平方根へいほうこん — 無理むり数すう・根号こんごうの計算けいさん・有理ゆうり化か

この章しょうで学まなぶこと

中学ちゅうがく 3 年ねん で 初はじめて 学まなぶ 新あたらしい 数かず の 仲間なかま、 それ が 平方根へいほうこん です。

平方根へいほうこん は 「2 乗じょう する と もと の 数かず に なる 数かず」 の こと。 たとえば $3^2=9$ なので、 9 の 平方根へいほうこん は 3 と $-3$ です。 ところが、 2 や 5 など、 整数せいすう に なら ない 平方根へいほうこん が ある こと も 学まなび ます。 これ が 無理数むりすう です。

入試にゅうし で は 「数かず の 計算けいさん問題もんだい」 「二次方程式にじほうていしき の 解かい の 公式こうしき」 「三平方の定理さんへいほうのていり の 答こたえ」 など、 ほぼ 全ぜん単元たんげん に 登場とうじょう する 道具どうぐ です。 計算けいさん を 自在じざい に こなせる よう に し ましょう。

この 章しょう が 終おわる ころ には、 つぎ が でき ます。

• $\sqrt{a}$ の 意味いみ、 $a>0$ に 対たいし て 平方根へいほうこん が 2 つ ($\pm \sqrt{a}$) ある こと を 説明せつめい でき る
• $\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{ab}$ や $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ を 使つかい こな せ る
• $\sqrt{}$ の 中なか を できる 限かぎり 簡単かんたん に する ($\sqrt{12}=2\sqrt{3}$等) こと が でき る
• 分母ぶんぼ に $\sqrt{}$ を 残のこさ ない 有理化ゆうりか が でき る
• 平方根へいほうこん の 加減算かげんざん ($3\sqrt{2}+\sqrt{2}=4\sqrt{2}$等) が でき る
• $\sqrt{2}\approx 1.41$、 $\sqrt{3}\approx 1.73$、 $\sqrt{5}\approx 2.24$ を 暗記あんき し 近似きんじ値ち を 出で せ る

1. 平方根へいほうこん の 意味いみ

2 乗じょう し て $a$ に なる 数 を 「$a$ の 平方根へいほうこん」 と いい ます。 例たとえば、

• $4$ の 平方根へいほうこん は $2$ と $-2$ ($2^2=4, (-2{)}^2=4$)
• $25$ の 平方根へいほうこん は $5$ と $-5$
• $0$ の 平方根へいほうこん は $0$ だけ

正ただし の 数$a$ に 対たいし て、 平方根へいほうこん の うち 正 の 方 を $\sqrt{a}$ (ルートるーと$a$)、 負 の 方 を $-\sqrt{a}$ と 書かき ます。 つまり 平方根へいほうこん は $\pm \sqrt{a}$ の 2 つ。

例れい: $\sqrt{9}=3$、 $-\sqrt{16}=-4$、 $\sqrt{0}=0$。

注意ちゅうい:$\sqrt{a}$ は 「正ただし の 方かた だけ」 を さす 記号きごう。 「9 の 平方根へいほうこん は $\sqrt{9}$」 と 答こたえ たら 半分はんぶん (実際じっさい は $\pm 3$)。 「9 の 平方根へいほうこん を 求もとめ よ」 → $\pm 3$、 「$\sqrt{9}$ の 値ね は」 → $3$ と 区別くべつ する こと。

2. 有理数ゆうりすう と 無理むり数すう

整数せいすう や 分数ぶんすう で 表ひょう せる 数かず を 有理数ゆうりすう、 表ひょう せ ない 数かず を 無理数むりすう と いい ます。

数かず の 種類しゅるい	例れい
整数せいすう	$-3,0,5$
分数ぶんすう (整数せいすう / 整数せいすう)	$\frac{1}{2},\frac{-7}{3}$
有限ゆうげん小数しょうすう	$0.25,1.5$
循環じゅんかん小数しょうすう	$0.333\dots =\frac{1}{3}$
無理むり数すう	$\sqrt{2},\sqrt{3},\pi$

$\sqrt{2}$ は $1.41421356\dots$ と どこ まで も 続つづき、 循環じゅんかん し ない 小数しょうすう。 これ が 無理むり数すう です。

ポイント:$\sqrt{4}=2$ は 整数せいすう なので 有理数ゆうりすう。 $\sqrt{}$ が ついて いれ ば 必かならず 無む理数りすう、 と は 限きりら ない こと に 注意ちゅうい。

3. $\sqrt{}$ の 中なか を 簡単かんたん に する

$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$ ($a,b\ge 0$) を 使つかい、 2 乗じょう の 因数いんすう を 外そと に 出で し ます。

