中ちゅう3 数学すうがく総そう復習ふくしゅう + 公立こうりつ入試にゅうし対策たいさく

この章しょうで学まなぶこと

中学ちゅうがく数学すうがくの集大成しゅうたいせい。 公立こうりつ高校こうこう入試にゅうしの出題しゅつだいパターンを 4 分野ぶんや (計算けいさん、 関数かんすう、 図形ずけい、 統計とうけい / 確率かくりつ) に分わけ、 「絶対ぜったい落おとしてはいけない基本きほん」 と 「差さがつく応用おうよう」 を一気いっきに整理せいりします。

入試にゅうし直前ちょくぜんの仕上しあげ、 そして入試にゅうし中ちゅうの 解かい き方かたの引ひき出だし として何なん度ども立たち返かえってください。

ゴール:

• 中なか 1 〜 中なか 3 の 計算けいさんルール を復習ふくしゅうし、 短時間たんじかんで正確せいかくに計算けいさんできる
• 一いち次じ・二に次じ関数かんすうと直線ちょくせん・放物線ほうぶつせんの 融合ゆうごう問題もんだい の解法かいほうを整理せいり
• 図形ずけい (合同ごうどう・相似そうじ・円えん・三平方へいほう) の 証明しょうめいと計算けいさん の王道おうどうパターンを押おさえる
• 確率かくりつ・標本調査ひょうほんちょうさの 用語ようごと計算けいさん を確認かくにん
• 公立こうりつ入試にゅうしの 大だい問もん構成こうせい と時間じかん配分はいぶんを知しる

1. 公立こうりつ入試にゅうし数学すうがくの大だい問もん構成こうせい (一般いっぱん例れい)

公立こうりつ高校こうこう入試にゅうしの数学すうがくは都道府県とどうふけんで多少たしょう違ちがうが、 大体だいたいつぎの 5 〜 6 題だい:

大だい問もん	内容ないよう	配点はいてん (例れい)
1	小しょう問もん集合しゅうごう (計算けいさん中心ちゅうしん)	30 〜 40 点てん
2	関数かんすうと グラフぐらふ	15 〜 20 点てん
3	図形ずけい (証明しょうめい含ふくむ)	15 〜 20 点てん
4	確率かくりつ・統計とうけい・場合ばあいの数かず	10 点てん
5	思考しこう力りょく / 融合ゆうごう問題もんだい	10 〜 15 点てん

時間じかん配分はいぶんの目安めやす: 50 分ぶん試験しけんなら、 大だい問もん 1 を 15 分ぶん、 その他たを各かく 7 〜 8 分ぶん。 最後さいごに 5 分ぶん見直みなおし。 大だい問もん 1 を落おとさないことが合格ごうかくの鍵かぎ。

2. 計算けいさん (大だい問もん 1) — 絶対ぜったい取とりたい基本きほん

(1) 正負せいふの数かず ・ 文字もじ式しき

例題れいだい 1: $-2^2-(-3{)}^2=?$

注意ちゅうい: $-2^2=-\left(2^2\right)=-4$、 $(-3{)}^2=9$。 答えこたえ = $-4-9=-13$。

つまずきポイント: $-2^2$ と $(-2{)}^2$ の違ちがい。 累乗るいじょう が先さき、 マイナス後ごが基本きほん。

(2) 平方根へいほうこん

例題れいだい 2: $\sqrt{18}-\frac{6}{\sqrt{2}}=?$

$\sqrt{18}=3\sqrt{2}, \frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$。 答えこたえ = 0。

(3) 多項式たこうしきの展開てんかい・因数いんすう分解ぶんかい

例題れいだい 3: $(x+2)(x-3)-(x-1{)}^2$ を 展開てんかい して整理せいりせよ。

$x^2-x-6-(x^2-2x+1)=x-7$

例題れいだい 4: $4x^2-9$ を 因数分解いんすうぶんかい せよ → $(2x+3)(2x-3)$。

(4) 連立れんりつ・二に次じ方程式ほうていしき

例題れいだい 5: $\{2x+y=7x-3y=7$ を解とけ。

加減かげん法ほうで $y$ を消けす。 $\cdot 3$ して $6x+3y=21$、 と $x-3y=7$ を足たすと $7x=28\Rightarrow x=4,y=-1$。

