因数いんすう分解ぶんかい — 共通きょうつう因数いんすう・展開てんかい公式こうしきの逆ぎゃく・たすき掛かけ

この章しょうで学まなぶこと

前章ぜんしょう で 学まなん だ 展開てんかい を 「逆ぎゃく向むき」 に 行おこなう 操作そうさ が 因数分解いんすうぶんかい です。

たとえば 展開てんかい で

$(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$

を 計算けいさん し まし た。 因数いんすう分解ぶんかい は 反対はんたい に、 $x^2+5x+6$ を 見み て 「もと の (x+2)(x+3) を 復元ふくげん する」 こと です。

入試にゅうし で は 二に次じ方程式ほうていしき や 関数かんすう の 問題もんだい で 因数いんすう分解ぶんかい が 解法かいほう の 鍵かぎ に なる ため、 中なか 3 で 一番いちばん練習れんしゅう量りょう を 積つむ べき 単元たんげん です。

この 章しょう が 終おわる ころ には つぎ が できる ように なり ます。

• 共通きょうつう因数いんすう の くくり 出だし が 即そく でき る
• 4 つ の 公式こうしき (展開てんかい公式こうしき と 1 対たい 1 対応たいおう) を 自在じざい に 使つかえ る
• $x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$ で 「足たし て A、 かけ て B」 と なる 整数せいすう ペア を 素早すばやく 見みつけ られる
• 共通きょうつう因数いんすう + 公式こうしき / 置換ちかん + 公式こうしき の 2 段階だんかい因数いんすう分解ぶんかい が でき る
• $a{x}^2+bx+c$ ($a\ne 1$) の たすき掛かけ風 の 分解ぶんかい が でき る (発展はってん)

用語ようご: 1 つ の 整式せいしき を 「いくつか の 整式せいしき の 積つむ の 形かたち」 に 表あらわす こと を 因数いんすう分解ぶんかい と いい、 その とき の 各かく整式せいしき を 因数いんすう と いい ます。

1. 因数いんすう分解ぶんかい の 基本きほん — 共通きょうつう因数いんすう を くくり 出だす

最初さいしょ に 必かならず 見みる べき なの が 共通きょうつう因数いんすう です。 各項かくこう に 共通きょうつう し て 含ふくま れる 文字もじ や 数字すうじ を 前まえ に くくり 出だし ます。

例題れいだい 1: $6x^2+9x$ を 因数いんすう分解ぶんかい し なさい。

各項かくこう に 共通きょうつう する 因数いんすう は $3x$ なので、

$6x^2+9x=3x(2x+3)$

例題れいだい 2: $4a^{2}b-8a{b}^2+2ab$ を 因数いんすう分解ぶんかい し なさい。

数字すうじ の 共通きょうつう因数いんすう は 2、 文字もじ は $a$ も $b$ も すべて の 項こう に ある ので $ab$。 合ごうわ せ て $2ab$ を くくり 出だす。

$4a^{2}b-8a{b}^2+2ab=2ab(2a-4b+1)$

ポイント:共通きょうつう因数いんすう を くくり 出だし た あと、 残のこり を カッコ 内うち に 同おなじ 個数こすう の 項こう で書かく。 例題れいだい 2 の よう に 「+1」 を 忘わすれ がち な ので 要よう注意ちゅうい。

2. 公式こうしき 1: $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$

展開てんかい公式こうしき 1 の 逆ぎゃく です。

$a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2,a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$

見分みわけ 方かた: 両端りょうたん が 平方へいほう、 中央ちゅうおう が 両端りょうたん の 平方根へいほうこん の 2 倍ばい の 積。

例題れいだい 3: $x^2+10x+25$ を 因数いんすう分解ぶんかい せよ。

$25=5^2$、 $10x=2\cdot x\cdot 5$。 ぴったり。

$x^2+10x+25=(x+5{)}^2$

例題れいだい 4: $9a^2-12ab+4b^2$ を 因数いんすう分解ぶんかい せよ。

$9a^2=(3a{)}^2$、 $4b^2=(2b{)}^2$、 中央ちゅうおう$-12ab=-2\cdot 3a\cdot 2b$。 OK。

$9a^2-12ab+4b^2=(3a-2b{)}^2$

3. 公式こうしき 2: $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

「2 乗じょう の 差さ」 を 見み たら すぐ 分解ぶんかい。

例題れいだい 5: $x^2-49$ を 因数いんすう分解ぶんかい せよ。

$x^2-49=x^2-7^2=(x+7)(x-7)$

例題れいだい 6: $4x^2-25y^2$ を 因数いんすう分解ぶんかい せよ。

$4x^2-25y^2=(2x{)}^2-(5y{)}^2=(2x+5y)(2x-5y)$

ポイント:$x^2+49$ の よう な 「2 乗じょう の 和わ」 は 中学ちゅうがく範囲はんい では 因数いんすう分解ぶんかい でき ない。 「差さ」 だけ が 公式こうしき化か さ れ て いる こと に 注意ちゅうい。