例題れいだい 1: $\sqrt{12}$ を 簡単かんたん に せよ。

$12=4\times 3=2^2\times 3$ なので、

$\sqrt{12}=\sqrt{2^2\times 3}=2\sqrt{3}$

例題れいだい 2: $\sqrt{72}$ を 簡単かんたん に せよ。

$72=36\times 2=6^2\times 2$ より、

$\sqrt{72}=6\sqrt{2}$

例題れいだい 3: $\sqrt{50}\times \sqrt{8}$ を 計算けいさん せよ。

積つむ と し て まとめる。 $\sqrt{50\times 8}=\sqrt{400}=20$。

コツ:中 の 数かず を 素因数そいんすう分解ぶんかい し、 偶数ぐうすう個こ ある 素数そすう を 外そと に 出だす。 $\sqrt{180}=\sqrt{2^2\cdot 3^2\cdot 5}=6\sqrt{5}$。

4. 加法かほう と 減法げんぽう

「同おなじ $\sqrt{}$ の 数同士どうし だけ まとめ られる」。 これ は 文字もじ式しき の 同類項どうるいこう と 同おなじ 感覚かんかく です。

$3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=8\sqrt{2},7\sqrt{3}-2\sqrt{3}=5\sqrt{3}$

例題れいだい 4: $\sqrt{12}+\sqrt{27}$ を 計算けいさん せよ。

まず 中なか を 簡単かんたん に。 $\sqrt{12}=2\sqrt{3}, \sqrt{27}=3\sqrt{3}$。 同おなじ $\sqrt{3}$ なので まとめる。

$\sqrt{12}+\sqrt{27}=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}$

例題れいだい 5: $\sqrt{8}-\sqrt{18}+\sqrt{50}$ を 計算けいさん せよ。

$\sqrt{8}=2\sqrt{2}, \sqrt{18}=3\sqrt{2}, \sqrt{50}=5\sqrt{2}$ $2\sqrt{2}-3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=4\sqrt{2}$

注意ちゅうい:$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ は これ 以上いじょう まとめ られ ない。 $\sqrt{5}$ に なる と 思おもっ たら 大だい ミス。 $\sqrt{2+3}\ne \sqrt{2}+\sqrt{3}$ です。

5. 乗法じょうほう と 除法じょほう

$\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{ab},\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$

例題れいだい 6: $\sqrt{6}\times \sqrt{15}$ を 計算けいさん せよ。

$\sqrt{6\times 15}=\sqrt{90}=\sqrt{9\times 10}=3\sqrt{10}$

例題れいだい 7: $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$ を 計算けいさん せよ。

$\sqrt{\frac{18}{2}}=\sqrt{9}=3$

6. 有理ゆうり化か — 分母ぶんぼ から $\sqrt{}$ を 消けす

分母ぶんぼ に $\sqrt{}$ が 残ざん る 形かたち は 標準ひょうじゅん形がた で は ない ので、 分母ぶんぼ と 分子ぶんし に 同おなじ $\sqrt{}$ を かけ て 消けし ます。 これ を 有理化ゆうりか と いい ます。

例題れいだい 8: $\frac{1}{\sqrt{2}}$ を 有理ゆうり化か せよ。

分母ぶんぼ分子ぶんし に $\sqrt{2}$ を かける。

$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

例題れいだい 9: $\frac{6}{\sqrt{3}}$ を 有理ゆうり化か せよ。

$\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$

例題れいだい 10 (分母ぶんぼ に $a+\sqrt{b}$型): $\frac{1}{\sqrt{3}+1}$ を 有理ゆうり化か せよ。

分母ぶんぼ が 「和わ」 の とき は 分母ぶんぼ の 共役きょうやく (符号ふごう反転はんてん) を 分母ぶんぼ分子ぶんし に かけ ます。 $(\sqrt{3}-1)$ を かけ て、

$\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{\sqrt{3}-1}{3-1}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

(分母ぶんぼ が $a^2-b^2$公式こうしき で 整数せいすう化か さ れる)

ポイント: 「答こたえ に 分母ぶんぼ の $\sqrt{}$ を 残のこさ ない」 が お 約束やくそく。 入試にゅうし では 有理ゆうり化か し てい ない と 不ふ正解せいかい扱あつかい に なる こと も。

7. 近似きんじ値ち — 暗記あんき する 平方根へいほうこん

$\sqrt{n}$	近似きんじ値ち	ごろ あわせ
$\sqrt{2}$	$1.41421\dots$	ひと よ ひと よ に ひと み ごろ
$\sqrt{3}$	$1.7320508\dots$	ひと な み に お ご れ や
$\sqrt{5}$	$2.2360679\dots$	ふ じ さん ろく お う む 鳴なく
$\sqrt{6}$	$2.4494\dots$	に よ よ く
$\sqrt{7}$	$2.6457\dots$	な に む し こ な
$\sqrt{10}$	$3.16227\dots$	みち ひと な み に

