円えん — 円周えんしゅう角かくの定理ていり・接線せっせん・接せっ弦つる定理ていり

この章しょうで学まなぶこと

中学ちゅうがく 1, 2 年ねん で も 円えん を 扱あつかい まし た が、 中学ちゅうがく 3 年ねん で 学まなぶ 円周角えんしゅうかく の 定理ていり は 図形づけい単元たんげん の 中なか でも 最強さいきょう の 武器ぶき の 1 つ。 円えん の 中なか に 隠かくれ た 等ひとしい 角かく を 一瞬いっしゅん で 見みつけ られる ように なり ます。

入試にゅうし で は 「円周えんしゅう角かく を 利用りよう し て 角度かくど を 求もとめる」 「円周えんしゅう角かく で 相似そうじ を 証明しょうめい する」 「接線せっせん や 接せっ弦つる定理ていり と 組くみ合あわせる」 等ひとし、 円えん が 絡 む 問題もんだい は 必かならず 出題しゅつだい さ れ ます。

ゴール:

• 円周えんしゅう角かく の 定理ていり: 同おなじ 弧こ に 対たいする 円周えんしゅう角かく は 等ひとしく、 中心ちゅうしん角かく の 半分はんぶん
• 半円はんえん の 弧こ に 対たいする 円周えんしゅう角かく = 90° (直径ちょっけい を 見込みこむ 角かく)
• 円周えんしゅう角かく の 逆ぎゃく を 使つかい、 4 点てん が 同どう一いち円周えんしゅう上じょう に ある こと を 示 せる
• 接線せっせん は 接点せってん を 通とおる 半径はんけい と 垂直すいちょく
• 2 接線せっせん の 長ながさ は 等ひとしい
• 接せっ弦つる定理ていり: 接線せっせん と 弦つる の なす 角かく = その 弦つる に 対たいする 円周えんしゅう角かく

1. 円周えんしゅう角かく と 中心ちゅうしん角かく

円周えんしゅう上じょう の 1 点てん から、 円周えんしゅう上じょう の 2 点てん を 結むすん だ 角かく を 円周角えんしゅうかく と いう。 また、 円えん の 中心ちゅうしん と 同おなじ 2 点てん を 結むすん だ 角かく を 中心角ちゅうしんかく と いう。

円周えんしゅう角かく の 定理ていり

1 つ の 弧こ に 対たいする 円周えんしゅう角かく は すべて 等ひとしく、 中心ちゅうしん角かく の 半分はんぶん で ある。

$\angle \left(円 周 角\right)=\frac{1}{2}\angle \left(中心 角\right)$

例題れいだい 1: 中心ちゅうしん角かく が 80° の とき、 同おなじ 弧こ に 対たいする 円周えんしゅう角かく は?

$80÷2=40°$

例題れいだい 2: 円周えんしゅう角かく が 35° の とき、 中心ちゅうしん角かく は?

$35\times 2=70°$

ポイント: 「同おなじ 弧こ」 が 大事だいじ。 別べつ の 弧こ (反対はんたい側がわ) を 見み て いる と 別べつ の 角度かくど に なり ます。

2. 弧こ と 円周えんしゅう角かく の 大小だいしょう関係かんけい

同おなじ 円えん で は、 弧こ が 長ちょう い ほど 円周えんしゅう角かく も 大おおきい。 等ひとしい 弧こ → 等ひとしい 円周えんしゅう角かく、 等ひとしい 円周えんしゅう角かく → 等ひとしい 弧こ。

例題れいだい 3: 円えん で 弧こ AB = 弧こ CD の とき、 弧こ AB に 対たいする 円周えんしゅう角かく と 弧こ CD に 対たいする 円周えんしゅう角かく は 等ひとしい こと を 確認かくにん する。

これ は 「等ひとしい 弧こ に 対たいする 円周えんしゅう角かく は 等ひとしい」 の 言いい 換かえ。

3. 半円はんえん の 弧こ に 対たいする 円周えんしゅう角かく = 90°

直径ちょっけい を $AB$、 円周えんしゅう上じょう の 別べつ の 点てん を $P$ と する と、

$\angle APB=90°$

これ を タレス の 定理たれすのていり と も いう。 円周えんしゅう角かく の 定理ていり から、 中心ちゅうしん角かく = 180° (直線ちょくせん) なので 円周えんしゅう角かく = 90°。

例題れいだい 4: 直径ちょっけい AB、 円周えんしゅう上じょう の 点てん P で、 $\angle PAB=30°$ の とき $\angle ABP$ を 求もとめ め よ。

