因数いんすう分解ぶんかい — 共通きょうつう因数いんすう・展開てんかい公式こうしきの逆ぎゃく・たすき掛かけ

この章しょうで学まなぶこと

前章ぜんしょうで学まなんだ 展開てんかい を 「逆ぎゃく向むき」 に行おこなう操作そうさが 因数分解いんすうぶんかい です。

たとえば展開てんかいで

$(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$

を計算けいさんしました。 因数分解いんすうぶんかいは反対はんたいに、 $x^2+5x+6$ を見みて 「もとの (x+2)(x+3) を復元ふくげんする」 ことです。

入試にゅうしでは 二次方程式にじほうていしき や 関数かんすう の問題もんだいで因数いんすう分解かいが解法かいほうの鍵かぎになるため、 中なか 3 で一番いちばん練習れんしゅう量りょうを積つむべき単元たんげんです。

この章しょうが終おわるころにはつぎができるようになります。

• 共通因数きょうつういんすうのくくり出だしが即そくできる
• 4 つの公式こうしき (展開てんかい公式こうしきと 1 対たい 1 対応たいおう) を自在じざいに使つかえる
• $x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$ で 「足たして A、 かけて B」 となる整数ペアすうぺあを素早すばやく見みつけられる
• 共通きょうつう因数いんすう + 公式こうしき / 置換ちかん + 公式こうしきの 2 段階だんかい因数いんすう分解ぶんかいができる
• $a{x}^2+bx+c$ ($a\ne 1$) の たすき掛けたすきがけ風の分解ぶんかいができる (発展はってん)

用語ようご: 1 つの整式せいしきを 「いくつかの整式せいしきの積せきの形かたち」 に表あらわすことを因数いんすう分解ぶんかいといい、 そのときの各かく整式せいしきを 因数いんすう といいます。

1. 因数いんすう分解ぶんかいの基本きほん — 共通きょうつう因数いんすうをくくり出だす

最初さいしょに必かならず見みるべきなのが 共通きょうつう因数いんすう です。 各項こうに共通きょうつうして含ふくまれる文字もじや数字すうじを前まえにくくり出だします。

例題れいだい 1: $6x^2+9x$ を因数いんすう分解ぶんかいしなさい。

各項かくこうに共通きょうつうする因数いんすうは $3x$ なので、

$6x^2+9x=3x(2x+3)$

例題れいだい 2: $4a^{2}b-8a{b}^2+2ab$ を因数いんすう分解ぶんかいしなさい。

数字すうじの共通きょうつう因数いんすうは 2、 文字もじは $a$ も $b$ もすべての項こうにあるので $ab$。 合あわせて $2ab$ をくくり出だす。

$4a^{2}b-8a{b}^2+2ab=2ab(2a-4b+1)$

ポイント:共通きょうつう因数いんすうをくくり出だしたあと、 残のこりを カッコ内ないに同おなじ個数こすうの項こうで書かく。 例題れいだい 2 のように 「+1」 を忘わすれがちなので要よう注意ちゅうい。

2. 公式こうしき 1: $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$

展開てんかい公式こうしき 1 の逆ぎゃくです。

$a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2,a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$

見分みわけ方かた: 両端りょうたんが 平方へいほう、 中央ちゅうおうが 両端りょうたんの平方根へいほうこんの 2 倍ばいの積。

例題れいだい 3: $x^2+10x+25$ を因数いんすう分解ぶんかいせよ。

$25=5^2$、 $10x=2\cdot x\cdot 5$。 ぴったり。

$x^2+10x+25=(x+5{)}^2$

例題れいだい 4: $9a^2-12ab+4b^2$ を因数いんすう分解ぶんかいせよ。

$9a^2=(3a{)}^2$、 $4b^2=(2b{)}^2$、 中央ちゅうおう$-12ab=-2\cdot 3a\cdot 2b$。 OK。

$9a^2-12ab+4b^2=(3a-2b{)}^2$

3. 公式こうしき 2: $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

「2 乗じょうの差さ」 を見みたらすぐ分解ぶんかい。

例題れいだい 5: $x^2-49$ を因数いんすう分解ぶんかいせよ。

$x^2-49=x^2-7^2=(x+7)(x-7)$

例題れいだい 6: $4x^2-25y^2$ を因数いんすう分解ぶんかいせよ。

$4x^2-25y^2=(2x{)}^2-(5y{)}^2=(2x+5y)(2x-5y)$

ポイント: $x^2+49$ のような 「2 乗じょうの和わ」 は中学ちゅうがく範囲はんいでは因数いんすう分解ぶんかいできない。 「差さ」 だけが公式こうしき化かされていることに注意ちゅうい。