例題れいだい 6: $x^2-5x+3=0$ を解かいの 公式こうしき で解とけ。

$x=\frac{5\pm \sqrt{25-12}}{2}=\frac{5\pm \sqrt{13}}{2}$

(5) 関数かんすうの値ね・変へん域いき

例題れいだい 7: $y=-\frac{1}{2}{x}^2$ で $-2\le x\le 4$ のとき $y$ の 変域へんいき。

頂点ちょうてん (0,0) をまたぐ → 最大さいだい = 0。 端点たんてんで最小さいしょう: $x=4$ で $y=-8$ (こちらが大おおきい方ほうの絶対ぜったい値ち)。

$-8\le y\le 0$

3. 関数かんすう (大だい問もん 2) — 直線ちょくせんと放物線ほうぶつせんの融合ゆうごう

王道おうどうの流ながれ

1. 与あたえられた条件じょうけんから 関数かんすうの式 を決きめる
2. 交点こうてんを連立れんりつ で求もとめる
3. 図ずを描えがいて線分せんぶん / 三角形さんかくけいを確認かくにん
4. 面積めんせき を計算けいさん (底辺ていへんと高たかさをどこに取とるかがポイント)
5. 面積めんせきを 2 等分とうぶんする直線ちょくせん、 等とう積せき変形へんけい等の発展はってん

例題れいだい 8 (融合ゆうごう)

放物線ほうぶつせん $y=\frac{1}{2}{x}^2$ と直線ちょくせん$y=x+4$ がある。

(1) 交点こうてん A, B の座標ざひょうを求もとめよ。

連立れんりつ: $\frac{1}{2}{x}^2=x+4\Rightarrow x^2-2x-8=0\Rightarrow (x-4)(x+2)=0$。

$x=4,-2$ → A$(-2,2), B(4,8)$。

(2) $△OAB$ の面積めんせきを求もとめよ。

直線ちょくせんの $y$切片せっぺん C$(0,4)$。 OC を底辺ていへん (= 4) として 2 分割ぶんかつ。

$△OAB=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2+\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=4+8=12$

(3) y 軸じく上に点てん P を取とり、 $△PAB$ の面積めんせきが $△OAB$ と等ひとしくなるようにする。 P の y 座標ざひょうを求もとめよ (発展はってん)。

P を $(0,p)$ と置おく。 $△PAB=\frac{1}{2}\cdot \mid p-4\mid \cdot (4-(-2\left)\right)=3\mid p-4\mid =12\Rightarrow \mid p-4\mid =4$。

$p=0$ または $p=8$。 $p=0$ は 原点げんてん と一致いっち (元もとの三角形さんかくけい) なので、 別べつ解かいは $p=8$。

4. 図形ずけい (大だい問もん 3) — 証明しょうめいと長ながさ・面積めんせき

中なか 3 図形ずけい 4 大だい武器ぶき

1. 合同ごうどう (中ちゅう 2): 3 つの合同ごうどう条件じょうけん
2. 相似そうじ (中ちゅう 3): 3 つの相似そうじ条件じょうけん、 特とくに 「2 組くみの角かく」
3. 円周えんしゅう角かく (中ちゅう 3): 同弧こ → 同どう角かく、 直径ちょっけい → 90°、 接弦つる定理ていり
4. 三さん平方へいほう (中ちゅう 3): $a^2+b^2=c^2$、 $1:1:\sqrt{2}$、 $1:2:\sqrt{3}$

証明しょうめいの基本きほん手順てじゅん

1. 結論けつろんを確認かくにん (何なにを示しめすか)
2. 使つかえそうな条件じょうけん を図ずに書かき込こむ (角度かくど・長ながさ・印しるし)
3. 合同ごうどう / 相似そうじのどちらかを選えらぶ
4. 条件じょうけんを列挙れっきょ して、 最後さいごに 「○ ○ より、 △ABC ≡ △DEF (or ∽)」 を書かく
5. 結論けつろん を 1 行くだりで書かく

例題れいだい 9 (相似そうじの証明しょうめい)

$△ABC$ で、 $\angle A$ の二に等分とうぶん線せんが BC と交まじわる点てんを D とする。 BC 上うえの点てん P で $\angle APB=\angle ACB$ のとき、 $△APB\sim △ACB$ を示しめせ。

