平方根へいほうこん — 無理むり数すう・根号こんごうの計算けいさん・有理ゆうり化か

この章しょうで学まなぶこと

中学ちゅうがく 3 年ねんで初はじめて学まなぶ 新あたらしい数かずの仲間なかま、 それが 平方根へいほうこん です。

平方根へいほうこん は 「2 乗じょうするともとの数かずになる数かず」 のこと。 たとえば $3^2=9$ なので、 9 の 平方根へいほうこんは 3 と $-3$ です。 ところが、 2 や 5 など、 整数せいすうにならない平方根へいほうこんがあることも学まなびます。 これが 無理数むりすう です。

入試にゅうしでは 「数かずの計算けいさん問題もんだい」 「二次方程式にじほうていしき の 解かい の 公式こうしき」 「三平方の定理さんへいほうのていり の答えこたえ」 など、 ほぼ全ぜん単元たんげんに登場とうじょうする道具どうぐです。 計算けいさんを自在じざいにこなせるようにしましょう。

この章しょうが終おわるころには、 つぎができます。

• $\sqrt{a}$ の意味いみ、 $a>0$ に対たいして平方根へいほうこんが 2 つ ($\pm \sqrt{a}$) あることを説明せつめいできる
• $\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{ab}$ や $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ を使つかいこなせる
• $\sqrt{}$ の中なかをできる限かぎり簡単かんたんにする ($\sqrt{12}=2\sqrt{3}$等) ことができる
• 分母ぶんぼに $\sqrt{}$ を残のこさない 有理化ゆうりか ができる
• 平方根へいほうこんの加減算かげんざん ($3\sqrt{2}+\sqrt{2}=4\sqrt{2}$等) ができる
• $\sqrt{2}\approx 1.41$、 $\sqrt{3}\approx 1.73$、 $\sqrt{5}\approx 2.24$ を暗記あんきし近似きんじ値ちを出だせる

1. 平方根へいほうこんの意味いみ

2 乗じょうして $a$ になる数 を 「$a$ の 平方根へいほうこん」 といいます。 例たとえば、

• $4$ の平方根へいほうこんは $2$ と $-2$ ($2^2=4, (-2{)}^2=4$)
• $25$ の平方根へいほうこんは $5$ と $-5$
• $0$ の平方根へいほうこんは $0$ だけ

正せいの数$a$ に対たいして、 平方根へいほうこんのうち 正の方 を $\sqrt{a}$ (ルートるーと $a$)、 負の方 を $-\sqrt{a}$ と書かきます。 つまり平方根へいほうこんは $\pm \sqrt{a}$ の 2 つ。

例れい: $\sqrt{9}=3$、 $-\sqrt{16}=-4$、 $\sqrt{0}=0$。

注意ちゅうい: $\sqrt{a}$ は 「正せいの方ほうだけ」 をさす記号きごう。 「9 の平方根へいほうこんは $\sqrt{9}$」 と答えこたえたら半分はんぶん (実際じっさいは $\pm 3$)。 「9 の平方根へいほうこんを求もとめよ」 → $\pm 3$、 「$\sqrt{9}$ の値ねは」 → $3$ と区別くべつすること。

2. 有理数ゆうりすうと無理むり数すう

整数せいすうや 分数ぶんすう で表あらわせる数かずを 有理数ゆうりすう、 表あらわせない数かずを 無理数むりすう といいます。

数かずの種類しゅるい	例れい
整数せいすう	$-3,0,5$
分数ぶんすう (整数せいすう / 整数せいすう)	$\frac{1}{2},\frac{-7}{3}$
有限ゆうげん小数しょうすう	$0.25,1.5$
循環じゅんかん小数しょうすう	$0.333\dots =\frac{1}{3}$
無理むり数すう	$\sqrt{2},\sqrt{3},\pi$

$\sqrt{2}$ は $1.41421356\dots$ とどこまでも続つづき、 循環じゅんかんしない小数しょうすう。 これが無理むり数すうです。

ポイント: $\sqrt{4}=2$ は整数せいすうなので 有理数ゆうりすう。 $\sqrt{}$ がついていれば必かならず無む理数りすう、 とは限かぎらないことに注意ちゅうい。

3. $\sqrt{}$ の中なかを簡単かんたんにする

$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$ ($a,b\ge 0$) を使つかい、 2 乗じょうの 因数いんすう を外そとに出だし ます。

