: 円えんで弧こ AB = 弧こ CD のとき、 弧こ AB に対たいする円周えんしゅう角かくと弧こ CD に対たいする円周えんしゅう角かくは等ひとしいことを確認かくにんする。

これは 「等ひとしい弧こに対たいする円周えんしゅう角かくは等ひとしい」 の言い換えいいかえ。

3. 半円はんえんの弧こに対たいする円周えんしゅう角かく = 90°

直径ちょっけいを $AB$、 円周えんしゅう上じょうの別べつの点てんを $P$ とすると、

$\angle APB=90°$

これを タレスの定理たれすのていり ともいう。 円周えんしゅう角かくの定理ていりから、 中心ちゅうしん角かく = 180° (直線ちょくせん) なので円周えんしゅう角かく = 90°。

例題れいだい 4: 直径ちょっけい AB、 円周えんしゅう上じょうの点てん P で、 $\angle PAB=30°$ のとき $\angle ABP$ を求もとめよ。

$\angle APB=90°$ なので、 三角形さんかくけい ABP の内角ないかく和わで、

$\angle ABP=180°-90°-30°=60°$

応用おうよう: 「直径ちょっけいを見込みこむと 90°」 を使つかい、 直径ちょっけいを斜辺しゃへんとする直角ちょっかく三角形さんかくけいが隠かくれていることを見抜みぬく。 入試にゅうし頻出ひんしゅつの視点してん。

4. 円周えんしゅう角かくの定理ていりの逆ぎゃく

「2 点てん P, Q が直線ちょくせん AB に対たいして同おなじ側がわにあり、 $\angle APB=\angle AQB$ なら、 4 点てん A, B, P, Q は同どう一いち円周えんしゅう上じょうにある」。

つまり、 「角度かくどが等ひとしいから同おなじ円えんに乗のっている」 が言いえる。

例題れいだい 5: 四角形しかくけい ABCD で、 $\angle ABD=\angle ACD$ なら、 4 点てん A, B, C, D は同どう一いち円周えんしゅう上じょうにある。

(2 点てん B, C が直線ちょくせん AD に対たいして同おなじ側がわにあり、 同おなじ線分せんぶん AD を見みている角かくが等ひとしい)

5. 接線せっせんの性質せいしつ

円えんと直線ちょくせんが 1 点てんで接せっするとき、 その直線ちょくせんを 接線せっせん、 接せっする点てんを 接点せってん という。

性質せいしつ 1: 接線せっせん ⊥ 半径はんけい

接線せっせんは、 接点せってんを通とおる半径はんけい (中心ちゅうしんからの線分せんぶん) と垂直すいちょく。

例題れいだい 6: 半径はんけい 5 の円えんの中心ちゅうしん O、 円えん外がいの点てん P で OP = 13。 接線せっせん PA を引ひいたとき、 PA の長ながさを求もとめよ。

$△OAP$ で $\angle OAP=90°$、 三平方の定理さんへいほうのていり (次じ章しょうで詳くわしく学まなぶ) で、

$PA=\sqrt{{13}^2-5^2}=\sqrt{144}=12$

性質せいしつ 2: 2 接線せっせんの長ながさは等ひとしい

円えん外がいの 1 点てんから引ひいた 2 本ほんの接線せっせんの 長さは等ひとしい。

例題れいだい 7: 円えんに外接がいせつする三角形さんかくけい ABC がある。 接点せってんを P (BC 上うえ)、 Q (CA 上うえ)、 R (AB 上うえ) とし、 $AR=4,BP=5,CP=6$ のとき、 $AB$ の長ながさを求もとめよ。

性質せいしつ 2 で $AR=AQ=4$、 $BR=BP=5$、 $CP=CQ=6$。 $AB=AR+RB=4+5=9$。

6. 接せっ弦げん定理ていり

円えんとその接線せっせん、 接点せってんを端はしたに持もつ弦げんで、 接線せっせんと弦げんのなす角かく = その弦げんに対たいする円周えんしゅう角かく (反対はんたい側がわの弧この)。

例題れいだい 8: 円えんの接線せっせん ATがあり、 弦げん AB と接線せっせんのなす角かく ($\angle TAB$) が 50° のとき、 弦げん AB に対たいする反対はんたい側がわの弧この円周えんしゅう角かく ($\angle APB$, P は反対はんたい側がわの弧こ上じょう) は?

