標本ひょうほん調査ちょうさ — 全数ぜんすう調査ちょうさとの違ちがい・母集団ぼしゅうだん・比例ひれい推定すいてい

この章しょうで学まなぶこと

中学ちゅうがく数学すうがく最後さいごの単元たんげんは 標本調査ひょうほんちょうさ。 統計とうけい の入口いりぐちです。 計算けいさん量りょうは少すくないが、 用語ようごと比例ひれいの立たて方 を正確せいかくに押おさえる必要ひつようがある、 入試にゅうしで油断ゆだんできない単元たんげん。

選挙せんきょの出口でぐち調査ちょうさ、 テレビの視聴しちょう率りつ、 工場こうじょうの製品せいひん検査けんさなど、 私わたしたちの生活せいかつでも 標本調査ひょうほんちょうさは大だい活躍かつやくしています。 「全部ぜんぶ調しらべるのは大変たいへんだから、 一部いちぶを調しらべて全体ぜんたいを推測すいそくする」 のが統計とうけいの基本きほん発想はっそうです。

ゴール:

• 全数ぜんすう調査ちょうさ と 標本ひょうほん調査ちょうさ の違ちがいと選択せんたく基準きじゅんを説明せつめいできる
• 母集団ぼしゅうだん、 標本ひょうほん、 標本ひょうほんの大おおきさ、 無む作為さくい抽出ちゅうしゅつ の用語ようごを正確せいかくに使つかえる
• 標本ひょうほんから母集団ぼしゅうだんの数量すうりょうを 比例ひれい で 推定すいてい できる
• 推定すいていした値ねが あくまで推定すいていであり真しんの値ねではない ことを理解かい している

1. 全数ぜんすう調査ちょうさと標本ひょうほん調査ちょうさ

全数ぜんすう調査ちょうさ (悉皆しっかい調査ちょうさ)

調しらべたい集団しゅうだんの 全員ぜんいん を調しらべる方法ほうほう。

例れい:

• 国勢調査こくせいちょうさ (5 年ねんごとの国民こくみん全員ぜんいん)
• 学校がっこうでの健康けんこう診断しんだん
• 入学にゅうがく試験しけん

長所ちょうしょ: 確実かくじつ、 正確せいかく。 短所たんしょ: 時間じかんと費用ひようがかかる、 物ものをこわして調しらべる場合ばあい (例れい ・ 電球でんきゅうの寿命じゅみょう) は不可能ふかのう。

標本ひょうほん調査ちょうさ

集団しゅうだんの 一部いちぶ だけを調しらべ、 そこから全体ぜんたいの様子ようすを 推測すいそく する方法ほうほう。

例れい:

• 視聴しちょう率りつ調査ちょうさ
• 出口でぐち調査ちょうさ
• 工場こうじょうの製品せいひん検査けんさ (ランダムに取とり出だして検査けんさ)
• 池いけの魚さかなの数すう推定すいてい (捕獲ほかく → 印しるし → 戻もどす → 再さい捕獲ほかく)

長所ちょうしょ: 速はやい、 安やすい、 物ものをこわさず済すむ。 短所たんしょ: 推定すいてい値ちであり、 真しんの値ねではない。

使つかい分わけの鉄則てっそく: 「全員ぜんいん調しらべるのが大変たいへん / 不可能ふかのう」 → 標本ひょうほん調査ちょうさ。 「正確せいかくさが必須ひっす」 → 全数ぜんすう調査ちょうさ。 入試にゅうしでは 「次つぎのうち標本ひょうほん調査ちょうさが適切てきせつなものは」 という選択せんたく問題もんだいが頻出ひんしゅつ。

2. 用語ようご整理せいり

用語ようご	意味いみ
母集団ぼしゅうだん	調しらべたい対象たいしょう全体ぜんたい
標本ひょうほん	母集団ぼしゅうだんから取とり出だした一部いちぶ
標本ひょうほんの大おおきさ	標本ひょうほんの個数こすう
無作為抽出むさくいちゅうしゅつ	かたよりなく偶然ぐうぜんに標本ひょうほんを取とり出だすこと

例れい: 全国ぜんこくの中学ちゅうがく 3 年生ねんせい (母集団ぼしゅうだん) から 1000 人ひとを無作為むさくいに選えらび (標本ひょうほん)、 平均へいきん身長しんちょうを調しらべた。 標本ひょうほんの大おおきさ = 1000。