例題れいだい 1: $\sqrt{12}$ を簡単かんたんにせよ。

$12=4\times 3=2^2\times 3$ なので、

$\sqrt{12}=\sqrt{2^2\times 3}=2\sqrt{3}$

例題れいだい 2: $\sqrt{72}$ を簡単かんたんにせよ。

$72=36\times 2=6^2\times 2$ より、

$\sqrt{72}=6\sqrt{2}$

例題れいだい 3: $\sqrt{50}\times \sqrt{8}$ を計算けいさんせよ。

積せきとしてまとめる。 $\sqrt{50\times 8}=\sqrt{400}=20$。

コツ:中の数かずを 素因数分解そいんすうぶんかい し、 偶数ぐうすう個こある素数そすうを外そとに出だす。 $\sqrt{180}=\sqrt{2^2\cdot 3^2\cdot 5}=6\sqrt{5}$。

4. 加法かほうと減法げんぽう

「同おなじ $\sqrt{}$ の数同士どうしだけまとめられる」。 これは文字もじ式しきの 同類項どうるいこう と同おなじ感覚かんかくです。

$3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=8\sqrt{2},7\sqrt{3}-2\sqrt{3}=5\sqrt{3}$

例題れいだい 4: $\sqrt{12}+\sqrt{27}$ を計算けいさんせよ。

まず中なかを簡単かんたんに。 $\sqrt{12}=2\sqrt{3}, \sqrt{27}=3\sqrt{3}$。 同おなじ $\sqrt{3}$ なのでまとめる。

$\sqrt{12}+\sqrt{27}=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}$

例題れいだい 5: $\sqrt{8}-\sqrt{18}+\sqrt{50}$ を計算けいさんせよ。

$\sqrt{8}=2\sqrt{2}, \sqrt{18}=3\sqrt{2}, \sqrt{50}=5\sqrt{2}$ $2\sqrt{2}-3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=4\sqrt{2}$

注意ちゅうい: $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ は これ以上いじょうまとめられない。 $\sqrt{5}$ になると思おもったら大だいミス。 $\sqrt{2+3}\ne \sqrt{2}+\sqrt{3}$ です。

5. 乗法じょうほうと除法じょほう

$\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{ab},\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$

例題れいだい 6: $\sqrt{6}\times \sqrt{15}$ を計算けいさんせよ。

$\sqrt{6\times 15}=\sqrt{90}=\sqrt{9\times 10}=3\sqrt{10}$

例題れいだい 7: $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$ を計算けいさんせよ。

$\sqrt{\frac{18}{2}}=\sqrt{9}=3$

6. 有理ゆうり化か — 分母ぶんぼから $\sqrt{}$ を消けす

分母ぶんぼに $\sqrt{}$ が残のこる形かたちは標準ひょうじゅん形がたではないので、 分母ぶんぼと分子ぶんしに同おなじ $\sqrt{}$ をかけて消けし ます。 これを 有理化ゆうりか といいます。

例題れいだい 8: $\frac{1}{\sqrt{2}}$ を 有理化ゆうりか せよ。

分母ぶんぼ分子ぶんしに $\sqrt{2}$ をかける。

$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

例題れいだい 9: $\frac{6}{\sqrt{3}}$ を有理ゆうり化かせよ。

$\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$

例題れいだい 10 (分母ぶんぼに $a+\sqrt{b}$型): $\frac{1}{\sqrt{3}+1}$ を有理ゆうり化かせよ。

分母ぶんぼが 「和わ」 のときは 分母ぶんぼの共役きょうやく (符号ふごう反転はんてん) を分母ぶんぼ分子ぶんしにかけます。 $(\sqrt{3}-1)$ をかけて、

$\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{\sqrt{3}-1}{3-1}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

(分母ぶんぼが $a^2-b^2$公式こうしきで整数せいすう化かされる)

ポイント: 「答えこたえに分母ぶんぼの $\sqrt{}$ を残のこさない」 がお約束やくそく。 入試にゅうしでは有理ゆうり化かしていないと不ふ正解せいかい扱あつかいになることも。

7. 近似きんじ値ち — 暗記あんきする平方根へいほうこん

$\sqrt{n}$	近似値きんじち	ごろあわせ
$\sqrt{2}$	$1.41421\dots$	ひとよひとよにひとみごろ
$\sqrt{3}$	$1.7320508\dots$	ひとなみにおごれや
$\sqrt{5}$	$2.2360679\dots$	ふじさんろくおうむ鳴なく
$\sqrt{6}$	$2.4494\dots$	によよく
$\sqrt{7}$	$2.6457\dots$	なにむしこな
$\sqrt{10}$	$3.16227\dots$	みちひとなみに