4. 公式こうしき 3: $x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$ — 数すうペアさがし

中学ちゅうがく因数いんすう分解ぶんかいの 主役しゅやく です。 「足たして 1 次つぎの係数けいすう、 かけて定数ていすう項こう」 になる整数せいすうペアを探さがします。

例題れいだい 7: $x^2+7x+12$ を因数いんすう分解ぶんかいせよ。

足たして 7、 かけて 12 → (3, 4)。

$x^2+7x+12=(x+3)(x+4)$

例題れいだい 8: $x^2-5x+6$ を因数いんすう分解ぶんかいせよ。

足たして -5、 かけて 6 → (-2, -3)。 両方りょうほうマイナス。

$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$

例題れいだい 9: $x^2+2x-15$ を因数いんすう分解ぶんかいせよ。

足たして 2、 かけて -15 → (5, -3)。 1 つマイナス。

$x^2+2x-15=(x+5)(x-3)$

数すうペアの探さがし方かたコツ

定数ていすう項こうの符号ふごう	1 次じ係数けいすうの符号ふごう	2 数かずの符号ふごう
プラス	プラス	両方りょうほうプラス
プラス	マイナス	両方りょうほうマイナス
マイナス	プラス	大おおきい方ほうプラス、 小ちいさい方ほうマイナス
マイナス	マイナス	大おおきい方ほうマイナス、 小ちいさい方ほうプラス

ポイント:定数ていすう項こうの約数やくすうを全部ぜんぶ列挙れっきょし、 その中なかから 「足たして 1 次じ係数けいすう」 になる組くみを探さがすのが確実かくじつ。 慣れなれたら暗算あんざんで即答そくとうできるようになります。

5. 共通きょうつう因数いんすう + 公式こうしきの 2 段階だんかい分解ぶんかい

入試にゅうしでは まず共通きょうつう因数いんすうをくくり、 残のこりを公式こうしきで分解ぶんかいする 「2 段階だんかい」 が頻出ひんしゅつです。

例題れいだい 10: $2x^2+12x+18$ を因数いんすう分解ぶんかいせよ。

共通きょうつう因数いんすう 2 をくくる。

$2x^2+12x+18=2(x^2+6x+9)=2(x+3{)}^2$

例題れいだい 11: $3a^2-27$ を因数いんすう分解ぶんかいせよ。

$3a^2-27=3(a^2-9)=3(a+3)(a-3)$

例題れいだい 12: $x^3-4x$ を因数いんすう分解ぶんかいせよ。

$x$ が共通きょうつう。 残のこりは $x^2-4=(x+2)(x-2)$。

$x^3-4x=x(x^2-4)=x(x+2)(x-2)$

鉄則てっそく:因数いんすう分解ぶんかいの最初さいしょの一いち手ては 「共通きょうつう因数いんすうはないか?」。 これを飛とばすと 「分解ぶんかいが中途半端ちゅうとはんぱ」 と判定はんていされ減点げんてんされるので必かならず確認かくにん。

6. 置換ちかんを使つかう因数いんすう分解ぶんかい

複数ふくすうの文字もじや長ながいかたまりがあるときは 1 つの文字もじに置おく。

例題れいだい 13: $(x+y{)}^2-4(x+y)+4$ を因数いんすう分解ぶんかいせよ。

$x+y=A$ と置おく。

$A^2-4A+4=(A-2{)}^2=(x+y-2{)}^2$

例題れいだい 14: $(a+b{)}^2-c^2$ を因数いんすう分解ぶんかいせよ。

$a+b=M$ と置おくと $M^2-c^2=(M+c)(M-c)$。 戻もどして、

$(a+b+c)(a+b-c)$

ポイント: 「2 乗じょうの差さ」 「2 乗じょう + 2 倍ばいの積せき + 2 乗じょう」 など 公式こうしきの形 に見みえるように置換ちかんするのがコツ。

7. 4 文字もじ / 4 項こうのくくり直なおし (たすき掛けたすきがけの前ぜん段階だんかい)