無む作為さくい抽出ちゅうしゅつの大切たいせつさ

「自分じぶんが調しらべやすい人ひとだけ選えらぶ」 「目立めだつ人ひとだけ選えらぶ」 等とうの かたより (バイアス) があると、 母集団ぼしゅうだんの様子ようすが正ただしく反映はんえいされません。

無む作為さくい抽出ちゅうしゅつの方法ほうほう:

• 乱数らんすう表ひょう / 乱数らんすうサイコロ
• コンピュータの乱数らんすう
• くじ引びき

注意ちゅうい: 「街角まちかどで声こえをかけた 100 人ひと」 は 無む作為さくいではない (場所ばしょや時間じかん帯たいにかたよる)。 入試にゅうしで 「無作為むさくい抽出ちゅうしゅつとして適切てきせつか」 を問とう出題しゅつだいあり。

3. 標本ひょうほん調査ちょうさで何なにがわかるか

標本ひょうほんでの結果けっかを 母集団ぼしゅうだんに当あてはめ て、 母集団ぼしゅうだんの数量すうりょうを推定すいていする。

比例ひれいの立たて方かた (鉄則てっそく)

$\frac{}{}\approx \frac{}{}$

両辺りょうへんを比ひとして立たて、 4 つの数かずのうち 1 つが不明ふめいなら比例ひれいで解とく。

4. 例題れいだいで使つかい方かたを習得しゅうとく

例題れいだい 1: 製品せいひん検査けんさ

ある工場こうじょうで 1 日ひに 5000 個この製品せいひんを作つくる。 ランダムに 100 個こ取とり出だし、 検査けんさしたところ 4 個こが不ふ良品りょうひんだった。 1 日にちの不ふ良品りょうひんの数かずは約やく何なん個こと推定すいていできるか。

比例ひれいを立たてる。

$\frac{4}{100}=\frac{x}{5000}⟹x=200$

約200 個。

例題れいだい 2: 池いけの魚さかなの数かず ( 捕獲再捕獲法ほかくさいほかくほう )

池いけで魚さかなを 50 匹ひきつかまえ、 印しるしをつけて戻もどした。 後日ごじつ 80 匹ひきつかまえたところ、 そのうち印しるしがあるのは 4 匹ひきだった。 池いけ全体ぜんたいの魚さかなの数かずを推定すいていせよ。

母集団ぼしゅうだん (魚ぎょの総数そうすう) を $N$ と置おく。

「池いけの中なかで印しるしがついた魚さかなの割合わりあい = 後あとで取とった標本ひょうほん中ちゅうで印しるしがついた割合わりあい」 と仮定かていすると、

$\frac{50}{N}=\frac{4}{80}⟹N=50\times \frac{80}{4}=1000$

約1000 匹。

注意ちゅうい: 「約」 を必かならずつける。 標本ひょうほん調査ちょうさの答えこたえは真しんの値ねではなく 推定すいてい値ち。

例題れいだい 3: 視聴しちょう率りつ

ある番組ばんぐみの視聴しちょう率りつを調しらべるため、 ランダムに選えらんだ 600 世帯せたいのうち 78 世帯せたいが見みていた。 視聴しちょう率りつを求もとめよ。

$\frac{78}{600}=0.13=13\%$

母集団ぼしゅうだん (全国ぜんこくの世帯せたい数すうが仮かりに 5000 万まんとすれば) では 約 650 万まん世帯せたい が見みていると推定すいていできる。

例題れいだい 4: 玉たまの比ひ

袋ふくろの中なかに白玉しらたまと赤あか玉だまが合あわせて 1000 個こ入はいっている。 取とり出だして戻もどす操作そうさを 200 回かい繰くり返かえしたところ、 白玉しらたまが出でたのは 80 回かいだった。 袋ふくろの中なかの白玉しらたまの数かずを推定すいていせよ。

白玉しらたまの割合わりあい ≈ $\frac{80}{200}=0.4$。 全体ぜんたい 1000 個この 0.4 倍ばい = 400 個こ。

5. 推定すいていの限界げんかい — 「あくまで推定すいてい」

標本ひょうほん調査ちょうさで出だした数かずは 推定すいてい値ち。 標本ひょうほんが偶然ぐうぜん偏かたよれば、 答えこたえも大おおきくずれることがある。

標本ひょうほんを大おおきくすると推定すいていの精度せいどが上あがる

100 個この標本ひょうほんより、 1000 個この標本ひょうほんの方ほうが、 母集団ぼしゅうだんの真しんの値ねに近ちかい推定すいていが期待きたいできる (大数たいすうの法則ほうそく)。

