この章で学ぶこと
中学数学 の 集大成。 公立高校入試 の 出題 パター ン を 4 分野 (計算、 関数、 図形、 統計 / 確率) に 分け、 「絶対落 と し て は い け ない 基本」 と 「差 が つく 応用」 を 一気 に 整理 し ます。
入試直前 の 仕上 げ、 そして 入試中 の 解 き 方 の 引き 出 し と し て 何度 も 立 ち 返 っ て ください。
ゴール:
- 中 1 〜 中 3 の 計算 ルール を 復習 し、 短時間 で 正確 に 計算 できる
- 一次・二次関数 と 直線・放物線 の 融合問題 の 解法 を 整理
- 図形 (合同・相似・円・三平方) の 証明 と 計算 の 王道 パター ン を 押 さ える
- 確率・標本調査 の 用語 と 計算 を 確認
- 公立入試 の 大問構成 と 時間配分 を 知 る
1. 公立入試数学 の 大問構成 (一般例)
公立高校入試 の 数学 は 都道府県 で 多少違 う が、 大体 つぎ の 5 〜 6 題:
| 大問 | 内容 | 配点 (例) |
|---|
| 1 | 小問集合 (計算中心) | 30 〜 40 点 |
| 2 | 関数 と グラフ | 15 〜 20 点 |
| 3 | 図形 (証明含 む) | 15 〜 20 点 |
| 4 | 確率・統計・場合 の 数 | 10 点 |
| 5 | 思考力 / 融合問題 | 10 〜 15 点 |
時間配分 の 目安: 50 分試験 なら、 大問 1 を 15 分、 そ の 他 を 各 7 〜 8 分。 最後 に 5 分見直 し。 大問 1 を 落 と さ ない こと が 合格 の 鍵。
2. 計算 (大問 1) — 絶対取り たい 基本
(1) 正負 の 数 ・ 文字式
例題 1: −22−(−3)2=?
注意: −22=−(22)=−4、 (−3)2=9。 答え = −4−9=−13。
つまずき ポイント:−22 と (−2)2 の 違い。 累乗 が 先、 マイナス 後 が 基本。
(2) 平方根
例題 2: 18−26=?
18=32, 26=32。 答え = 0。
(3) 多項式 の 展開・因数分解
例題 3: (x+2)(x−3)−(x−1)2 を 展開 し て 整理 せ よ。
x2−x−6−(x2−2x+1)=x−7
例題 4: 4x2−9 を 因数分解 せ よ → (2x+3)(2x−3)。
(4) 連立・二次方程式
例題 5: {2x+y=7x−3y=7 を 解 け。
加減法 で y を 消 す。 ⋅3 し て 6x+3y=21、 と x−3y=7 を 足 す と 7x=28⇒x=4,y=−1。
例題 6: x2−5x+3=0 を 解 の 公式 で 解 け。
x=25±25−12=25±13
(5) 関数 の 値・変域
例題 7: y=−21x2 で −2≤x≤4 の とき y の 変域。
頂点 (0,0) を またぐ → 最大 = 0。 端点 で 最小: x=4 で y=−8 (こちら が 大 きい 方 の 絶対値)。
−8≤y≤0
3. 関数 (大問 2) — 直線 と 放物線 の 融合
王道 の 流れ
- 与え られ た 条件 から 関数 の 式 を 決 め る
- 交点 を 連立 で 求 める
- 図 を 描 い て 線分 / 三角形 を 確認
- 面積 を 計算 (底辺 と 高 さ を どこ に 取 る か が ポイント)
- 面積 を 2 等分 する 直線、 等積変形等 の 発展
例題 8 (融合)
放物線y=21x2 と 直線y=x+4 が ある。
(1) 交点 A, B の 座標 を 求 め よ。
連立: 21x2=x+4⇒x2−2x−8=0⇒(x−4)(x+2)=0。
x=4,−2 → A(−2,2), B(4,8)。
(2) △OAB の 面積 を 求 め よ。
直線 の y切片 C(0,4)。 OC を 底辺 (= 4) と し て 2 分割。
△OAB=21⋅4⋅2+21⋅4⋅4=4+8=12
(3) y 軸上 に 点 P を 取り、 △PAB の 面積 が △OAB と 等しく なる よう に する。 P の y 座標 を 求 め よ (発展)。
P を (0,p) と 置 く。 △PAB=21⋅∣p−4∣⋅(4−(−2))=3∣p−4∣=12⇒∣p−4∣=4。
p=0 または p=8。 p=0 は 原点 と 一致 (元 の 三角形) なので、 別解 は p=8。
4. 図形 (大問 3) — 証明 と 長 さ・面積
中 3 図形 4 大武器
- 合同 (中 2): 3 つ の 合同条件
- 相似 (中 3): 3 つ の 相似条件、 特 に 「2 組 の 角」
- 円周角 (中 3): 同弧 → 同角、 直径 → 90°、 接弦定理
- 三平方 (中 3): a2+b2=c2、 1:1:2、 1:2:3
証明 の 基本手順
- 結論 を 確認 (何 を 示 す か)
- 使え そ う な 条件 を 図 に 書き 込 む (角度・長 さ・印)
- 合同 / 相似 の どちら か を 選 ぶ
- 条件 を 列挙 し て、 最後 に 「○ ○ より、 △ABC ≡ △DEF (or ∽)」 を 書 く
- 結論 を 1 行 で 書 く
例題 9 (相似 の 証明)
△ABC で、 ∠A の 二等分線 が BC と 交 わる 点 を D と する。 BC 上 の 点 P で ∠APB=∠ACB の とき、 △APB∼△ACB を 示 せ。
証明
- ∠ABP は 共通 ... ①
- ∠APB=∠ACB (仮定) ... ②