4. 公式こうしき 3: $x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$ — 数かず ペア さがし

中学ちゅうがく因数いんすう分解ぶんかい の 主役しゅやく です。 「足たし て 1 次つぎ の 係数けいすう、 かけ て 定数ていすう項こう」 に なる 整数せいすう ペア を 探さがし ます。

例題れいだい 7: $x^2+7x+12$ を 因数いんすう分解ぶんかい せよ。

足たし て 7、 かけ て 12 → (3, 4)。

$x^2+7x+12=(x+3)(x+4)$

例題れいだい 8: $x^2-5x+6$ を 因数いんすう分解ぶんかい せよ。

足たし て -5、 かけ て 6 → (-2, -3)。 両方りょうほう マイナス。

$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$

例題れいだい 9: $x^2+2x-15$ を 因数いんすう分解ぶんかい せよ。

足たし て 2、 かけ て -15 → (5, -3)。 1 つ マイナス。

$x^2+2x-15=(x+5)(x-3)$

数かず ペア の 探さがし方かた コツ

定数ていすう項こう の 符号ふごう	1 次じ係数けいすう の 符号ふごう	2 数かず の 符号ふごう
プラス	プラス	両方りょうほう プラス
プラス	マイナス	両方りょうほう マイナス
マイナス	プラス	大おおきい 方かた プラス、 小ちいさい 方かた マイナス
マイナス	マイナス	大おおきい 方かた マイナス、 小ちいさい 方かた プラス

ポイント:定数ていすう項こう の 約数やくすう を 全部ぜんぶ列挙れっきょ し、 その 中なか から 「足たし て 1 次じ係数けいすう」 に なる 組くみ を 探さがす のが 確実かくじつ。 慣なれ たら 暗算あんざん で 即答そくとう できる ように なり ます。

5. 共通きょうつう因数いんすう + 公式こうしき の 2 段階だんかい分解ぶんかい

入試にゅうし で は まず 共通きょうつう因数いんすう を くくり、 残のこり を 公式こうしき で分解ぶんかい する 「2 段階だんかい」 が 頻出ひんしゅつ です。

例題れいだい 10: $2x^2+12x+18$ を 因数いんすう分解ぶんかい せよ。

共通きょうつう因数いんすう 2 を くくる。

$2x^2+12x+18=2(x^2+6x+9)=2(x+3{)}^2$

例題れいだい 11: $3a^2-27$ を 因数いんすう分解ぶんかい せよ。

$3a^2-27=3(a^2-9)=3(a+3)(a-3)$

例題れいだい 12: $x^3-4x$ を 因数いんすう分解ぶんかい せよ。

$x$ が 共通きょうつう。 残のこり は $x^2-4=(x+2)(x-2)$。

$x^3-4x=x(x^2-4)=x(x+2)(x-2)$

鉄則てっそく:因数いんすう分解ぶんかい の 最初さいしょ の 一いち手て は 「共通きょうつう因数いんすう は ない か?」。 これ を 飛とば す と 「分解ぶんかい が 中途半端ちゅうとはんぱ」 と 判定はんてい さ れ 減点げんてん さ れる ので 必かならず 確認かくにん。

6. 置換ちかん を 使つかう 因数いんすう分解ぶんかい

複数ふくすう の 文字もじ や 長ながい かたまり が ある とき は 1 つ の 文字もじ に 置おく。

例題れいだい 13: $(x+y{)}^2-4(x+y)+4$ を 因数いんすう分解ぶんかい せよ。

$x+y=A$ と 置おく。

$A^2-4A+4=(A-2{)}^2=(x+y-2{)}^2$

例題れいだい 14: $(a+b{)}^2-c^2$ を 因数いんすう分解ぶんかい せよ。

$a+b=M$ と 置おく と $M^2-c^2=(M+c)(M-c)$。 戻もどし て、

$(a+b+c)(a+b-c)$

ポイント: 「2 乗じょう の 差さ」 「2 乗じょう + 2 倍ばい の 積つむ + 2 乗じょう」 など 公式こうしき の 形 に 見みえる ように 置換ちかん する のが コツ。