例題れいだい 11: $\sqrt{12}$ の 近似きんじ値ち を 求もとめ よ ($\sqrt{3}\approx 1.73$)。

$\sqrt{12}=2\sqrt{3}\approx 2\times 1.73=3.46$

例題れいだい 12: $\frac{1}{\sqrt{2}}$ の 近似きんじ値ち を 小数しょうすう第だい 2 位くらい まで 求もとめ よ。

有理ゆうり化か し て、 $\frac{\sqrt{2}}{2}\approx \frac{1.414}{2}\approx 0.71$

8. 平方根へいほうこん の 大小だいしょう比較ひかく

$a,b$ が 正ただし の 数かず で なら 。 $\sqrt{}$ の 中なか で 比較ひかく すれ ば OK。

例題れいだい 13: $3,\sqrt{8},\sqrt{10}$ を 小ちいさい 順じゅん に 並ならべ よ。

$3=\sqrt{9}$ と 見み れ ば、 より、

コツ:整数せいすう を $\sqrt{n^2}$ の 形かたち に 直なおし て、 中なか の 数かず で 比くらべる。 $5=\sqrt{25}$、 $\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{1}{4}}$。

9. 入試にゅうし頻出ひんしゅつ — 平方根へいほうこん を 含 む 計算けいさん と 式しき の 値ね

例題れいだい 14: $x=2+\sqrt{3}, y=2-\sqrt{3}$ の とき、 $x+y, xy, x^2+y^2$ の 値ね を 求もとめ よ。

$x+y=4,xy=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1$

$x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy=16-2=14$。

(展開てんかい や 因数いんすう分解ぶんかい の 公式こうしき が 平方根へいほうこん で も 使つかえる の が ポイント)

例題れいだい 15: $\sqrt{50}-\sqrt{32}+\frac{6}{\sqrt{2}}$ を 計算けいさん せよ。

$\sqrt{50}=5\sqrt{2}, \sqrt{32}=4\sqrt{2}, \frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$。

$5\sqrt{2}-4\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}$

10. 章しょう末まつ演習えんしゅう (入試にゅうし形式けいしき)

(1) $\sqrt{48}$ を 簡単かんたん に せよ。 (2) $\sqrt{27}+\sqrt{12}-\sqrt{75}$ を 計算けいさん せよ。 (3) $\frac{2}{\sqrt{6}}$ を 有理ゆうり化か せよ。 (4) $\frac{3}{2-\sqrt{3}}$ を 有理ゆうり化か せよ。 (5) $x=\sqrt{5}+1$ の とき、 $x^2-2x$ の 値ね を 求もとめ よ。

略解りゃっかい: (1) $4\sqrt{3}$ (2) $3\sqrt{3}+2\sqrt{3}-5\sqrt{3}=0$ (3) $\frac{2\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ (4) 分母ぶんぼ分子ぶんし に $2+\sqrt{3}$ を かけ て、 $\frac{3(2+\sqrt{3})}{4-3}=6+3\sqrt{3}$ (5) $x-1=\sqrt{5}$、 両辺りょうへん を 2 乗じょう し て $x^2-2x+1=5$ → $x^2-2x=4$

章 の まとめ:平方根へいほうこん は 「中なか を 簡単かんたん に する」 「有理ゆうり化か」 「同類どうるい の もの だけ 加減かげん」 の 3 大だい操作そうさ。 入試にゅうし計算けいさん で の 失点しってん を 防ぼう ぐ ため、 100 問もん演習えんしゅう を 推奨すいしょう。

まとめ — 平方根へいほうこん を 3 行くだりで

• 平方根へいほうこんは $\sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b}$ で中なかを簡単かんたんにし、 無理数むりすう と 有理数ゆうりすう を区別くべつして計算けいさんするのが基本きほんである
• 有理ゆうり化かは分母ぶんぼの $\sqrt{}$ を除去じょきょする操作そうさで、 $\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}$、 $\frac{1}{a-\sqrt{b}}=\frac{a+\sqrt{b}}{a^2-b}$ (共役きょうやく) の 2 型かたがある
• 平方根へいほうこんの加減かげんは同類項どうるいこう扱あつかいで $\sqrt{}$ の中身なかみが等ひとしいものだけまとめ、 乗除じょうじょは中身なかみどうしで掛かけ割わるのが鉄則てっそくである