結果けっかの表現ひょうげん

入試にゅうしでは 「約やく 〇〇 個こ」 「およそ 〇〇 円えん」 のように、 「約やく」 「およそ」 を必かならず付つけて答こたえる。

6. 入試にゅうし頻出ひんしゅつの出題しゅつだいパターン

(1) 「全数ぜんすう / 標本ひょうほん」 の判定はんてい

例題れいだい 5: 次つぎの調査ちょうさのうち、 標本ひょうほん調査ちょうさが適切てきせつなものを選えらべ。

• ア: 学校がっこうのクラスでの出席しゅっせき確認かくにん → 全数ぜんすう
• イ: 入国にゅうこく者しゃ全員ぜんいんの検疫けんえき → 全数ぜんすう
• ウ: テレビの視聴しちょう率りつ → 標本ひょうほん
• エ: 缶かんジュースの中身なかみの量りょう検査けんさ → 標本ひょうほん (中身なかみを全部ぜんぶ開あけたら売うれない)

(2) 比例ひれい計算けいさん

上うえの例題れいだい 1 〜 4 の形かたち。

(3) 用語ようごの穴埋あなうめ

「ある集団しゅうだんの性質せいしつを知しるため、 ( ) を取とり出だして調しらべることを ( ) という。」 → 標本ひょうほん / 標本ひょうほん調査ちょうさ。

7. 章しょう末まつ演習えんしゅう (入試にゅうし形式けいしき)

(1) 全校ぜんこう生徒せいと 600 人ひとの学校がっこうで、 無む作為さくいに選えらんだ 30 人ひとにアンケートしたところ、 18 人ひとがスマホを持もっていた。 全校ぜんこう生徒せいとでスマホを持もっている人数にんずうを推定すいていせよ。 (2) 養殖ようしょく池ちの魚さかなを 100 匹ひきつかまえ印しるしをつけて戻もどし、 後日ごじつ 50 匹ひき中印なかいん付つきが 5 匹ひきだった。 池いけの魚さかなの総数そうすうを推定すいていせよ。 (3) 工場こうじょうで 1 日にち 12000 個この部品ぶひんを製造せいぞう。 標本ひょうほん 200 個中こちゅう不良ふりょうが 6 個こ。 1 日にちの不ふ良品りょうひんの数かずを推定すいていせよ。 (4) 「全国ぜんこくの高校生こうこうせいのスマホ利用りよう時間じかんを知しりたい」。 (a) 全数ぜんすう調査ちょうさと (b) 標本ひょうほん調査ちょうさのどちらが適切てきせつか。 理由りゆうとともに答えこたえよ。

略解りゃっかい: (1) $\frac{18}{30}=\frac{x}{600}\Rightarrow x=360$ → 約360 人 (2) $\frac{100}{N}=\frac{5}{50}\Rightarrow N=1000$ → 約1000 匹 (3) $\frac{6}{200}=\frac{x}{12000}\Rightarrow x=360$ → 約360 個 (4) (b) 標本ひょうほん調査ちょうさ。 全国ぜんこくの高校生こうこうせい全員ぜんいんを調しらべるのは時間じかんと費用ひようが大おおきくかかり現実げんじつ的てきでないから。

章のまとめ:標本ひょうほん調査ちょうさの鍵かぎは 「無作為むさくい抽出ちゅうしゅつ」 と 「比例ひれいを立たてて推定すいてい」。 答えこたえに 「約やく」 を忘わすれないこと、 「全数ぜんすうと標本ひょうほんの使つかい分わけ」 を言葉ことばで説明せつめいできるようにしておくこと。

まとめ — 標本ひょうほん調査ちょうさを 3 行くだりで

• 標本調査ひょうほんちょうさは集団しゅうだんの一部いちぶ (標本ひょうほん) を取とり出だして全体ぜんたい (母集団ぼしゅうだん) の性質せいしつを推定すいていする手法しゅほうで、 全数調査ぜんすうちょうさと使い分けつかいわける
• 無作為抽出むさくいちゅうしゅつ (くじ引びき・乱数らんすう表ひょう) で偏りかたよりを防ふせぎ、 比例式ひれいしき $\frac{}{}=\frac{x}{}$ で推定すいていする
• 推定すいてい結果けっかは厳密げんみつな値ちではないため必かならず「約やく ◯◯」 と表記ひょうきし、 全数ぜんすう調査ちょうさが困難こんなんな状況じょうきょう (時間じかん・費用ひよう) で標本ひょうほん調査ちょうさが選えらばれることを理解りかいする