証明しょうめい

• $\angle ABP$ は共通きょうつう ... ①
• $\angle APB=\angle ACB$ (仮定かてい) ... ②
• ①、 ② より、 2 組くみの角かくがそれぞれ等ひとしい ので、 $△APB\sim △ACB$。 (証明しょうめい終おわり)

例題れいだい 10 (三さん平方へいほう + 相似そうじ融合ゆうごう)

直径ちょっけい 10 の円えんで、 弦つる AB の長ながさ 8 のとき、 中心ちゅうしん O から弦つるまでの距離きょりを求もとめよ。

中心ちゅうしんから弦つるへの垂線すいせんの足あしを H とすると、 H は AB の中点ちゅうてん → AH = 4。 半径はんけい OA = 5。 $△OAH$ で三さん平方へいほう:

$OH=\sqrt{5^2-4^2}=3$

5. 統計とうけい・確率かくりつ (大だい問もん 4)

確率かくりつ (中ちゅう 2 範囲はんいだが入試にゅうし必出で)

「同様どうように確たしからしい」 場合ばあいの確率かくりつ:

$確率=\frac{}{}$

例題れいだい 11: 大小だいしょう 2 個このサイコロを投なげ、 出でた目めの和わが 7 となる確率かくりつ。

全ぜん 36 通とおり。 和わ 7 = (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) の 6 通とおり。

$\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

標本ひょうほん調査ちょうさ (中ちゅう 3、 第だい 9 章しょうの復習ふくしゅう)

例題れいだい 12: 1000 個この部品ぶひんから 50 個こを取とり出だして検査けんさし、 不良ふりょうが 2 個こあった。 1000 個中こちゅうの不ふ良品りょうひんを推定すいていせよ。

$\frac{2}{50}=\frac{x}{1000}\Rightarrow x=40$ → 約40 個。

データの散ちらばり (中ちゅう 1, 中なか 2 の復習ふくしゅう)

• 平均へいきん値ち: 全すべての値ねの和わ ÷ 個数こすう
• 中央ちゅうおう値ち (メジアン): 並ならべたときのまん中なか
• 最さい頻しき値ね (モード): 一番いちばん多おおく出でる値ね
• 範囲はんい (レンジ): 最大さいだい − 最小さいしょう
• 四よん分ふん位い数 ・ 箱ひげ図 (近年きんねん必出で)

6. 入試にゅうし直前ちょくぜん ・ ケアレスミスチェックリスト

計算けいさんミスで 1 問もん落おとせば 5 点てん失うしなう。 つぎの 7 つを必かならず自己じこ点検てんけん。

1. 符号ふごうチェック: $-(-3)=+3$、 $-2^2=-4$
2. 展開てんかい後ご同類どうるい項こう をまとめたか
3. 因数いんすう分解ぶんかいが終おわっているか (まだ共通きょうつう因数いんすうが残のこってないか)
4. 方程式ほうていしきの解かいを全部ぜんぶ書かいたか (二に次じは 2 つあるのが普通ふつう)
5. 文章ぶんしょう題だいで解かいが問題もんだいに適てきするか確認かくにんしたか (長ながさ・人数にんずうは正せい)
6. $\sqrt{}$ の中なかを簡単かんたん化かしたか / 分母ぶんぼを有理ゆうり化かしたか
7. 単位たんいを書かいたか (cm, cm${}^2$, 個こ, 人ひと等とう)

7. 入試にゅうし解法かいほうの引ひき出だし (図形ずけい)

出題しゅつだい形がた	第だい一いち手て
直角ちょっかく三角形さんかくけい + 長ながさ	三さん平方へいほう
角度かくどが 30°/45°/60°	特別とくべつな直角ちょっかく三角形さんかくけい
円えん + 角度かくど	円周えんしゅう角かく
平行へいこう線せん + 線分せんぶん	相似そうじ (錯角さっかく・同位どうい角かく)
中点ちゅうてんが 2 つ以上いじょう	中点ちゅうてん連結れんけつ定理ていり
接線せっせんがある	接線せっせん ⊥ 半径はんけい / 接せっ弦つる定理ていり
立体りったいの表面ひょうめん上じょうの距離きょり	展開てんかい図ずで直線ちょくせん

