この章で学ぶこと
前章 で 学ん だ 展開 を 「逆向き」 に 行う 操作 が 因数分解 です。
たとえば 展開 で
(x+2)(x+3)=x2+5x+6
を 計算 し まし た。 因数分解 は 反対 に、 x2+5x+6 を 見 て 「もと の (x+2)(x+3) を 復元 する」 こと です。
入試 で は 二次方程式 や 関数 の 問題 で 因数分解 が 解法 の 鍵 に なる ため、 中 3 で 一番練習量 を 積む べき 単元 です。
この 章 が 終わる ころ には つぎ が できる ように なり ます。
- 共通因数 の くくり 出し が 即 でき る
- 4 つ の 公式 (展開公式 と 1 対 1 対応) を 自在 に 使え る
- x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) で 「足し て A、 かけ て B」 と なる 整数 ペア を 素早く 見つけ られる
- 共通因数 + 公式 / 置換 + 公式 の 2 段階因数分解 が でき る
- ax2+bx+c (a=1) の たすき掛け風 の 分解 が でき る (発展)
用語: 1 つ の 整式 を 「いくつか の 整式 の 積 の 形」 に 表す こと を 因数分解 と いい、 その とき の 各整式 を 因数 と いい ます。
1. 因数分解 の 基本 — 共通因数 を くくり 出す
最初 に 必ず 見る べき なの が 共通因数 です。 各項 に 共通 し て 含ま れる 文字 や 数字 を 前 に くくり 出し ます。
例題 1: 6x2+9x を 因数分解 し なさい。
各項 に 共通 する 因数 は 3x なので、
6x2+9x=3x(2x+3)
例題 2: 4a2b−8ab2+2ab を 因数分解 し なさい。
数字 の 共通因数 は 2、 文字 は a も b も すべて の 項 に ある ので ab。 合わ せ て 2ab を くくり 出す。
4a2b−8ab2+2ab=2ab(2a−4b+1)
ポイント:共通因数 を くくり 出し た あと、 残り を カッコ 内 に 同じ 個数 の 項 で書く。 例題 2 の よう に 「+1」 を 忘れ がち な ので 要注意。
2. 公式 1: a2+2ab+b2=(a+b)2
展開公式 1 の 逆 です。
a2+2ab+b2=(a+b)2,a2−2ab+b2=(a−b)2
見分け 方: 両端 が 平方、 中央 が 両端 の 平方根 の 2 倍 の 積。
例題 3: x2+10x+25 を 因数分解 せよ。
25=52、 10x=2⋅x⋅5。 ぴったり。
x2+10x+25=(x+5)2
例題 4: 9a2−12ab+4b2 を 因数分解 せよ。
9a2=(3a)2、 4b2=(2b)2、 中央−12ab=−2⋅3a⋅2b。 OK。
9a2−12ab+4b2=(3a−2b)2
3. 公式 2: a2−b2=(a+b)(a−b)
「2 乗 の 差」 を 見 たら すぐ 分解。
例題 5: x2−49 を 因数分解 せよ。
x2−49=x2−72=(x+7)(x−7)
例題 6: 4x2−25y2 を 因数分解 せよ。
4x2−25y2=(2x)2−(5y)2=(2x+5y)(2x−5y)
ポイント:x2+49 の よう な 「2 乗 の 和」 は 中学範囲 では 因数分解 でき ない。 「差」 だけ が 公式化 さ れ て いる こと に 注意。
4. 公式 3: x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) — 数 ペア さがし
中学因数分解 の 主役 です。 「足し て 1 次 の 係数、 かけ て 定数項」 に なる 整数 ペア を 探し ます。
例題 7: x2+7x+12 を 因数分解 せよ。
足し て 7、 かけ て 12 → (3, 4)。
x2+7x+12=(x+3)(x+4)
例題 8: x2−5x+6 を 因数分解 せよ。
足し て -5、 かけ て 6 → (-2, -3)。 両方 マイナス。
x2−5x+6=(x−2)(x−3)
例題 9: x2+2x−15 を 因数分解 せよ。
足し て 2、 かけ て -15 → (5, -3)。 1 つ マイナス。
x2+2x−15=(x+5)(x−3)
数 ペア の 探し方 コツ
| 定数項 の 符号 | 1 次係数 の 符号 | 2 数 の 符号 |
|---|
| プラス | プラス | 両方 プラス |
| プラス | マイナス | 両方 マイナス |
| マイナス | プラス | 大きい 方 プラス、 小さい 方 マイナス |
| マイナス | マイナス | 大きい 方 マイナス、 小さい 方 プラス |