$\angle APB=90°$ なので、 三角形さんかっけい ABP の 内角ないかく和わ で、

$\angle ABP=180°-90°-30°=60°$

応用おうよう: 「直径ちょっけい を 見込みこむ と 90°」 を 使つかい、 直径ちょっけい を 斜辺しゃへん と する 直角ちょっかく三角形さんかっけい が 隠かくれ て いる こと を 見抜みぬく。 入試にゅうし頻出ひんしゅつ の 視点してん。

4. 円周えんしゅう角かく の 定理ていり の 逆ぎゃく

「2 点てん P, Q が 直線ちょくせん AB に 対たいし て 同おなじ 側がわ に あり、 $\angle APB=\angle AQB$ なら、 4 点てん A, B, P, Q は 同どう一いち円周えんしゅう上じょう に ある」。

つまり、 「角度かくど が 等ひとしい から 同おなじ 円えん に 乗のっ て いる」 が 言げん える。

例題れいだい 5: 四角形しかっけい ABCD で、 $\angle ABD=\angle ACD$ なら、 4 点てん A, B, C, D は 同どう一いち円周えんしゅう上じょう に ある。

(2 点てん B, C が 直線ちょくせん AD に 対たいし て 同おなじ 側がわ に あり、 同おなじ 線分せんぶん AD を 見み て いる 角かく が 等ひとしい)

5. 接線せっせん の 性質せいしつ

円えん と 直線ちょくせん が 1 点てん で 接せっする とき、 その 直線ちょくせん を 接線せっせん、 接せっ する 点てん を 接点せってん と いう。

性質せいしつ 1: 接線せっせん ⊥ 半径はんけい

接線せっせん は、 接点せってん を 通とおる 半径はんけい (中心ちゅうしん から の 線分せんぶん) と 垂直すいちょく。

例題れいだい 6: 半径はんけい 5 の 円えん の 中心ちゅうしん O、 円えん外がい の 点てん P で OP = 13。 接線せっせん PA を 引ひい た とき、 PA の 長ながさ を 求もとめ め よ。

$△OAP$ で $\angle OAP=90°$、 三さん平方へいほう の 定理ていり (次じ章しょう で 詳くわしく 学まなぶ) で、

$PA=\sqrt{{13}^2-5^2}=\sqrt{144}=12$

性質せいしつ 2: 2 接線せっせん の 長ちょう さ は 等ひとしい

円えん外がい の 1 点てん から 引 い た 2 本ほん の 接線せっせん の 長 さ は 等ひとしい。

例題れいだい 7: 円えん に 外接がいせつ する 三角形さんかっけい ABC が ある。 接点せってん を P (BC 上うえ)、 Q (CA 上うえ)、 R (AB 上うえ) と し、 $AR=4,BP=5,CP=6$ の とき、 $AB$ の 長ちょう さ を 求もとめ め よ。

性質せいしつ 2 で $AR=AQ=4$、 $BR=BP=5$、 $CP=CQ=6$。 $AB=AR+RB=4+5=9$。

6. 接せっ弦つる定理ていり

円えん と その 接線せっせん、 接点せってん を 端はじ に 持もつ 弦つる で、 接線せっせん と 弦つる の なす 角かく = その 弦つる に 対たいする 円周えんしゅう角かく (反対はんたい側がわ の 弧こ の)。

例題れいだい 8: 円えん の 接線せっせん ATがあり、 弦つる AB と 接線せっせん の なす 角かく ($\angle TAB$) が 50° の とき、 弦つる AB に 対たいする 反対はんたい側がわ の 弧こ の 円周えんしゅう角かく ($\angle APB$, P は 反対はんたい側がわ の 弧こ上じょう) は?

接せっ弦つる定理ていり で、

$\angle APB=50°$

使つかい 道みち:接せっ弦つる定理ていり は 接線せっせん が ある 図ず で の 角度かくど移動いどう の 切きり 札。 入試にゅうし で 突然とつぜん使つかう 場面ばめん が ある ので 必かならず 暗記あんき。

7. 円えん と 相似そうじ の 融合ゆうごう (入試にゅうし頻出ひんしゅつ)

円周えんしゅう角かく で 角度かくど が 等ひとしい こと を 利用りよう する と、 三角形さんかっけい の 相似そうじ が 簡単かんたん に 証明しょうめい できる。

例題れいだい 9: 方ほうべき の 状況じょうきょう

円えん の 内部ないぶ で 2 つ の 弦つる AB と CD が 点てん P で 交まじわる とき、 $△PAC\sim △PDB$ を 示 せ。

証明しょうめい

• $\angle APC=\angle DPB$ (対頂角たいちょうかく) ... ①
• $\angle PAC=\angle PDB$ (弧こ BC に 対たいする 円周えんしゅう角かく) ... ②
• ①、 ② より 2 組くみ の 角かく が それぞれ 等ひとしい ので、 $△PAC\sim △PDB$