例題れいだい 11: $\sqrt{12}$ の近似きんじ値ちを求もとめよ ($\sqrt{3}\approx 1.73$)。

$\sqrt{12}=2\sqrt{3}\approx 2\times 1.73=3.46$

例題れいだい 12: $\frac{1}{\sqrt{2}}$ の近似きんじ値ちを小数しょうすう第だい 2 位くらいまで求もとめよ。

有理ゆうり化かして、 $\frac{\sqrt{2}}{2}\approx \frac{1.414}{2}\approx 0.71$

8. 平方根へいほうこんの大小だいしょう比較ひかく

$a,b$ が正せいの数かずで なら 。 $\sqrt{}$ の中なかで比較ひかくすれば OK。

例題れいだい 13: $3,\sqrt{8},\sqrt{10}$ を小ちいさい順じゅんに並ならべよ。

$3=\sqrt{9}$ と見みれば、 より、

コツ:整数せいすうを $\sqrt{n^2}$ の形かたちに直なおして、 中なかの数かずで比くらべる。 $5=\sqrt{25}$、 $\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{1}{4}}$。

9. 入試にゅうし頻出ひんしゅつ — 平方根へいほうこんを含ふくむ計算けいさんと式しきの値ね

例題れいだい 14: $x=2+\sqrt{3}, y=2-\sqrt{3}$ のとき、 $x+y, xy, x^2+y^2$ の値ねを求もとめよ。

$x+y=4,xy=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1$

$x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy=16-2=14$。

(展開てんかい や 因数分解いんすうぶんかい の公式こうしきが平方根へいほうこんでも使つかえる のがポイント)

例題れいだい 15: $\sqrt{50}-\sqrt{32}+\frac{6}{\sqrt{2}}$ を計算けいさんせよ。

$\sqrt{50}=5\sqrt{2}, \sqrt{32}=4\sqrt{2}, \frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$。

$5\sqrt{2}-4\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}$

10. 章しょう末まつ演習えんしゅう (入試にゅうし形式けいしき)

(1) $\sqrt{48}$ を簡単かんたんにせよ。 (2) $\sqrt{27}+\sqrt{12}-\sqrt{75}$ を計算けいさんせよ。 (3) $\frac{2}{\sqrt{6}}$ を有理ゆうり化かせよ。 (4) $\frac{3}{2-\sqrt{3}}$ を有理ゆうり化かせよ。 (5) $x=\sqrt{5}+1$ のとき、 $x^2-2x$ の値ねを求もとめよ。

略解りゃっかい: (1) $4\sqrt{3}$ (2) $3\sqrt{3}+2\sqrt{3}-5\sqrt{3}=0$ (3) $\frac{2\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ (4) 分母ぶんぼ分子ぶんしに $2+\sqrt{3}$ をかけて、 $\frac{3(2+\sqrt{3})}{4-3}=6+3\sqrt{3}$ (5) $x-1=\sqrt{5}$、 両辺りょうへんを 2 乗じょうして $x^2-2x+1=5$ → $x^2-2x=4$

章のまとめ:平方根へいほうこんは 「中なかを簡単かんたんにする」 「有理ゆうり化か」 「同類どうるいのものだけ加減かげん」 の 3 大だい操作そうさ。 入試にゅうし計算けいさんでの失点しってんを防ふせぐため、 100 問もん演習えんしゅうを推奨すいしょう。

まとめ — 平方根へいほうこんを 3 行くだりで

• 平方根へいほうこんは $\sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b}$ で中なかを簡単かんたんにし、 無理数むりすう と 有理数ゆうりすう を区別くべつして計算けいさんするのが基本きほんである
• 有理ゆうり化かは分母ぶんぼの $\sqrt{}$ を除去じょきょする操作そうさで、 $\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}$、 $\frac{1}{a-\sqrt{b}}=\frac{a+\sqrt{b}}{a^2-b}$ (共役きょうやく) の 2 型かたがある
• 平方根へいほうこんの加減かげんは同類項どうるいこう扱あつかいで $\sqrt{}$ の中身なかみが等ひとしいものだけまとめ、 乗除じょうじょは中身なかみどうしで掛かけ割わるのが鉄則てっそくである