中ちゅう3 数学すうがく総そう復習ふくしゅう + 公立こうりつ入試にゅうし対策たいさく

この章しょうで学まなぶこと

中学ちゅうがく数学すうがく の 集大成しゅうたいせい。 公立こうりつ高校こうこう入試にゅうし の 出題しゅつだい パター ン を 4 分野ぶんや (計算けいさん、 関数かんすう、 図形づけい、 統計とうけい / 確率かくりつ) に 分わけ、 「絶対ぜったい落 と し て は い け ない 基本きほん」 と 「差さ が つく 応用おうよう」 を 一気いっき に 整理せいり し ます。

入試にゅうし直前ちょくぜん の 仕上しあが げ、 そして 入試にゅうし中ちゅう の 解 き 方かた の 引ひき 出で し と し て 何なん度ど も 立たつ ち 返かえ っ て ください。

ゴール:

• 中なか 1 〜 中なか 3 の 計算けいさん ルール を 復習ふくしゅう し、 短時間たんじかん で 正確せいかく に 計算けいさん できる
• 一いち次じ・二に次じ関数かんすう と 直線ちょくせん・放物線ほうぶつせん の 融合ゆうごう問題もんだい の 解法かいほう を 整理せいり
• 図形づけい (合同ごうどう・相似そうじ・円えん・三さん平方へいほう) の 証明しょうめい と 計算けいさん の 王道おうどう パター ン を 押 さ える
• 確率かくりつ・標本ひょうほん調査ちょうさ の 用語ようご と 計算けいさん を 確認かくにん
• 公立こうりつ入試にゅうし の 大だい問もん構成こうせい と 時間じかん配分はいぶん を 知ち る

1. 公立こうりつ入試にゅうし数学すうがく の 大だい問もん構成こうせい (一般いっぱん例れい)

公立こうりつ高校こうこう入試にゅうし の 数学すうがく は 都道府県とどうふけん で 多少たしょう違 う が、 大体だいたい つぎ の 5 〜 6 題だい:

大だい問もん	内容ないよう	配点はいてん (例れい)
1	小しょう問もん集合しゅうごう (計算けいさん中心ちゅうしん)	30 〜 40 点てん
2	関数かんすう と グラフ	15 〜 20 点てん
3	図形づけい (証明しょうめい含 む)	15 〜 20 点てん
4	確率かくりつ・統計とうけい・場合ばあい の 数かず	10 点てん
5	思考しこう力りょく / 融合ゆうごう問題もんだい	10 〜 15 点てん

時間じかん配分はいぶん の 目安めやす: 50 分ぶん試験しけん なら、 大だい問もん 1 を 15 分ぶん、 そ の 他た を 各かく 7 〜 8 分ぶん。 最後さいご に 5 分ぶん見み直ただし し。 大だい問もん 1 を 落 と さ ない こと が 合格ごうかく の 鍵かぎ。

2. 計算けいさん (大だい問もん 1) — 絶対ぜったい取とり たい 基本きほん

(1) 正負せいふ の 数かず ・ 文字もじ式しき

例題れいだい 1: $-2^2-(-3{)}^2=?$

注意ちゅうい: $-2^2=-\left(2^2\right)=-4$、 $(-3{)}^2=9$。 答こたえ = $-4-9=-13$。

つまずき ポイント:$-2^2$ と $(-2{)}^2$ の 違ちがい。 累乗るいじょう が 先さき、 マイナス 後ご が 基本きほん。

(2) 平方根へいほうこん

例題れいだい 2: $\sqrt{18}-\frac{6}{\sqrt{2}}=?$

$\sqrt{18}=3\sqrt{2}, \frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$。 答こたえ = 0。

(3) 多項式たこうしき の 展開てんかい・因数いんすう分解ぶんかい

例題れいだい 3: $(x+2)(x-3)-(x-1{)}^2$ を 展開てんかい し て 整理せいり せ よ。

$x^2-x-6-(x^2-2x+1)=x-7$

例題れいだい 4: $4x^2-9$ を 因数いんすう分解ぶんかい せ よ → $(2x+3)(2x-3)$。

(4) 連立れんりつ・二に次じ方程式ほうていしき

例題れいだい 5: $\{2x+y=7x-3y=7$ を 解かい け。

加減かげん法ほう で $y$ を 消しょう す。 $\cdot 3$ し て $6x+3y=21$、 と $x-3y=7$ を 足あし す と $7x=28\Rightarrow x=4,y=-1$。