例題れいだい 15: $ax+ay+bx+by$ を因数いんすう分解ぶんかいせよ。

前半ぜんはんと後半こうはんで共通きょうつう因数いんすうをくくる。

$ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)$

例題れいだい 16: $x^2+xy-2x-2y$ を因数いんすう分解ぶんかいせよ。

$x^2+xy-2x-2y=x(x+y)-2(x+y)=(x-2)(x+y)$

ポイント: 4 項こうのときは 2 項こうずつペア にして共通きょうつう因数いんすうをくくり、 さらに全体ぜんたいで共通きょうつうするカッコをくくり出だす。

8. 発展はってん — $a{x}^2+bx+c$ ($a\ne 1$) の因数いんすう分解ぶんかい

公立こうりつ入試にゅうしでは一部いちぶの上位じょうい校こうで出題しゅつだいされるので、 触ふれておきます。

例題れいだい 17: $2x^2+7x+3$ を因数いんすう分解ぶんかいせよ。

積せきが $2\cdot 3=6$、 和わが 7 の 2 数かずを探さがす → (6, 1)。 1 次つぎの項こうを分割ぶんかつし、

$2x^2+7x+3=2x^2+6x+x+3=2x(x+3)+1\cdot (x+3)=(2x+1)(x+3)$

例題れいだい 18: $3x^2-5x-2$ を因数いんすう分解ぶんかいせよ。

積$-6$、 和$-5$ → (-6, +1)。

$3x^2-5x-2=3x^2-6x+x-2=3x(x-2)+1\cdot (x-2)=(3x+1)(x-2)$

覚おぼえ方かた: 「かけて $ac$、 足たして $b$」 の整数せいすうペアで 1 次項じこうを分割ぶんかつし、 2 項こうずつくくり出だす。 これはたすき掛かけの別べつ表現ひょうげんです。

9. 章しょう末まつ演習えんしゅう (入試にゅうし形式けいしき)

つぎの式しきを因数いんすう分解ぶんかいせよ。

(1) $x^2-8x+16$ (2) $x^2-64$ (3) $x^2+x-20$ (4) $3x^2-12x-36$ (5) $(x-1{)}^2-9$ (6) $ax+ay-bx-by$ (7) $x^2-y^2+4y-4$ (発展はってん)

略解りゃっかい: (1) $(x-4{)}^2$ (2) $(x+8)(x-8)$ (3) $(x+5)(x-4)$ (4) $3(x^2-4x-12)=3(x-6)(x+2)$ (5) $\left\{\right(x-1)+3\}\left\{\right(x-1)-3\}=(x+2)(x-4)$ (6) $a(x+y)-b(x+y)=(a-b)(x+y)$ (7) $-y^2+4y-4=-(y-2{)}^2$ なので $x^2-(y-2{)}^2=(x+y-2\left)\right(x-y+2)$

章のまとめ:因数いんすう分解ぶんかいの鉄則てっそくは 「① 共通きょうつう因数いんすう → ② 公式こうしき → ③ 置換ちかん / くくり直なおし」。 この順じゅんで必かならず試ためす。 二に次じ方程式ほうていしきの解法かいほうの中心ちゅうしんが因数いんすう分解ぶんかいなので、 何なん度ども演習えんしゅうして体からだに染しみ込こませましょう。

まとめ — 因数いんすう分解ぶんかいを 3 行くだりで

• 因数いんすう分解ぶんかいの手順てじゅんは「共通きょうつう因数いんすうを括くくり出だす → 展開てんかい公式こうしきを逆ぎゃくに使つかう → 置換ちかんやくくり直なおしを試ためす」 の 3 段階だんかいで必かならず網羅もうらする
• $x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$ や $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ など、 展開てんかい公式こうしきの逆ぎゃく操作そうさが因数いんすう分解ぶんかいの要かなめである
• 因数いんすう分解ぶんかいは二に次じ方程式ほうていしきの解法かいほうの中心ちゅうしんであり、 反復はんぷく演習えんしゅうで即座そくざに形かたちを見抜みぬける力ちからを身みにつけることが重要じゅうようである