接せっ弦げん定理ていりで、

$\angle APB=50°$

使つかい道みち:接弦げん定理ていりは 接線せっせんがある図ずでの角度かくど移動いどうの切きり札ふだ。 入試にゅうしで突然とつぜん使つかう場面ばめんがあるので必かならず暗記あんき。

7. 円えんと相似そうじの融合ゆうごう (入試にゅうし頻出ひんしゅつ)

円周えんしゅう角かくで角度かくどが等ひとしいことを利用りようすると、 三角形さんかくけいの相似そうじが簡単かんたんに証明しょうめいできる。

例題れいだい 9: 方ほうべきの状況じょうきょう

円えんの内部ないぶで 2 つの弦げん AB と CD が点てん P で交まじわるとき、 $△PAC\sim △PDB$ を示しめせ。

証明しょうめい

• $\angle APC=\angle DPB$ (対頂角たいちょうかく) ... ①
• $\angle PAC=\angle PDB$ (弧こ BC に対たいする円周えんしゅう角かく) ... ②
• ①、 ② より 2 組くみの角かくがそれぞれ等ひとしい ので、 $△PAC\sim △PDB$

このとき相似比そうじひから、

$PA\times PB=PC\times PD$

これを 方べきの定理ほうべきのていり といい (中学ちゅうがく範囲はんいでは 「相似そうじを利用りようして求もとめる」 形かたちで出題しゅつだい)、 線分せんぶんの長ながさを求もとめるのに強力きょうりょく。

例題れいだい 10

円えん内ないで弦げん AB と CD が P で交まじわり、 PA = 6, PB = 4, PC = 3 のとき、 PD を求もとめよ。

$6\times 4=3\times PD⟹PD=8$

8. 角度かくど計算けいさんの入試にゅうしパターンまとめ

入試にゅうしで円えんが絡からむ角度かくど計算けいさんの切きり口くち:

1. 同おなじ弧こ → 円周えんしゅう角かく等ひとしい
2. 中心ちゅうしん角かく = 円周えんしゅう角かくの 2 倍
3. 直径ちょっけいを見込みこむ角かく = 90°
4. 四角形しかくけいが円えんに内接ないせつ → 対たい角かくの和わ = 180° (高校こうこうで詳くわしく学まなぶが中学ちゅうがくでも知しっておくと楽らく)
5. 接弦げん定理ていり
6. 三角形さんかくけいの内角ないかく和わ = 180°、 外角がいかく = 内うち対たい角かくの和 も併用へいよう

コツ:円が絡からむ図ずでは 「等ひとしい角かくに 同おなじ印 をつける」。 視覚しかく化かすると解かい法が見みえてきます。

9. 章しょう末まつ演習えんしゅう (入試にゅうし形式けいしき)

(1) 円周えんしゅう上じょうに 4 点てん A, B, C, D がある。 中心ちゅうしん角かく$\angle BOD=120°$ のとき、 円周えんしゅう角かく$\angle BAD$ を求もとめよ。 (2) AB が直径ちょっけいの円えんで、 円周えんしゅう上じょうに点てん C を取とる。 $\angle BAC=25°$ のとき $\angle ABC$ を求もとめよ。 (3) 円えん外がいの点てん P から接線せっせん PA を引ひき、 PA = 8、 PB を引ひき円えんと P 以外いがいで C, B で交まじわる ()、 $PC=4$。 PB を求もとめよ (方かたべきの定理ていりを相似そうじで導みちびく)。 (4) 円周えんしゅう上じょうに 4 点てん A, B, C, D がある。 円周えんしゅう角かく$\angle ABD=30°$, $\angle ACD=30°$。 4 点てんが同どう一いち円周えんしゅう上じょうにあると言いえるか。

略解りゃっかい: (1) $\frac{1}{2}\times 120=60°$ (2) 直径ちょっけいを見込みこむ角かくで $\angle ACB=90°$、 内角ないかく和わで $\angle ABC=65°$ (3) $△PCA\sim △PAB$ ($\angle P$共通きょうつう、 接せっ弦げん定理ていりで $\angle PAC=\angle PBA$)。 $P{A}^2=PC\times PB\Rightarrow 64=4\times PB\Rightarrow PB=16$ (4) AD を見込みこむ角かくが等ひとしく、 B, C が AD に対たいして同おなじ側がわ → 円周角の定理の逆えんしゅうかくのていりのぎゃくで 同一いち円周えんしゅう上じょう

章のまとめ:円えん単元たんげんの主しゅ武器ぶきは 円周えんしゅう角かくの定理ていり と 接弦げん定理ていり、 加くわえて 「直径ちょっけい → 90°」。 これらを自在じざいに使つかえれば、 円えんと相似そうじの融合ゆうごう問題もんだいも短時間たんじかんで解とけるようになります。

まとめ — 円えんを 3 行くだりで

• 円周えんしゅう角かくの定理ていりは「同おなじ弧こに対たいする円周えんしゅう角かくは中心ちゅうしん角かくの半分はんぶん」 で、 同一どういつ弧この円周えんしゅう角かくはすべて等ひとしいという強力きょうりょくな性質せいしつを持もつ
• 直径ちょっけいに対たいする円周えんしゅう角かくは必かならず $90°$ となり、 「直径ちょっけいを見みたら直角ちょっかくを疑うたがえ」 が標準的ひょうじゅんてきな解法かいほう着眼ちゃくがん点てんである
• 接せっ弦げん定理ていり (接線せっせんと弦げんのなす角かく = その弦げんに対たいする円周えんしゅう角かく) と方ほう冪べきの定理ていりを組くみ合あわせると、 円えんと相似そうじの融合ゆうごう問題もんだいが迅速じんそくに解とける