8. 章しょう末まつ演習えんしゅう (入試にゅうし形式けいしき)

(1) $\sqrt{12}\times \sqrt{15}÷\sqrt{20}$ を計算けいさんせよ。 (2) $x^2-6x+4=0$ を解とけ。 (3) 放物線ほうぶつせん$y=a{x}^2$ が点$(2,-8)$ を通とおるとき、 $a$ の値ねと、 $x$ が 1 から 4 まで変かわるときの変化へんかの割合わりあいを求もとめよ。 (4) 半径はんけい 6 の円えん O で、 弦つる AB がある。 中心ちゅうしん O から弦つるまでの距離きょりが $3\sqrt{2}$ のとき、 弦つる AB の長ながさ。 (5) 1 辺あたり 6 の立方体りっぽうたいの体内たいない対角線たいかくせんの長ながさ。 (6) 母集団ぼしゅうだん 5000 人ひとから 100 人ひとを無作為むさくい抽出ちゅうしゅつしたところ、 25 人ひとがある雑誌ざっしを読よんでいた。 母集団ぼしゅうだんの中なかで読よんでいる人数にんずうを推定すいていせよ。

略解りゃっかい: (1) $\sqrt{\frac{12\times 15}{20}}=\sqrt{9}=3$ (2) $x=\frac{6\pm \sqrt{36-16}}{2}=3\pm \sqrt{5}$ (3) $-8=4a\Rightarrow a=-2$。 変化へんかの割合わりあい = $a(p+q)=-2\times 5=-10$ (4) 半はん弦つる = $\sqrt{36-18}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ → 弦つる = $6\sqrt{2}$ (5) $6\sqrt{3}$ (6) $\frac{25}{100}=\frac{x}{5000}\Rightarrow x=1250$ → 約1250 人

9. 入試にゅうし直前ちょくぜんの心構こころがまえ

• 大だい問もん 1 を全ぜん問もん正解せいかいするつもりで。 ここで 30 点てん取とれば合格ごうかくラインに一気いっきに近ちかづく
• 分わからない問題もんだいは飛とばす。 1 問もんに 5 分ぶん以上いじょうは危険きけん。 戻もどって解とけば良よい
• 図を大おおきく描えがく。 小ちいさい図ずはミスを招まねく
• 「式しき」 と 「答えこたえ」 を明確めいかくに区別くべつ。 部分ぶぶん点てんが取とれる
• 最後さいごに 5 分ぶんは見直みなおしに使つかう

章のまとめ:中学ちゅうがく数学すうがくは計算けいさん → 関数かんすう → 図形ずけい → 統計とうけいの 4 本ほん柱はしら。 公立こうりつ入試にゅうしでは 「基本きほんの確実かくじつさ」 + 「融合ゆうごう問題もんだいへの対応たいおう力りょく」 が勝負しょうぶ。 これまでの 9 章しょうを何なん度ども復習ふくしゅうし、 自信じしんを持もって試験しけんに臨のぞんでください。 努力どりょくは必かならず数字すうじとして返かえってきます。

まとめ — 中なか 3 数学すうがく総そう復習ふくしゅうを 3 行くだりで

• 中学ちゅうがく数学すうがくは計算けいさん・関数かんすう・図形ずけい・統計とうけいの 4 本ほん柱はしらで構成こうせいされ、 公立こうりつ入試にゅうしでは基本きほん問題もんだいの確実かくじつな得点とくてんが合格ごうかくラインへの最短さいたんルートである
• 融合ゆうごう問題もんだい (関数かんすう × 図形ずけい、 円えん × 相似そうじ、 三さん平方へいほう × 空間くうかん) は各かく単元たんげんの公式こうしきを組み合わせくみあわせて攻略こうりゃくし、 図ずを大おおきく描えがいて条件じょうけんを整理せいりする
• 入試にゅうし直前ちょくぜんは大だい問もん 1 の完全制覇かんぜんせいは・時間配分じかんはいぶん・見直みなおし 5 分ぶんの 3 戦略せんりゃくで臨のぞみ、 これまでの 9 章しょうの反復はんぷく演習えんしゅうで自信じしんをつけることが合格ごうかくの鍵かぎである