標本ひょうほん調査ちょうさ — 全数ぜんすう調査ちょうさとの違ちがい・母集団ぼしゅうだん・比例ひれい推定すいてい

この章しょうで学まなぶこと

中学ちゅうがく数学すうがく最後さいご の 単元たんげん は 標本調査ひょうほんちょうさ。 統計とうけい の 入口いりぐち です。 計算けいさん量りょう は 少しょう ない が、 用語ようご と 比例ひれい の 立たて 方 を 正確せいかく に 押 さ える 必要ひつよう が ある、 入試にゅうし で 油断ゆだん でき ない 単元たんげん。

選挙せんきょ の 出口いでぐち調査ちょうさ、 テレビ の 視聴しちょう率りつ、 工場こうじょう の 製品せいひん検査けんさ など、 私わたし たち の 生活せいかつ で も 標本ひょうほん調査ちょうさ は 大だい活躍かつやく し て い ます。 「全部ぜんぶ調ちょう べる の は 大変たいへん だ から、 一部いちぶ を 調ちょう べ て 全体ぜんたい を 推測すいそく する」 の が 統計とうけい の 基本きほん発想はっそう です。

ゴール:

• 全数ぜんすう調査ちょうさ と 標本ひょうほん調査ちょうさ の 違 い と 選択せんたく基準きじゅん を 説明せつめい でき る
• 母集団ぼしゅうだん、 標本ひょうほん、 標本ひょうほん の 大だい き さ、 無む作為さくい抽出ちゅうしゅつ の 用語ようご を 正確せいかく に 使つかえ る
• 標本ひょうほん から 母集団ぼしゅうだん の 数量すうりょう を 比例ひれい で 推定すいてい でき る
• 推定すいてい し た 値ね が あく ま で 推定すいてい で あり 真しん の 値ね で は ない こと を 理解りかい し て いる

1. 全数ぜんすう調査ちょうさ と 標本ひょうほん調査ちょうさ

全数ぜんすう調査ちょうさ (悉皆しっかい調査ちょうさ)

調ちょう べたい 集団しゅうだん の 全員ぜんいん を 調ちょう べる 方法ほうほう。

例れい:

• 国勢調査こくせいちょうさ (5 年ねん ごと の 国民こくみん全員ぜんいん)
• 学校がっこう で の 健康けんこう診断しんだん
• 入学にゅうがく試験しけん

長所ちょうしょ: 確実かくじつ、 正確せいかく。 短所たんしょ: 時間じかん と 費用ひよう が かかる、 物もの を こわ し て 調ちょう べる 場合ばあい (例れい ・ 電球でんきゅう の 寿命じゅみょう) は 不可能ふかのう。

標本ひょうほん調査ちょうさ

集団しゅうだん の 一部いちぶ だけ を 調ちょう べ、 そ こ から 全体ぜんたい の 様子ようす を 推測すいそく する 方法ほうほう。

例れい:

• 視聴しちょう率りつ調査ちょうさ
• 出口いでぐち調査ちょうさ
• 工場こうじょう の 製品せいひん検査けんさ (ランダム に 取とり 出で し て 検査けんさ)
• 池いけ の 魚さかな の 数かず推定すいてい (捕獲ほかく → 印しるし → 戻もど す → 再さい捕獲ほかく)

長所ちょうしょ: 速はやい、 安やすい、 物もの を こわ さ ず 済すみ む。 短所たんしょ: 推定すいてい値ち で あり、 真しん の 値ね で は ない。

使つかい 分わけ の 鉄則てっそく: 「全員ぜんいん調ちょう べる の が 大変たいへん / 不可能ふかのう」 → 標本ひょうほん調査ちょうさ。 「正確せいかく さ が 必須ひっす」 → 全数ぜんすう調査ちょうさ。 入試にゅうし で は 「次つぎ の うち 標本ひょうほん調査ちょうさ が 適切てきせつ な もの は」 と いう 選択せんたく問題もんだい が 頻出ひんしゅつ。

2. 用語ようご整理せいり

用語ようご	意味いみ
母 集 団ぼしゅうだん	調ちょう べたい 対象たいしょう全体ぜんたい
標 本ひょうほん	母集団ぼしゅうだん から 取とり 出で し た 一部いちぶ
標本ひょうほん の 大だい き さ	標本ひょうほん の 個数こすう
無 作 為 抽 出むさくいちゅうしゅつ	かたよ り なく 偶然ぐうぜん に 標本ひょうほん を 取とり 出で す こと

例れい: 全国ぜんこく の 中学ちゅうがく 3 年生ねんせい (母集団ぼしゅうだん) から 1000 人ひと を 無む作為さくい に 選せん び (標本ひょうほん)、 平均へいきん身長しんちょう を 調ちょう べ た。 標本ひょうほん の 大だい き さ = 1000。