例題れいだい 6: $x^2-5x+3=0$ を 解かい の 公式こうしき で 解かい け。

$x=\frac{5\pm \sqrt{25-12}}{2}=\frac{5\pm \sqrt{13}}{2}$

(5) 関数かんすう の 値ね・変へん域いき

例題れいだい 7: $y=-\frac{1}{2}{x}^2$ で $-2\le x\le 4$ の とき $y$ の 変へん域いき。

頂点ちょうてん (0,0) を またぐ → 最大さいだい = 0。 端点たんてん で 最小さいしょう: $x=4$ で $y=-8$ (こちら が 大だい きい 方かた の 絶対ぜったい値ち)。

$-8\le y\le 0$

3. 関数かんすう (大だい問もん 2) — 直線ちょくせん と 放物線ほうぶつせん の 融合ゆうごう

王道おうどう の 流ながれ

1. 与あたえ られ た 条件じょうけん から 関数かんすう の 式 を 決けつ め る
2. 交点こうてん を 連立れんりつ で 求もとめ める
3. 図ず を 描 い て 線分せんぶん / 三角形さんかっけい を 確認かくにん
4. 面積めんせき を 計算けいさん (底辺ていへん と 高こう さ を どこ に 取と る か が ポイント)
5. 面積めんせき を 2 等分とうぶん する 直線ちょくせん、 等とう積せき変形へんけい等 の 発展はってん

例題れいだい 8 (融合ゆうごう)

放物線ほうぶつせん$y=\frac{1}{2}{x}^2$ と 直線ちょくせん$y=x+4$ が ある。

(1) 交点こうてん A, B の 座標ざひょう を 求もとめ め よ。

連立れんりつ: $\frac{1}{2}{x}^2=x+4\Rightarrow x^2-2x-8=0\Rightarrow (x-4)(x+2)=0$。

$x=4,-2$ → A$(-2,2), B(4,8)$。

(2) $△OAB$ の 面積めんせき を 求もとめ め よ。

直線ちょくせん の $y$切片せっぺん C$(0,4)$。 OC を 底辺ていへん (= 4) と し て 2 分割ぶんかつ。

$△OAB=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2+\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=4+8=12$

(3) y 軸じく上じょう に 点てん P を 取とり、 $△PAB$ の 面積めんせき が $△OAB$ と 等ひとしく なる よう に する。 P の y 座標ざひょう を 求もとめ め よ (発展はってん)。

P を $(0,p)$ と 置 く。 $△PAB=\frac{1}{2}\cdot \mid p-4\mid \cdot (4-(-2\left)\right)=3\mid p-4\mid =12\Rightarrow \mid p-4\mid =4$。

$p=0$ または $p=8$。 $p=0$ は 原点げんてん と 一致いっち (元もと の 三角形さんかっけい) なので、 別べつ解かい は $p=8$。

4. 図形づけい (大だい問もん 3) — 証明しょうめい と 長ちょう さ・面積めんせき

中なか 3 図形づけい 4 大だい武器ぶき

1. 合同ごうどう (中ちゅう 2): 3 つ の 合同ごうどう条件じょうけん
2. 相似そうじ (中ちゅう 3): 3 つ の 相似そうじ条件じょうけん、 特とく に 「2 組くみ の 角かく」
3. 円周えんしゅう角かく (中ちゅう 3): 同どう弧こ → 同どう角かく、 直径ちょっけい → 90°、 接せっ弦つる定理ていり
4. 三さん平方へいほう (中ちゅう 3): $a^2+b^2=c^2$、 $1:1:\sqrt{2}$、 $1:2:\sqrt{3}$

証明しょうめい の 基本きほん手順てじゅん

1. 結論けつろん を 確認かくにん (何なに を 示 す か)
2. 使つかえ そ う な 条件じょうけん を 図ず に 書かき 込こみ む (角度かくど・長ちょう さ・印しるし)
3. 合同ごうどう / 相似そうじ の どちら か を 選せん ぶ
4. 条件じょうけん を 列挙れっきょ し て、 最後さいご に 「○ ○ より、 △ABC ≡ △DEF (or ∽)」 を 書しょ く
5. 結論けつろん を 1 行あるき で 書しょ く

例題れいだい 9 (相似そうじ の 証明しょうめい)

$△ABC$ で、 $\angle A$ の 二に等分とうぶん線せん が BC と 交 わる 点てん を D と する。 BC 上うえ の 点てん P で $\angle APB=\angle ACB$ の とき、 $△APB\sim △ACB$ を 示 せ。