- ①、 ② より、 2 組 の 角 が それ ぞれ 等しい ので、 △APB∼△ACB。 (証明終)
例題 10 (三平方 + 相似融合)
直径 10 の 円 で、 弦 AB の 長さ 8 の とき、 中心 O から 弦 まで の 距離 を 求 め よ。
中心 から 弦 へ の 垂線 の 足 を H と する と、 H は AB の 中点 → AH = 4。 半径 OA = 5。 △OAH で 三平方:
OH=52−42=3
5. 統計・確率 (大問 4)
確率 (中 2 範囲 だ が 入試必出)
「同様 に 確 か ら し い」 場合 の 確率:
確 率=全 て の 場合 の 数条件 を 満 たす 場合 の 数
例題 11: 大小 2 個 の サイ コロ を 投 げ、 出 た 目 の 和 が 7 と なる 確率。
全 36 通 り。 和 7 = (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) の 6 通 り。
366=61
標本調査 (中 3、 第 9 章 の 復習)
例題 12: 1000 個 の 部品 から 50 個 を 取 り 出 し て 検査 し、 不良 が 2 個 あっ た。 1000 個中 の 不良品 を 推定 せ よ。
502=1000x⇒x=40 → 約40 個。
データ の 散 ら ば り (中 1, 中 2 の 復習)
- 平均値: 全 て の 値 の 和 ÷ 個数
- 中央値 (メジ ア ン): 並 べた と き の ま ん 中
- 最頻値 (モ ー ド): 一番多 く 出 る 値
- 範囲 (レンジ): 最大 − 最小
- 四分位数 ・ 箱 ひ げ 図 (近年必出)
6. 入試直前 ・ ケアレ ス ミス チェック リスト
計算 ミス で 1 問落 とせ ば 5 点失う。 つぎ の 7 つ を 必ず 自己点検。
- 符号 チェック: −(−3)=+3、 −22=−4
- 展開後同類項 を まとめ た か
- 因数分解 が 終 わっ て いる か (まだ 共通因数 が 残 っ て な い か)
- 方程式 の 解 を 全部書 い た か (二次 は 2 つ ある のが 普通)
- 文章題 で 解 が 問題 に 適 す る か 確認 し た か (長 さ・人数 は 正)
- の 中 を 簡単化 し た か / 分母 を 有理化 し た か
- 単位 を 書い た か (cm, cm2, 個, 人等)
7. 入試解法 の 引 き 出 し (図形)
| 出題形 | 第一手 |
|---|
| 直角三角形 + 長 さ | 三平方 |
| 角度 が 30°/45°/60° | 特別 な 直角三角形 |
| 円 + 角度 | 円周角 |
| 平行線 + 線分 | 相似 (錯角・同位角) |
| 中点 が 2 つ 以上 | 中点連結定理 |
| 接線 が ある | 接線 ⊥ 半径 / 接弦定理 |
| 立体 の 表面上 の 距離 | 展開図 で 直線 |
8. 章末演習 (入試形式)
(1) 12×15÷20 を 計算 せ よ。
(2) x2−6x+4=0 を 解 け。
(3) 放物線y=ax2 が 点(2,−8) を 通 る とき、 a の 値 と、 x が 1 から 4 まで 変 わ る とき の 変化 の 割合 を 求 め よ。
(4) 半径 6 の 円 O で、 弦 AB が ある。 中心 O から 弦 ま で の 距離 が 32 の とき、 弦 AB の 長 さ。
(5) 1 辺 6 の 立方体 の 体内対角線 の 長 さ。
(6) 母集団 5000 人 から 100 人 を 無作為抽出 し た ところ、 25 人 が ある 雑誌 を 読 ん で い た。 母集団 の 中 で 読 ん で いる 人数 を 推定 せ よ。
略解:
(1) 2012×15=9=3
(2) x=26±36−16=3±5
(3) −8=4a⇒a=−2。 変化 の 割合 = a(p+q)=−2×5=−10
(4) 半弦 = 36−18=18=32 → 弦 = 62
(5) 63
(6) 10025=5000x⇒x=1250 → 約1250 人
9. 入試直前 の 心構 え
- 大問 1 を 全問正解 する つ も り で。 ここ で 30 点取 れ ば 合格 ライン に 一気 に 近づ く
- 分 から ない 問題 は 飛 ば す。 1 問 に 5 分以上 は 危険。 戻 っ て 解 け ば 良 い
- 図 を 大 きく 描 く。 小 さい 図 は ミス を 招 く
- 「式」 と 「答 え」 を 明確 に 区別。 部分点 が 取 れる
- 最後 に 5 分 は 見直 し に 使 う
章 の まとめ:中学数学 は 計算 → 関数 → 図形 → 統計 の 4 本柱。 公立入試 で は 「基本 の 確実 さ」 + 「融合問題 へ の 対応力」 が 勝負。 これ ま で の 9 章 を 何度 も 復習 し、 自信 を 持 っ て 試験 に 臨 ん で ください。 努力 は 必 ず 数字 と し て 返っ て き ます。
まとめ — 中 3 数学総復習 を 3 行で
- 中学数学は計算・関数・図形・統計の 4 本柱で構成され、 公立入試では基本問題の確実な得点が合格ラインへの最短ルートである
- 融合問題 (関数 × 図形、 円 × 相似、 三平方 × 空間) は各単元の公式を組み合わせて攻略し、 図を大きく描いて条件を整理する
- 入試直前は大問 1 の完全制覇・時間配分・見直し 5 分の 3 戦略で臨み、 これまでの 9 章の反復演習で自信をつけることが合格の鍵である