無む作為さくい抽出ちゅうしゅつ の 大切たいせつ さ

「自分じぶん が 調ちょう べやすい 人ひと だ け 選えらぶ」 「目め立りつ つ 人ひと だけ 選えらぶ」 等ひとし の かたよ り (バイアス) が ある と、 母集団ぼしゅうだん の 様子ようす が 正まさしく 反映はんえい さ れ ま せん。

無む作為さくい抽出ちゅうしゅつ の 方法ほうほう:

• 乱数らんすう表ひょう / 乱数らんすう サイ コロ
• コンピュータ の 乱数らんすう
• くじ 引ひき

注意ちゅうい: 「街角まちかど で 声こえ を かけ た 100 人ひと」 は 無む作為さくい で は ない (場所ばしょ や 時間じかん帯たい に かたよ る)。 入試にゅうし で 「無作為むさくい抽出ちゅうしゅつ と し て 適切てきせつ か」 を 問もん う 出題しゅつだい あり。

3. 標本ひょうほん調査ちょうさ で 何なに が わかる か

標本ひょうほん で の 結果けっか を 母集団ぼしゅうだん に 当とう て はめ て、 母集団ぼしゅうだん の 数量すうりょう を 推定すいてい する。

比例ひれい の 立たて 方かた (鉄則てっそく)

$\frac{}{}\approx \frac{}{}$

両辺りょうへん を 比ひ と し て 立たて、 4 つ の 数かず の うち 1 つ が 不明ふめい な ら 比例ひれい で 解かい く。

4. 例題れいだい で 使つかい 方かた を 習得しゅうとく

例題れいだい 1: 製品せいひん検査けんさ

ある 工場こうじょう で 1 日にち に 5000 個こ の 製品せいひん を 作さく る。 ランダム に 100 個こ取と り 出で し、 検査けんさ し た ところ 4 個こ が 不ふ良品りょうひん だっ た。 1 日にち の 不ふ良品りょうひん の 数かず は 約やく何なん個こ と 推定すいてい でき る か。

比例ひれい を 立たつ て る。

$\frac{4}{100}=\frac{x}{5000}⟹x=200$

約200 個。

例題れいだい 2: 池いけ の 魚さかな の 数かず ( 捕 獲 再 捕 獲 法ほかくさいほかくほう )

池いけ で 魚さかな を 50 匹ひき つ かま え、 印しるし を つけ て 戻もど し た。 後日ごじつ 80 匹ひき つかま え た ところ、 そ の うち 印しるし が ある の は 4 匹ひき だっ た。 池いけ全体ぜんたい の 魚さかな の 数かず を 推定すいてい せ よ。

母集団ぼしゅうだん (魚ぎょ の 総数そうすう) を $N$ と 置 く。

「池いけ の 中なか で 印しるし が つい た 魚さかな の 割合わりあい = 後ご で 取とっ た 標本ひょうほん中ちゅう で 印しるし が つい た 割合わりあい」 と 仮定かてい する と、

$\frac{50}{N}=\frac{4}{80}⟹N=50\times \frac{80}{4}=1000$

約1000 匹。

注意ちゅうい: 「約」 を 必かならず つけ る。 標本ひょうほん調査ちょうさ の 答こたえ は 真しん の 値ね で は なく 推定すいてい値ち。

例題れいだい 3: 視聴しちょう率りつ

ある 番組ばんぐみ の 視聴しちょう率りつ を 調ちょう べる ため、 ランダム に 選せん ん だ 600 世帯せたい の うち 78 世帯せたい が 見み て い た。 視聴しちょう率りつ を 求もとめ め よ。

$\frac{78}{600}=0.13=13\%$

母集団ぼしゅうだん (全国ぜんこく の 世帯せたい数すう が 仮かり に 5000 万ばん と すれ ば) で は 約 650 万まん世帯せたい が 見み て いる と 推定すいてい でき る。

例題れいだい 4: 玉たま の 比ひ

袋ふくろ の 中なか に 白玉しらたま と 赤玉あかだま が 合ごう わ せ て 1000 個こ入いり っ て いる。 取と り 出で し て 戻もど す 操作そうさ を 200 回かい繰く り 返かえ し た ところ、 白玉しらたま が 出で た の は 80 回かい だっ た。 袋ふくろ の 中なか の 白玉しらたま の 数かず を 推定すいてい せ よ。

白玉しらたま の 割合わりあい ≈ $\frac{80}{200}=0.4$。 全体ぜんたい 1000 個こ の 0.4 倍ばい = 400 個こ。

5. 推定すいてい の 限界げんかい — 「あく ま で 推定すいてい」

標本ひょうほん調査ちょうさ で 出で し た 数かず は 推定すいてい値ち。 標本ひょうほん が 偶然ぐうぜん偏へん れ ば、 答こたえ も 大だい きく ず れる こと が ある。

標本ひょうほん を 大おおきく する と 推定すいてい の 精度せいど が 上うえ がる

100 個こ の 標本ひょうほん より、 1000 個こ の 標本ひょうほん の 方かた が、 母集団ぼしゅうだん の 真しん の 値ね に 近ちかい 推定すいてい が 期待きたい できる (大数たいすう の 法則ほうそく)。