証明しょうめい

• $\angle ABP$ は 共通きょうつう ... ①
• $\angle APB=\angle ACB$ (仮定かてい) ... ②
• ①、 ② より、 2 組くみ の 角かく が それ ぞれ 等ひとしい ので、 $△APB\sim △ACB$。 (証明しょうめい終おわり)

例題れいだい 10 (三さん平方へいほう + 相似そうじ融合ゆうごう)

直径ちょっけい 10 の 円えん で、 弦つる AB の 長ながさ 8 の とき、 中心ちゅうしん O から 弦つる まで の 距離きょり を 求もとめ め よ。

中心ちゅうしん から 弦つる へ の 垂線すいせん の 足あし を H と する と、 H は AB の 中点ちゅうてん → AH = 4。 半径はんけい OA = 5。 $△OAH$ で 三さん平方へいほう:

$OH=\sqrt{5^2-4^2}=3$

5. 統計とうけい・確率かくりつ (大だい問もん 4)

確率かくりつ (中ちゅう 2 範囲はんい だ が 入試にゅうし必出で)

「同様どうよう に 確 か ら し い」 場合ばあい の 確率かくりつ:

$確 率=\frac{}{}$

例題れいだい 11: 大小だいしょう 2 個こ の サイ コロ を 投とう げ、 出で た 目め の 和わ が 7 と なる 確率かくりつ。

全ぜん 36 通つう り。 和わ 7 = (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) の 6 通つう り。

$\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

標本ひょうほん調査ちょうさ (中ちゅう 3、 第だい 9 章しょう の 復習ふくしゅう)

例題れいだい 12: 1000 個こ の 部品ぶひん から 50 個こ を 取と り 出で し て 検査けんさ し、 不良ふりょう が 2 個こ あっ た。 1000 個中こちゅう の 不ふ良品りょうひん を 推定すいてい せ よ。

$\frac{2}{50}=\frac{x}{1000}\Rightarrow x=40$ → 約40 個。

データ の 散ち ら ば り (中ちゅう 1, 中なか 2 の 復習ふくしゅう)

• 平均へいきん値ち: 全ぜん て の 値ね の 和わ ÷ 個数こすう
• 中央ちゅうおう値ち (メジ ア ン): 並なみ べた と き の ま ん 中なか
• 最さい頻しき値ね (モ ー ド): 一番いちばん多おお く 出で る 値ね
• 範囲はんい (レンジ): 最大さいだい − 最小さいしょう
• 四よん分ふん位い数 ・ 箱 ひ げ 図 (近年きんねん必出で)

6. 入試にゅうし直前ちょくぜん ・ ケアレ ス ミス チェック リスト

計算けいさん ミス で 1 問もん落 とせ ば 5 点てん失うしなう。 つぎ の 7 つ を 必かならず 自己じこ点検てんけん。

1. 符号ふごう チェック: $-(-3)=+3$、 $-2^2=-4$
2. 展開てんかい後ご同類項どうるいこう を まとめ た か
3. 因数いんすう分解ぶんかい が 終おわり わっ て いる か (まだ 共通きょうつう因数いんすう が 残ざん っ て な い か)
4. 方程式ほうていしき の 解かい を 全部ぜんぶ書しょ い た か (二に次じ は 2 つ ある のが 普通ふつう)
5. 文章ぶんしょう題だい で 解かい が 問題もんだい に 適てき す る か 確認かくにん し た か (長ちょう さ・人数にんずう は 正せい)
6. $\sqrt{}$ の 中なか を 簡単かんたん化か し た か / 分母ぶんぼ を 有理ゆうり化か し た か
7. 単位たんい を 書かい た か (cm, cm${}^2$, 個こ, 人ひと等とう)

7. 入試にゅうし解法かいほう の 引 き 出で し (図形づけい)

出題しゅつだい形がた	第だい一いち手て
直角ちょっかく三角形さんかっけい + 長ちょう さ	三さん平方へいほう
角度かくど が 30°/45°/60°	特別とくべつ な 直角ちょっかく三角形さんかっけい
円えん + 角度かくど	円周えんしゅう角かく
平行へいこう線せん + 線分せんぶん	相似そうじ (錯角さっかく・同位どうい角かく)
中点ちゅうてん が 2 つ 以上いじょう	中点ちゅうてん連結れんけつ定理ていり
接線せっせん が ある	接線せっせん ⊥ 半径はんけい / 接せっ弦つる定理ていり
立体りったい の 表面ひょうめん上じょう の 距離きょり	展開てんかい図ず で 直線ちょくせん