7. 4 文字もじ / 4 項こう の くくり 直なおし (たすき掛けたすきがけ の 前ぜん段階だんかい)

例題れいだい 15: $ax+ay+bx+by$ を 因数いんすう分解ぶんかい せよ。

前半ぜんはん と 後半こうはん で 共通きょうつう因数いんすう を くくる。

$ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)$

例題れいだい 16: $x^2+xy-2x-2y$ を 因数いんすう分解ぶんかい せよ。

$x^2+xy-2x-2y=x(x+y)-2(x+y)=(x-2)(x+y)$

ポイント: 4 項こう の とき は 2 項こう ずつ ペア に し て 共通きょうつう因数いんすう を くくり、 さらに 全体ぜんたい で 共通きょうつう する カッコ を くくり 出だす。

8. 発展はってん — $a{x}^2+bx+c$ ($a\ne 1$) の 因数いんすう分解ぶんかい

公立こうりつ入試にゅうし では 一部いちぶ の 上位じょうい校こう で 出題しゅつだい さ れる ので、 触ふれ て おき ます。

例題れいだい 17: $2x^2+7x+3$ を 因数いんすう分解ぶんかい せよ。

積つむ が $2\cdot 3=6$、 和わ が 7 の 2 数かず を 探さがす → (6, 1)。 1 次つぎ の 項こう を 分割ぶんかつ し、

$2x^2+7x+3=2x^2+6x+x+3=2x(x+3)+1\cdot (x+3)=(2x+1)(x+3)$

例題れいだい 18: $3x^2-5x-2$ を 因数いんすう分解ぶんかい せよ。

積$-6$、 和$-5$ → (-6, +1)。

$3x^2-5x-2=3x^2-6x+x-2=3x(x-2)+1\cdot (x-2)=(3x+1)(x-2)$

覚おぼえ 方かた: 「かけ て $ac$、 足たし て $b$」 の 整数せいすう ペア で 1 次項じこう を 分割ぶんかつ し、 2 項こう ずつ くくり 出だす。 これ は たすき掛かけ の 別べつ表現ひょうげん です。

9. 章しょう末まつ演習えんしゅう (入試にゅうし形式けいしき)

つぎ の 式しき を 因数いんすう分解ぶんかい せよ。

(1) $x^2-8x+16$ (2) $x^2-64$ (3) $x^2+x-20$ (4) $3x^2-12x-36$ (5) $(x-1{)}^2-9$ (6) $ax+ay-bx-by$ (7) $x^2-y^2+4y-4$ (発展はってん)

略解りゃっかい: (1) $(x-4{)}^2$ (2) $(x+8)(x-8)$ (3) $(x+5)(x-4)$ (4) $3(x^2-4x-12)=3(x-6)(x+2)$ (5) $\left\{\right(x-1)+3\}\left\{\right(x-1)-3\}=(x+2)(x-4)$ (6) $a(x+y)-b(x+y)=(a-b)(x+y)$ (7) $-y^2+4y-4=-(y-2{)}^2$ なので $x^2-(y-2{)}^2=(x+y-2\left)\right(x-y+2)$

章 の まとめ:因数いんすう分解ぶんかい の 鉄則てっそく は 「① 共通きょうつう因数いんすう → ② 公式こうしき → ③ 置換ちかん / くくり 直なおし」。 この 順じゅん で 必かならず 試ためす。 二に次じ方程式ほうていしき の 解法かいほう の 中心ちゅうしん が 因数いんすう分解ぶんかい なので、 何なん度ど も 演習えんしゅう し て 体からだ に 染しみ込こま せ ましょう。

まとめ — 因数いんすう分解ぶんかい を 3 行くだりで

• 因数いんすう分解ぶんかいの手順てじゅんは「共通きょうつう因数いんすうを括くくり出だす → 展開てんかい公式こうしきを逆ぎゃくに使つかう → 置換ちかんやくくり直なおしを試ためす」 の 3 段階だんかいで必かならず網羅もうらする
• $x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$ や $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ など、 展開てんかい公式こうしきの逆ぎゃく操作そうさが因数いんすう分解ぶんかいの要かなめである
• 因数いんすう分解ぶんかいは二に次じ方程式ほうていしきの解法かいほうの中心ちゅうしんであり、 反復はんぷく演習えんしゅうで即座そくざに形かたちを見抜みぬける力ちからを身みにつけることが重要じゅうようである