ポイント:定数項 の 約数 を 全部列挙 し、 その 中 から 「足し て 1 次係数」 に なる 組 を 探す のが 確実。 慣れ たら 暗算 で 即答 できる ように なり ます。
5. 共通因数 + 公式 の 2 段階分解
入試 で は まず 共通因数 を くくり、 残り を 公式 で分解 する 「2 段階」 が 頻出 です。
例題 10: 2x2+12x+18 を 因数分解 せよ。
共通因数 2 を くくる。
2x2+12x+18=2(x2+6x+9)=2(x+3)2
例題 11: 3a2−27 を 因数分解 せよ。
3a2−27=3(a2−9)=3(a+3)(a−3)
例題 12: x3−4x を 因数分解 せよ。
x が 共通。 残り は x2−4=(x+2)(x−2)。
x3−4x=x(x2−4)=x(x+2)(x−2)
鉄則:因数分解 の 最初 の 一手 は 「共通因数 は ない か?」。 これ を 飛ば す と 「分解 が 中途半端」 と 判定 さ れ 減点 さ れる ので 必ず 確認。
6. 置換 を 使う 因数分解
複数 の 文字 や 長い かたまり が ある とき は 1 つ の 文字 に 置く。
例題 13: (x+y)2−4(x+y)+4 を 因数分解 せよ。
x+y=A と 置く。
A2−4A+4=(A−2)2=(x+y−2)2
例題 14: (a+b)2−c2 を 因数分解 せよ。
a+b=M と 置く と M2−c2=(M+c)(M−c)。 戻し て、
(a+b+c)(a+b−c)
ポイント: 「2 乗 の 差」 「2 乗 + 2 倍 の 積 + 2 乗」 など 公式 の 形 に 見える ように 置換 する のが コツ。
7. 4 文字 / 4 項 の くくり 直し (たすき掛け の 前段階)
例題 15: ax+ay+bx+by を 因数分解 せよ。
前半 と 後半 で 共通因数 を くくる。
ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)
例題 16: x2+xy−2x−2y を 因数分解 せよ。
x2+xy−2x−2y=x(x+y)−2(x+y)=(x−2)(x+y)
ポイント: 4 項 の とき は 2 項 ずつ ペア に し て 共通因数 を くくり、 さらに 全体 で 共通 する カッコ を くくり 出す。
8. 発展 — ax2+bx+c (a=1) の 因数分解
公立入試 では 一部 の 上位校 で 出題 さ れる ので、 触れ て おき ます。
例題 17: 2x2+7x+3 を 因数分解 せよ。
積 が 2⋅3=6、 和 が 7 の 2 数 を 探す → (6, 1)。 1 次 の 項 を 分割 し、
2x2+7x+3=2x2+6x+x+3=2x(x+3)+1⋅(x+3)=(2x+1)(x+3)
例題 18: 3x2−5x−2 を 因数分解 せよ。
積−6、 和−5 → (-6, +1)。
3x2−5x−2=3x2−6x+x−2=3x(x−2)+1⋅(x−2)=(3x+1)(x−2)
覚え 方: 「かけ て ac、 足し て b」 の 整数 ペア で 1 次項 を 分割 し、 2 項 ずつ くくり 出す。 これ は たすき掛け の 別表現 です。
9. 章末演習 (入試形式)
つぎ の 式 を 因数分解 せよ。
(1) x2−8x+16
(2) x2−64
(3) x2+x−20
(4) 3x2−12x−36
(5) (x−1)2−9
(6) ax+ay−bx−by
(7) x2−y2+4y−4 (発展)
略解:
(1) (x−4)2
(2) (x+8)(x−8)
(3) (x+5)(x−4)
(4) 3(x2−4x−12)=3(x−6)(x+2)
(5) {(x−1)+3}{(x−1)−3}=(x+2)(x−4)
(6) a(x+y)−b(x+y)=(a−b)(x+y)
(7) −y2+4y−4=−(y−2)2 なので x2−(y−2)2=(x+y−2)(x−y+2)
章 の まとめ:因数分解 の 鉄則 は 「① 共通因数 → ② 公式 → ③ 置換 / くくり 直し」。 この 順 で 必ず 試す。 二次方程式 の 解法 の 中心 が 因数分解 なので、 何度 も 演習 し て 体 に 染み込ま せ ましょう。
まとめ — 因数分解 を 3 行で
- 因数分解の手順は「共通因数を括り出す → 展開公式を逆に使う → 置換やくくり直しを試す」 の 3 段階で必ず網羅する
- x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) や a2−b2=(a+b)(a−b) など、 展開公式の逆操作が因数分解の要である
- 因数分解は二次方程式の解法の中心であり、 反復演習で即座に形を見抜ける力を身につけることが重要である