8. 章しょう末まつ演習えんしゅう (入試にゅうし形式けいしき)

(1) $\sqrt{12}\times \sqrt{15}÷\sqrt{20}$ を 計算けいさん せ よ。 (2) $x^2-6x+4=0$ を 解かい け。 (3) 放物線ほうぶつせん$y=a{x}^2$ が 点$(2,-8)$ を 通つう る とき、 $a$ の 値ね と、 $x$ が 1 から 4 まで 変へん わ る とき の 変化へんか の 割合わりあい を 求もとめ め よ。 (4) 半径はんけい 6 の 円えん O で、 弦つる AB が ある。 中心ちゅうしん O から 弦つる ま で の 距離きょり が $3\sqrt{2}$ の とき、 弦つる AB の 長ちょう さ。 (5) 1 辺あたり 6 の 立方体りっぽうたい の 体内たいない対角線たいかくせん の 長ちょう さ。 (6) 母集団ぼしゅうだん 5000 人ひと から 100 人ひと を 無む作為さくい抽出ちゅうしゅつ し た ところ、 25 人ひと が ある 雑誌ざっし を 読 ん で い た。 母集団ぼしゅうだん の 中なか で 読 ん で いる 人数にんずう を 推定すいてい せ よ。

略解りゃっかい: (1) $\sqrt{\frac{12\times 15}{20}}=\sqrt{9}=3$ (2) $x=\frac{6\pm \sqrt{36-16}}{2}=3\pm \sqrt{5}$ (3) $-8=4a\Rightarrow a=-2$。 変化へんか の 割合わりあい = $a(p+q)=-2\times 5=-10$ (4) 半はん弦つる = $\sqrt{36-18}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ → 弦つる = $6\sqrt{2}$ (5) $6\sqrt{3}$ (6) $\frac{25}{100}=\frac{x}{5000}\Rightarrow x=1250$ → 約1250 人

9. 入試にゅうし直前ちょくぜん の 心こころ構 え

• 大だい問もん 1 を 全ぜん問もん正解せいかい する つ も り で。 ここ で 30 点てん取と れ ば 合格ごうかく ライン に 一気いっき に 近きんづ く
• 分 から ない 問題もんだい は 飛とび ば す。 1 問もん に 5 分ぶん以上いじょう は 危険きけん。 戻もど っ て 解かい け ば 良りょう い
• 図 を 大だい きく 描 く。 小しょう さい 図ず は ミス を 招 く
• 「式しき」 と 「答こたえ え」 を 明確めいかく に 区別くべつ。 部分ぶぶん点てん が 取と れる
• 最後さいご に 5 分ぶん は 見み直ただし し に 使し う

章 の まとめ:中学ちゅうがく数学すうがく は 計算けいさん → 関数かんすう → 図形づけい → 統計とうけい の 4 本ほん柱はしら。 公立こうりつ入試にゅうし で は 「基本きほん の 確実かくじつ さ」 + 「融合ゆうごう問題もんだい へ の 対たい応力おうりょく」 が 勝負しょうぶ。 これ ま で の 9 章しょう を 何なん度ど も 復習ふくしゅう し、 自信じしん を 持じ っ て 試験しけん に 臨 ん で ください。 努力どりょく は 必 ず 数字すうじ と し て 返かえっ て き ます。

まとめ — 中なか 3 数学すうがく総そう復習ふくしゅう を 3 行くだりで

• 中学ちゅうがく数学すうがくは計算けいさん・関数かんすう・図形づけい・統計とうけいの 4 本ほん柱はしらで構成こうせいされ、 公立こうりつ入試にゅうしでは基本きほん問題もんだいの確実かくじつな得点とくてんが合格ごうかくラインへの最短さいたんルートである
• 融合ゆうごう問題もんだい (関数かんすう × 図形づけい、 円えん × 相似そうじ、 三さん平方へいほう × 空間くうかん) は各かく単元たんげんの公式こうしきを組くみ合あわせて攻略こうりゃくし、 図ずを大おおきく描えがいて条件じょうけんを整理せいりする
• 入試にゅうし直前ちょくぜんは大だい問もん 1 の完全制覇かんぜんせいは・時間配分じかんはいぶん・見直みなおし 5 分ぶんの 3 戦略せんりゃくで臨のぞみ、 これまでの 9 章しょうの反復はんぷく演習えんしゅうで自信じしんをつけることが合格ごうかくの鍵かぎである