このとき 相似そうじ比ひ から、

$PA\times PB=PC\times PD$

これ を 方 べ き の 定理ていり と いい (中学ちゅうがく範囲はんい で は 「相似そうじ を 利用りよう し て 求もとめ める」 形かたち で 出題しゅつだい)、 線分せんぶん の 長ながさ を 求もとめ める の に 強力きょうりょく。

例題れいだい 10

円えん内ない で 弦つる AB と CD が P で 交まじわり、 PA = 6, PB = 4, PC = 3 の とき、 PD を 求もとめ め よ。

$6\times 4=3\times PD⟹PD=8$

8. 角度かくど計算けいさん の 入試にゅうし パターン まとめ

入試にゅうし で 円えん が 絡 む 角度かくど計算けいさん の 切きり 口くち:

1. 同おなじ 弧こ → 円周えんしゅう角かく等ひとしい
2. 中心ちゅうしん角かく = 円周えんしゅう角かく の 2 倍
3. 直径ちょっけい を 見込みこむ 角かく = 90°
4. 四角形しかっけい が 円えん に 内接ないせつ → 対たい角かく の 和わ = 180° (高校こうこう で 詳くわしく 学まなぶ が 中学ちゅうがく でも 知しっ て おく と 楽らく)
5. 接せっ弦つる定理ていり
6. 三角形さんかっけい の 内角ないかく和わ = 180°、 外角がいかく = 内うち対たい角かく の 和 も 併用へいよう

コツ:円 が 絡 む 図ず で は 「等ひとしい 角かく に 同おなじ 印 を つけ る」。 視覚しかく化か する と 解法かいほう が 見み え て き ます。

9. 章しょう末まつ演習えんしゅう (入試にゅうし形式けいしき)

(1) 円周えんしゅう上じょう に 4 点てん A, B, C, D が ある。 中心ちゅうしん角かく$\angle BOD=120°$ の とき、 円周えんしゅう角かく$\angle BAD$ を 求もとめ め よ。 (2) AB が 直径ちょっけい の 円えん で、 円周えんしゅう上じょう に 点てん C を 取と る。 $\angle BAC=25°$ の とき $\angle ABC$ を 求もとめ め よ。 (3) 円えん外がい の 点てん P から 接線せっせん PA を 引ひき、 PA = 8、 PB を 引ひき 円えん と P 以外いがい で C, B で 交まじわる ()、 $PC=4$。 PB を 求もとめ め よ (方かた べき の 定理ていり を 相似そうじ で 導みちびく)。 (4) 円周えんしゅう上じょう に 4 点てん A, B, C, D が ある。 円周えんしゅう角かく$\angle ABD=30°$, $\angle ACD=30°$。 4 点てん が 同どう一いち円周えんしゅう上じょう に ある と 言げん え る か。

略解りゃっかい: (1) $\frac{1}{2}\times 120=60°$ (2) 直径ちょっけい を 見込みこむ 角かく で $\angle ACB=90°$、 内角ないかく和わ で $\angle ABC=65°$ (3) $△PCA\sim △PAB$ ($\angle P$共通きょうつう、 接せっ弦つる定理ていり で $\angle PAC=\angle PBA$)。 $P{A}^2=PC\times PB\Rightarrow 64=4\times PB\Rightarrow PB=16$ (4) AD を 見込みこむ 角かく が 等ひとしく、 B, C が AD に 対たいし て 同おなじ 側がわ → 円周えんしゅう角かく の 定理ていり の 逆ぎゃく で 同一いち円周えんしゅう上じょう

章 の まとめ:円えん単元たんげん の 主しゅ武器ぶき は 円周えんしゅう角かく の 定理ていり と 接せっ弦つる定理ていり、 加くわえ て 「直径ちょっけい → 90°」。 これ ら を 自在じざい に 使つかえ れ ば、 円えん と 相似そうじ の 融合ゆうごう問題もんだい も 短時間たんじかん で 解とけ る ように なり ます。

まとめ — 円えん を 3 行くだりで

• 円周えんしゅう角かくの定理ていりは「同おなじ弧こに対たいする円周えんしゅう角かくは中心ちゅうしん角かくの半分はんぶん」 で、 同一どういつ弧この円周えんしゅう角かくはすべて等ひとしいという強力きょうりょくな性質せいしつを持もつ
• 直径ちょっけいに対たいする円周えんしゅう角かくは必かならず $90°$ となり、 「直径ちょっけいを見みたら直角ちょっかくを疑うたがえ」 が標準的ひょうじゅんてきな解法かいほう着眼ちゃくがん点てんである
• 接せっ弦つる定理ていり (接線せっせんと弦げんのなす角かく = その弦つるに対たいする円周えんしゅう角かく) と方ほう冪べきの定理ていりを組くみ合あわせると、 円えんと相似そうじの融合ゆうごう問題もんだいが迅速じんそくに解とける