結果けっか の 表現ひょうげん

入試にゅうし で は 「約やく 〇〇 個こ」 「およそ 〇〇 円えん」 の よう に、 「約やく」 「およそ」 を 必かならず付つけ て 答こたえ る。

6. 入試にゅうし頻出ひんしゅつ の 出題しゅつだい パターン

(1) 「全数ぜんすう / 標本ひょうほん」 の 判定はんてい

例題れいだい 5: 次つぎ の 調査ちょうさ の うち、 標本ひょうほん調査ちょうさ が 適切てきせつ な もの を 選せん べ。

• ア: 学校がっこう の クラス で の 出席しゅっせき確認かくにん → 全数ぜんすう
• イ: 入国にゅうこく者しゃ全員ぜんいん の 検疫けんえき → 全数ぜんすう
• ウ: テレビ の 視聴しちょう率りつ → 標本ひょうほん
• エ: 缶かん ジュース の 中身なかみ の 量りょう検査けんさ → 標本ひょうほん (中身なかみ を 全部ぜんぶ開あけ たら 売うり れ ない)

(2) 比例ひれい計算けいさん

上うえ の 例題れいだい 1 〜 4 の 形かたち。

(3) 用語ようご の 穴あな埋うま め

「ある 集団しゅうだん の 性質せいしつ を 知しる ため、 ( ) を 取と り 出で し て 調ちょう べる こと を ( ) と いう。」 → 標本ひょうほん / 標本ひょうほん調査ちょうさ。

7. 章しょう末まつ演習えんしゅう (入試にゅうし形式けいしき)

(1) 全校ぜんこう生徒せいと 600 人ひと の 学校がっこう で、 無む作為さくい に 選せん ん だ 30 人ひと に アンケ ー ト し た ところ、 18 人ひと が ス マ ホ を 持じ っ て い た。 全校ぜんこう生徒せいと で ス マ ホ を 持じ っ て いる 人数にんずう を 推定すいてい せ よ。 (2) 養殖ようしょく池ち の 魚さかな を 100 匹ひき つかま え 印しるし を つけ て 戻もど し、 後日ごじつ 50 匹ひき中印なかいん付づけ き が 5 匹ひき だっ た。 池いけ の 魚さかな の 総数そうすう を 推定すいてい せ よ。 (3) 工場こうじょう で 1 日にち 12000 個こ の 部品ぶひん を 製造せいぞう。 標本ひょうほん 200 個中こちゅう不良ふりょう が 6 個こ。 1 日にち の 不ふ良品りょうひん の 数かず を 推定すいてい せ よ。 (4) 「全国ぜんこく の 高校生こうこうせい の ス マ ホ 利用りよう時間じかん を 知ち り たい」。 (a) 全数ぜんすう調査ちょうさ と (b) 標本ひょうほん調査ちょうさ の どちら が 適切てきせつ か。 理由りゆう と と も に 答こたえ え よ。

略解りゃっかい: (1) $\frac{18}{30}=\frac{x}{600}\Rightarrow x=360$ → 約360 人 (2) $\frac{100}{N}=\frac{5}{50}\Rightarrow N=1000$ → 約1000 匹 (3) $\frac{6}{200}=\frac{x}{12000}\Rightarrow x=360$ → 約360 個 (4) (b) 標本ひょうほん調査ちょうさ。 全国ぜんこく の 高校生こうこうせい全員ぜんいん を 調ちょう べる の は 時間じかん と 費用ひよう が 大だい きく かかり 現実げんじつ的てき で ない から。

章 の まとめ:標本ひょうほん調査ちょうさ の 鍵かぎ は 「無作為むさくい抽出ちゅうしゅつ」 と 「比例ひれい を 立たて て 推定すいてい」。 答こたえ に 「約やく」 を 忘わすれ ない こと、 「全数ぜんすう と 標本ひょうほん の 使つかい 分わけ」 を 言葉ことば で 説明せつめい でき る よう に し て おく こと。

まとめ — 標本ひょうほん調査ちょうさ を 3 行くだりで

• 標本ひょうほん調査ちょうさは集団しゅうだんの一部いちぶ (標本ひょうほん) を取とり出だして全体ぜんたい (母集団ぼしゅうだん) の性質せいしつを推定すいていする手法しゅほうで、 全数ぜんすう調査ちょうさと使い分けつかいわける
• 無作為抽出むさくいちゅうしゅつ (くじ引びき・乱数らんすう表ひょう) で偏りかたよりを防ふせぎ、 比例ひれい式しき$\frac{}{}=\frac{x}{}$ で推定すいていする
• 推定すいてい結果けっかは厳密げんみつな値ちではないため必かならず「約やく ◯◯」 と表記ひょうきし、 全数ぜんすう調査ちょうさが困難こんなんな状況じょうきょう (時間じかん・費用ひよう) で標本ひょうほん調査ちょうさが選えらばれることを理解りかいする